資源簡介

第5部分第1節《平面向量的概念及線性運算》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．下列各式化簡結果正確的是(　　)
A.＋＝
B.＋＋＋＝
C.＋－＝0
D.－－＝
2．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若a，b都為非零向量，則使＋＝0成立的條件是a與b反向共線
D．若a＝b，b＝c，則a＝c
3．已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.
【知識歸納】
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小稱為向量的 ．
(2)零向量：長度為 的向量，記作 ．
(3)單位向量：長度等于 長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共線向量，規定：零向量與任意向量 ．
(5)相等向量：長度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向 的向量．
2．向量的線性運算
向量運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 交換律：a＋b＝ ；結合律：(a＋b)＋c＝________
減法 a－b＝a＋(－b)
數乘 |λa|＝ ，當λ>0時，λa的方向與a的方向 ；當λ<0時，λa的方向與a的方向 ；當λ＝0時，λa＝ λ(μa)＝ ；(λ＋μ)a＝ ；λ(a＋b)＝
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使 .
常用結論：
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點，O為平面內任意一點，則＝(＋)．
3．若A，B，C是平面內不共線的三點，則＋＋＝0 P為△ABC的重心，＝(＋)．
4．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【題型展示】
題型一　平面向量的基本概念
例1　(1)如圖，在正△ABC中，D，E，F均為所在邊的中點，則以下向量和相等的是(　　)
A. B. C. D.
(2)(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．單位向量都相等
B．任一向量與它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，與方向無關
D．若a與b是相反向量，則|a|＝|b|
跟蹤訓練1　(1)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為(　　)
A. B. C. D.
(2)(多選)下列命題中正確的是(　　)
A．向量的長度與向量的長度相等
B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反
C．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
D．兩個終點相同的向量，一定是共線向量
題型二　平面向量的線性運算
命題點1　向量加、減法的幾何意義
例2　已知單位向量e1，e2，…，e2 023，則|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
命題點2　向量的線性運算
例3　在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記＝m，＝n，則等于(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
命題點3　根據向量線性運算求參數
例4　在△ABC中，＝2，＝2，P為線段DE上的動點，若＝λ＋μ，λ，μ∈R，則λ＋μ等于(　　)
A．1 B. C. D．2
跟蹤訓練2　(1)P是△ABC所在平面上一點，滿足＋＋＝2，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則(　　)
A．S1＝4S2 B．S1＝3S2
C．S1＝2S2 D．S1＝S2
(2)五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫成的星星圖形，有許多國家的國旗設計都包含五角星，如中華人民共和國國旗．如圖，在正五角星中，每個角的角尖為36°，則下列說法正確的是(　　)
A.＋＝0 B.∥
C.＋＝2 D.＝＋
(3)在△ABC中，P是BC上一點，若＝2，＝λ＋μ，則2λ＋μ＝________.
題型三　共線定理及其應用
例5　已知O，A，B是不共線的三點，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；
(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.
跟蹤訓練3　(1)如圖，△ABC中，點M是BC的中點，點N滿足＝，AM與CN交于點D，＝λ，則λ等于(　　)
A. B. C. D.
(2)若a，b是兩個不共線的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三點共線，則k等于(　　)
A．－1 B．1 C. D．2
基礎夯實
1．化簡2(a－3b)－3(a＋b)的結果為(　　)
A．a＋4b B．－a－9b
C．2a＋b D．a－3b
2.已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，則(　　)
A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線
C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線
3.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A.0 　　　 B.
C. 　　　 D.
4.矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若＝λ＋μ(λ，μ為實數)，則λ2＋μ2＝(　　)
A. B. C.1 D.
5.在△ABC中，點M為AC上的點，且＝，若＝λ＋μ，則λ－μ的值是(　　)
A.1 B. C. D.
6．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，＝2，且＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知向量e1，e2是兩個不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ等于(　　)
A．2 B．－2 C．－ D.
8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝，若OC與線段AB交于點P，且滿足＝λ＋μ，||＝，則λ＋μ的最大值為(　　)
A. B．1 C. D．2
9.已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是(　　)
A.a＋b＝0
B.a＝b
C.a與b共線反向
D.存在正實數λ，使a＝λb
10．設a，b是平面內兩個向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
11．已知向量a和b不共線，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，D三點共線，則m等于(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－2
12．在邊長為1的正方形ABCD中，設＝a，＝b，＝c，則|a－b＋c|等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
13．(多選)下列命題中，正確的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，則a∥c
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等或相反
D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同
14.(多選)設點M是△ABC所在平面內一點，則下列說法正確的是(　　)
A.若＝＋，則點M是邊BC的中點
B.若＝2－，則點M在邊BC的延長線上
C.若＝－－，則點M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，則△MBC的面積是△ABC面積的
15．設向量a，b不平行，向量ta＋b與a＋3b平行，則實數t的值為________．
16．已知△ABC的重心為G，經過點G的直線交AB于D，交AC于E，若＝λ，＝μ，則＋＝________.
