資源簡(jiǎn)介

第4部分第2節(jié)《同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．若sin α＋cos α＝，則sin αcos α等于(　　)
A．－ B．－ C. D．2
2．若cos α＝，α∈()，則tan α等于(　　)
A．－ B. C．－2 D．2
3．化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ．
【知識(shí)歸納】
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系： .
(2)商數(shù)關(guān)系： .
2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α －tan α
口訣 奇變偶不變，符號(hào)看象限
常用結(jié)論：
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見(jiàn)變形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
【題型展示】
題型一　同角三角函數(shù)基本關(guān)系
例1　(1)(多選)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．θ∈() B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
(2)已知tan α＝2，則＝ ；sin2α＋cos2α＝ .
(3)已知cos α＝－，則13sin α＋5tan α＝ .
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，則sin α－cos α的值為(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)已知＝5，則cos2α＋sin 2α等于(　　)
A. B．－ C．－3 D．3
題型二　誘導(dǎo)公式
例2　(1)已知sin()＝，且0(2)已知x∈R，則下列等式恒成立的是(　　)
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin ＝－cos
C．cos()＝sin 3x
D．cos()＝－sin 2x
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知cos()＝，則sin()的值為(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)若＝，則tan α等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
題型三　同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例3　(1)已知－π(2)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos()＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知sin()＝，其中α∈()，則cos()＝ ，sin()＝ .
(2)已知sin()＋cos(π－α)＝sin α，則2sin2α－sin αcos α等于(　　)
A. B. C. D．2
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.sin 1 050°等于(　　)
A. B.－ C. D.－
2.已知sin()＝，則cos()的值是(　　)
A.－ B. C. D.－
3．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與直線2x＋y＋3＝0平行，則的值為(　　)
A．－2 B．－ C．2 D．3
4．若sin(π＋α)－cos(π－α)＝，則sin()cos()等于(　　)
A. B．－ C. D．－
5．sin 1 620°等于(　　)
A．0 B.
C．1 D．－1
6．已知角α∈()，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，則sin(α＋2 023π)等于(　　)
A. B. C．－ D．－
7.已知sin α＋cos α＝－，則tan α＋等于(　　)
A.2 B. C.－2 D.－
8.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　)
A. B. C. D.1
9．已知α∈()，cos()＝，則tan α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
10.若點(diǎn)P(cos α，sin α)在直線y＝－2x上，則sin()的值等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
11．(多選)在△ABC中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C(C)
D．cos(A＋B)＝cos C
12.(多選)若cos(π－α)＝－，則(　　)
A.sin(－α)＝ B.sin()＝－
C.cos(π＋α)＝－ D.cos(α－π)＝－
13.(多選)已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ∈()，則θ可能等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
14.(多選)在△ABC中，下列結(jié)論正確的是(　　)
A.sin(A＋B)＝sin C
B.sin ＝cos
C.tan(A＋B)＝－tan C(C)
D.cos(A＋B)＝cos C
15.若＝，則tan θ＝________.
16.若tan α＝－2，則cos2α＋2sin 2α＝________.
17.已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝， 則的值為_(kāi)_______.
18.已知θ是第四象限角，且sin()＝，則tan()＝________.
19．已知sin θ＝，則＝ .
20．已知cos()＝，則cos()－sin()的值為 ．
21．(1)若α是第二象限角，且cos()＝－，求tan α的值；
(2)已知f(α)＝，化簡(jiǎn)f(α)，在(1)的條件下，求f(α)的值．
22．已知角θ 的終邊與單位圓x2＋y2＝1在第四象限交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
優(yōu)化提升
23.若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則的值為(　　)
A.－3 B.－ C. D.3
24．黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來(lái)，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個(gè)數(shù)字串，長(zhǎng)度不限，依次寫(xiě)出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫(xiě)成一個(gè)新數(shù)字串；重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字設(shè)為a，則sin等于(　　)
A. B．－ C. D．－
25.(多選)定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝，則稱θ與φ“廣義互余”.已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能與角α“廣義互余”的是(　　)
A.sin β＝ B.cos(π＋β)＝
C.tan β＝ D.tan β＝
26．(多選)已知角α滿足sin α·cos α≠0，則表達(dá)式＋(k∈Z)的取值為(　　)
A．－2 B．－1 C．2 D．1
27．(多選)已知角θ和φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，則稱θ與φ廣義互余．若sin(π＋α)＝－，則下列角β中，可能與角α廣義互余的有(　　)
A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝ D．tan β＝
28.已知α為第二象限角，則cos α＋sin α＝________.
29.如圖是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的內(nèi)角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則sin2θ－cos2θ的值是________.
30．sin ·cos ·tan()的值是 ．
31．已知sin(3π＋θ)＝，則＋＝ .
32．在角θ1，θ2，θ3，…，θ29的終邊上分別有一點(diǎn)P1，P2，P3，…，P29，如果點(diǎn)Pk的坐標(biāo)為(sin(15°－k°)，sin(75°＋k°))，1≤k≤29，k∈N，則cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ29＝________.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．B　2.C　3.sin α
【知識(shí)歸納】
1．(1)sin2α＋cos2α＝1
(2)＝tan α
2．－sin α　－sin α　sin α　cos α
cos α　－cos α　cos α　－cos α
sin α　－sin α　tan α　－tan α
【題型展示】
例1 (1)AD
(2)　
(3)0
跟蹤訓(xùn)練1 (1)C　(2)A
例2 (1)
(2)D
跟蹤訓(xùn)練2 (1)C　(2)D
例3 (1)－
(2)C
跟蹤訓(xùn)練3 (1)－　－
(2)D
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.B
2.A
3.D　
4.A　
5．A　
6.A
7.A
8.B
9.A　
10.A
11.ABC　
12.CD
13.AD
14.ABC
15.－3
16.－
17.
18.－
19.
20．0
21．解　(1)∵cos＝－sin α
＝－，
∴sin α＝，又α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
則tan α＝＝－.
(2)f(α)＝
＝＝cos α，
由(1)知，cos α＝－，
則f(α)＝cos α＝－.
22．解　(1)由θ為第四象限角，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，得2＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，
所以tan θ＝＝－.
(2)因?yàn)閠an θ＝－，
所以＝＝＝＝2－.
優(yōu)化提升
23.A
24．D
25.AC
26．AC
27．AC
28.0
29.－
30．－
31．18
32．0第4部分第3節(jié)《兩角和與差的三角函數(shù)公式》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
2．已知α∈()，且sin α＝，則tan()的值為 ．
3．若將sin x－cos x寫(xiě)成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，則φ＝ .
【知識(shí)歸納】
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2．輔助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝.
知識(shí)拓展：
兩角和與差的公式的常用變形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
【題型展示】
題型一　兩角和與差的三角函數(shù)公式
例1　(1)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
(2)計(jì)算：等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos()sin β，則(　　)
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1
(2)已知0<α<，sin()＝，則的值為(　　)
A. B. C. D.
題型二　兩角和與差的公式逆用與輔助角公式
例2　(1)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，則sin α＝ ，cos 2β＝ .
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，則tan Atan B的值為(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)滿足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的數(shù)組(α，β)有無(wú)窮多個(gè)，試寫(xiě)出一個(gè)這樣的數(shù)組________．
(2)已知sin()＝，則sin x＋sin()等于(　　)
A．1 B．－1 C. D.
題型三　角的變換問(wèn)題
例3　(1)已知α，β為銳角，sin α＝，cos(α＋β)＝－.則sin(2α＋β)的值為 ．
(2)已知sin θ＋sin()＝1，則sin()等于(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，則tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
(2)已知α，β∈()，sin(α＋β)＝－，sin()＝，則cos()＝________.
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于(　　)
A．cos 12° B．－cos 12° C．－ D.
2．已知sin α＋cos α＝，則sin()等于(　　)
A．± B. C．－ D．－
3.若α∈()，tan 2α＝，則tan α＝(　　)
A. B. C. D.
4.若sin()＝，則sin()＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
5.若α∈()，且3cos 2α＝sin()，則sin 2α的值為(　　)
A.－ B. C.－ D.
6．已知α∈()，若tan()＝－2，則cos()等于(　　)
A. B. C．－ D．－
7.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)
A.1 B. C. D.－
8．若2cos 80°＝cos 20°＋λsin 20°，則λ等于(　　)
A．－ B．－1 C．1 D.
9．已知2cos()＝sin α，則sin αcos α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
10．已知sin α＝，且α為銳角，tan β＝－3，且β為鈍角，則α＋β的值為(　　)
A. B. C. D.
11.若tan θ＝－2，則＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
12.(多選)下列各式中，值為的是(　　)
A. 　　 B.tan 15°cos215°
C.cos2－sin2 　　 D.
13．cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值為_(kāi)_____．
14．已知α，β∈()，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，則α＋β＝ .
15.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
16.已知sin()＝，α∈()，則cos()的值為_(kāi)_______.
17.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
18.已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan β的值.
19.已知cos()＝－，sin()＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α＋β).
20．已知α，β∈()，且
(1)求α＋β的值；
(2)證明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．
21．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin()＝cos(－α)；③3sin()＝cos()中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決問(wèn)題．
已知0<β<α<， ，cos(α＋β)＝－.
(1)求sin()；
(2)求β.
優(yōu)化提升
22．已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，則φ所在的象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
23．設(shè)sin()＝2cos αsin ，則的值為(　　)
A. B. C．2 D．4
24．(多選)已知α，β，γ∈()，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝
C．β－α＝ D．β－α＝－
25．(多選)下列結(jié)論正確的是(　　)
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)
B．3sin x＋3cos x＝3sin()
C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值為
D．sin 50°(1＋tan 10°)＝1
26.(多選)下列四個(gè)選項(xiàng)中，化簡(jiǎn)正確的是(　　)
A.cos(－15°)＝
B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0
C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝
D.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
27.已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，則m＝________.
28．若＝－3，則＝________.
29．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，先將線段OP繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ，再將旋轉(zhuǎn)后的線段OP的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我們把這個(gè)過(guò)程稱為對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行一次T(θ，ρ)變換得到點(diǎn)P1，例如對(duì)點(diǎn)(1,0)進(jìn)行一次T()變換得到點(diǎn)(0,3)．若對(duì)點(diǎn)A(1,0)進(jìn)行一次T()變換得到點(diǎn)A1，則A1的坐標(biāo)為 ；若對(duì)點(diǎn)B()進(jìn)行一次T(θ，ρ)變換得到點(diǎn)B1(－3，－4)，對(duì)點(diǎn)B1再進(jìn)行一次T(θ，ρ)變換得到點(diǎn)B2，則B2的坐標(biāo)為 ．
30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓O分別交于A，B兩點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸與單位圓O交于點(diǎn)M，已知S△OAM＝，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．D　2.－ 3.　
