資源簡介

專題提升三　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
(分值：100分)
選擇題1～9題，每小題8分，共72分。
基礎對點練
題組一　帶電粒子在直線邊界勻強磁場中的運動
1.(多選)如圖所示，兩個初速度大小相同的同種粒子a和b，從O點沿垂直磁場方向進入勻強磁場，最后打到屏P上。不計重力，下列說法正確的有(　　)
a、b均帶正電
a在磁場中運動的時間比b的短
a在磁場中運動的路程比b的短
a在P上的落點與O點的距離比b的近
2.如圖所示為測量磁感應強度的裝置，粒子源O能夠穩定地發射出速度為v、比荷為k的帶正電粒子。將裝置放置在被測磁場中，粒子從O點垂直ON和磁場方向進入磁場，經磁場偏轉后，垂直打在底片MN上的A點，測出OA距離，從而確定被測磁場的磁感應強度B。已知OM＝MN＝L，不計重力，則此裝置能測量的磁感應強度范圍是(　　)
題組二　帶電粒子在平行邊界或三角形邊界勻強磁場中的運動
3.(多選)(2024·山西大同高二期末)如圖所示，一束電子從M點垂直于磁場左邊界，射入邊界平行、寬度為d、磁感應強度大小為B的勻強磁場，射入速度為v，從右邊界上的N點穿出磁場時，速度方向與原來射入方向的夾角為θ＝60°，則(　　)
電子的比荷為
電子的比荷為
電子穿越磁場的時間為
電子穿越磁場的時間為
4.(多選)如圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強磁場，比荷相同的兩個帶電粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點射出，不計粒子重力，則(　　)
從P射出的粒子速度大
從Q射出的粒子速度大
從P射出的粒子在磁場中運動的時間長
兩粒子在磁場中運動的時間一樣長
題組三　帶電粒子在圓形邊界勻強磁場中的運動
5.兩個質量相同、所帶電荷量相等的帶電粒子a、b，以不同的速率對準圓心O沿著AO方向射入圓形勻強磁場區域，其運動軌跡如圖所示。不計粒子的重力，下列說法正確的是(　　)
a粒子帶正電，b粒子帶負電
a粒子在磁場中所受洛倫茲力較大
b粒子動能較大
b粒子在磁場中運動時間較長
6.(多選)如圖所示，圓柱形區域的橫截面在沒有磁場的情況下，帶電粒子(不計重力)以某一初速度沿截面直徑方向入射時，穿過此區域的時間為t；若該區域加沿軸線方向的勻強磁場，磁感應強度為B，帶電粒子仍以同一初速度沿截面直徑入射，粒子飛出此區域時，速度方向偏轉了，根據上述條件可求得的物理量為(　　)
帶電粒子的初速度
帶電粒子在磁場中運動的半徑
帶電粒子在磁場中運動的時間
帶電粒子的比荷
綜合提升練
7.真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區域內，磁場的磁感應強度最小為(　　)
8.(2024·福建漳州高二期中)如圖所示，圓形區域內存在著垂直于紙面向外的勻強磁場，比荷相同的兩個粒子沿直徑AB方向從A點射入磁場中，分別從圓弧上的P、Q兩點射出，下列說法正確的是(　　)
兩粒子分別從A到P、Q經歷時間之比為3∶1
粒子在磁場中做勻速圓周運動周期之比為2∶1
粒子在磁場中速率之比為1∶3
粒子在磁場中運動的軌道半徑之比為3∶1
9.(多選)(2024·安徽阜陽臨泉一中高二期中)如圖所示，邊長為L的正方形區域內存在垂直紙面向里的勻強磁場。一個帶電粒子靜止在正方形的中心O處，某時刻分裂成兩個帶正電的粒子a、b，粒子a從中心O水平向左射出，粒子b從中心O水平向右射出，經一段時間a、b兩粒子同時射出磁場區域，已知粒子a恰從A處飛出磁場，粒子b從CD邊某處飛出，飛出磁場時速度與CD邊的夾角為60°，若忽略重力和粒子間的相互作用力，則下列判斷正確的是(　　)
a、b兩帶電粒子的半徑之比為1∶2
a、b兩帶電粒子的速度大小之比為2∶3
a、b兩帶電粒子的質量之比為2∶3
a、b兩帶電粒子的比荷之比為2∶3
10.(12分)(2024·廣東深圳高二期中)如圖所示， 在平面直角坐標系xOy的第四象限有垂直紙面向里的勻強磁場，一質量為 m＝5.0×10－8 kg、電荷量為 q＝1.0×
10－6 C的帶電粒子。從靜止開始經U0＝2.5 V的電壓加速后，從P點沿圖示方向進入磁場，已知OP＝16 cm(粒子重力不計，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)(6分) 帶電粒子到達 P 點時速度v大小；
(2)(6分)若要求粒子不能進入x軸上方，磁感應強度的最小值B是多大(要求畫出粒子運動的軌跡)。
培優加強練
