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創新數學課堂教學 培養學生數學素質

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創新數學課堂教學 培養學生數學素質

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創新數學課堂教學 培養學生數學素質 ????????????????????????????????? [摘要]數學素質是人的素質中最重要的成分之一。有關數學素質的內涵本文從六個方面作出解讀嘗試。但當前課堂教學對數學素質的認識忽視培養漠視,從六個方面對阻礙數學素質培養的因素進行反思,繼而作出創新數學課堂教學的設計和探索:關注學生數學學習準備,開展探究性學習實踐,呵護學生創新思維火花,活化解題思路。 [關鍵詞]數學素質 解讀 反思 創新數學課堂 培養 ????素質是一個人的品格、精神、知識、能力、學識、言談、行為舉止的綜合。數學素質是人的素質中最重要的成分之一。一個人的數學素質好,是指他能從數學的角度來思考問題,“數感”好,有數量概念和規律概念,能夠辯證地看問題,等等。這些素質是在長期的數學知識學習中潛移默化地養成的。課堂教學是素質教育的主渠道,如果教師自覺地實踐探索式、討論式數學教學方法,突破教師中心、書本中心的束縛、突出學生主體主動的、能動的、有價值的數學活動,創新數學課堂教學,就能保障課堂素質教學主渠道的暢通,著力培養學生的數學素質。 ????一、解讀數學素質 ????數學素質是通過數學知識的學習、數學思維方法的訓練、教學能力的培養,使學生養成數學地思維的習慣,形成數學地觀察世界、處理和解決問題的能力。數學素質主要表現在思維活動中,對數學素質的探討如下: ????(一)精確的定量思維和準確的定性思維 ????數學計算是數學課堂上一項重要的數學活動。計算,包括根據法則進行的精確計算、心算和估算。按運算法則進行計算可訓練學生的推理技巧,培養按程序操作的技能,形成按規則辦事的素養和習慣,精確計算是一種定量思維形式 ,有一定的規律可循;心算和估算培養學生全面地把握問題情景、洞察事物本質的能力和對數據特點的正確理解,對算法的合理選擇,對結果合理性的正確判斷等能力。估算是對事物的整體把握,是通過與頭腦中已有數學模型的類比實現的,是對事物本質的直覺判斷,因此是一種定性思維形式,有更大的靈活性和變通性。教學計算中包含著對算法的構造、設計、選擇,包含了豐富的數學實踐,使學生逐漸養成從事智力活動的習慣:計劃自己的工作,尋找完成工作合理的途經,對結果進行評判。是訓練學生的定量思維和定性思維的最佳途經之一。[1] ????(二)數學地看待事物和對事物進行數學抽象的能力 ????數學教學過程中,首先認識事物的相似性,在分析相似性的某些特點的基礎上,以這些特點為標準將事物分類,從而獲得對事物共性的認識,然后選擇適當的詞、符號、圖形等表示之。數學抽象是對學生思維方式的訓練,是對學生進行簡捷、嚴謹、有序的思想表述的訓練,從而使學生獲得了這樣一種素養:面對錯綜復雜的事物,把注意力集中在對所研究問題起關鍵作用的特征上,并用恰當的方法表示出這種特征,以開展思考和交流。 ????(三)對事物本質的洞察力和嚴謹的推理能力 ????在信息時代,人們需要有對錯綜復雜、千變萬化的信息判斷和選擇能力,更需要在分析和評判問題、選擇解決方案中的推理能力。在數學學習中,學生由學習前人的經驗而產生對數學知識的記憶,由記憶而產生有意義的聯想,由類比又產生新聯想,再對聯想到的事物進行歸納、抽象,依靠邏輯推理而獲得對事物本質的認識。學生憑借長期的數學實踐、嚴格的數學訓練,養成堅毅不拔而又客觀公正的為人品格,形成嚴密的思維習慣,還能培養學生抓住事物主要關系、洞察事物本質,把握全局、明辨是非的能力和快速反應、靈活應變的能力,提高他們對不斷變化著的世界的適應能力。 ????(四)應用數學解決實際問題的意識 ????