17.設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝____________.
18.在銳角△ABC中，＝3，＝x＋y(x，y∈R)，則＝________.
19.已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正確命題有________.
20.已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數t的值；若不存在，請說明理由.
21.如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點，且靠近B點，E，F分別為AC，AD的三等分點，且分別靠近A，D兩點，設＝a，＝b.
(1)試用a，b表示，，；
(2)證明：B，E，F三點共線.
優化提升
22．已知M為△ABC的重心，D為BC的中點，則下列等式成立的是(　　)
A．||＝||＝||
B.＋＋＝0
C.＝＋
D．S△MBC＝S△ABC
23．設P，Q為△ABC內的兩點，且＝＋，＝＋，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為(　　)
A. B. C. D.
24．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若－4＋3＝0，則等于(　　)
A. B. C. D.
25．(多選)設點M是△ABC所在平面內一點，則下列說法正確的是(　　)
A．若＝，則＝＋
B．若＝2－3，則點M，B，C三點共線
C．若點M是△ABC的重心，則＋＋＝0
D．若＝x＋y且x＋y＝，則△MBC的面積是△ABC面積的
26.(多選)瑞士數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心間的距離是垂心和重心間的距離之半.這個定理就是著名的歐拉線定理.設△ABC中，點O，H，G分別是其外心、垂心、重心，則下列四個選項中結論正確的是(　　)
A.＝2
B.＋＋＝0
C.設BC邊的中點為D，則有＝3
D.＝＝
27．在△ABC中，點D在線段AC上，且滿足||＝||，點Q為線段BD上任意一點，若實數x，y滿足＝x＋y，則＋的最小值為________．
28．如圖，已知正六邊形ABCDEF，M，N分別是對角線AC，CE上的點，使得＝＝r，當r＝________時，B，M，N三點共線．
29.如圖，在△ABC中，＝，P是BN上一點，若＝t＋，則實數t的值為________.
30.經過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設＝m，＝n，m，n∈R＋.
(1)證明：＋為定值；
(2)求m＋n的最小值.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．B　2.BCD　3.－
【知識歸納】
1．(1)方向　長度(或模)　(2)0　0　(3)1個單位　(4)相反　平行
(5)相同　(6)相反
2．b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　0　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb
3．b＝λa
【題型展示】
例1 (1)C
(2)DD
跟蹤訓練1 (1)D　(2)AC
例2 2 023　0
例3 B
例4 B
跟蹤訓練2 (1)B　(2)D　(3)
例5 證明　(1)若m＋n＝1，
則＝m＋(1－m)，
＝[m＋(1－m)]，
故m＋(1－m)
＝m＋(1－m)，
即m(－)＝(1－m)(－)，
m＝(1－m)，即，共線，
又，有公共點P，
則A，P，B三點共線．
(2)若A，P，B三點共線，則存在實數λ，使得＝λ，
變形得－＝λ(－)，
即(1＋λ)＝λ＋，
＝＝＋，
又＝m＋n，
＋＝1，
故m＋n＝1.
跟蹤訓練3 (1)C　(2)B
基礎夯實
1．B　
2.A
3.D
4.A
5.C
6.D　
7.C
8．D
9.D
10.B　
11.A　
12.B　
13.BC　
14.ACD
15.　
16.3
17.
18.3
19.②③④
20.解　由題設知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，
C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數k，使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因為a，b不共線，
所以有解得t＝.
故存在實數t＝使C，D，E三點在一條直線上.
21.(1)解　在△ABC中，因為＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)證明　因為＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，
所以＝，與共線，
且有公共點B，
所以B，E，F三點共線.
優化提升
22．D
23．D
24．B
25．ACD
26.AB
27．4＋2
28.
29.
30.(1)證明　設＝a，＝b.
由題意知＝×(＋)
＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝a＋b，
由P，G，Q三點共線得，
存在實數λ，使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
從而
消去λ得＋＝3.
(2)解　由(1)知，＋＝3，
于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.