11.(16分)如圖所示，直線MN上方存在著垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，質量為m、電荷量為－q(q＞0)的粒子1在紙面內以速度v1＝v0從O點射入磁場，其方向與MN的夾角α＝30°；質量為m、電荷量為＋q的粒子2在紙面內以速度v2＝v0也從O點射入磁場，其方向與MN的夾角β＝60°。已知粒子1、2同時到達磁場邊界的A、B兩點(圖中未畫出)，不計粒子的重力及粒子間的相互作用。求：
(1)(8分)兩粒子在磁場邊界上的穿出點A、B之間的距離d；
(2)(8分)兩粒子進入磁場的時間間隔Δt。
專題提升三　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
1.AD　[a、b粒子的運動軌跡如圖所示。
粒子a、b都向下偏轉，由左手定則可知，a、b均帶正電，故A正確；由洛倫茲力提供向心力，qvB＝m，得r＝，由此可知，兩粒子運動半徑相等，根據圖中兩粒子運動軌跡可知a的運動軌跡長度大于b的運動軌跡長度，a在磁場中運動的時間比b的長，故B、C錯誤；根據運動軌跡可知，a在P上的落點與O點的距離比b的近，故D正確。]
2.D　[帶電粒子進入磁場后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，由題意知＝，聯立解得B＝。如圖所示，當粒子打到M點時，軌跡圓半徑r＝，此時測得磁感應強度B＝，當粒子打到N點時，軌跡圓半徑r＝L，同理可知，此時測得磁感應強度B＝，則此裝置能測量的磁感應強度范圍是，D正確。]
3.BC　[電子運動軌跡如圖所示，
根據幾何關系有r＝＝d，根據洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，則電子的比荷為＝＝，故A錯誤，B正確；電子穿越磁場的時間為t＝T＝·＝＝，故C正確，D錯誤。]
4.BD　[作出兩帶電粒子各自的運動軌跡，如圖所示，
根據圓周運動特點知，兩粒子分別從P、Q點射出時，速度方向與AC邊的夾角相等，故可判定兩粒子從P、Q點射出時，半徑rP5.C　[粒子向右運動，根據左手定則，b向上偏轉，應帶正電；a向下偏轉，應帶負電，故A錯誤；洛倫茲力提供向心力，即qvB＝m，得r＝，故半徑較大的b粒子速度大，動能也大，由公式F＝qvB，知速度大的b粒子受洛倫茲力較大，故B錯誤，C正確；由t＝T及T＝知磁場中偏轉角大的運動時間長，a粒子的偏轉角大，因此運動的時間較長，故D錯誤。]
6.CD　[無磁場時，帶電粒子做勻速直線運動，設圓柱形區域磁場的半徑為R0，則v＝；而有磁場時，帶電粒子做勻速圓周運動，由半徑公式可得r＝，由幾何關系得，圓軌道半徑r＝R0，可得＝；設粒子在磁場中的運動時間為t0，粒子飛出此區域時，速度方向偏轉60°角，則t0＝T＝＝＝πt；由于不知橫截面的半徑，因此帶電粒子的運動半徑以及初速度無法求出，故C、D正確。]
7.C　[為使電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區域內，電子進入勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑最大時軌跡如圖所示，設其軌跡半徑為r，軌跡圓圓心為M，磁場的磁感應強度最小為B，由幾何關系有＋r＝3a，解得r＝a，電子在勻強磁場中做勻速圓周運動有evB＝m，解得B＝，選項C正確。]
8.D　[作出帶電粒子運動軌跡如圖所示，
根據幾何關系可知，到達Q點的粒子在磁場中轉過的角度為120°，到達P點的粒子在磁場中轉過的角度為60°，而粒子在磁場中做圓周運動的周期T＝，兩粒子比荷相同且在同一磁場中做圓周運動，因此周期相同，可得tP＝T，tQ＝，則tP∶tQ＝1∶2，故A、B錯誤；設圓形磁場的半徑為R，根據幾何關系可得＝tan 30°，＝tan 30°，解得rP∶rQ＝3∶1，而根據v＝，可得vP∶vQ＝3∶1，故C錯誤，D正確。]
9.AC　[a、b兩帶電粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示，
由幾何關系知，r2＝2r1，所以a、b兩帶電粒子的半徑之比為1∶2，A正確；由圖知，兩粒子的運動時間分別為ta＝Ta，tb＝Tb，由于ta＝tb，則Ta∶Tb＝1∶3，根據周期公式T＝知，a、b兩帶電粒子的比荷之比為3∶1，D錯誤；由動量守恒定律得mava＝mbvb，根據r＝知，兩粒子的質量之比為2∶3，速度大小之比為3∶2，B錯誤，C正確。]
10.(1)10 m/s　(2)5 T
解析　(1)對帶電粒子的加速過程，由動能定理可得
qU0＝mv2
代入數據得v＝10 m/s。
(2)帶電粒子恰好不從x軸射出，其軌跡與x軸相切，如圖所示，
由幾何關系得
OP＝R＋Rcos 53°
其中OP＝16 cm＝0.16 m
根據洛倫茲力提供向心力可得