通過數學教學對“問題解決”、“教學建模”的運用,對“數型結合思想”的落實,使學生學會用數學方法觀察現實,使其在今后的工作和日常生活中運用數學,用數學去分析、研究和解釋具體現象,并進行“數學化”;會利用自己的認識結構進行主動的建構活動,養成用聯系的觀點看待事物的習慣,形成從不同領域發現共同特性的能力以及一個理論應用于不同領域的能力,從而增強動手能力,發現和提出問題的能力,強化用數學的意識和創新意識。[2] ????(五)用數學語言進行交流的能力和良好的符號意識 ????在數學學習中,通過親身實踐、主動建構而理解知識的精神實質,發展數學思維;通過小組或同學間的數學交流,逐漸學會清晰、準確而有邏輯地表達思想,善于傾聽他人的見解,內化他人的思想,以達到同學間的相互學習和共同提高。學生只有具備數學交流能力,才能順利地閱讀和理解數學著作,才能用口頭或書面的形式闡釋自己對數學的理解,才能成功地吸收他人的心得而提高自己。 ????數學教學可提高學生用符號進行交流的能力,使他們逐漸養成在處理問題時自覺引進適當符號來表述關鍵事項的習慣,能夠通過確定符號程序來表示事件之間的相互關系,并對符號系統進行推理,獲得結論并檢驗所得結果的準確性和合理性。 ????(六)良好的自我反省和自我調節能力 ????數學學習是一種具體性較差和與實現有一定距離的活動,自我意識的作用更為突出,更加需要對學習活動的自我反省和調節,從而達成數學智慧。數學智慧成熟的人有較好的自我反省和自我調節能力,能客觀公正地評價自己和他人,遇事獨立思考和分析,既不固執已見,也不人云亦云;能根據要求恰當選擇解題策略,有效監督認知活動進程,獲取反饋信息,對認知活動的有效性作出判斷,及時調節認知過程,優化學習過程,減少認知活動的盲目性、沖動性,提高認知活動的效率,增加成功的概率。[3] ????二、反思傳統課堂 ????根據前述有關數學素質的內涵解讀,反思傳統課堂教學的弊端,其對阻礙數學素質培養的因素考察如下: ????(一)數學計算忽視養成從事智力活動的習慣 ????課堂教學中,教師對計算有誤解,認為計算就是按照運算法則進行加減乘除,學習計算就是熟練背誦運算法則,形成計算技巧,迅速地算出給定式子的正確答案。實際上,按算法規則進行邏輯推理而獲得正確結果僅是計算的一個很小的方面,更重要的是,在計算中包含著對算法的構造、設計、選擇,對計算原理的理解、運用,其中包含了豐富的數學實踐。傳統課堂教學難以涉及到這個層面,學生不能深入理解數學真諦,定量思維和定性思維訓練不能到位。 ????(二)數學知識的抽象過程被忽視 ????數學抽象是對學生進行簡捷、嚴謹、有序的思維方式的訓練,但現實的課堂教學,學生看不到知識的發生發展過程,他們的思維沒有機會經歷結論的抽象過程,基本概念,基本原理“從天而降”,在他們還沒有對基本概念有個大概的理解就要求他們應用概念去解決問題,這對培養學生的素質很不利。 ????(三)數學邏輯思維能力單靠灌輸和模仿來培養 ????數學學習中,邏輯與直覺、推理與猜想總是相互伴隨的。理解數學首先要靠“觀察”數學現象來實現 ,而這種“觀察”力只有憑借長期的數學實踐才能逐漸形成。現在的課堂教學對嚴密的推理能力僅靠向學生灌輸一些邏輯法則,讓學生模仿運用這些法則(盡管模仿是必須的)來加以培養。這種教學只能增加記憶負擔,削弱對法則本質的理解。 ????(四)數學課堂難以發現和體會數學與日常生活的密切關系 ????現在的數學教材和課堂教學,都是從概念到概念、從定理到推論,處處強調邏輯演繹的嚴格性,對數學的現實背景、理論的發現過程略,這就導致學生形成錯誤的認識:學習數學就是記住書本上的定義、法則、公式和定理,能夠順利地進行運算、變換或變形、解方程、證明等。過分強調數學的確定性而忽視數學的可變性的數學教學,不僅使人對數學產生誤解,降低數學在生活中的作用,而且由于數學活動中的觀察、直觀描述、猜想、試驗等被大大淡化甚至取消,以致數學在培養人的素質方面的作用也受到極大損害。 ????(五)對數學交流的誤解 ????