【知識(shí)歸納】
1．(1)cos αcos β＋sin αsin β
(2)cos αcos β－sin αsin β
(3)sin αcos β－cos αsin β
(4)sin αcos β＋cos αsin β
(5)　(6)
2.sin(α＋φ)
【題型展示】
例1 (1)C　(2)B
跟蹤訓(xùn)練1 (1)C　(2)C
例2 (1)　
(2)B
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(答案不唯一)
(2)A
例3 (1)－
(2)B
跟蹤訓(xùn)練3 (1)－1　
(2)－
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．D　
2.C　
3.A
4.D
5.C
6．C
7.B
8.A　
9.D　
10.B
11.C
12.ACD
13.　
14.－
15.sin(α＋γ)
16.－
17.－1
18.解　(1)因?yàn)棣翞殇J角，所以cos α≠0，
因?yàn)閠an α＝，所以cos 2α＝cos2α－sin2α
＝＝＝＝.
(2)因?yàn)棣粒聻殇J角，所以α＋β∈(0，π)，
因?yàn)閏os(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝
＝＝，
所以tan(α＋β)＝－3，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝3.
19.解　由已知，得＜α－＜π，0＜－β＜，
∴sin＝，cos＝，
∴cos ＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝×＋×＝.
則cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
20．解　(1)因?yàn)棣粒隆剩?br/>所以cos α>0，cos β>0，
由
解得cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因?yàn)棣粒隆?0，π)，所以α＋β＝.
(2)因?yàn)棣粒拢剑?br/>sin ＝
>sin α＝>sin β＝，
且函數(shù)y＝sin x在上單調(diào)遞增，
所以0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin (α－β)
＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×
＝.
21．解　(1)若選①，
tan(π＋α)＝tan α＝＝3，
又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1,0<α<，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
若選②，因?yàn)?br/>sin(π－α)－2sin
＝cos(－α)，
化簡(jiǎn)得sin α＝3cos α，
又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
若選③，因?yàn)?sin＝cos，化簡(jiǎn)得3cos α＝sin α，
又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×
＝.
(2)因?yàn)?<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，
所以sin(α＋β)＝
＝，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，
又因?yàn)?<β<，所以β＝.
優(yōu)化提升
22．D
23．B
24．BD
25．CD
26.BCD
27.－
28．2
29．(－1，)　
30.解　(1)由題意知，|OA|＝|OM|＝1，
因?yàn)镾△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，
所以sin α＝，又α為銳角，
所以cos α＝.
因?yàn)辄c(diǎn)B是鈍角β的終邊與單位圓O的交點(diǎn)，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是，
所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因?yàn)閟in α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因?yàn)棣翞殇J角，sin α＝＞，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.第4部分第4節(jié)《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．若α為第二象限角，sin α＝，則sin 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．若角α滿足sin α＋2cos α＝0，則tan 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
【知識(shí)歸納】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝ .
(2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
(3)公式T2α：tan 2α＝ .
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升冪公式)
(2)1±sin α＝ .(升冪公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降冪公式)
【題型展示】
題型一　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
例1　(1)已知sin α＋cos α＝，則sin2()＝________.
(2)若α∈()，tan 2α＝，則tan α等于(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)化簡(jiǎn)：＝________.
(2)若f(α)＝2tan α－，則f()的值是________．
題型二　三角函數(shù)式的求值
命題點(diǎn)1　給角求值
例2　計(jì)算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°；
(2)－；
(3).
命題點(diǎn)2　給值求值
例3　已知sin()＋cos α＝，則sin()等于(　　)
A. B. C．－ D．－
命題點(diǎn)3　給值求角
例4　已知 sin α＝，cos β＝，且α，β為銳角，則α＋2β＝ .
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知sin()＝tan 210°，則sin(60°＋α)的值為(　　)
A. B．－ C. D．－
(2)已知α∈(0，π)，sin 2α＋cos 2α＝cos α－1，則sin 2α等于(　　)
A. B．－
C．－ 或0 D.
題型三　三角恒等變換的綜合應(yīng)用
例5　已知f(x)＝sin()＋2sin()·cos().
(1)求f()的值；
(2)若銳角α滿足f(α)＝，求sin 2α的值．
跟蹤訓(xùn)練3　已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin 2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈()，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．已知x∈()，cos(π－x)＝－，則tan 2x等于(　　)
A. B．－ C. D．－
2.已知α，β為銳角，tan α＝，則cos 2α等于(　　)
A. B.－ C. D.－
3.計(jì)算：等于(　　)
A. B. C. D.－
4.已知0<α<，－<β<0，cos(α－β)＝－，sin α＝，則sin β＝(　　)
A. B.－ C. D.－
5.設(shè)α＝，若β∈()，且tan α＝，則β＝(　　)
A. B. C. D.
6.黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中．在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認(rèn)為是最美的三角形，它是兩底角為72°的等腰三角形．達(dá)·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個(gè)畫(huà)面里形成了一個(gè)黃金三角形．如圖，在黃金△ABC中，＝，根據(jù)這些信息，可得sin 54°等于(　　)
A. B. C. D.
7.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P()，且sin α·cos α>0，則＋的值等于(　　)
A. B. C. D.3
8．已知sin()＝，則sin 2θ的值為(　　)
A. B．－ C. D．－
9．已知sin()＝，則cos()等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
10．公元前六世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，則的值為(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
11.(多選)函數(shù)f(x)＝sin xcos x的單調(diào)遞減區(qū)間可以是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
12．(多選)下列計(jì)算結(jié)果正確的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
13．＝ .
14．已知tan 2θ＝－2，<θ<，則＝________.
15.已知sin()＝，則cos()＝________.
16.已知α∈()，若sin()＝，則tan α的值為_(kāi)_______.
17.化簡(jiǎn)：(180°＜α＜360°)＝________.
18.已知0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，cos(β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值.
19.已知0<α<<β<π，cos()＝，sin＝.
(1)求sin 2β的值；
(2)求cos()的值.
20．化簡(jiǎn)并求值．
(1)；
(2)()·.
21．(1)已知tan(α＋β)＝，tan()＝，求tan()；
(2)已知cos 2θ＝－，<θ<，求sin 4θ，cos 4θ.
(3)已知sin(α－2β)＝，cos(2α－β)＝－，且0<β<<α<，求α＋β的值．
優(yōu)化提升
22.設(shè)θ∈R，則“0＜θ＜”是“sin θ＋cos 2θ＞1”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
23.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈()，β∈()，則α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
24．已知α∈()，β∈()，tan α＝，則(　　)
A．α＋β＝ B．α－β＝
C．α＋β＝ D．α＋2β＝
25. 魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24 576邊形，求出圓周率π約等于，和真正的值相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破．若已知π的近似值還可以表示成4sin 52°，則的值為(　　)
A．－ B．－8 C．8 D.
26．f(x)滿足： x1，x2∈(0,1)且x1≠x2，都有<0.a＝sin 7°sin 83°，b＝，c＝cos2－，則，，的大小順序?yàn)?　　)
A.<< B.<<
C.<< D.<<
27．(多選)若sin ＝，α∈(0，π)，則(　　)
A．cos α＝
B．sin α＝
C．sin()＝
D．sin()＝
28．已知α，β均為銳角，sin()＝－，sin()＝，則sin(α＋β)＝ ，cos(2α－β)＝ .
29.已知由sin 2x＝2sin xcos x，cos 2x＝2cos2x－1，cos 3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos 3x＝4cos3x－3cos x，已知cos 54°＝sin 36°，結(jié)合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________；如圖，已知五角星ABCDE是由邊長(zhǎng)為2的正五邊形GHIJK和五個(gè)全等的等腰三角形組成的，則·＝________.
30.已知函數(shù)f(x)＝sin()＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)當(dāng)x∈[]時(shí)，求f(x)的值域.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．A　2.D　3.D
【知識(shí)歸納】
1．(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　(3)
2．(1)2sin2　2cos2
(2)2
(3)　　
【題型展示】
例1 (1)
(2)A
跟蹤訓(xùn)練1 (1)
(2)6－
例2 解　(1)原式＝cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝2.
(3)原式＝
＝
＝
＝
＝＝－2.
例3 D
例4
跟蹤訓(xùn)練2 (1)A　(2)C
例5 解　(1)由題意得
f(x)＝sin＋2sin·cos
＝sin－2sin·cos
＝sin－2sin·cos
＝sin－sin
＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f ＝sin＝0.
(2)∵α∈，
∴2α＋∈，
又∵f(α)＝，
∴f(α)＝sin＝，
又∵sin＝<，
∴2α＋∈，
∴cos＝－
＝－，
∴sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝×＋×＝.
跟蹤訓(xùn)練3 解　(1)因?yàn)?sin α＝2sin2－1，
所以3sin α＝－cos α，
所以tan α＝－，
又因?yàn)閟in 2α＋cos 2α
＝
＝，
所以sin 2α＋cos 2α
＝＝.
(2)因?yàn)棣隆剩詔an β<0，
因?yàn)?tan2β－tan β－1
＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
所以tan β＝－，
又因?yàn)棣痢?0，π)，tan α＝－，
所以<α<π.
所以tan(α＋β)＝
＝＝－1，
由得π<α＋β<2π，
所以α＋β＝.
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．D　
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B　
7.A
8.B　
9.A　
10.C　
11.AB
12.BD　
13.　
14.－3＋2
15.－
16.
17.cos α
18.解　(1)由0＜α＜，0＜β＜，cos α＝，
cos(β＋α)＝，得sin α＝，sin(β＋α)＝.
所以sin β＝sin[(β＋α)－α]
＝sin(β＋α)cos α－cos(β＋α)sin α
＝×－×＝.
(2)因?yàn)閏os α＝，sin α＝，
所以＝
＝＝12.
19.解　(1)法一　因?yàn)閏os
＝coscos β＋sinsin β＝cos β＋sin β＝，
所以cos β＋sin β＝，
所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.
法二　sin 2β＝cos
＝2cos2－1＝－.
(2)因?yàn)?<α<<β<π，
所以<β－<π，<α＋β<.
所以sin>0，cos(α＋β)<0，
所以sin＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos
＋sin(α＋β)sin
＝－×＋×＝.
20．解　(1)原式＝
＝
＝
＝＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝32.
21．解　(1)因?yàn)閠an(α＋β)＝，
tan＝，
所以tan
＝tan
＝
＝＝.