qvB＝m
聯立并代入數據得B＝5 T。
11.(1)　(2)
解析　(1)粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，有
qvB＝m，則r＝，
即兩粒子的半徑分別為
r1＝，r2＝
兩粒子的運動軌跡如圖所示，則
d＝OA＋OB＝2r1sin 30°＋2r2sin 60°＝。
(2)粒子1做圓周運動的圓心角θ1＝
粒子2做圓周運動的圓心角θ2＝
粒子做圓周運動的周期T＝＝
粒子1在勻強磁場中運動的時間t1＝T
粒子2在勻強磁場中運動的時間t2＝T
所以Δt＝t1－t2＝。專題提升三　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
學習目標　會分析帶電粒子在直線邊界、平行邊界、圓形邊界、三角形邊界等有界勻強磁場中的運動。
提升1　帶電粒子在直線邊界勻強磁場中的運動
如圖所示，進出磁場具有對稱性，射入和射出磁場時，速度與邊界夾角大小相等。
例1 如圖所示，一個質量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子從x軸正方向上的P點以速度v沿與x軸成60°角的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直y軸射出第一象限。已知OP＝a，不計帶電粒子的重力。求：
(1)帶電粒子在磁場中運動的半徑；
(2)勻強磁場的磁感應強度B的大小；
(3)帶電粒子穿過第一象限所用的時間。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
訓練1 (2024·江蘇無錫高二期中)如圖，在坐標系的第一和第二象限內存在磁感應強度大小分別為和B、方向均垂直于紙面向外的勻強磁場。一質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子垂直于x軸射入第二象限，隨后垂直于y軸進入第一象限，最后經過x軸離開第一象限。粒子在第二象限和第一象限中運動的時間之比為(　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.3∶4 D.3∶2
提升2　帶電粒子在平行邊界或三角形邊界勻強磁場中的運動
1.平行邊界
這種情況經常出現帶電粒子恰好從磁場飛出(或恰好飛不出)的臨界問題，通常有兩種情況，一種是從磁場邊界端點飛出，如圖甲所示；另一種是與磁場邊界相切，如圖乙、丙所示。
例2 帶電粒子的質量m＝1.7×10－27 kg，電荷量q＝＋1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁場同時又垂直于磁場邊界的方向進入勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B＝0.17 T，磁場的寬度L＝10 cm，如圖所示(粒子重力忽略不計，結果保留2位有效數字)。求：
(1)帶電粒子離開磁場時的速度大小；
(2)帶電粒子在磁場中運動的時間；
(3)帶電粒子在離開磁場時偏離入射方向的距離d。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.三角形邊界
如圖所示是等邊三角形ABC區域內某帶正電的粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖，粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
例3 (多選)如圖所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC區域內，有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。從A點沿AB有一束同種粒子以不同速率射入磁場，粒子在磁場中做圓周運動。其中某一速度的粒子的運動軌跡恰好與BC邊相切，最終從AC邊射出，總用時為t0。不計粒子的重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是(　　)
A.粒子帶正電
B.運動軌跡恰好與BC邊相切的粒子，它的軌道半徑為L
C.從BC邊射出的粒子最小速度是
D.從BC邊射出的粒子最小速度是
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升3　帶電粒子在圓形邊界勻強磁場中的運動
　　　　　　　　　　　　　　
1.粒子沿圓形區域勻強磁場的半徑方向垂直射入磁場，必沿半徑方向射出磁場，如圖甲所示。