許多教師都認為,數學的抽象性、表述的嚴謹性及語言的特殊性,決定數學學習過程的統一性,學習數學等于得出答案,尋找定理,并用于解答更深層次的數學問題。因此,教師在基本原理的教學上常常三言兩語一帶而過,不給學生理解的時間和表達自己見解的機會,也不組織學生討論,教學過程千篇一律,缺乏生動性、具體性、差異性,學生只是做大量重復性的強化訓練。造成學生對數學的神秘感和恐懼、厭煩心理。 ????數學既是科學語言也是日常生活語言,一個數學定理常常蘊涵大量信息,從背景材料、證明思想及定理應用等各環節上,都有著豐富的具體內容,學生常常需要用大量時間和精力,才能理解它。只有加強數學交流,才會使數學符號成為一個人自然習慣的語言,增強數學思維能力。 ????(六)對培養學生的反思和調節能力的忽視 ????數學教學輕視基本概念教學,熱衷大運動量解題訓練,滿足獲得正確答案,不對解題過程進行反思,不總結解題經驗教訓,更不對問題進行引申、簡單化和概括數學思想方法,結果導致數學學習的“高投入、低產出”,師生雙方都感到負擔沉重。 ????三、創新數學課堂教學 ????反思傳統數學課堂教學不利于數學素質培養的因素,結合新課程標準出臺為我們提供的嶄新的教學理念,筆者以為實施創新型數學課堂教學,能增強學生數學素質培養的針對性和有效性。現思考總結如下: ????(一)關注學生的數學學習準備,保障學生數學思維的流暢性 ????所謂數學學習準備是指學生原有的數學知識或數學水平對新數學學習的適應性,即學生在學習新數學知識時,那些促進或妨礙數學學習的個人生理、心理發展的水平和特點。奧蘇伯爾說:“如果我不得不把全部教育心理學還原為一條原理的話,那就是影響學習最重要的因素是學生已經知道了什么”,[4]這實際上指出數學學習準備的重要性。在一節數學課中,數學概念之間的聯系一般都是非常緊密,邏輯嚴密的。如果學生頭腦中的新舊知識出現斷層,必然給后繼學習帶來困難,因此,在備課和教學中,要重視對學生現有數學基礎知識的診斷、鏈接、發展。 ????在三角函數這一章的教學中,我反復了解、診斷學生相關知識基礎,明白從何講起。然后引導學生模仿已學知識的思想方法,尋求新內容和舊知識的共性和新內容獨立的個性。參照已學二次函數、指數函數等,分別從概念、圖像、性質等方面去研究三角函數,再由三解函數的個性——角的獨立性,各三角函數定義的相互聯系,對三角函數式進行三角變換,最后對例題設法在理解的基礎上掌握解題格式。通過本章教學,學生思維的流暢性得到訓練,從而培養了學生定量、定性思維等素養。 ????(二)開展探究性學習實踐,發揮教材蘊含的數學思想方法的擴張效應 ????教材中許多重要的例題、習題反映相關數學理論的本質屬性、對于這類題目,通過類比、引申、推廣,提出新的問題并加以解決,既有效地鞏固基礎知識,又培養學生的探索精神和創新能力。發揮教材的擴張效應,是培養良好數學素質的有效載體。 ????如高中《數學》(試驗修訂本)第二冊(上)一例題: ????已知:a、b是正數,且a≠b,求證a3+b3>a2b+ab2。教學中,在引導學生證明了結論之后,設計如下探究性問題: ????(1)若a,b∈R,且a≠b,試比較a4+b4與a3b+ab3的大小。 ????(2)若a,b是正數,且a≠b,試比較a5+b5與a3b2+a2b3的大小。 ????(3)若a,b∈R,且a≠b,試比較a6+b6與a4b2+a2b4的大小(由習題改編); ????(4)請你根據例題及(1)~(3)的結果,將例題的結論推廣到一般形式。 ????隨著問題(1)~(3)的解決,對于問題(4)在學生討論的基礎上,引導他們歸納出如下結論: ????(1)若a、b是正數,且a≠b,m,n∈R,m<n,當n為正奇數時,有an+bn>ambn-m+an-mbm; ????(2)若a、b∈R,且a≠b,m,n∈N,m<n,當n為正偶數時,有an+bn<ambn-m+an-mbm; ????(3)若a、b是正數,且a≠b,m,n∈N,有am+n+bm+n>ambn+anbm。 ????上述思維訓練有利于培養數學抽象能力、推理能力及良好的符號意識等素質。 ????(三)重視學生的“意外”插話,教學民主呵護創新思維火花 ????課堂教學活動在老師的指導下緊鑼密鼓朝著預設的軌道前進時,會有學生冒出一句與教學設計可能完全不同,但又帶著“金子般閃光”的“意外”插話。這種“意外”的產生并非純屬偶然。根據建構主義學習理論,學生并不是知識信息被動的吸收者,而是積極主動的建構者,每個學生都以自己頭腦中已有的知識和經驗為基礎,用個人特有的思維方式建構對事物的理解、檢驗和批判,不同的人看到的是事物的不同方面。 如在復習時,老師進行不等式一題多證的教學,給出題目: ????已知-1<a<1,-1<b<1,證明: 。 ????在教師的點評幫助下,課堂氣氛活躍,同學們給出了4種不同的證法:作差比較法、綜合法、分析法、三角換元法。突然,一個學生冒出一句:“我還有一種證法,應用數列求和知識……”老師卻不加理會,繼續展開自己早已設計好的證法:放縮法的講解。下課后老師才去關注那位學生的證明: ∵ ……???? ∴ ≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+……=2(1+ab+a2b2+a3b3+……)= ????這是一種構思巧妙、精彩簡潔的證明,該生利用無窮等比數列各項和的公式S=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1+…= 來證明不等式的奇思妙想,由于出于教師意料之外,而沒有機會得到表達和交流,令人惋惜!因此在教學中,我們要善待學生的“意外”插話,發揚教學民主,提供給學生平等交流的機會,認真聽取學生發言,及時激勵學生的創新行為,因勢利導進行教學,達到教學相長的目的,這是培養自我反省和自我調節能力的應有之義。 ????(四)活化解題思路,培養對事物的洞察、推理能力 ????數學課堂不僅要追求同一問題的多種解法,而且要通過對一些具體問題解決方法的分析討論,使學生掌握方法的思想,使他們的思維具有運動、變化、辯證等特性,激活學生解題思路,提高他們的數學素質。 ????例如,下圖,一條長為2的線段 AB夾在互相垂直的兩個平面M、 平面N之間,AB與平面M交450角, 與平面N交300角,過A、B兩點分別作兩個平面交線的垂線AC、BD, 求平面ABD與平面ABC所成的二面角。 ????該題的常規解法是構造出所求二面角的平面角。(解法略)繼而引導學生多角度、宏觀地考察問題:設所求的二面角可以看做是四面體C—ABD的一個側面ABC與底面ABD的夾角,另外兩個側面與底面的夾角也是易求的,聯想到投影關系解題: ????設所求的二面角為 ,在四面體C—ABD中,面積ABD的面積應等于三個側面在底面上的正投影的面積之和。 ????∵側面ACD⊥底面ABD,∴S面ABD=S面CAB·cos +S面CBD·cos∠CDA, AD=BD= ,AC=1,BC= ,CD=1,∴S面ABD=1,S面CAB= ,S面CBD= , cos∠CDA= ,∴cos = , =arccos ????上述方法給我們提供了一個更為一般的思維方法的特殊例證,然后又引導學生反思解題在思想方法層面的更多啟示:考慮問題的多角度(既可以求二面角的平面角,又可以將二面角看成側面與底面的夾角)常能獲得各種途徑;考慮問題要關于從宏觀到微觀(空間問題平面化),又要善于從微觀到宏觀(平面問題立體化)。 ????在解題教學中多作這樣的分析,有助于學生開闊視野,提升理念,將數學素質的培養落到實處。 [參考文獻] ????[1]嚴士健:《面向21世紀的中國數學教育》,江蘇教育出版社,1994年版147頁。 ????[2]王梓坤:《今日數學及其應用》,《數學通報》,1994年第七期第1頁。 ????[3]林崇德:《學習與發展》,北京教育出版社,1998年版353頁。 ????[4]陳琦等:《當代教育心理學》,北京師范大學出版社,1997年1月版,90頁。 ????[5]曹才翰、章建躍:《數學教育心理學》,北京師范大學出版社,1999年9月版。 ????[6]張奠宙:《數學美與課堂教學》、《數學教育學報》,1995年第3期。 ????[7]國家高中數學課程標準制訂組:《高中數學課程標準》的框架設想,《數學教育學報》,2002年第九期。