當且僅當m＝n＝時，m＋n取得最小值，最小值為.第5部分第2節《平面向量基本定理及坐標表示》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列結論成立的是(　　)
A．a－c與b共線 B．b＋c與a共線
C．a與b－c共線 D．a＋b與c共線
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點P1)，則點P的坐標為(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
3．下列各組向量中，可以作為基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝()
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
【知識歸納】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內的兩個 向量，那么對于這一平面內的任一向量a，
一對實數λ1，λ2，使a＝ .
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個 ．
2．平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個 的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝ ，a－b＝ ，
λa＝ ，|a|＝ .
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則 坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝ ，||＝ .
4．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b .
常用結論：
已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為.
【題型展示】
題型一　平面向量基本定理的應用
例1　(1)已知在△ABC中，＝a，＝b，D，F分別為BC，AC的中點，P為AD與BF的交點，若＝xa＋yb，則x＋y＝________.
(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且＝2，則等于(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
跟蹤訓練1　(1)如圖，已知平面內有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.
(2)(多選)下列命題中正確的是(　　)
A．若p＝xa＋yb，則p與a，b共面
B．若p與a，b共面，則存在實數x，y使得p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，則P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，則存在實數x，y使得＝x＋y
題型二　平面向量的坐標運算
例2　(1)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為(　　)
A. B.
C．2 D.
(2)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，則點D的坐標為(　　)
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
跟蹤訓練2　(1)已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，用基底表示c，則(　　)
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
(2)已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且＝－2，則P點的坐標為(　　)
A．(2,4) B．(－14,16)
C．(6,1) D．(22，－11)
題型三　向量共線的坐標表示
命題點1　利用向量共線求參數
例3　已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
命題點2　利用向量共線求向量或點的坐標
例4　設點A(2,0)，B(4,2)，若點P在直線AB上，且||＝2||，則點P的坐標為(　　)
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
跟蹤訓練3　(1)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝，若m＝(c－，a－b)，n＝(a－b，c＋)，且m∥n，則△ABC的面積為(　　)
A．3 B. C. D．3
(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，則實數λ的值為(　　)
A. B. C. D.
基礎夯實
1.在如圖所示的平面直角坐標系中，向量的坐標是(　　)
A.(2，2)
B.(－2，－2)
C.(1，1)
D.(－1，－1)
2.在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
3.如圖，已知＝a，＝b，＝4，＝3，則＝(　　)
A.b－a 　　 B.a－b
C.a－b 　　 D.b－a
4．(2023·南京模擬)設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于(　　)
A. B. C. D.
5.如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓弧上的兩個三等分點，＝a，＝b，則等于(　　)
A.a－b B．a－b
C．－a＋b D．－a＋b
7.如圖，在正方形ABCD中，P，Q分別是邊BC，CD的中點，＝x＋y，則x等于(　　)
A. B.
C. D.
8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構成三角形，則實數m不可能是(　　)
A．－2 B. C．1 D．－1
9.已知等邊三角形ABC的邊長為4，O為三角形內一點，且＋＋2＝0，則△AOB的面積是(　　)
A.4 B.
C. D.2
10.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分別是AB，AD上的動點，且滿足2||＋||＝1，設＝x＋y，則2x＋3y的最小值為(　　)
A.48 B.49 C.50 D.51
11．如果e1，e2是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一個基底的是(　　)
A．e1與e1＋e2
B．e1－2e2與e1＋2e2
C．e1＋e2與e1－e2
D．e1－2e2與－e1＋2e2
12．已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，則|a－b|等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知點P是△ABC所在平面內一點，且＋＋＝0，則(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－－
D.＝－
14.(多選)設a是已知的平面向量且a≠0，關于向量a的分解，有如下四個命題(向量b，c和a在同一平面內且兩兩不共線)，則真命題是(　　)
A.給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c
B.給定向量b和c，總存在實數λ和μ，使a＝λb＋μc
C.給定單位向量b和正數μ，總存在單位向量c和實數λ，使a＝λb＋μc
D.給定正數λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc
15．(多選)若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0，那么下列對a，b的判斷不正確的是(　　)
A．a與b一定共線 B．a與b一定不共線
C．a與b一定垂直 D．a與b中至少有一個為0
16．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b與2a－nb共線，則mn＝________.
17．若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD為BC邊上的高，O為AD上靠近點A的三等分點，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ－2μ＝________.
18.已知O為坐標原點，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，則||＝________.
19.已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，則＝________.
20.已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內一點，且∠DAB＝60°，設＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則＝________.
21.已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線，
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值.
22.如圖，在△ABC中，＝＋.
(1)求△ABM與△ABC的面積之比；
(2)若N為AB中點，與交于點P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值.