2.粒子射入磁場的速度方向與入射點和磁場圓心連線的夾角等于射出磁場的速度方向與出射點和磁場圓心連線的夾角，如圖乙所示。
例4 在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區域內，存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿－x方向射入磁場，它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿＋y方向飛出。
(1)請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷 ；
(2)若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應強度的大小變為B′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角，求磁感應強度B′的大小，及此次粒子在磁場中運動所用時間t。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
隨堂對點自測
　　　　　　　　　　　　　　
1.(直線邊界)如圖所示，在第Ⅰ象限內有垂直紙面向里的勻強磁場，一對質量與電荷量都相等的正、負粒子分別以相同速率沿與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，不計粒子重力，則正、負粒子在磁場中運動的時間之比為(　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.1∶1
2.(正方形邊界)(多選)(2024·四川成都高二月考)如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入一正方形區域的勻強磁場(未畫出)，不計電子間的相互作用。下列判斷正確的是(　　)
A.電子在磁場中運動時間越長，其軌跡越長
B.電子在磁場中運動時間越長，其軌跡所對應的圓心角越大
C.在磁場中運動時間相同的電子，其軌跡不一定重合
D.電子的速率不同，它們在磁場中運動的時間一定不相同
3.(圓形邊界)如圖，圓形區域內有垂直紙面向里的勻強磁場，質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從圓周上的M點沿直徑MON方向射入磁場。若粒子射入磁場時的速度大小為v1，離開磁場時速度方向偏轉90°；若射入磁場時的速度大小為v2，離開磁場時速度方向偏轉60°。不計重力。則為(　　)
A. B.
C. D.
專題提升三　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
提升1
例1 (1)　(2)　(3)
解析　(1)作粒子通過P、Q兩點速度方向的垂線，兩垂線的交點即為粒子做圓周運動的圓心O′。畫出粒子在第一象限運動的軌跡如圖所示，可知運動半徑
r＝＝。
(2)洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力，即qvB＝m，
解得B＝。
(3)由運動軌跡圖可知，圓弧軌跡對應的圓心角θ＝120°，則粒子通過第一象限所用時間t＝，而周期T＝
聯立解得t＝。
訓練1 C　[帶電粒子在第二象限和第一象限中運動的軌跡如圖所示，
對應的軌跡半徑分別為R1和R2，由洛倫茲力提供向心力，有qv0B＝m，可得R1＝，R2＝，則R2＝2R1，由題意可知帶電粒子在第二象限運動軌跡為圓弧，根據幾何關系可得在第一象限運動的軌跡所對圓心角θ滿足cos θ＝，解得θ＝60°，根據T＝可得粒子在第二象限、第一象限做圓周運動的周期分別為T1＝，T2＝，帶電粒子在第二象限、第一象限中運動的時間分別為t1＝＝，t2＝＝，故＝，故C正確。]
提升2
例2 (1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10－8 s　(3)2.7×10－2 m
解析　(1)由于洛倫茲力不做功，所以帶電粒子離開磁場時速度大小仍為
3.2×106 m/s。
(2)由qvB＝m得軌道半徑
r＝＝ m＝0.2 m
由題圖可知偏轉角θ滿足
sin θ＝＝＝0.5
所以θ＝
帶電粒子在磁場中運動的周期T＝
所以帶電粒子在磁場中運動的時間t＝T＝T
所以t＝
＝ s＝3.3×10－8 s。
(3)帶電粒子在離開磁場時偏離入射方向的距離
d＝r(1－cos θ)＝0.2×(1－) m
＝2.7×10－2 m。
例3 BC　[粒子運動軌跡恰好與BC邊相切，最終從AC邊射出，即粒子軌跡如圖所示，
