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函數學習的認知層次 ????????????????????????????????????復旦附中特級教師曾容老師認為：“中學數學以函數為綱”。許多代數問題可以納入到函數層面進行理解。譬如解方程就是求函數值等于某一確定值時的自變量的值，數列是特殊的函數等等。學好了函數，就會用變化的觀點分析世界，用對應的思想發現部分本質。 ????在教學過程中發現，絕大部分學生認為函數難學，不少教師也認為函數難教，特別是學生遇有不懂的問題時，教師有時只能就題論題，下次學生遇到同類問題還是不懂。究其原因有很多，筆者認為主要原因之一是函數學習有六個認知層次，學生未解決低層次的認知問題，必然會在高層次的認知學習中遇到困難。 ????1、理解變量 ????問題：關于x的方程a-2x=0有解，求a的取值范圍。 ????不少學生對此問題無從下手，不能想到a是變量，變形為a=2x,a就是x的函數，從而a的范圍就是2x的值域。暴露了學生對變量的理解不深刻。 ????在引入函數概念之前，需要完成從常量到變量的轉變，物體運動涉及變量，但是，學生往往用常量觀點去理解變量。比如問：“某物體以100m/min的速度前進，10min前進多少m？”小學生都會給出正確答案，但他們并沒有注意一時間與路程都是變量，即使部分學生能給出“s=100t”，也只是文字代表“數”而已，并沒有把它看作是一個變化的過程，僅若將t看作運點沿數軸從0運動到10，列出相應的另一個變量S(t)的對應值，并在坐標系上描出這些點，這時學生才感受到變量的真實意義。 ????教學啟示：數形結合是深化函數概念這習的重要手段，函數的圖像一方面是函數的一種表示方法，另一方面也為函數建立了真觀模型，從圖像上更能看出函數作為運動過程的描述這一特征，因此，應使學生的思維能在靜止與運動、離散與連續之間進行轉化，從觀察靜態的“照片”（例如常量、代數方程和算式），到認識動態過程的“錄像”（如變量、函數），這是認識的飛躍。 ????2、突出“關系” ????問題：已知1≤x+y≤2,0≤2x-y≤1,求4x+y的取值范圍。（答案：2≤4x+y≤5） 學生困惑：兩條件相加得1/3≤x≤1,類似求得0≤y≤4/3,故4/3≤4x+y≤16/3,為什么不對？ ????對此問題的困惑暴露出學生對兩個變量之間關系理解的不深刻。 ????例如，表達式x+y=5，在學生已有的圖式中就是兩個定數相加為5，沒有想到兩個量之間此消彼長的內在聯系；上述問題中的x,y之間也是一個此消彼長相互制約的關系， x,y不能同時取到最大（最小）值。 ????認識變量和認識變量間的關系是不同層次的認知水平，例如一位教師在函數概念教學時，讓學生先舉一個生活中遇到的在某過程中的變量，選一個字母表示，然后再想一想有沒有另一個與前一個量有關的也在變化的量，找到它們之間的關系，學生分別舉了“距離和時間的關系”，“買鉛筆的數量與總價的關系”等，有一個學生說：“吹氣球時氣球的體積隨時間變，但是關系不清楚。”這是一個很關鍵的問題：找變量容易，找關系難，找關系，實際上是“建立數學模型”的問題，吹氣球時，時間和氣球究竟有沒有關系？學生的回答是有關系，但是不知道是什么關系，那么我們能不能說他已經知道了氣球大小是時間的函數呢？老師和同學討論的結果是：只要把各個時刻的氣球半徑大小記下來，就是一個函數了，有關系，可以是函數，把關系記錄下來，才得到這個函數。 ????教學啟示：函數教學中必須突出關系。為了使生個學生都獲得必要的感知，引導學生多分析幾個不同的實例，實行“函數建模”是十分必要的。 ????3、區別函數與算式 ????問題：把長為1的鐵絲折成一邊長為x的矩形，何時面積最大？ ????矩形面積為x(1/2-x),這是算式，求其最大值需把它看作x的函數。 ????算式只是函數的一種表示方法，代數式可以看作帶有變量的函數表達式，求代數式的值就是求特定的函數值；列表法、圖像法都可以表示函數，報紙上天天刊載的“股票走勢圖”，就是一種函數模型，主要是找到算式表示，最終是用找到的函數關系去解決問題，因此，尋求算式，但不限于算式，是函數教學的目的之一。 ????4、緊扣“對應” ????問題：y=1是函數嗎？ ????學生困惑：y沒有變化，怎么是函數？ ????如果問剛升入高一的學生：“什么是函數？”回答往往是“函數是變量”，“函數是變化過程”，“y=kx是x的函數”，“函數是圖像”等等，他們是大體地描述函數的外在特征，很少深入到抽象的層面；函數是對應關系，只有明確了這點，才能理解y=1是函數。當然，把函數作為“變化過程”的描述和作為“對應關系”的描述是認識函數概念的不同的側面，不能說成后者比前者更好，或者“對應說是現代化”，“變量說是陳舊的”等。 ????工程師、經濟師等對函數的理解主要是“變量說”，通過尋找變量之間的關系，找出客觀現象的規律，這種宏觀的把握，對于科學發展是很重要的，另一方面，作為數學本身的進步而言，需要在宏觀的基礎上，微觀地考慮函數：x的哪一個值和y的哪一個值對應？例如分段函數的端點的值，以及狄立克萊函數的定義等問題，就需要微觀的觀察和精細的判斷。 ????在高中階段，首先要使得學生在宏觀地研究變量之間關系的基礎上，有進一步抽象的需求，把“對應”關系凸現出來，尤其是，對于不能用算式表示的函數，更需要用對應思想進行理解，例如上例中的氣球體積與時間的關系，雖然寫不出算式關系，只要有數據的對應關系，仍舊是函數。 ????5、力求形式化 ????學生困惑： f和x是不是乘的關系？ ????由此可見他們雖然背了定義，但沒有理解函數的真實意義，這也是學習函數最困難的地方。 ????為何前者會有那樣的錯誤理解？其原因在于：一是，學生對對應關系認識不足；二是，函數的形式化表示不是用一個“記作”就能讓人接受的；三是，從變量到函數抽象的符號表示突然跨了多個抽象層次，難怪學生產生了理解的障礙。教學中可以不直接說“通常我們把y是x的函數表示為：y=f(x)”，而是先說“f代表自變量和因變量之間的對應關系，對于定義域內任意的x（這時在黑板上寫下‘x’），通過對應關系（在黑板上寫出‘f( )’，剛才的x被括號括在內），對應出唯一的一個y（在黑板上剛才的式子前寫下‘y=’）”，這樣就寫出了表達式y=f(x)，后一種書寫次序主要是突出了對應關系這個特征，而且與定義的描述次序相同，所以這樣寫的順序應了學生意義建構的模式，學生更容易接受。 ????有些教材把函數比作“加工機”，給定一個就加工出一個f(x)，復合函數就好比組合加工機，這種比喻很形象，一方面體現了對應的特征，另一方面體現了過程的特征，這就奠定了函數模型，對于理解抽象的函數表示有較大的幫助。 ????函數的表示，最完整的是y=f(x)，x∈D，可以簡寫為f(x)，x∈D，又因為對應關系居于核心地位，所以在不致混淆的時候，更可以簡化為f(x)，有時甚至簡寫為f。 ????6、當作對象 ????問題：已知f(x)+2f(-x)=x,求f(x)。 ????和數學的其它概念一樣，函數概念具有二重性，既代表定義域的元素按對應法則與值域中元素作對應的過程，又代表特定對應的關系結構，所以認識這個概念也應分為兩個側面，即作為過程的一面和作為對象的一面，研究表明，形成一個概念，往往要經過由過程開始，然后轉變為對象的認知過程，掌握函數概念的最后一個層次，就是把函數作為一個“整體的對象”來看待，對本問題的解決就需要如此。 ????當我們進行思維的時候，最先在頭腦里跳出的不是函數的某種定義，而往往是具有代表性的某一函數的圖像，例如看到y=sinx，首先想到的不是對邊與斜邊的比，而是一條正弦曲線，由此就可以記憶起有關的有界性和周期性等性質，認識函數的圖像也有不同水平的思維方式，例如，作函數y=2sin(x+ωx)+3的圖像，如果用描點法，每給一個x，通過表達式計算出一個y，然后描點連線，,這是典型的過程性思維；如果是先畫y=sinx的圖像，再作平移和放縮等變換，也可得出圖像，這就是結構性的思維方式。把函數作為對象是認識函數的綜合表象階段，并在表象之間可以轉換，將函數概念的動態過程轉變為抽象的結構對象便可整體掌握函數，這樣才能夠更好地應用函數思想解決實際問題。

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