優化提升
23．在平行四邊形ABCD中，M，N分別是AD，CD的中點，＝a，＝b，則等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
24．在△ABC中，D是直線AB上的點．若2＝＋λ，記△ACB的面積為S1，△ACD的面積為S2，則等于(　　)
A. B. C. D.
25.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　)
A.3 B.2 C. D.2
26.(多選)在△ABC中，D為AC上一點且滿足＝，若P為BD上一點，且滿足＝λ＋μ(λ，μ為正實數)，則下列結論正確的是(　　)
A.λμ的最小值為16
B.λμ的最大值為
C.＋的最大值為16
D.＋的最小值為4
27．(多選)已知集合E是由平面向量組成的集合，若對任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有(　　)
A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥ln x}
C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1}
28．已知0<θ<π，向量a＝，b＝(1，sin θ)，且a∥b，則θ＝________.
29．如圖，扇形的半徑為1，且⊥，點C在弧AB上運動，若＝x＋y，則2x＋y的最小值是________．
30.如圖，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝，⊙E的半徑為1，且E為NK的中點，P為圓E上的動點，設＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值是________．
31.如圖，在同一個平面內，三個單位向量，，滿足條件：與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.A　3.D
【知識歸納】
1．不共線　有且只有　λ1e1＋λ2e2
基底
2．互相垂直
3．(1)(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)
　(2)①終點
②(x2－x1，y2－y1)
4．x1y2－x2y1＝0
【題型展示】
例1 (1)－
(2)C
跟蹤訓練1 (1)6
(2)AC
例2 (1)B
(2)D
跟蹤訓練2 (1)D　(2)A
例3 B
例4 C
跟蹤訓練3 (1)C　(2)B
基礎夯實
1.D
2.B
3.D
4.A　
5.C
7．C
8．C
9.D
10.B
11．D　
12.D　
13.D　
14.AB
15．ACD　
16．－2　
17.0
18.
19.－
20.
21.解　(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
∵ka－b與a＋2b共線，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一　∵A，B，C三點共線，
∴＝λ，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴解得m＝.
法二　＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三點共線，∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝.
22.解　(1)在△ABC中，
由＝＋，
得4－3－＝0，
即3(－)＝－，即3＝，
即點M是線段BC上的靠近B的四等分點，
∴△ABM與△ABC的面積之比為.
(2)∵＝＋，
＝x＋y(x，y∈R)，
∥，＝，
∴設＝λ＝＋
＝＋.
∵N，P，C三點共線，∴＋＝1，
解得λ＝，x＝＝，y＝λ＝，
故x＋y＝.
優化提升
23．B
24．D
25.A
26.BD
27．ACD
28.
29．1
30.
31.解　以O為原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，
由tan α＝7知α為銳角，
則sin α＝，cos α＝，
故cos(α＋45°)＝－，sin(α＋45°)＝.
∴點B，C的坐標分別為
，，
∴＝，＝.
又＝m＋n，
∴＝m(1，0)＋n，
∴解得
∴m＋n＝＋＝.第5部分第3節《平面向量的數量積及應用》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝，且a與b的夾角為30°，那么a·b等于(　　)
A．1 B. C．3 D．3
2．已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.
3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，則a·b的值等于________；a與b夾角的余弦值等于________．
【知識歸納】
1．向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
2．平面向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量 叫做向量a與b的數量積，記作 .
3．平面向量數量積的幾何意義
設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，＝a，＝b，過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ．記為 .
4．向量數量積的運算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ ．
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量數量積的有關結論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
幾何表示 坐標表示
數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝__________
模 |a|＝_______ |a|＝_________
夾角 cos θ＝_____ cos θ＝___________
a⊥b的充要條件 a·b＝0
|a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
常用結論：
1．平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有關向量夾角的兩個結論
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.
【題型展示】
題型一　平面向量數量積的基本運算
例1　(1)在等邊△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，則·＝________.
(2)在平面四邊形ABCD中，已知＝，P為CD上一點，＝3，||＝4，||＝3，與的夾角為θ，且cos θ＝，則·等于(　　)
A．8 B．－8 C．2 D．－2
跟蹤訓練1　(1)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________.
(2)已知正方形ABCD的對角線AC＝2，點P在另一條對角線BD上，則·的值為(　　)
A．－2 B．2 C．1 D．4
題型二　平面向量數量積的應用
命題點1　向量的模
例2　已知向量a和b的夾角為30°，|a|＝1，|b|＝，則|a＋2b|等于(　　)
A．1＋2 B.