根據左手定則，粒子帶負電，A錯誤；根據幾何關系，軌跡圓半徑R＝L，B正確；粒子恰好不能從BC邊飛出時，粒子運動軌跡與BC相切，結合幾何知識可知，粒子在磁場中運動的軌跡圓弧對應的圓心角θ＝，解得此時粒子的速度v＝＝＝，若要粒子從BC邊飛出，則速度v不小于，C正確，D錯誤。]
提升3
例4 (1)負電荷　　(2)B　
解析　(1)由粒子的運動軌跡(如圖)，
利用左手定則可知，該粒子帶負電荷。粒子由A點射入，由C點飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑為r，由qvB＝m，可得粒子的比荷＝。
(2)設粒子從D點飛出磁場，運動軌跡如圖，速度方向改變了60°角，故所對圓心角為60°，由幾何知識可知，粒子做圓周運動的半徑r′＝＝r，又r′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁場中運動所用時間t＝T＝×＝。
隨堂對點自測
1.B　[由洛倫茲力提供向心力有qvB＝，又T＝，解得T＝，則正、負粒子在磁場中的運動周期相等，運動時間t＝T，正、負粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示，正粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角為120°，負粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角為60°，故時間之比為2∶1，B正確。]
2.BC　[由題圖知，從左邊界射出的電子運動時間均為半個周期，由周期公式T＝知，從左邊界射出的電子在磁場中運動的時間相同，故D錯誤；由半徑公式r＝知，軌跡半徑與速率成正比，則電子的速率越大，在磁場中的運動軌跡半徑越大，可知從左邊界射出的電子運動時間相同，但軌跡不一定重合，故C正確；由t＝T知，電子在磁場中的運動時間與軌跡對應的圓心角成正比，所以電子在磁場中運動的時間越長，其軌跡所對應的圓心角θ越大，故B正確；比較軌跡2與軌跡5結合B項分析，可知A錯誤。]
3.B　[設磁場區域的半徑為R，根據幾何關系可知，帶電粒子以v1射入磁場時，在磁場中運動的軌跡半徑r1＝R，帶電粒子以v2射入磁場時，在磁場中運動的軌跡半徑r2＝＝R，根據洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，可得r＝，則＝＝，B正確。](共50張PPT)
專題提升三　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動　
第一章　安培力與洛倫茲力
會分析帶電粒子在直線邊界、平行邊界、圓形邊界、三角形邊界等有界勻強磁場中的運動。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
課后鞏固訓練
03
隨堂對點自測
02
提升
1
提升2　帶電粒子在平行邊界或三角形邊界勻強磁場中的運動
提升1　帶電粒子在直線邊界勻強磁場中的運動
提升3　帶電粒子在圓形邊界勻強磁場中的運動
提升1　帶電粒子在直線邊界勻強磁場中的運動
如圖所示，進出磁場具有對稱性，射入和射出磁場時，速度與邊界夾角大小相等。
例1 如圖所示，一個質量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子從x軸正方向上的P點以速度v沿與x軸成60°角的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直y軸射出第一象限。已知OP＝a，不計帶電粒子的重力。求：
(1)帶電粒子在磁場中運動的半徑；
(2)勻強磁場的磁感應強度B的大小；
(3)帶電粒子穿過第一象限所用的時間。
A.1∶2 B.2∶1
C.3∶4 D.3∶2
C
解析　帶電粒子在第二象限和第一象限中運動的軌跡如圖所示，
提升2　帶電粒子在平行邊界或三角形邊界勻強磁場中的運動
1.平行邊界
這種情況經常出現帶電粒子恰好從磁場飛出(或恰好飛不出)的臨界問題，通常有兩種情況，一種是從磁場邊界端點飛出，如圖甲所示；另一種是與磁場邊界相切，如圖乙、丙所示。
例2 帶電粒子的質量m＝1.7×10－27 kg，電荷量q＝＋1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s 沿垂直于磁場同時又垂直于磁場邊界的方向進入勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B＝0.17 T，磁場的寬度L＝10 cm，如圖所示(粒子重力忽略不計，結果保留2位有效數字)。求：
(1)帶電粒子離開磁場時的速度大小；
(2)帶電粒子在磁場中運動的時間；
(3)帶電粒子在離開磁場時偏離入射方向的距離d。