創新數學課堂教學 培養學生數學素質 ????????????????????????????????? [摘要]數學素質是人的素質中最重要的成分之一。有關數學素質的內涵本文從六個方面作出解讀嘗試。但當前課堂教學對數學素質的認識忽視培養漠視,從六個方面對阻礙數學素質培養的因素進行反思,繼而作出創新數學課堂教學的設計和探索:關注學生數學學習準備,開展探究性學習實踐,呵護學生創新思維火花,活化解題思路。 [關鍵詞]數學素質 解讀 反思 創新數學課堂 培養 ????素質是一個人的品格、精神、知識、能力、學識、言談、行為舉止的綜合。數學素質是人的素質中最重要的成分之一。一個人的數學素質好,是指他能從數學的角度來思考問題,“數感”好,有數量概念和規律概念,能夠辯證地看問題,等等。這些素質是在長期的數學知識學習中潛移默化地養成的。課堂教學是素質教育的主渠道,如果教師自覺地實踐探索式、討論式數學教學方法,突破教師中心、書本中心的束縛、突出學生主體主動的、能動的、有價值的數學活動,創新數學課堂教學,就能保障課堂素質教學主渠道的暢通,著力培養學生的數學素質。 ????一、解讀數學素質 ????數學素質是通過數學知識的學習、數學思維方法的訓練、教學能力的培養,使學生養成數學地思維的習慣,形成數學地觀察世界、處理和解決問題的能力。數學素質主要表現在思維活動中,對數學素質的探討如下: ????(一)精確的定量思維和準確的定性思維 ????數學計算是數學課堂上一項重要的數學活動。計算,包括根據法則進行的精確計算、心算和估算。按運算法則進行計算可訓練學生的推理技巧,培養按程序操作的技能,形成按規則辦事的素養和習慣,精確計算是一種定量思維形式 ,有一定的規律可循;心算和估算培養學生全面地把握問題情景、洞察事物本質的能力和對數據特點的正確理解,對算法的合理選擇,對結果合理性的正確判斷等能力。估算是對事物的整體把握,是通過與頭腦中已有數學模型的類比實現的,是對事物本質的直覺判斷,因此是一種定性思維形式,有更大的靈活性和變通性。教學計算中包含著對算法的構造、設計、選擇,包含了豐富的數學實踐,使學生逐漸養成從事智力活動的習慣:計劃自己的工作,尋找完成工作合理的途經,對結果進行評判。是訓練學生的定量思維和定性思維的最佳途經之一。[1] ????(二)數學地看待事物和對事物進行數學抽象的能力 ????數學教學過程中,首先認識事物的相似性,在分析相似性的某些特點的基礎上,以這些特點為標準將事物分類,從而獲得對事物共性的認識,然后選擇適當的詞、符號、圖形等表示之。數學抽象是對學生思維方式的訓練,是對學生進行簡捷、嚴謹、有序的思想表述的訓練,從而使學生獲得了這樣一種素養:面對錯綜復雜的事物,把注意力集中在對所研究問題起關鍵作用的特征上,并用恰當的方法表示出這種特征,以開展思考和交流。 ????(三)對事物本質的洞察力和嚴謹的推理能力 ????在信息時代,人們需要有對錯綜復雜、千變萬化的信息判斷和選擇能力,更需要在分析和評判問題、選擇解決方案中的推理能力。在數學學習中,學生由學習前人的經驗而產生對數學知識的記憶,由記憶而產生有意義的聯想,由類比又產生新聯想,再對聯想到的事物進行歸納、抽象,依靠邏輯推理而獲得對事物本質的認識。學生憑借長期的數學實踐、嚴格的數學訓練,養成堅毅不拔而又客觀公正的為人品格,形成嚴密的思維習慣,還能培養學生抓住事物主要關系、洞察事物本質,把握全局、明辨是非的能力和快速反應、靈活應變的能力,提高他們對不斷變化著的世界的適應能力。 ????(四)應用數學解決實際問題的意識 ????通過數學教學對“問題解決”、“教學建模”的運用,對“數型結合思想”的落實,使學生學會用數學方法觀察現實,使其在今后的工作和日常生活中運用數學,用數學去分析、研究和解釋具體現象,并進行“數學化”;會利用自己的認識結構進行主動的建構活動,養成用聯系的觀點看待事物的習慣,形成從不同領域發現共同特性的能力以及一個理論應用于不同領域的能力,從而增強動手能力,發現和提出問題的能力,強化用數學的意識和創新意識。