(2)由<θ<，得<2θ<π，
∴sin 2θ＝＝，
sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ
＝2××＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1
＝2×2－1＝－1＝.
(3)由0<β<<α<，
得0<2β<，－<－2β<0，
則－<α－2β<.
因?yàn)閟in(α－2β)＝>0，
所以cos(α－2β)＝
＝＝.
由0<β<<α<，
得<2α<π，－<－β<0，
則<2α－β<π，
因?yàn)閏os(2α－β)＝－，
所以sin(2α－β)＝.
因?yàn)?α＋β<，
又cos(α＋β)
＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，
所以α＋β＝.
優(yōu)化提升
22.A
23.A
24．B
25．A
26．C
27．AC
28.　
29.　5＋
30.解　(1)f(x)＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋1－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，
∴T＝＝π，即f(x)的最小正周期為π.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－≤sin＋1≤＋1，
∴f(x)的值域?yàn)?第4部分第5節(jié)《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．若函數(shù)y＝2sin 2x－1的最小正周期為T，最大值為A，則(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
2．函數(shù)y＝－tan()的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．
3．函數(shù)y＝3－2cos()的最大值為_(kāi)_______，此時(shí)x＝________.
【知識(shí)歸納】
1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，()， ， ，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，()， ， ，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R
值域
周期性
奇偶性 奇函數(shù)
單調(diào)遞增區(qū)間
單調(diào)遞減區(qū)間
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸方程
常用結(jié)論：
1．對(duì)稱性與周期性
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期．
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是個(gè)周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
【題型展示】
題型一　三角函數(shù)的定義域和值域
例1　(1)函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域?yàn)開(kāi)_______．
(2)函數(shù)f(x)＝sin()－3cos x的最小值為_(kāi)_______．
(3)函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　)
A.[] B.[](k∈Z)
C.[](k∈Z) D．R
跟蹤訓(xùn)練1　(1)函數(shù)y＝lg sin x＋的定義域?yàn)開(kāi)_______________．
(2)函數(shù)f(x)＝cos x－cos 2x，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函數(shù)，最大值為2 B．偶函數(shù)，最大值為2
C．奇函數(shù)，最大值為 D．偶函數(shù)，最大值為
題型二(1)函數(shù)f(x)＝3sin()＋1，φ∈(0，π)，且f(x)為偶函數(shù)，則φ＝________，f(x)圖象的對(duì)稱中心為_(kāi)_______．
　三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱性
例2　(2)已知函數(shù)f(x)＝3sin()，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．圖象關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱
B．圖象關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱
C．圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
D．圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin()，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．f(x)的最大值為
B．f(x)的最小正周期為π
C．f()為奇函數(shù)
D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
(2)記函數(shù)f(x)＝sin()＋b(ω>0)的最小正周期為T.若A．1 B. C. D．3
題型三　三角函數(shù)的單調(diào)性
命題點(diǎn)1　求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例3　函數(shù)f(x)＝sin()的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．
命題點(diǎn)2　根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
例4　(1)若函數(shù)f(x)＝cos()在區(qū)間[－a，a]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為(　　)
A. B. C. D. π
(2)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，且在()上單調(diào)遞增，則滿足條件的ω的最大值為_(kāi)_______．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知函數(shù)f(x)＝sin()(ω>0)，則“函數(shù)f(x)在[]上單調(diào)遞增”是“0<ω<2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則(　　)
A．f(x)在()上單調(diào)遞減
B．f(x)在()上單調(diào)遞增
C．f(x)在()上單調(diào)遞減
D．f(x)在()上單調(diào)遞增
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的為(　　)
A.f(x)＝sin |x| B.f(x)＝tan |x|
C.f(x)＝|tan x| D.f(x)＝(x－1)0
2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是(　　)
A.y＝|cos x＋1| B.y＝1－sin x
C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tan x
3．若函數(shù)y＝cos()(ω>0)兩對(duì)稱中心間的最小距離為，則ω等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱，則|φ|的最小值是(　　)
A. B. C. D.
5．函數(shù)f(x)＝－2tan()的定義域是(　　)
A.
B.
C.
D.
6．已知f(x)＝sin2()－，則f(x)是(　　)
A．奇函數(shù)且最小正周期為π
B．偶函數(shù)且最小正周期為π
C．奇函數(shù)且最小正周期為2π
D．偶函數(shù)且最小正周期為2π
7.如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱，那么|φ|的最小值為(　　)
A. B. C. D.
8.若f(x)＝sin()，則(　　)
A.f(1)＞f(2)＞f(3)
B.f(3)＞f(2)＞f(1)
C.f(2)＞f(1)＞f(3)
D.f(1)＞f(3)＞f(2)
9．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．f(x)的最大值為
B．f(x)在區(qū)間[]上單調(diào)遞增
C．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱
D．f(x)的最小正周期為π
10．(多選)對(duì)于函數(shù)f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列結(jié)論正確的是(　　)
A．f(x)的值域?yàn)閇]
B．f(x)在[]上單調(diào)遞增
C．f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝對(duì)稱
D．π是f(x)的一個(gè)周期
11.(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin4x－cos4x，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的最大值為2
C.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
D.f(x)在區(qū)間[]上單調(diào)遞增
12.(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列結(jié)論正確的是(　　)
A.f(x)是偶函數(shù)
B.f(x)在區(qū)間[]單調(diào)遞增
C.f(x)在[－π，π]有4個(gè)零點(diǎn)
D.f(x)的最大值為2
13．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為π，且在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)＝________.
14．已知函數(shù)f(x)＝sin()(0≤φ≤π)在()上單調(diào)遞減，則φ的取值范圍是________．
15.函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_______.
16.已知函數(shù)f(x)＝，則下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào)).
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直線x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；
④f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z.
17.已知函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在[]上單調(diào)遞增，那么常數(shù)ω的一個(gè)取值為_(kāi)_______.
18.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π.
(1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，求φ的值；
(2)若f(x)的圖象過(guò)()，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
19.已知函數(shù)f(x)＝sin(2π－x)sin()－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；
(2)當(dāng)x∈[]時(shí)，求f(x)的最小值和最大值.
20．已知函數(shù)f(x)＝cos xsin x＋sin2x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[]上的最大值和最小值．
21．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使f(x)的解析式唯一確定．
(1)求f(x)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋f()，求g(x)在區(qū)間[]上的最大值．
條件①：f(x)的最小正周期為π；
條件②：f(x)為奇函數(shù)；
條件③：f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝.
優(yōu)化提升
22.若函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在區(qū)間()上僅有一條對(duì)稱軸及一個(gè)對(duì)稱中心，則ω的取值范圍為(　　)
A.(5，8) B.(5，8]
C.(5，11] D.[5，11)
23．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，在區(qū)間(0,1)上不可能(　　)
A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減
C．有最大值 D．有最小值
24．已知函數(shù)f(x)＝＋3sin πx，則函數(shù)f(x)在[－1,3]上的所有零點(diǎn)的和為(　　)
A．2 B．4 C．2π D．4π
25．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象關(guān)于點(diǎn)()中心對(duì)稱，則(　　)
A．f(x)在區(qū)間()上單調(diào)遞減
B．f(x)在區(qū)間()上有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線x＝是曲線y＝f(x)的對(duì)稱軸
D．直線y＝－x是曲線y＝f(x)的切線
26.(多選)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－(sin2x－cos2x)，判斷下列給出的四個(gè)命題，其中正確的為(　　)
A.對(duì)任意的x∈R，都有f()＝－f(x)
B.將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得到偶函數(shù)g(x)
C.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間()上是減函數(shù)
D.“函數(shù)y＝f(x)取得最大值”的一個(gè)充分條件是“x＝”
27．已知三角函數(shù)f(x)滿足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函數(shù)f(x)在()上單調(diào)遞減．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有上述性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝________________.
28．已知sin x＋cos y＝，則sin x－sin2y的最大值為_(kāi)_______．
29．已知函數(shù)f(x)＝sin x＋|cos x|，寫(xiě)出函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間________；當(dāng)x∈[0，a]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,2]，則a的取值范圍是________．
30.已知函數(shù)f(x)＝2sin()＋a＋1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)x∈[]時(shí)，f(x)的最大值為4，求a的值；
(3)在(2)的條件下，求滿足f(x)＝1，且x∈[－π，π]的x的取值集合.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．A
2.(k∈Z)
3．5　＋2kπ(k∈Z)
【知識(shí)歸納】
1．(1)(π，0)　
(2)(π，－1)　
2．{x|x≠kπ＋}　[－1,1]　[－1,1]
R　2π　2π　π　奇函數(shù)　偶函數(shù)
　[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]　(kπ，0)
　x＝kπ＋　x＝kπ
【題型展示】
例1 (1)
(2)－4
(3)C
跟蹤訓(xùn)練1 (1)
(2)D
例2 (1)　，k∈Z
(2)C
跟蹤訓(xùn)練2 (1)ABD
(2)A
例3 ，k∈Z
例4 (1)A
跟蹤訓(xùn)練3 (1)A　(2)C
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.C
2.C
3.A　
4.B
5．D　
6.A　
7.A
8.A
9．AB
10．ACD
11.ACD
12.AD
13．tan x(答案不唯一)
14.≤φ≤π
15.(k∈Z)
16.④
17.(答案不唯一)
18.解　因?yàn)閒(x)的最小正周期為π，
所以T＝＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ).
(1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，φ＝＋kπ(k∈Z)，
因?yàn)?＜φ＜，所以φ＝.
(2)當(dāng)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)，
sin＝，
即sin＝.
又因?yàn)?＜φ＜，所以＜＋φ＜π.
所以＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
(k∈Z).
19.解　(1)由題意，
得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2 x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求圖象的對(duì)稱軸方程為
x＝＋(k∈Z).
(2)當(dāng)0≤x≤時(shí)，－≤2x－≤，
由函數(shù)圖象(圖略)可知，
－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值為0，最大值為.
20．解　(1)f(x)＝cos xsin x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，則－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
則sin∈[－1,1]，
∴f(x)∈，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－.
21．解　(1)選擇條件①②：
由條件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.
由條件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因?yàn)閨φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin 2x.經(jīng)檢驗(yàn)φ＝0符合題意．
選擇條件①③：
由條件①及已知得T＝＝π，
所以ω＝2.
由條件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因?yàn)閨φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin 2x.
(2)由題意得g(x)＝sin 2x＋sin，
化簡(jiǎn)得g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.因?yàn)?≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)，
g(x)取最大值.
優(yōu)化提升
22.B
23．B
24．B
25．AD
26.ACD
27．2sin(答案不唯一)
28.
29.　
30.解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，k∈Z.
(2)因?yàn)楫?dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最大值，
即f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4.