C. D．3
命題點2　向量的夾角
例3　若e1，e2是夾角為的兩個單位向量，則a＝2e1＋e2與b＝－3e1＋2e2的夾角為(　　)
A. B.
C. D.
命題點3　向量的垂直
例4　已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，則m＝________.
跟蹤訓練2　(1)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t等于(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
(2)(多選)已知e1，e2是單位向量，且e1·e2＝，若向量a滿足e1·a＝2，則下列選項正確的是(　　)
A．|e1－e2|＝1 B．e1在e2上的投影向量的模為
C．e1與e1－e2的夾角為 D．a在e1上的投影向量為2e1
題型三　平面向量的實際應用
例5　在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力為G，兩個拉力分別為F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1與F2的夾角為θ，當兩人拎起行李包時，下列結論正確的是(　　)
A．|G|＝|F1|＋|F2|
B．當θ＝時，|F1|＝|G|
C．當θ角越大時，用力越省
D．當|F1|＝|G|時，θ＝
跟蹤訓練3　長江流域內某地南北兩岸平行，如圖所示，已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，設v1和v2所成的角為θ(0<θ<π)，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則cos θ等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
題型四　平面向量在幾何中的應用
例6　(1)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中點，＝2，試用a，b表示為________，若⊥，則∠ACB的最大值為________．
(2)如圖，在△ABC中，cos∠BAC＝，點D在線段BC上，且BD＝3DC，AD＝，則△ABC的面積的最大值為________．
跟蹤訓練4　(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D點滿足＝2，AD＝，則BC的長為(　　)
A．3 B．3 C．3 D．6
(2)在△ABC中，已知·＝0，且·＝，則△ABC為(　　)
A．等邊三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三邊均不相等的三角形
題型五　和向量有關的最值(范圍)問題
命題點1　與平面向量基本定理有關的最值(范圍)問題
例7　如圖，在△ABC中，點P滿足2＝，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為(　　)
A．3 B．3 C．1 D.
命題點2　與數量積有關的最值(范圍)問題
例8　已知在邊長為2的正△ABC中，M，N分別為邊BC，AC上的動點，且CN＝BM，則·的最大值為________．
命題點3　與模有關的最值(范圍)問題
例9　已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是(　　)
A．[－1，＋1] B．[－1，]
C．[，＋1] D．[2－，2＋]
跟蹤訓練5　(1)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內的動點，且PC＝1，則·的取值范圍是(　　)
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
(2)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，△ABC所在平面內的點P滿足|－－|＝1，則||的最小值為(　　)
A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1
(3)已知平行四邊形ABCD的面積為9，∠BAD＝，E為線段BC的中點．若F為線段DE上的一點，且＝λ＋，則||的最小值為(　　)
A. B．3 C. D.
基礎夯實
1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，則實數k＝(　　)
A.－ B.0 C.3 D.
2.已知a，b是相互垂直的單位向量，與a，b共面的向量c滿足a·c＝b·c＝2，則c的模為(　　)
A.1 B. C.2 D.2
3．已知a，b為非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，則a與b夾角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量為b，則a·b的值為(　　)
A．3 B. C．2 D.
5．已知菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，點P是BC的中點，則·等于(　　)
A．0 B. C．3 D.
6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圓圓心為O，則·等于(　　)
A．8 B. C．8 D．18
7.在以OA為邊，以OB為對角線的菱形OABC中，＝(4,0)，＝(6，a)，則∠AOC等于(　　)
A. B. C. D.
8．已知P是△ABC所在平面內一點，有下列四個等式：
甲：＋＋＝0；
乙：·(－)＝·(－)；
丙：||＝||＝||；
丁：·＝·＝·.
如果只有一個等式不成立，則該等式為(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9.若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為(　　)
A. B. C. D.
10.在平行四邊形ABCD中，已知＝，＝，||＝，||＝，則·＝(　　)
A.－9 B.－ C.－7 D.－
11．若|m|＝4，|n|＝6，m與n的夾角為135°，則m·n等于(　　)
A．12 B．12 C．－12 D．－12
12．已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，則|a＋b|等于(　　)
A．5 B．6 C. D．4
13.(多選)如圖，點A，B在圓C上，則·的值(　　)
A.與圓C的半徑有關
B.與圓C的半徑無關
C.與弦AB的長度有關
D.與點A，B的位置有關
14.(多選)下列關于向量a，b，c的運算，一定成立的是(　　)
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a|·|b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
15．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，則a與b的夾角為________．
16．設向量a，b的夾角的余弦值為，且|a|＝1，|b|＝3，則(2a＋b)·b＝________.