[2] ????(五)用數學語言進行交流的能力和良好的符號意識 ????在數學學習中,通過親身實踐、主動建構而理解知識的精神實質,發展數學思維;通過小組或同學間的數學交流,逐漸學會清晰、準確而有邏輯地表達思想,善于傾聽他人的見解,內化他人的思想,以達到同學間的相互學習和共同提高。學生只有具備數學交流能力,才能順利地閱讀和理解數學著作,才能用口頭或書面的形式闡釋自己對數學的理解,才能成功地吸收他人的心得而提高自己。 ????數學教學可提高學生用符號進行交流的能力,使他們逐漸養成在處理問題時自覺引進適當符號來表述關鍵事項的習慣,能夠通過確定符號程序來表示事件之間的相互關系,并對符號系統進行推理,獲得結論并檢驗所得結果的準確性和合理性。 ????(六)良好的自我反省和自我調節能力 ????數學學習是一種具體性較差和與實現有一定距離的活動,自我意識的作用更為突出,更加需要對學習活動的自我反省和調節,從而達成數學智慧。數學智慧成熟的人有較好的自我反省和自我調節能力,能客觀公正地評價自己和他人,遇事獨立思考和分析,既不固執已見,也不人云亦云;能根據要求恰當選擇解題策略,有效監督認知活動進程,獲取反饋信息,對認知活動的有效性作出判斷,及時調節認知過程,優化學習過程,減少認知活動的盲目性、沖動性,提高認知活動的效率,增加成功的概率。[3] ????二、反思傳統課堂 ????根據前述有關數學素質的內涵解讀,反思傳統課堂教學的弊端,其對阻礙數學素質培養的因素考察如下: ????(一)數學計算忽視養成從事智力活動的習慣 ????課堂教學中,教師對計算有誤解,認為計算就是按照運算法則進行加減乘除,學習計算就是熟練背誦運算法則,形成計算技巧,迅速地算出給定式子的正確答案。實際上,按算法規則進行邏輯推理而獲得正確結果僅是計算的一個很小的方面,更重要的是,在計算中包含著對算法的構造、設計、選擇,對計算原理的理解、運用,其中包含了豐富的數學實踐。傳統課堂教學難以涉及到這個層面,學生不能深入理解數學真諦,定量思維和定性思維訓練不能到位。 ????(二)數學知識的抽象過程被忽視 ????數學抽象是對學生進行簡捷、嚴謹、有序的思維方式的訓練,但現實的課堂教學,學生看不到知識的發生發展過程,他們的思維沒有機會經歷結論的抽象過程,基本概念,基本原理“從天而降”,在他們還沒有對基本概念有個大概的理解就要求他們應用概念去解決問題,這對培養學生的素質很不利。 ????(三)數學邏輯思維能力單靠灌輸和模仿來培養 ????數學學習中,邏輯與直覺、推理與猜想總是相互伴隨的。理解數學首先要靠“觀察”數學現象來實現 ,而這種“觀察”力只有憑借長期的數學實踐才能逐漸形成。現在的課堂教學對嚴密的推理能力僅靠向學生灌輸一些邏輯法則,讓學生模仿運用這些法則(盡管模仿是必須的)來加以培養。這種教學只能增加記憶負擔,削弱對法則本質的理解。 ????(四)數學課堂難以發現和體會數學與日常生活的密切關系 ????現在的數學教材和課堂教學,都是從概念到概念、從定理到推論,處處強調邏輯演繹的嚴格性,對數學的現實背景、理論的發現過程略,這就導致學生形成錯誤的認識:學習數學就是記住書本上的定義、法則、公式和定理,能夠順利地進行運算、變換或變形、解方程、證明等。過分強調數學的確定性而忽視數學的可變性的數學教學,不僅使人對數學產生誤解,降低數學在生活中的作用,而且由于數學活動中的觀察、直觀描述、猜想、試驗等被大大淡化甚至取消,以致數學在培養人的素質方面的作用也受到極大損害。 ????(五)對數學交流的誤解 ????許多教師都認為,數學的抽象性、表述的嚴謹性及語言的特殊性,決定數學學習過程的統一性,學習數學等于得出答案,尋找定理,并用于解答更深層次的數學問題。因此,教師在基本原理的教學上常常三言兩語一帶而過,不給學生理解的時間和表達自己見解的機會,也不組織學生討論,教學過程千篇一律,缺乏生動性、具體性、差異性,學生只是做大量重復性的強化訓練。