解得a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
則2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合為.第4部分第6節(jié)《函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．為了得到函數(shù)y＝2sin 3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin()圖象上所有的點(diǎn)(　　)
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
2．函數(shù)y＝2sin()的振幅、頻率和初相分別為(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
3．某港口在一天24小時(shí)內(nèi)的潮水的高度近似滿足關(guān)系式f(t)＝2sin()，其中f(t)的單位為m，t的單位是h，則12點(diǎn)時(shí)潮水的高度是________m.
【知識(shí)歸納】
1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)概念
已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 周期 頻率 相位 初相
A T＝_____ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五點(diǎn)法”畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑
常用結(jié)論：
1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對(duì)稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標(biāo)．
【題型展示】
題型一　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例1　(1)將函數(shù)f(x)＝sin()(ω＞0)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
(2)把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin()的圖象，則f(x)等于(　　)
A．sin() B．sin()
C．sin() D．sin()
跟蹤訓(xùn)練1
(1)將函數(shù)y＝tan()(ω>0)的圖象分別向左、向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱中心重合，則ω的最小值為(　　)
A. B．2 C．3 D．6
　(2)已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin()，為了得到曲線C2，則對(duì)曲線C1的變換正確的是(　　)
A．先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．先把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．先把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．先把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
題型二　由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　(1)已知函數(shù)f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f()＝______.
(2)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的3倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知函數(shù)g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)g(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)f(x)的圖象，則f()＝________.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos()在[－π，π]上的圖象大致如圖，則f(x)的解析式為(　　)
A．f(x)＝cos() B．f(x)＝cos()
C．f(x)＝cos() D．f(x)＝cos()
題型三　三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
命題點(diǎn)1　圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例3　已知函數(shù)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把f(x)的圖象沿x軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則(　　)
A．g(x)在[]上單調(diào)遞減
B．點(diǎn)()是g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心
C．g(x)是奇函數(shù)
D．g(x)在區(qū)間[]上的值域?yàn)閇0,2]
命題點(diǎn)2　函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題
例4　已知關(guān)于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在()上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是____________．
命題點(diǎn)3　三角函數(shù)模型
例5　(多選)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖1)，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理(圖2)．一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖3中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)時(shí)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．點(diǎn)P再次進(jìn)入水中時(shí)用時(shí)30秒
B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P處于最低點(diǎn)
C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)150秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米
D．點(diǎn)P第二次到達(dá)距水面(1＋)米時(shí)用時(shí)25秒
跟蹤訓(xùn)練3　(1)時(shí)鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，其開(kāi)放與閉合與體內(nèi)的一種時(shí)鐘酶有關(guān)．研究表明，當(dāng)氣溫上升到20 ℃時(shí)，時(shí)鐘酶活躍起來(lái)，花朵開(kāi)始開(kāi)放；當(dāng)氣溫上升到28 ℃時(shí)，時(shí)鐘酶的活性減弱，花朵開(kāi)始閉合，且每天開(kāi)閉一次．已知某景區(qū)一天內(nèi)5～17時(shí)的氣溫T(單位： ℃)與時(shí)間t(單位：h)近似滿足關(guān)系式T＝20－10sin()，則該景區(qū)這天時(shí)鐘花從開(kāi)始開(kāi)放到開(kāi)始閉合約經(jīng)歷(　　)
A．1.4 h B．2.4 h C．3.2 h D．5.6 h
(2)已知函數(shù)f(x)＝sin πωx－cos πωx(ω>0)在(0,1)內(nèi)恰有3個(gè)極值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
(3)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．g()為偶函數(shù)
B．g(x)的最小正周期是π
C．g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱
D．g(x)在區(qū)間()上單調(diào)遞減
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.將函數(shù)y＝sin()的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的圖象的解析式是（　　）
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝sin 4x D.y＝cos 4x
2.已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則φ的值為（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.人的心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減少，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80 mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p（t）＝101＋25sin（160πt），其中p（t）為血壓（單位：mmHg），t為時(shí)間（單位：min），則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A.收縮壓和舒張壓均高于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值
B.收縮壓和舒張壓均低于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值
C.收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值
D.收縮壓低于標(biāo)準(zhǔn)值，舒張壓高于標(biāo)準(zhǔn)值
4．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(　　)
A．y＝－cos 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin() D．y＝sin()
5．已知函數(shù)f(x)＝cos()，先將其圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則(　　)
A．g(x)的最小正周期是2π
B．g(x)的最小值為－2
C．g(x)在(0，π)上單調(diào)遞增
D．g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱
6．已知函數(shù)f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期為π，若將其圖象沿x軸向右平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的最小值為(　　)
A．π B. C. D.
7．為了得到y(tǒng)＝sin()的圖象，只需將y＝sin x圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變(　　)
A．每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍
D．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的
8．函數(shù)f(x)＝sin()的圖象是由函數(shù)g(x)的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若g()＝－f()，則φ的值為(　　)
A. B. C. D.
9.已知直線y＝－2與函數(shù)f（x）＝2sin()（其中ω＞0）的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為π，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
10.（多選）將函數(shù)y＝sin()·cos()的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的取值可能是（　　）
A.－ B.－ C. D.
11.（多選）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，則f（x）＝（　　）
A.2sin() B.2sin()
C.2cos() D.2cos()
12．(多選)血壓(BP)是指血液在血管內(nèi)流動(dòng)時(shí)作用于單位面積血管壁的側(cè)壓力，它是推動(dòng)血液在血管內(nèi)流動(dòng)的動(dòng)力．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓．在未使用抗高血壓藥的前提下，18歲以上成人的收縮壓≥140 mmHg或舒張壓≥90 mmHg，則說(shuō)明該成人有高血壓．設(shè)從未使用抗高血壓藥的陳華今年45歲，從某天早晨6點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算(即早晨6點(diǎn)時(shí)，t＝0 h)，他的血壓p(t)(mmHg)與經(jīng)過(guò)的時(shí)間t(h)滿足關(guān)系式p(t)＝115＋20sin()，則下列選項(xiàng)中正確的是(　　)
A．當(dāng)天早晨6～7點(diǎn)，陳華的血壓逐漸上升
B．當(dāng)天早晨9點(diǎn)時(shí)陳華的血壓為125 mmHg
C．當(dāng)天陳華沒(méi)有高血壓
D．當(dāng)天陳華的收縮壓與舒張壓之差為40 mmHg
13．已知函數(shù)f(x)＝2sin()，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______．
14．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ＝________.
15.將函數(shù)y＝3sin()的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是　　　　.
16.已知曲線C1：y＝cos x，C2：y＝sin()，則為了得到曲線C1，首先要把C2上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的　　　　倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右至少平移　　　　個(gè)單位長(zhǎng)度.（本題所填數(shù)字要求為正數(shù)）
17.已知函數(shù)f（x）＝cos()，其中x∈，若f（x）的值域是，則m的取值范圍是　　　　.
18.已知函數(shù)f（x）＝－cos()＋1－2sin2x.
（1）用“五點(diǎn)作圖法”在給定的坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象；
（2）先將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）圖象的對(duì)稱中心.
19.已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1，函數(shù)f（x）的圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，　　　　.
（1）在①函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝－，②函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)，③函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充至橫線上，然后確定函數(shù)的解析式；
（2）若動(dòng)直線x＝t，t∈[0，π]與函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）＝2sin xcos x的圖象分別交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值及此時(shí)t的值.
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
20．求范圍和圖象：
(1)y＝sin x的函數(shù)圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到f(x)的圖象，求f(x)在上的取值范圍；
(2)如圖所示， 請(qǐng)用“五點(diǎn)法”列表，并畫(huà)出函數(shù)y＝2sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．
2x＋
x
y
21．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m的最小值為－2.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值；
(2)把函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝g(x)的圖象，且函數(shù)y＝g(x)在上單調(diào)遞增，求ω的最大值．
優(yōu)化提升
22.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖象如圖，則f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分別為(　　)
A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
23．已知函數(shù)f(x)＝2sin()sin()＋sin x，將函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的值為(　　)
A. B．－ C. D.
24.設(shè)函數(shù)f（x）＝sin()（ω＞0）的部分圖象如圖所示，且滿足f（2）＝0.則f（x）的最小正周期為（　　）
A. B.16
C. D.
25．信息傳遞多數(shù)是以波的形式進(jìn)行傳遞，其中必然會(huì)存在干擾信號(hào)(如y＝Asin(ωx＋φ) ，某種“信號(hào)凈化器”可產(chǎn)生形如y＝A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要調(diào)整參數(shù)(A0，ω0，φ0)，就可以產(chǎn)生特定的波(與干擾波波峰相同，方向相反的波)來(lái)“對(duì)抗”干擾．現(xiàn)有波形信號(hào)的部分圖象，想要通過(guò)“信號(hào)凈化器”過(guò)濾得到標(biāo)準(zhǔn)的正弦波(標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)圖象)，應(yīng)將波形凈化器的參數(shù)分別調(diào)整為(　　)
A．A0＝，ω0＝4，φ0＝
B．A0＝－，ω0＝4，φ0＝
C．A0＝1，ω0＝1，φ0＝0
D．A0＝－1，ω0＝1，φ0＝0
26．若函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin()在(0，α)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則α的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
27.已知函數(shù)f（x）＝2cos （ωx＋φ）的部分圖象如圖所示，則滿足條件＞0的最小正整數(shù)x為　　　　.
28．如圖為函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分圖象，對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，則φ＝________.
29．風(fēng)車發(fā)電是指把風(fēng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能．如圖，風(fēng)車由一座塔和三個(gè)葉片組成，每?jī)蓚€(gè)葉片之間的夾角均為120°.現(xiàn)有一座風(fēng)車，塔高60米，葉片長(zhǎng)度為30米．葉片按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，并且6秒旋轉(zhuǎn)一圈，風(fēng)車開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)，某葉片的一個(gè)端點(diǎn)P在風(fēng)車的最低點(diǎn)(P離地面30米)，設(shè)點(diǎn)P離地面的距離為S(米)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，則S與t之間的函數(shù)解析式為_(kāi)_______，一圈內(nèi)點(diǎn)P離地面的高度不低于45米的時(shí)長(zhǎng)為_(kāi)_______秒．
30.已知函數(shù)f（x）＝sin()＋＋b.
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，且ω∈[0，3]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．D　2.A　3.1
【知識(shí)歸納】
1.
2.　　