17.若向量a，b滿足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，則|b|＝________.
18.已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，則a·b＋b·c＋c·a＝________.
19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為________.
20.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.
21.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值.
優化提升
22．四邊形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，則這個四邊形是(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形
23.如圖，在△ABC中，＝，E為線段AD上的動點，且＝x＋y，則＋的最小值為(　　)
A．8 B．9 C．12 D．16
24．在△ABC中，A＝，G為△ABC的重心，若·＝·＝6，則△ABC外接圓的半徑為(　　)
A. B. C．2 D．2
25．在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，點P為平行四邊形ABCD所在平面內一點，則(＋)·的最小值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
26．設向量a，b，c滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，則|c|的最大值等于(　　)
A．1 B．2 C．1＋ D.
27．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，每逢新春佳節，我國許多地區的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖①是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，已知圖②中正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓的直徑，則·的取值范圍是(　　)
A．[1,2] B．[2,3]
C.[] D.[]
28．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夾角是銳角，則m的取值范圍是(　　)
A．(－6，＋∞)
B.()
C.()∪()
D.()∪()
29．(多選)已知點O在△ABC所在的平面內，則以下說法正確的有(　　)
A．若＋＋＝0，則點O為△ABC的重心
B．若·＝·＝0，則點O為△ABC的垂心
C．若(＋)·＝(＋)·＝0，則點O為△ABC的外心
D．若·＝·＝·，則點O為△ABC的內心
30．(多選)如圖，點A，B在圓C上，則·的值(　　)
A．與圓C的半徑有關
B．與圓C的半徑無關
C．與弦AB的長度有關
D．與點A，B的位置有關
31．(多選)一物體受到3個力的作用，其中重力G的大小為4 N，水平拉力F1的大小為3 N，另一力F2未知，則(　　)
A．當該物體處于平衡狀態時，|F2|＝5 N
B．當F2與F1方向相反，且|F2|＝5 N時，物體所受合力大小為0
C．當物體所受合力為F1時，|F2|＝4 N
D．當|F2|＝2 N時，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N
32．(多選)已知O為坐標原點，點A(1,0)，P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，則下列選項正確的是(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C.·＝·
D.·＝·
33.(多選)已知O為坐標原點，點P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，則(　　)
A.||＝||
B.||＝||
C.·＝·
D.·＝·
34．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|2＋3|的最小值為________．
35．已知P是邊長為4的正△ABC所在平面內一點，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，則·的最小值為________．
36．在△ABC中，D為AC上一點且滿足＝，若P為BD上一點，且滿足＝λ＋μ，λ，μ為正實數，則λμ的最大值為________．
37．設點P在單位圓的內接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則＋＋…＋的取值范圍是______________．
38．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中點，F是AB上一點，且·＝0，則·＝________.
39.向量的數量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，a·b＝(||2－||2)，我們稱為極化恒等式．在△ABC中，M是BC中點，AM＝3，BC＝10，則·＝________.
40．在2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節目開始后，一片巨大的“雪花”呈現在舞臺中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數學家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為3，則圖③中·的值為________．
41.已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，M是AB邊上的動點，則|＋|的最小值為________.
42.在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1，0)和點B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O為坐標原點.
(1)若θ＝，設點D為線段OA上的動點，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cosθ，sin θ－2cosθ)，求m·n的最小值及對應的θ值.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.2　3.5　
【知識歸納】
1．∠AOB
2．|a||b|cos θ　a·b
3．投影　投影向量　|a|cos θ e
4．(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c＋b·c
5．x1x2＋y1y2　　　　
x1x2＋y1y2＝0
【題型展示】
例1 (1)22
(2)D
跟蹤訓練1 (1)12
(2)B
例3 C
例4 －
跟蹤訓練2 (1)C　(2)ABD
例5 B
跟蹤訓練3 B
例6 (1)b－a　
(2)
跟蹤訓練4 (1)A
(2)A
例7 A
例8 －
例9 A
跟蹤訓練5 (1)D
(2)C
(3)D
基礎夯實
1.C
2.D
3.B　
4.B　
5.C　
6.A
7．B　
8．B
9.D
10.B
11．C　
12.A　
13.BC
14.ACD
15.　
16.11
17.3
18.－
19.－
20.解　(1)因為a＝(cos x，sin x)，
b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因為x∈[0，π]，所以x＋∈，
從而－1≤cos≤.
于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取得最大值3；
當x＋＝π，即x＝時，f(x)取得最小值－2.
21.解　(1)由題意得(a－c)cos B＝bcos C.