造成學生對數學的神秘感和恐懼、厭煩心理。 ????數學既是科學語言也是日常生活語言,一個數學定理常常蘊涵大量信息,從背景材料、證明思想及定理應用等各環節上,都有著豐富的具體內容,學生常常需要用大量時間和精力,才能理解它。只有加強數學交流,才會使數學符號成為一個人自然習慣的語言,增強數學思維能力。 ????(六)對培養學生的反思和調節能力的忽視 ????數學教學輕視基本概念教學,熱衷大運動量解題訓練,滿足獲得正確答案,不對解題過程進行反思,不總結解題經驗教訓,更不對問題進行引申、簡單化和概括數學思想方法,結果導致數學學習的“高投入、低產出”,師生雙方都感到負擔沉重。 ????三、創新數學課堂教學 ????反思傳統數學課堂教學不利于數學素質培養的因素,結合新課程標準出臺為我們提供的嶄新的教學理念,筆者以為實施創新型數學課堂教學,能增強學生數學素質培養的針對性和有效性。現思考總結如下: ????(一)關注學生的數學學習準備,保障學生數學思維的流暢性 ????所謂數學學習準備是指學生原有的數學知識或數學水平對新數學學習的適應性,即學生在學習新數學知識時,那些促進或妨礙數學學習的個人生理、心理發展的水平和特點。奧蘇伯爾說:“如果我不得不把全部教育心理學還原為一條原理的話,那就是影響學習最重要的因素是學生已經知道了什么”,[4]這實際上指出數學學習準備的重要性。在一節數學課中,數學概念之間的聯系一般都是非常緊密,邏輯嚴密的。如果學生頭腦中的新舊知識出現斷層,必然給后繼學習帶來困難,因此,在備課和教學中,要重視對學生現有數學基礎知識的診斷、鏈接、發展。 ????在三角函數這一章的教學中,我反復了解、診斷學生相關知識基礎,明白從何講起。然后引導學生模仿已學知識的思想方法,尋求新內容和舊知識的共性和新內容獨立的個性。參照已學二次函數、指數函數等,分別從概念、圖像、性質等方面去研究三角函數,再由三解函數的個性——角的獨立性,各三角函數定義的相互聯系,對三角函數式進行三角變換,最后對例題設法在理解的基礎上掌握解題格式。通過本章教學,學生思維的流暢性得到訓練,從而培養了學生定量、定性思維等素養。 ????(二)開展探究性學習實踐,發揮教材蘊含的數學思想方法的擴張效應 ????教材中許多重要的例題、習題反映相關數學理論的本質屬性、對于這類題目,通過類比、引申、推廣,提出新的問題并加以解決,既有效地鞏固基礎知識,又培養學生的探索精神和創新能力。發揮教材的擴張效應,是培養良好數學素質的有效載體。 ????如高中《數學》(試驗修訂本)第二冊(上)一例題: ????已知:a、b是正數,且a≠b,求證a3+b3>a2b+ab2。教學中,在引導學生證明了結論之后,設計如下探究性問題: ????(1)若a,b∈R,且a≠b,試比較a4+b4與a3b+ab3的大小。 ????(2)若a,b是正數,且a≠b,試比較a5+b5與a3b2+a2b3的大小。 ????(3)若a,b∈R,且a≠b,試比較a6+b6與a4b2+a2b4的大小(由習題改編); ????(4)請你根據例題及(1)~(3)的結果,將例題的結論推廣到一般形式。 ????隨著問題(1)~(3)的解決,對于問題(4)在學生討論的基礎上,引導他們歸納出如下結論: ????(1)若a、b是正數,且a≠b,m,n∈R,m<n,當n為正奇數時,有an+bn>ambn-m+an-mbm; ????(2)若a、b∈R,且a≠b,m,n∈N,m<n,當n為正偶數時,有an+bn<ambn-m+an-mbm; ????(3)若a、b是正數,且a≠b,m,n∈N,有am+n+bm+n>ambn+anbm。 ????上述思維訓練有利于培養數學抽象能力、推理能力及良好的符號意識等素質。 ????(三)重視學生的“意外”插話,教學民主呵護創新思維火花 ????課堂教學活動在老師的指導下緊鑼密鼓朝著預設的軌道前進時,會有學生冒出一句與教學設計可能完全不同,但又帶著“金子般閃光”的“意外”插話。