　
3．|φ|　　　　A　A
【題型展示】
例1 (1)C
(2)B
跟蹤訓(xùn)練1 (1)A
(2)C
例2 (1)－
(2)C
跟蹤訓(xùn)練2 (1)1
(2)B
例3 B
例4 (－2，－1)
例5 BCD
跟蹤訓(xùn)練3 (1)B
(2)A
(3)B
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.A
2.B
3.C
4．C
5．C
6．B
7．C　
8.A　
9.B
10.ACD
11.BC
12.ABD
13.　
14.－
15.x＝－
16.2　
17.
18.解　（1）f（x）＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
列表如下：
x 0 π
f（x） 1 2 0 －2 0 1
描點(diǎn)、連線，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象如圖.
（2）將函數(shù)f（x）＝2sin的圖象向右平移個(gè)單位后得到y(tǒng)＝2sin＝2sin的圖象，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）＝2sin的圖象.
由－＝kπ（k∈Z）得x＝2kπ＋（k∈Z），故g（x）圖象的對(duì)稱中心為
（k∈Z）.
19.解　（1）函數(shù)f（x）的圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，得該函數(shù)的最小正周期
T＝2×＝π，
∴ω＝＝＝2，
此時(shí)f（x）＝2sin（2x＋φ）＋1.
若選①函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝－，則－＋φ＝＋kπ（k∈Z），得φ＝＋kπ（k∈Z）.
∵|φ|<，∴當(dāng)k＝－1時(shí)，φ＝，
此時(shí)f（x）＝2sin＋1.
若選②函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)，則＋φ＝kπ（k∈Z），
得φ＝kπ－（k∈Z）.
∵|φ|<，∴當(dāng)k＝1時(shí)，φ＝，
此時(shí)f（x）＝2sin＋1.
若選③函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則f＝2sin＋1＝0，
得sin＝－.
∵|φ|<，∴<＋φ<，
∴＋φ＝，解得φ＝，
此時(shí)f（x）＝2sin＋1.
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）的解析式為
f（x）＝2sin＋1.
令h（x）＝f（x）－g（x）
＝2sin＋1－2sin xcos x
＝2＋1－sin 2x
＝cos 2x＋1≥0，
∴|PQ|＝h（t）＝cos 2t＋1.
∵t∈[0，π]，∴2t∈[0，2π]，
當(dāng)2t＝0或2t＝2π，即當(dāng)t＝0或t＝π時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)取到最大值2.
20．解　(1)由題設(shè)，可得f(x)＝sin，當(dāng)x∈時(shí)，
2x＋∈，
所以f(x)∈.
(2)
2x＋ 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
所以y＝2sin的圖象如圖．
21．解　(1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m＝sin ωx＋cos ωx＋1＋m＝2sin＋1＋m，
∵函數(shù)f(x)的最小值為－2，
∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，
則f(x)＝2sin，
∴函數(shù)f(x)的最大值為2.
(2)由(1)可知，把函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得函數(shù)y＝g(x)＝2sin ωx的圖象．
∵y＝g(x)在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)g(x)的周期T＝≥，
∴ω≤4，即ω的最大值為4.
優(yōu)化提升
22．D
23．A
24.A
25．B
26．B
27.2
28.
29．S＝60－30cos t(t>0)　4
30.解　（1）∵函數(shù)f（x）＝sin＋＋b，
且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，
∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為
（k∈Z）.
（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
當(dāng)2x＋∈，即x∈時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)2x＋∈，
即x∈時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.
又f（0）＝f，∴當(dāng)f>0≥f或f＝0時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即sin≤－b－∴b∈∪.
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為
∪.第4部分第7節(jié)《正余弦定理》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于(　　)
A. B. C. D.
2．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c等于(　　)
A．8 B．4
C． D．
3．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，則C＝ .
【知識(shí)歸納】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內(nèi)容 ＝ ＝ ＝2R a2＝ ；b2＝ ；c2＝
變形 (1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ；(2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝ ；(3)a∶b∶c＝____________ cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝
2．三角形解的判斷
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解
3．三角形中常用的面積公式
(1)S＝aha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．
常用結(jié)論：
在△ABC中，常有以下結(jié)論：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
(6)三角形中的面積S＝.
【題型展示】
題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1　(12分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；[切入點(diǎn)：二倍角公式化簡(jiǎn)]
(2)求的最小值．[關(guān)鍵點(diǎn)：找到角B與角C，A的關(guān)系]
跟蹤訓(xùn)練1　記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)證明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周長(zhǎng)．
題型二　正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
命題點(diǎn)1　三角形的形狀判斷
例2　(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，＝sin2，則△ABC的形狀為(　　)
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
命題點(diǎn)2　三角形的面積
例3　在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.
已知4a＝c，cos C＝.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面積．
命題點(diǎn)3　與平面幾何有關(guān)的問(wèn)題
例4　如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，b(1＋cos C)＝csin∠ABC且△ABC的外接圓面積為.
(1)求邊c的長(zhǎng)；
(2)若a＝5，延長(zhǎng)CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cos B＝bcos A；③sin B＋cos B＝這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在下面的橫線中，并解決該問(wèn)題．
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， ，A＝，b＝，求△ABC的面積．
(2)(多選)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的是(　　)
A．若acos A＝bcos B，則△ABC一定是等腰三角形
B．若bcos C＋ccos B＝b，則△ABC是等腰三角形
C．若＝＝，則△ABC一定是等邊三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形
(3)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcos A＋a＝2c；③acsin B＝a2＋c2－b2三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．
①若 ，求角B的大小；
②求sin A＋sin C的取值范圍；
③如圖所示，當(dāng)sin A＋sin C取得最大值時(shí)，若在△ABC所在平面內(nèi)取一點(diǎn)D(D與B在AC兩側(cè))，使得線段DC＝2，DA＝1，求△BCD面積的最大值．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，則c等于(　　)
A. B. C．6 D．5
2.在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，則BC＝(　　)
A.1 B. C. D.3
3.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝b，A－B＝，則角C＝(　　)
A. B. C. D.
4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2acos C－3bcos C＝3ccos B，則角C的大小為(　　)
A. B. C. D.
5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，則sin C等于 (　　)
A. B.
C. D.
6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2cos B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，則△ABC的形狀為(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，a＝7，則△ABC外接圓的直徑為(　　)
A．14 B．7 C. D.
8．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若asin B＝bcos A，且b＝2，c＝2，則a的值為(　　)
A．2 B．2
C．2－2 D．1
9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則等于(　　)
A. B. C. D．2
10.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知acos B＋bcos A＝3ccos C，asin A－csin C＋bsin A＝0，則＝(　　)
A. B. C. D.
11.已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，則b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
12.(多選)已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是(　　)
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，則△ABC是銳角三角形
B.若acos A＝bcos B，則△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，則△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，則△ABC是等邊三角形
13．已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.當(dāng)取得最小值時(shí)，BD＝ .
14．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為 ．
15.已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b＝2，c＝3，A＝2B，則a＝________.
16.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》卷五的“田域類”中寫(xiě)道：?jiǎn)栍猩程镆欢危腥保湫⌒币皇铮行币皇睦铮笮币皇謇?里法三百步.欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長(zhǎng)分別為13里，14里，15里，求三角形沙田的面積.則該沙田的面積為_(kāi)_______平方里.
17.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asin Csin(A＋C)＝2csin Asin2 ，則角B的大小為_(kāi)_______；若a＋c＝6，△ABC的面積為2，則b的值為_(kāi)_______.
18.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面積；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
19.在①cos C(acos B＋bcos A)＝csin C，②asin＝csin A，③(sin B－sin A)2＝sin2C－sin Bsin A這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，當(dāng)________時(shí)，求sin A·sin B的最大值.
20．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面積．
21．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知bsin()＝asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比數(shù)列，判斷△ABC的形狀．
優(yōu)化提升
22．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin Asin Bsin C＝，△ABC的面積為2，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(　　)
A．a(chǎn)bc＝16
B．若a＝，則A＝
C．△ABC外接圓的半徑R＝2
D．≥32sin C
23.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，則角C的大小是(　　)
A.或 B.
C. D.
24．(多選)對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中正確的是(　　)
A．若cos A＝cos B，則△ABC為等腰三角形
B．若A>B，則sin A>sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)
D．若sin2A＋sin2B25．(多選)已知△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面積S△ABC＝，則下列命題正確的是(　　)
A．△ABC的周長(zhǎng)為5＋
B．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系A(chǔ)＋B＝2C
C．△ABC的外接圓半徑為
D．△ABC的中線CD的長(zhǎng)為
26.已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，則△ABC的周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______.
27．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知csin A＝acos C，c＝2，ab＝8，則a＋b的值是 ．
28．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC邊的中線AD＝，那么BC＝ .
29.如圖，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，則B＝ .若線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BC＝4，DE＝.則△BCE的面積為 ．
30.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面積；
(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．C　2.A　3.45°或135°
【知識(shí)歸納】
1.　　b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C
(1)2Rsin B　2Rsin C　(2)　
(3)sin A∶sin B∶sin C
　　
3．(2)absin C　acsin B
bcsin A　(3)r(a＋b＋c)
【題型展示】
跟蹤訓(xùn)練1 (1)證明　方法一　
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
結(jié)合正弦定理＝＝，
可得accos B－bccos A
＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C
＝2bccos A(*)．
由余弦定理可得
accos B＝，
abcos C＝，
2bccos A＝b2＋c2－a2，
將上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
方法二　因?yàn)锳＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)
＝sin(A＋B)·sin(A－B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－
(1－sin2A)·sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)·sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)
＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2)解　由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31.
因?yàn)閎2＋c2＝2a2＝50，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，
得b＋c＝9，
所以△ABC的周長(zhǎng)l＝a＋b＋c＝14.
例2 (1)A
(2)D
例3 解　(1)由正弦定理
＝，
得sin A＝.
因?yàn)閏os C＝，所以sin C＝，
又＝，
所以sin A＝＝.
(2)由(1)知sin A＝，
因?yàn)閍＝所以cos A＝，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A＝×＋×
＝.
因?yàn)椋剑矗剑?br/>所以c＝4，
所以S△ABC＝bcsin A
＝×11×4×＝22.
例4 解　(1)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由題意πR2＝，
解得R＝.
由題意及正弦定理可得
sin∠ABC(1＋cos C)
＝sin Csin∠ABC，
因?yàn)閟in∠ABC≠0，
所以1＋cos C＝sin C，
即2sin＝1，
因?yàn)?所以C－∈，
故C－＝，
即C＝.
故c＝2Rsin C＝2××＝7.
(2)因?yàn)閍＝5，c＝7，C＝，
故cos C＝＝，
得b2－5b－24＝0，
解得b＝8(b＝－3舍去)．
在△ABC中，由余弦定理可得
cos∠ABC＝＝，
所以sin∠ABC＝.
