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6.3.1　二項式定理
［學習目標］　1.能用計數原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
一、二項式定理的正用與逆用
問題　在初中，我們用多項式乘法法則得到了(a+b)2的展開式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+
a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法計數原理解釋上述展開過程呢？
知識梳理
二項式定理
(a+b)n=______________________________，n∈N*.
(1)這個公式叫做二項式定理.
(2)展開式：右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式，展開式中一共有　　　　　項.
(3)二項式系數：各項的系數(k=0，1，2，…，n)叫做二項式系數.
(4)通項：(a+b)n展開式的第　　　項叫做二項展開式的通項，記作Tk+1=　　　　　　　　　　.
例1　(1)求的展開式.
(2)化簡：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
延伸探究　若將例1(2)中的式子變為“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化簡結果.
反思感悟　(1)(a+b)n的二項展開式有n+1項，是和的形式，各項的冪指數規律是：①各項的次數和等于n.②字母a按降冪排列，從第一項起，次數由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由0逐項加1直到n.
(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現的是整體思想，注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏.
跟蹤訓練1　(1)求的展開式.
(2)化簡：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
二、二項式系數與項的系數
例2　在二項式的展開式中，求：
(1)第4項的二項式系數；
(2)求展開式中x-1的系數.
反思感悟　正確區分二項式系數與項的系數
二項式系數與項的系數是兩個不同的概念.二項式系數是指，只與項數有關，與a，b的值無關，二項式系數的值恒為正；項的系數是指該項中除變量外的常數部分，不僅與項數有關，還與a，b的值有關，系數的值可正可負.
跟蹤訓練2　已知的展開式中，第2項與第3項的二項式系數之比為1∶3.
(1)求n的值；
(2)求展開式中含項的系數.
三、二項展開式中的特定項
例3　在二項式的展開式中，求：
(1)第4項；(2)常數項；
(3)有理項；(4)中間項.
反思感悟　(1)求二項展開式的特定項的常見題型
①求第k項，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數項；④求有理項.
(2)求二項展開式的特定項的解題思路
①對于常數項，隱含條件是字母的指數為0(即0次項)；
②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數恰好都是整數的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其屬于整數，再根據數的整除性來求解.
跟蹤訓練3　已知在的展開式中，第6項為常數項.
(1)求n；
(2)求含x2項的系數；
(3)求展開式中所有的有理項.
1.知識清單：
(1)二項式定理的正用與逆用.
(2)二項式系數與項的系數.
(3)二項展開式中的特定項.
2.方法歸納：轉化化歸.
3.常見誤區：二項式系數與系數的區別，an-kbk是展開式的第k+1項.
1.二項式(a+b)2n的展開式的項數是 (　　)
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
2.(x-y)6的展開式的第3項是 (　　)
A.x4y2 B.x2y4
C.x3y3 D.-x3y3
3.(2024·天津)在的展開式中，常數項為　　　　.
4.代數式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化簡為　　　　.
答案精析
問題　從上述過程可以看到，(a+b)2是2個(a+b)相乘，根據多項式乘法法則，每個(a+b)在相乘時有兩種選擇，選a或選b，而且每個(a+b)中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.于是，由分步乘法計數原理，在合并同類項之前，(a+b)2的展開式共有×=22項，而且每一項都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相當于從2個(a+b)中取k個b的組合數.
知識梳理
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　(2)n+1　(4)k+1　an-kbk
例1　(1)解　方法一　
=(3)4+(3)3+(3)2+
(3+=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=［1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4］
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)
=++54+108x+81x2.
(2)解　原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0
=［(2x+1)-1］5=(2x)5=32x5.
延伸探究　解　逆用二項式定理，將1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
跟蹤訓練1　(1)解　方法一　
=(2x)5+(2x)4·+(2x)3+
(2x)2+(2x)+
=32x5-120x2+-+-.
方法二　=
=［(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5］
=32x5-120x2+-+-.
(2)解　原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2·(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n
=［(x+1)+(-1)］n=xn.
例2　解　(1)的展開式的通項是
Tk+1=(3)10-k
=310-k(k=0，1，2，…，10).
則展開式的第4項(k=3)的二項式系數為=120.
(2)令=-1，解得k=4.
所以展開式中x-1的系數為36=30 240.
跟蹤訓練2　解　(1) 因為二項式的展開式中第2項、第3項的二項式系數分別為，，
所以=，即=，解得n=7.
(2)因為展開式的通項為
Tk+1=(3)7-k·=37-k，
當=-1時，k=3，
所以展開式中含項的系數為34=2 835.
例3　解　的展開式的通項為
Tk+1=x12-k·=(-1)k.
(1)令k=3，則T4=(-1)3=-220x8.
(2)令12-k=0，解得k=9，
所以常數項為(-1)9=-220.
(3)當k=0，3，6，9，12時，Tk+1是有理項，分別為T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4，
T10=-=-220，T13=x-4=.
(4)因為n=12，所以展開項共有13項，
所以中間項為第7項.
令k=6，得T7=(-1)6=924x4.
跟蹤訓練3　解　的展開式的通項為
Tk+1=(-3)k=(-3)k.
(1)∵第6項為常數項，∴當k=5時，有=0，
即n=10.
(2)令=2，得k=2，
∴所求項的系數為(-3)2=405.
(3)由題意得
令=t(t∈Z)，則10-2k=3t，
即k=5-t.
∵k∈N，∴t應為偶數.
令t=2，0，-2，則k=2，5，8.
∴第3項，第6項與第9項為有理項，
它們分別為405x2，-61 236，295 245x-2.
隨堂演練
1.B　［展開式的項數比二項式的指數大1，故選B.］
2.A　［由題設，(x-y)6的展開式的通項為
Tk+1=x6-k(-y)k，
∴第3項為T3=x4y2.］
3.20
解析　因為的展開式的通項為
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，所以常數項為30=20.
4.x4
解析　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4=［(x+1)-1］4=x4.

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