根據正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因為A∈(0，π)，
所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因為|－|＝，所以||＝，即b＝，
根據余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當且僅當a＝c時取等號)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面積S＝acsin B≤，
因此△ABC的面積的最大值為.
優化提升
22．A　
23.D　
24.C　
25.A
26．D
27．B
28．C
29．AC
30.BC　
31．ACD
32．ABD
33.AC
34．7
35．5
36.
37．[12＋2，16]
38．－
39．－16
40．6
41.3
42.解　(1)設D(t，0)(0≤t≤1)，
由題意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝＋，
所以t＝時，|＋|最小，
最小值為.
(2)由題意得C(cos θ，sin θ)，
m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
則m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因為θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以當2θ＋＝，
即θ＝時，sin取得最大值1，
即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值為1－，此時θ＝.第5部分第4節《復數》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．已知復數z滿足z(1＋i)＝2＋3i，則在復平面內z對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i為純虛數，則實數m的值為________．
3．已知復數z滿足(3＋4i)·z＝5(1－i)，則z的虛部是________．
【知識歸納】
1．復數的有關概念
(1)復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中 是復數z的實部， 是復數z的虛部，i為虛數單位．
(2)復數的分類：
復數z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)復數相等：
a＋bi＝c＋di (a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：
a＋bi與c＋di互為共軛復數 (a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模：
向量的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)→復平面內的點Z(a，b)．
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)→平面向量.
3．復數的四則運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則：
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：＝＝＝ (c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復數加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝ ，＝ .
常用結論：
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．復數z的方程在復平面上表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．
【題型展示】
題型一　復數的概念
例1　(1)若復數z滿足i·z＝3－4i，則|z|等于(　　)
A．1 B．5 C．7 D．25
(2)(多選)已知復數z滿足|z|＝|z－1|＝1，且復數z對應的點在第一象限，則下列結論正確的是(　　)
A．復數z的虛部為
B．＝－i
C．z2＝z＋1
D．復數z的共軛復數為－＋i
(3)已知復數z滿足＝i，則＝________.
跟蹤訓練1　(1)若復數z＝的實部與虛部相等，則實數a的值為(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)若i(1－z)＝1，則z＋等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
(3)若z＝1＋i，則|iz＋3|等于(　　)
A．4 B．4 C．2 D．2
題型二　復數的四則運算
例2　(1)若z＝－1＋i，則等于(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
(2)(多選)設復數z1，z2，z3滿足z3≠0，且|z1|＝|z2|，則下列結論錯誤的是(　　)
A．z1＝±z2 B．z＝z
C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3|
跟蹤訓練2　(1)(2＋2i)(1－2i)等于(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(2)已知復數z滿足z·i3＝1－2i，則的虛部為(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
題型三　復數的幾何意義
例3　(1)在復平面內，O為坐標原點，復數z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i對應的點分別為Z1，Z2，則∠Z1OZ2的大小為(　　)
A. B. C. D.
(2)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其中i為虛數單位)是由法國數學家棣莫弗(1667－1754年)發現的，根據棣莫弗公式可知，復數(在復平面內所對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)設復數z在復平面內對應的點為Z，原點為O，i為虛數單位，則下列說法正確的是(　　)
A．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±i
B．若|z＋1|＝1，則點Z的集合為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓
C．若1≤|z|≤，則點Z的集合所構成的圖形的面積為π
D．若|z－1|＝|z＋i|，則點Z的集合中有且只有兩個元素
跟蹤訓練3　(1)已知復數z滿足|z＋i|＝|z－i|，則|z＋1＋2i|的最小值為(　　)
A．1 B．2 C. D.