由cos∠AMC＝得
sin∠AMC＝.
故sin∠BAM
＝sin(∠ABC－∠AMC)
＝sin∠ABCcos∠AMC－cos∠ABCsin∠AMC＝，
在△ABM中，由正弦定理可得
＝，
則BM＝×＝5.
跟蹤訓(xùn)練2 (1)解　若選①，
則由b2＋ac＝a2＋c2，
得ac＝a2＋c2－b2.
由余弦定理得
cos B＝＝＝.
因?yàn)锽∈(0，π)，
所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因?yàn)镃＝π－A－B
＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝，
所以S△ABC＝absin C＝×××＝.
若選②，因?yàn)閏os B＝bcos A，
A＝，b＝，
所以cos B＝bcos A＝cos ＝.
因?yàn)锽∈(0，π)，
所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因?yàn)镃＝π－A－B
＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝，
所以S△ABC＝absin C
＝×××＝.
若選③，則由sin B＋cos B＝，
得sin＝，
所以sin＝1.
因?yàn)锽∈(0，π)，
所以B＋∈，
所以B＋＝，所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因?yàn)镃＝π－A－B
＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin
＝，
所以S△ABC＝absin C
＝×××＝.
(2)BC
(3)解　①若選①，
因?yàn)閏(sin A－sin C)
＝(a－b)(sin A＋sin B)，
由正弦定理得
c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，
整理得a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝＝，
又0若選②，
因?yàn)?bcos A＋a＝2c，
由余弦定理得
2b·＋a＝2c，
化簡(jiǎn)得，a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝＝，
又0若選③，
因?yàn)閍csin B＝a2＋c2－b2，
由余弦定理得
acsin B＝2accos B，
化簡(jiǎn)得tan B＝，
又0②由①得，A＋C＝，
則0sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋cos A
＝sin，
又所以則sin A＋sin C的取值范圍是.
③當(dāng)sin A＋sin C取得最大值時(shí)，
A＋＝，
解得A＝，
又B＝，
所以△ABC為等邊三角形，
令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，
則由正弦定理可得＝，
所以sin α＝asin θ.
又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cos α，
所以a2cos2θ＝a2－a2sin2θ＝cos2α－4cos α＋4，
所以acos θ＝2－cos α.
S△BCD＝×a×2sin
＝acos θ＋asin θ
＝(2－cos α)＋sin α
＝＋sin≤＋1，
當(dāng)且僅當(dāng)α＝∠ADC＝時(shí)等號(hào)成立，
所以△BCD面積的最大值為＋1.
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．B　
2.D
3.B
4.A
5.C
6．C
7.D　
8.B　
9.A　
10.A
11.D
12.ACD
13.－1
14.
15.
16.84
17.　2
18.解　(1)由題設(shè)及余弦定理得
28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，從而a＝2.
因此△ABC的面積為
×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C
＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0°所以30°＋C＝45°，故C＝15°.
19.解　若選①，由正弦定理得
cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)
＝sin Csin C，
即cos Csin(A＋B)＝sin Csin C，
∵sin C≠0，∴tan C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴A＋B＝，
∴sin A·sin B＝sin A·sin
＝sin A·
＝sin A·cos A＋sin2A
＝sin 2A＋(1－cos 2A)
＝sin＋，
∵A∈，∴2A－∈，
∴當(dāng)A＝時(shí)，sin A·sin B取得最大值為.
若選②，由正弦定理得
sin Asin ＝sin Csin A，
∵sin A≠0，∴cos ＝sin C＝2sin cos ，
∵cos ≠0，∴sin ＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.
若選③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，
即a2＋b2－c2＝ba，∴cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.
20．解　(1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C
＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，
∴sin A＝2sin Acos B，
又∵sin A≠0，∴cos B＝，
∵B為三角形內(nèi)角，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
∴a＝，c＝2，
∴△ABC的面積為S＝acsin B＝××2×＝.
21．解　(1)∵bsin＝asin B，由誘導(dǎo)公式得bcos A＝asin B，
由正弦定理得
sin Bcos A＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，
即tan A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵b，a，c成等比數(shù)列，∴a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝＝，
即b2＋c2－bc＝bc，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
又由(1)知A＝，
∴△ABC為等邊三角形．
優(yōu)化提升
22．B
23.A
24．ABD
25．ABD
26.9
27．6
28．9
29.　2
30.解　(1)因?yàn)?sin C＝3sin A，所以2c＝3a，又因?yàn)閏＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，則a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，
所以cos C＝＝，所以C為銳角，則sin C＝＝，
因此S△ABC＝absin C＝×4×5×＝.
(2)顯然c>b>a，若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，
故由余弦定理可得cos C＝
＝＝
<0，又a>0，
故解得0又由三角形三邊關(guān)系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1又a為正整數(shù)，故a＝2.第4部分第8節(jié)《解三角形及其應(yīng)用》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1.如圖所示，為測(cè)量某樹(shù)的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60 m，則樹(shù)的高度為(　　)
A．(30＋30)m B．(15＋30)m
C．(30＋15)m D．(15＋15)m
2．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　)
A．北偏東10° B．北偏西10°
C．南偏東10° D．南偏西10°
3．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為_(kāi)_______海里．
【知識(shí)歸納】
測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)
術(shù)語(yǔ)名稱 術(shù)語(yǔ)意義 圖形表示
仰角與俯角 在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角
方位角 從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α 例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：
坡角與坡比 坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
【題型展示】
題型一　解三角形的應(yīng)用舉例
命題點(diǎn)1　測(cè)量距離問(wèn)題
例1　(1)為加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在某市地面有四個(gè)5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為10 km；基站A，B在江的北岸，測(cè)得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為(　　)
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
(2)一個(gè)騎行愛(ài)好者從A地出發(fā)，向西騎行了2 km到達(dá)B地，然后再由B地向北偏西60°騎行2 km到達(dá)C地，再?gòu)腃地向南偏西30°騎行了5 km到達(dá)D地，則A地到D地的直線距離是(　　)
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
命題點(diǎn)2　測(cè)量高度問(wèn)題
例2　(1)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽(yáng)區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時(shí)刻撬動(dòng)著人們認(rèn)識(shí)商丘、走進(jìn)商丘的欲望．吳斌同學(xué)在今年國(guó)慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過(guò)“商”字城雕時(shí)，他想利用解三角形的知識(shí)測(cè)量一下該雕塑的高度(即圖中線段AB的長(zhǎng)度)．他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)7米后到達(dá)D處(A，C，D三點(diǎn)在同一個(gè)水平面內(nèi))，測(cè)得圖中線段AB在東北方向，且測(cè)得點(diǎn)B的仰角為71.565°，則該雕塑的高度大約是(參考數(shù)據(jù)：tan 71.565°≈3)(　　)
A．19米 B．20米 C．21米 D．22米
(2)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫(huà)中“飛天”的元素．如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測(cè)得CD的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點(diǎn)共線)．該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h(yuǎn)約為(　　)
(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
A．11米 B．20.8米 C．25.4米 D．31.8米
命題點(diǎn)3　測(cè)量角度問(wèn)題
例3　(1)《后漢書(shū)·張衡傳》：“陽(yáng)嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動(dòng)儀．以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥(niǎo)獸之形．中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī)．外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之．其牙機(jī)巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無(wú)際．如有地動(dòng)，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之．振聲激揚(yáng)，伺者因此覺(jué)知．雖一龍發(fā)機(jī)，而七首不動(dòng)，尋其方面，乃知震之所在．驗(yàn)之以事，合契若神．”如圖為張衡地動(dòng)儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200 km的A，B兩地各放置一個(gè)地動(dòng)儀，B在A的東偏北60°方向，若A地地動(dòng)儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東________km.
(2)圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長(zhǎng)的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長(zhǎng)為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面．已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻(太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2 dm的圭表按圖1方式放置后，測(cè)得日影長(zhǎng)為2.98 dm，則該地的緯度約為北緯(參考數(shù)據(jù)：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)(　　)
A．23°26′ B．32°34′ C．34° D．56°
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(多選)某貨輪在A處測(cè)得燈塔B在北偏東75°，距離為12 n mile，測(cè)得燈塔C在北偏西30°，距離為8 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，測(cè)得燈塔B在南偏東60°，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．A處與D處之間的距離是24 n mile
B．燈塔C與D處之間的距離是16 n mile
C．燈塔C在D處的西偏南60°
D．D在燈塔B的北偏西30°
(2)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝120 m，于B處測(cè)得水深BE＝200 m，于C處測(cè)得水深CF＝150 m，則cos∠DEF＝________.
(3)落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米．
題型二　解三角形中的最值和范圍問(wèn)題
例4　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知(a2＋c2－b2)＝－2absin C.
(1)求角B；
(2)若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△ABC面積的最大值．
跟蹤訓(xùn)練2　在①bcos()＝ccos B；②2S△ABC＝·，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．
問(wèn)題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且________．
(1)求角B；
(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．一艘游船從海島A出發(fā)，沿南偏東20°的方向航行8海里后到達(dá)海島B，然后再?gòu)暮uB出發(fā)，沿北偏東40°的方向航行16海里后到達(dá)海島C，若游船從海島A出發(fā)沿直線到達(dá)海島C，則航行的路程為(　　)
A．12海里 B．8海里
C．8海里 D．8海里
2.如圖，在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為(　　)
A. m 　　 B. m
C. m 　　 D. m
3.如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在A所在河岸邊選一定點(diǎn)C，測(cè)量AC的距離為50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，則可以計(jì)算A，B兩點(diǎn)間的距離是(　　)
A.25 m B.50 m
C.25 m D.50 m
4.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
5．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.且b＝2asin B, 則cos B＋sin C的取值范圍為(　　)
A．(0，] B．(1，]
C.() D.()
6.在相距2 km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為(　　)
A. km B. km C. km D.2 km
7．如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10 000m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(≈1.4，≈1.7)(　　)
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
8．我國(guó)無(wú)人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面A處垂直上升的無(wú)人機(jī)P，對(duì)地面B，C兩受災(zāi)點(diǎn)的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三處受災(zāi)點(diǎn)B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，則無(wú)人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測(cè)距離PD的長(zhǎng)度是(　　)
A. km B．2 km
C. km D．4 km
9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，則A的最大值為(　　)
A. B. C. D.
10.圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為(15－15)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為(　　)
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
11.(多選)如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是a，b，c，∠ABC為鈍角，BD⊥BA，cos 2∠ABC＝－，c＝2，b＝，則下列結(jié)論正確的有(　　)
A.sin A＝
B.BD＝2
C.5＝3
D.△CBD的面積為
12．(多選)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DC＝1，DA＝3，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．△ABC的內(nèi)角B＝
B．△ABC的內(nèi)角C＝
C．△ACD的面積為
D．四邊形ABCD面積的最大值為＋3
13．2022年4月16日，搭載著3名航天員的神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十三號(hào)返回任務(wù)取得圓滿成功．假設(shè)返回艙D垂直下落于點(diǎn)C，某時(shí)刻地面上點(diǎn)A，B觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)D的仰角分別為45°，75°，若A，B間距離為10千米(其中向量與同向)，試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離CD約為_(kāi)_______千米(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732)．
14．在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，若△ABC的外接圓面積為π，則△ABC周長(zhǎng)的最大值是________．
15.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若a＝2，tan A＝，則的取值范圍是________.