這種“意外”的產生并非純屬偶然。根據建構主義學習理論,學生并不是知識信息被動的吸收者,而是積極主動的建構者,每個學生都以自己頭腦中已有的知識和經驗為基礎,用個人特有的思維方式建構對事物的理解、檢驗和批判,不同的人看到的是事物的不同方面。 如在復習時,老師進行不等式一題多證的教學,給出題目: ????已知-1<a<1,-1<b<1,證明: 。 ????在教師的點評幫助下,課堂氣氛活躍,同學們給出了4種不同的證法:作差比較法、綜合法、分析法、三角換元法。突然,一個學生冒出一句:“我還有一種證法,應用數列求和知識……”老師卻不加理會,繼續展開自己早已設計好的證法:放縮法的講解。下課后老師才去關注那位學生的證明: ∵ ……???? ∴ ≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+……=2(1+ab+a2b2+a3b3+……)= ????這是一種構思巧妙、精彩簡潔的證明,該生利用無窮等比數列各項和的公式S=a1+a1q+a1q2+…a1qn-1+…= 來證明不等式的奇思妙想,由于出于教師意料之外,而沒有機會得到表達和交流,令人惋惜!因此在教學中,我們要善待學生的“意外”插話,發揚教學民主,提供給學生平等交流的機會,認真聽取學生發言,及時激勵學生的創新行為,因勢利導進行教學,達到教學相長的目的,這是培養自我反省和自我調節能力的應有之義。 ????(四)活化解題思路,培養對事物的洞察、推理能力 ????數學課堂不僅要追求同一問題的多種解法,而且要通過對一些具體問題解決方法的分析討論,使學生掌握方法的思想,使他們的思維具有運動、變化、辯證等特性,激活學生解題思路,提高他們的數學素質。 ????例如,下圖,一條長為2的線段 AB夾在互相垂直的兩個平面M、 平面N之間,AB與平面M交450角, 與平面N交300角,過A、B兩點分別作兩個平面交線的垂線AC、BD, 求平面ABD與平面ABC所成的二面角。 ????該題的常規解法是構造出所求二面角的平面角。(解法略)繼而引導學生多角度、宏觀地考察問題:設所求的二面角可以看做是四面體C—ABD的一個側面ABC與底面ABD的夾角,另外兩個側面與底面的夾角也是易求的,聯想到投影關系解題: ????設所求的二面角為 ,在四面體C—ABD中,面積ABD的面積應等于三個側面在底面上的正投影的面積之和。 ????∵側面ACD⊥底面ABD,∴S面ABD=S面CAB·cos +S面CBD·cos∠CDA, AD=BD= ,AC=1,BC= ,CD=1,∴S面ABD=1,S面CAB= ,S面CBD= , cos∠CDA= ,∴cos = , =arccos ????上述方法給我們提供了一個更為一般的思維方法的特殊例證,然后又引導學生反思解題在思想方法層面的更多啟示:考慮問題的多角度(既可以求二面角的平面角,又可以將二面角看成側面與底面的夾角)常能獲得各種途徑;考慮問題要關于從宏觀到微觀(空間問題平面化),又要善于從微觀到宏觀(平面問題立體化)。 ????在解題教學中多作這樣的分析,有助于學生開闊視野,提升理念,將數學素質的培養落到實處。 [參考文獻] ????[1]嚴士健:《面向21世紀的中國數學教育》,江蘇教育出版社,1994年版147頁。 ????[2]王梓坤:《今日數學及其應用》,《數學通報》,1994年第七期第1頁。 ????[3]林崇德:《學習與發展》,北京教育出版社,1998年版353頁。 ????[4]陳琦等:《當代教育心理學》,北京師范大學出版社,1997年1月版,90頁。 ????[5]曹才翰、章建躍:《數學教育心理學》,北京師范大學出版社,1999年9月版。 ????[6]張奠宙:《數學美與課堂教學》、《數學教育學報》,1995年第3期。 ????[7]國家高中數學課程標準制訂組:《高中數學課程標準》的框架設想,《數學教育學報》,2002年第九期。

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