(2)設復數z滿足|z－1|＝2，z在復平面內對應的點為(x，y)，則(　　)
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
(3)設復數z滿足(1－i)z＝2i，則z在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
基礎夯實
1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數單位)，則(　　)
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
2.已知＝1＋i(其中i為虛數單位)，則復數|z|＝(　　)
A.i B.－i C.1 D.2
3.在復平面內，復數＝(i為虛數單位)，則z對應的點的坐標為(　　)
A.(3，4) B.(－4，3)
C.() D.()
4.復平面內表示復數z＝i(a－i)(a＜0)的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．已知復數z滿足(1－i)2z＝2－4i，其中i為虛數單位，則復數的虛部為(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
6．已知復數z＝，i為虛數單位，則|z|等于(　　)
A．2 B．2 C．2 D．2
7．非零復數z滿足＝－zi，則復數z在復平面內對應的點位于(　　)
A．實軸 B．虛軸
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
8．已知復數z＝(a∈R，i是虛數單位)的虛部是－3，則復數z在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9.設復數z滿足|z－i|＝|z＋i|，i為虛數單位，且z在復平面內對應的點為Z(x，y)，則下列結論一定正確的是(　　)
A.x＝1 B.y＝1 C.x＝0 D.y＝0
10.如果關于x的方程2x2＋3ax＋a2－a＝0至少有一個模等于1的根，那么實數a的值(　　)
A.不存在 B.有一個
C.有三個 D.有四個
11.已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i為虛數單位)，則a＝(　　)
A.－1 B.1 C.－3 D.3
12．復數z＝(i為虛數單位)的虛部是(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
13．若復數z滿足(1＋2i)z＝4＋3i，則等于(　　)
A．－2＋i B．－2－i
C．2＋i D．2－i
14．復數z＝－i5在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
15.已知i為虛數單位，若復數z＝＋i，則復數的虛部為(　　)
A.－ B. C.－i D.i
16.(多選)已知i為虛數單位，復數z＝，則以下說法正確的是(　　)
A.z在復平面內對應的點在第一象限
B.z的虛部是－
C.|z|＝3
D.若復數z1滿足|z1－z|＝1，則|z1|的最大值為1＋
17.若復數(1－2i)(a＋i)是純虛數，則實數a的值為________.
18.若復數z＝i＋i2 022，則＋的模等于________.
19.設O是坐標原點，向量，對應的復數分別為2－3i，－3＋2i.那么向量對應的復數是________.
20.若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一個根，則其另外一個根是________，a＝________.
21．i是虛數單位，設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則xy＝________，|x＋yi|＝________.
22．若復數z滿足z·i＝2－i，則|z|＝________.
優化提升
23．歐拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(其中e＝2.718…，i為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式建立了三角函數與指數函數的關系，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式，下列結論中正確的是(　　)
A．eiπ的實部為0
B．e2i在復平面內對應的點在第一象限
C．|eiθ|＝1
D．eiπ的共軛復數為1
24．若復數(x－3)＋yi(x，y∈R)的模為2，則的最大值為(　　)
A. B. C. D.
25．方程z2－4|z|＋3＝0在復數集內解的個數為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
26．(多選)已知復數z1＝－2＋i(i為虛數單位)，復數z2滿足|z2－1＋2i|＝2，z2在復平面內對應的點為M(x，y)，則下列說法正確的是(　　)
A．復數z1在復平面內對應的點位于第二象限
B.＝－－i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值為3＋2
27.(多選)設z為復數，則下列命題中正確的是(　　)
A.|z|2＝z·
B.z2＝|z|2
C.若|z|＝1，則|z＋i|的最大值為2
D.若|z－1|＝1，則0≤|z|≤2
28.(多選)歐拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i為虛數單位，x∈R)是由瑞士著名數學家歐拉創立的，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的“天橋”.依據歐拉公式，下列選項正確的是(　　)
A.復數e2i對應的點位于第三象限
B.為純虛數
C.復數的模長等于
D.的共軛復數為－i
29.已知復數z滿足是純虛數，則|z2＋z＋3|的最小值為________.
30.已知復數z＝x＋yi(x，y∈R)，且滿足|z－2|＝1，則的取值范圍是________.
31．在數學中，記表達式ad－bc為由所確定的二階行列式．若在復數域內，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，則當＝－i時，z4的虛部為________．
32．投擲兩顆六個面上分別刻有1到6的點數的均勻的骰子，得到其向上的點數分別為m和n，則復數為虛數的概率為________．
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2.－3　3.－
【知識歸納】
1．(1)a　b　(2)＝　≠　＝
(3)a＝c且b＝d　(4)a＝c，b＝－d
(5)|a＋bi|　|z|　
3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i　④＋i
(2)＋
－
【題型展示】
例1 (1)B
(2)AB
(3)＋i
跟蹤訓練1 (1)A　(2)D　(3)D
例2 (1)C
(2)ABC
跟蹤訓練2 (1)D　(2)B
例3 (1)C
(2)C
(3)C
跟蹤訓練3 (1)B　(2)A　(3)B
基礎夯實
1．B　
2.C
3.D
4.D
5.B　
6.C
7．C　
8.D　
9.D
10.C
11.C
12.A　
13.C　
14.C　
15.A
16.AD
17.－2
18.6
19.5－5i
20.2＋3i　13
21.1　　
22.
優化提升
23．C
24．A
25．C　
26．ABD
27.ACD
28.BC
29.
30.
31．－2
32.

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