16.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中點(diǎn)，AM＝2， 則AC＝________；cos ∠MAC＝________.
17.如圖是某商業(yè)小區(qū)的平面設(shè)計(jì)圖，初步設(shè)計(jì)該小區(qū)邊界輪廓是半徑為200米，圓心角為120°的扇形AOB.O為南門位置，C為東門位置，小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD，若OD＝米，則圓弧AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______米.
18.在①∠ADC＝，②S△ABC＝2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，________，CD＝2AB＝4，求AC.
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
19.已知函數(shù)f(x)＝2cos2－cos()－1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f(A)＝2，b＝2，△ABC的面積為3，求△ABC外接圓的面積.
20．在①＋＋1＝；②(a＋2b)cos C＋ccos A＝0；③asin ＝csin A，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答下列問(wèn)題．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝4，求AB的中線CD長(zhǎng)度的最小值．
21．已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．
(1)求sin C；
(2)若c＝，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．
優(yōu)化提升
22．?dāng)?shù)學(xué)必修第二冊(cè)介紹了海倫－秦九韶公式：我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S＝，其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．若＝，b＝2，則△ABC面積S的最大值為(　　)
A. B. C．2 D.
23．在平面內(nèi)，四邊形ABCD的∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，DC＝1，BC＝，∠DAC＝30°，則四邊形ABCD面積的最大值等于(　　)
A. B.＋1 C.＋1 D．2
24.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高.如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB＝(　　)
A.＋表高 B.－表高
C.＋表距 D.－表距
25．(多選)一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離12 海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為12海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，下面結(jié)論正確的有(　　)
A．AD＝24
B．CD＝12
C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°
D．∠CDA＝60°
26．我國(guó)地處北半球，房屋的窗戶大部分朝南．冬至正午太陽(yáng)高度最小，在寒冷的冬天，需要溫暖的陽(yáng)光射入；在夏天，夏至正午太陽(yáng)高度最大，則要避免炙熱的陽(yáng)光射入．這兩點(diǎn)正是安裝遮陽(yáng)篷需要考慮的．如圖，AB是窗戶的高度，BC是遮陽(yáng)篷的安裝高度，CD是遮陽(yáng)篷的安裝長(zhǎng)度，設(shè)冬至正午時(shí)太陽(yáng)光線與地面的夾角為α，夏至正午時(shí)太陽(yáng)光線與地面的夾角為β，窗戶高度AB＝h.為保證冬至正午太陽(yáng)光剛好全部射入室內(nèi)，夏至正午太陽(yáng)光剛好不射入室內(nèi)，則遮陽(yáng)篷的安裝高度BC＝________.
27．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bsin ＝asin B，a＝，則△ABC周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______．
28.拿破侖·波拿巴，十九世紀(jì)法國(guó)偉大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，以AB，BC，AC為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其中心依次為D，E，F(xiàn)，若DF＝2，則＝________，AB＋AC的最大值為_(kāi)_______．
29.如圖，某湖有一半徑為100 m的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心(大小忽略不計(jì))，在其正東方向相距200 m的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備.為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿足AB＝AC，∠BAC＝90°.定義：四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”；設(shè)∠AOB＝θ.則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為_(kāi)_______m2.
30.如圖，已知扇形的圓心角∠AOB＝，半徑為4，若點(diǎn)C是上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合).
(1)若弦BC＝4(－1)，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形OACB面積的最大值.
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．A　2.B　3.6
【題型展示】
例1 (1)D
(2)B
例2 (1)C
(2)C
例3 (1)100(＋1)　
(2)B
跟蹤訓(xùn)練1 (1)AC
(2)－
(3)15
例4 解　(1)∵(a2＋c2－b2)
＝－2absin C，
∴(a2＋c2－b2)＝－2acsin B，
即＝－sin B，
由余弦定理，得cos B＝－sin B，
∵cos B≠0，∴tan B＝－，
∵0(2)方法一　∵＝(＋)，
∴2＝2＋·＋2，
∴c2＋accos ＋a2＝4，
即a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S△ABC＝acsin ≤×16sin ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，c＝4時(shí)取等號(hào)，
故△ABC面積的最大值為4.
方法二　在△ABD中，由余弦定理得c2＝22＋2－2×2×bcos∠ADB，
即c2＝4＋b2－2bcos∠ADB，①
在△CBD中，由余弦定理得
a2＝22＋2－2×2×bcos∠CDB，
即a2＝4＋b2－2bcos∠CDB，
∵cos∠CDB＝cos(π－∠ADB)
＝－cos∠ADB，
∴a2＝4＋b2＋2bcos∠ADB，②
由①＋②得a2＋c2＝8＋b2，③
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ，即b2＝a2＋c2＋ac，
代入③中，整理得a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S△ABC＝acsin ≤×16sin ＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，c＝4時(shí)取等號(hào)，
故△ABC面積的最大值為4.
方法三　如圖，
過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵CE∥AB，D為AC的中點(diǎn)，
∴DE＝BD＝2，CE＝AB＝c，
∠BCE＝，BE＝4，
在△BCE中，由余弦定理得
BE2＝BC2＋EC2－2BC·ECcos∠BCE，
即42＝a2＋c2－2accos ，
整理得a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S△ABC＝acsin
≤×16sin ＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，c＝4時(shí)取等號(hào)，
故△ABC面積的最大值為4.
跟蹤訓(xùn)練2 解　(1)選擇條件①：
即bsin C＝ccos B，
由正弦定理可得
sin Bsin C＝sin Ccos B，
在△ABC中，B，C∈(0，π)，
所以sin B≠0，sin C≠0，
所以sin B＝cos B，且cos B≠0，
即tan B＝，所以B＝.
選擇條件②：
即2×acsin B＝cacos B，
即sin B＝cos B，
在△ABC中，B∈(0，π)，
所以sin B≠0，則cos B≠0，
所以tan B＝，
所以B＝.
(2)由(1)知，B＝，b＝2，
由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accos ，
所以12＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac得(a＋c)2－12＝3ac≤32，
所以a＋c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立，
所以△ABC周長(zhǎng)的最大值為6.
基礎(chǔ)夯實(shí)
1．D　
2.A
3.A
4.B
5．C　
6.A
7.B
8．B　
9．D
10.D
11.AC
12．ABD
13．14
14．2＋
15.(2，4)
16.2　
17.50π
18.解　若選擇①，設(shè)∠BAC＝∠CAD＝θ，
則0＜θ＜，∠BCA＝－θ，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以AC＝，
在△ACD中，＝，
即＝，所以AC＝，
所以＝，解得2sin θ＝cos θ，
又0＜θ＜，所以sin θ＝，
所以AC＝＝2.
若選擇②，S△ABC＝·AB·BC·
sin∠ABC＝·2·BC·sin ＝2，
所以BC＝2，
由余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·
cos∠ABC＝4＋8－2×2×2×＝20，
所以AC＝＝2.
19.解　(1)f(x)＝2cos2 －cos－1＝cos x＋sin x＝2sin，
因?yàn)棣兀?，T＝，所以T＝2π.
(2)∵f(A)＝2sin＝2，0＜A＜π，
∴A＝，
∵b＝2，∴△ABC的面積S＝bcsin A＝×2c×＝3，∴c＝6.
由余弦定理得cos A＝，又a＞0，∴a＝2.
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，
則由正弦定理得2R＝＝＝，
故R＝，從而S＝πR2＝.
20．解　(1)選擇條件①：由＋＋1＝及正弦定理，
得＋＋1＝，
即a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝＝－，
因?yàn)?選擇條件②：由(a＋2b)cos C＋ccos A＝0及正弦定理，
得(sin A＋2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，
即sin Acos C＋cos Asin C
＝－2sin Bcos C.
即sin(A＋C)＝－2sin Bcos C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
即sin B＝－2cos Csin B，
因?yàn)?所以cos C＝－，
因?yàn)?選擇條件③：由asin ＝csin A及正弦定理，
得sin Asin ＝sin Csin A，
因?yàn)?所以sin ＝sin C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
則sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos .
因?yàn)?則sin ＝，故C＝.
(2)因?yàn)椤螦DC＋∠BDC＝π，
所以＋＝0，
整理得2CD2＝a2＋b2－8，
在△ABC中，由余弦定理得42＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab.
因?yàn)閍b≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，
所以16＝a2＋b2＋ab≤a2＋b2＋
(a2＋b2)＝(a2＋b2)，
即a2＋b2≥，
所以2CD2＝a2＋b2－8≥－8＝，即CD≥，
即CD長(zhǎng)度的最小值為.
21．解　(1)由sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)及正弦定理，
得absin C＝(a2＋b2－c2)，
又由余弦定理得
absin C＝abcos C.
所以tan C＝，C為銳角，
則C＝，
所以sin C＝.
(2)由2R＝＝得R＝1.
所以△ABC的周長(zhǎng)為
a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B)＋
＝2(sin A＋sin B)＋
＝2sin A＋2sin B＋
＝2sin A＋2sin＋
＝3sin A＋cos A＋
＝2sin＋，
因?yàn)锳∈，－A∈，
所以A∈，
A＋∈，
所以2sin＋∈(3＋，3]，
即a＋b＋c∈(3＋，3]．
所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(3＋，3]．
優(yōu)化提升
22．A
23．B
24.A
25．ABD
26.
27．3
28.　4
29.10 000＋25 000
30.解　(1)在△OBC中，BC＝4(－1)，
OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得
cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，
于是的長(zhǎng)為×4＝.
(2)設(shè)∠AOC＝θ，θ∈，
則∠BOC＝－θ，
S四邊形OACB＝S△AOC＋S△BOC
＝×4×4sin θ＋×4×4·sin
＝24sin θ＋8cos θ＝16sin.
由于θ∈，所以θ＋∈，
當(dāng)θ＝時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值16.4部分第1節(jié)《任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實(shí)+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1. －660°等于(　　)
A．－π rad B．－π rad
C．－π rad D．－π rad
2．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，則sin α＝________，tan α＝________.
3．某次考試時(shí)間為120分鐘，則從開(kāi)始到結(jié)束，墻上時(shí)鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．
【知識(shí)歸納】
1．角的概念
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的 旋轉(zhuǎn)所成的圖形．
(2)分類
(3)相反角：我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為 .
(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝_________
____________．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長(zhǎng)度等于 的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示．
(2)公式
角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長(zhǎng)用l表示)
角度與弧度的換算 1°＝ rad；1 rad＝________
弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l＝_______
扇形面積公式 S＝________＝_______
3．任意角的三角函數(shù)
(1)任意角的三角函數(shù)的定義：
設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．
常用結(jié)論：
1．象限角
2．軸線角
【題型展示】
題型一　角及其表示
例1　(1)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_(kāi)_______．
(2)若α是第二象限角，則(　　)
A．－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若點(diǎn)P(cos θ，sin θ)與點(diǎn)Q(,)關(guān)于y軸對(duì)稱，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的θ＝________.
(2)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
題型二　弧度制及其應(yīng)用
例2　某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(0(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)記銘牌的截面面積為y，試問(wèn)x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值．
跟蹤訓(xùn)練2　已知一扇形的圓心角為α(α>0)，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，半徑為r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧長(zhǎng)；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．
題型三　三角函數(shù)的概念
例3　(1)若sin αtan α<0，且>0，則角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，則實(shí)數(shù)a的值是(　　)
A．－2 B.
C．－2或 D．1
(3)(多選)已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，－)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．sin θ＝－
B．α為鈍角
C．cos α＝－
D．點(diǎn)(tan θ，sin α)在第一象限
跟蹤訓(xùn)練3　(1)sin 2cos 3tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
(2)若角α的終邊上有一點(diǎn)P(a,2a)(a≠0)，則2sin α－cos α的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.或－
(3)若A(1，a)是角θ終邊上的一點(diǎn)，且sin θ＝，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
2.給出下列四個(gè)命題：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知點(diǎn)P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的終邊上，且θ∈[－2π，0)，則角θ的大小為(　　)
A.－ B. C.－ D.－
4．如果點(diǎn)P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號(hào)探測(cè)器，順利將探測(cè)器送入預(yù)定軌道，經(jīng)過(guò)兩次軌道修正，嫦娥五號(hào)順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號(hào)從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時(shí)把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號(hào)距離月球表面400 千米，已知月球半徑約為1 738 千米，則嫦娥五號(hào)繞月每旋轉(zhuǎn)弧度，飛過(guò)的路程約為(取π≈3.14)(　　)
A．1 069千米 B．1 119千米
C．2 138千米 D．2 238千米
6.屏風(fēng)文化在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，可追溯到漢代．某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計(jì)了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長(zhǎng)為3.6 m，內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)為1.2 m，徑長(zhǎng)(外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差)為1.2 m，若不計(jì)外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為(　　)
A．2.58 m2 B．2.68 m2
C．2.78 m2 D．2.88 m2
7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，卷一《方田》中有如下兩個(gè)問(wèn)題：
[三三]今有宛田，下周三十步，徑十六步.問(wèn)為田幾何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，徑五十一步.問(wèn)為田幾何？
翻譯為：[三三]現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑長(zhǎng)16步.問(wèn)這塊田面積是多少？
[三四]又有一扇形田，弧長(zhǎng)99步，直徑長(zhǎng)51步.問(wèn)這塊田面積是多少？
則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.問(wèn)題[三三]中扇形的面積為240平方步
B.問(wèn)題[三四]中扇形的面積為平方步
C.問(wèn)題[三三]中扇形的面積為60平方步
D.問(wèn)題[三四]中扇形的面積為平方步
8.在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若tan αA. B. C. D.
9．與－2 023°終邊相同的最小正角是(　　)
A．137° B．133° C．57° D．43°
10．在平面直角坐標(biāo)系中，若角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P()，則cos θ等于(　　)
A. B．－ C. D．－
11．如圖所示的時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為4：30，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為α(0<α≤π)．若一個(gè)半徑為1的扇形的圓心角為α，則該扇形的面積為(　　)
A. B. C. D.
12.若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為(　　)
A.
B.
C.
D.
13.(多選)下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(3k，4k)(k≠0)，則sin α＝
B.若α是第一象限角，則為第一或第三象限角
C.若扇形的周長(zhǎng)為6，半徑為2，則其圓心角的大小為1弧度
D.若0＜α＜，則sin α＜tan α
14.(多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，m)(m＜0)，則下列各式的值恒大于0的是(　　)
A. B.cos α－sin α
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
15.若α＝1 560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________.
16.－2 022°角是第________象限角，與－2 022°角終邊相同的最小正角是________，最大負(fù)角是________.
17.已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)(2，－1)在終邊上，則cos 2α＝________.
18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在角的終邊上，且|OP|＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
19．已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角α的最小正值為_(kāi)_______．
20.數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫(huà)法：先畫(huà)等邊△ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π，則其面積是________．
21．已知＝－，且lg(cos α)有意義．
(1)試判斷角α所在的象限；
(2)若角α的終邊上一點(diǎn)M()，且|OM|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值及sin α的值．
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)A(1,0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng)．
(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－，求sin α的值和與角α終邊相同的角β的集合；
(2)若α∈(0,]，請(qǐng)寫(xiě)出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式．(注：弓形是指在圓中由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形)
優(yōu)化提升
23．已知△ABC為銳角三角形，若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(sin A－cos B，cos A－sin C)，則＋＋的值為(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
24．在北京冬奧會(huì)短道速滑混合接力的比賽中，中國(guó)隊(duì)以2分37秒348的成績(jī)獲得金牌．如圖，短道速滑的比賽場(chǎng)地的內(nèi)圈半圓的彎道計(jì)算半徑為8.5 m，直道長(zhǎng)為28.85 m，點(diǎn)O為半圓的圓心，點(diǎn)N為彎道與直道的連接點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員沿滑道逆時(shí)針滑行，在某次短道速滑比賽最后一圈的沖刺中，運(yùn)動(dòng)員小夏在彎道上的P點(diǎn)處成功超過(guò)所有對(duì)手，并領(lǐng)先到達(dá)終點(diǎn)Q(終點(diǎn)Q為直道的中點(diǎn))．若從P點(diǎn)滑行到Q點(diǎn)的距離為31.425 m，則∠PON等于(　　)
A. B. C．2 D.
25.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書(shū)時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形中較小的銳角為α，則sin αcos α的值為(　　)
A. B. C. D.
26．在平面直角坐標(biāo)系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為(　　)
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)
D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
27在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的始邊為x軸的非負(fù)半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，已知角α的終邊l與單位圓交于點(diǎn)A(0.6，m)，將l繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與單位圓交于點(diǎn)B(x，y)，若tan α＝－，則x＝(　　)
A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－0.8
28．(多選)已知點(diǎn)P(sin x－cos x，－3)在第三象限，則x可能位于的區(qū)間是(　　)
A. B.
C. D.
29.(多選)如圖，A，B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，∠BOA＝60°，質(zhì)點(diǎn)A以1 rad/s的角速度按逆時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B以2 rad/s的角速度按順時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，則(　　)
A.經(jīng)過(guò)1 s后，∠BOA的弧度數(shù)為＋3
B.經(jīng)過(guò) s后，扇形AOB的弧長(zhǎng)為
C.經(jīng)過(guò) s后，扇形AOB的面積為
D.經(jīng)過(guò) s后，A，B在單位圓上第一次相遇
30.一扇形的圓心角為，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積的比值為_(kāi)_______.
31.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2，1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
32．如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD(頂點(diǎn)A與P重合)沿圓周逆時(shí)針滾動(dòng)．若從點(diǎn)A離開(kāi)圓周的這一刻開(kāi)始，正方形滾動(dòng)至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動(dòng)了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時(shí)，正方形滾動(dòng)了________輪，此時(shí)點(diǎn)A走過(guò)的路徑的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．C　
2．－　－
3.－4π
【知識(shí)歸納】
1．(1)端點(diǎn)　(2)正角　負(fù)角　零角
象限角　(3)－α
(4){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
2．(1)半徑長(zhǎng)　(2)°　|α|r
lr　|α|r2
【題型展示】
例1 (1)－675°和－315°
(2)D
跟蹤訓(xùn)練1 (1)
(2)A
例2解　(1)根據(jù)題意，可算得＝θx，＝10θ.
因?yàn)锳B＋CD＋＋＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，
所以θ＝(0(2)根據(jù)題意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ·(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2＋，
當(dāng)x＝時(shí)，ymax＝.
綜上所述，當(dāng)x＝時(shí)，銘牌的截面面積最大，且最大面積為.
跟蹤訓(xùn)練2 解　(1)α＝35°＝35× rad
＝π rad，
扇形的弧長(zhǎng)l＝αr＝π×8
＝π(cm)．
(2)方法一　由題意知2r＋l＝16，
∴l(xiāng)＝16－2r(0則S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
當(dāng)r＝4(cm)時(shí)，Smax＝16(cm2)，
l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2，
∴S的最大值是16 cm2，此時(shí)扇形的半徑是4 cm，圓心角α＝2 rad.
方法二　S＝lr＝l·2r≤·2＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)l＝2r，即r＝4(cm)時(shí)，S的最大值是16 cm2.
此時(shí)扇形的圓心角α＝2 rad.
例3 (1)B　(2)B　(3)ACD
跟蹤訓(xùn)練3 (1)A　(2)D
(3)
基礎(chǔ)夯實(shí)
1.C
2.C
3.D
4.B　
5.D　
6.D
7.B
8.C
9．A　
10.D　
11.C　
12.D
13.BCD
14.AB
15.120°或－240°
16.二　138°　－222°
17.
18.(－1，)
19.
20．2π－2
21．解　(1)由＝－，
得sin α<0，
由lg(cos α)有意義，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因?yàn)閨OM|＝1，
所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α為第四象限角，故m<0，
從而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
22．解　(1)由題意知，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－，可得B的坐標(biāo)為，∴sin α＝，
于是α＝＋2kπ，k∈Z，
與角α終邊相同的角β的集合為.
(2)△AOB的高為1×cos ，
AB＝2sin ，
故S△AOB＝×2sin ×cos
＝sin α，
故弓形AB的面積S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈.
優(yōu)化提升
23．B
24．C
25．B
26．D
27.B
28．AD
29.ABD
30.
31.(2－sin 2，1－cos 2)
32．3　(＋2)π

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