解析　(1)由于洛倫茲力不做功，所以帶電粒子離開磁場時速度大小仍為3.2×106 m/s。
(3)帶電粒子在離開磁場時偏離入射方向的距離
2.三角形邊界
如圖所示是等邊三角形ABC區域內某帶正電的粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖，粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
例3 (多選)如圖所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC區域內，有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。從A點沿AB有一束同種粒子以不同速率射入磁場，粒子在磁場中做圓周運動。其中某一速度的粒子的運動軌跡恰好與BC邊相切，最終從AC邊射出，總用時為t0。不計粒子的重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是(　　)
BC
解析　粒子運動軌跡恰好與BC邊相切，最終從AC邊射出，即粒子軌跡如圖所示，
根據左手定則，粒子帶負電，A錯誤；
根據幾何關系，軌跡圓半徑R＝L，B正確；
粒子恰好不能從BC邊飛出時，粒子運動軌跡與BC相切，結合幾何知識可知，
提升3　帶電粒子在圓形邊界勻強磁場中的運動
1.粒子沿圓形區域勻強磁場的半徑方向垂直射入磁場，必沿半徑方向射出磁場，如圖甲所示。
2.粒子射入磁場的速度方向與入射點和磁場圓心連線的夾角等于射出磁場的速度方向與出射點和磁場圓心連線的夾角，如圖乙所示。
例4 在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區域內，存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿－x方向射入磁場，它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿＋y方向飛出。
隨堂對點自測
2
B
1.(直線邊界)如圖所示，在第Ⅰ象限內有垂直紙面向里的勻強磁場，一對質量與電荷量都相等的正、負粒子分別以相同速率沿與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，不計粒子重力，則正、負粒子在磁場中運動的時間之比為(　　)
BC
2.(正方形邊界)(多選)(2024·四川成都高二月考)如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入一正方形區域的勻強磁場(未畫出)，不計電子間的相互作用。下列判斷正確的是(　　)
A.電子在磁場中運動時間越長，其軌跡越長
B.電子在磁場中運動時間越長，其軌跡所對應的圓心角越大
C.在磁場中運動時間相同的電子，其軌跡不一定重合
D.電子的速率不同，它們在磁場中運動的時間一定不相同
B
課后鞏固訓練
3
AD
題組一　帶電粒子在直線邊界勻強磁場中的運動
1.(多選)如圖所示，兩個初速度大小相同的同種粒子a和b，從O點沿垂直磁場方向進入勻強磁場，最后打到屏P上。不計重力，下列說法正確的有(　　)
基礎對點練
A.a、b均帶正電
B.a在磁場中運動的時間比b的短
C.a在磁場中運動的路程比b的短
D.a在P上的落點與O點的距離比b的近
D
2.如圖所示為測量磁感應強度的裝置，粒子源O能夠穩定地發射出速度為v、比荷為k的帶正電粒子。將裝置放置在被測磁場中，粒子從O點垂直ON和磁場方向進入磁場，經磁場偏轉后，垂直打在底片MN上的A點，測出OA距離，從而確定被測磁場的磁感應強度B。已知OM＝MN＝L，不計重力，則此裝置能測量的磁感應強度范圍是(　　)
BC
題組二　帶電粒子在平行邊界或三角形邊界勻強磁場中的運動
3.(多選)(2024·山西大同高二期末)如圖所示，一束電子從M點垂直于磁場左邊界，射入邊界平行、寬度為d、磁感應強度大小為B的勻強磁場，射入速度為v，從右邊界上的N點穿出磁場時，速度方向與原來射入方向的夾角為θ＝60°，則(　　)
BD
4.(多選)如圖所示，直角三角形ABC中存在一勻強磁場，比荷相同的兩個帶電粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點射出，不計粒子重力，則(　　)
A.從P射出的粒子速度大
B.從Q射出的粒子速度大
C.從P射出的粒子在磁場中運動的時間長
D.兩粒子在磁場中運動的時間一樣長
C
題組三　帶電粒子在圓形邊界勻強磁場中的運動
5.兩個質量相同、所帶電荷量相等的帶電粒子a、b，以不同的速率對準圓心O沿著AO方向射入圓形勻強磁場區域，其運動軌跡如圖所示。不計粒子的重力，下列說法正確的是(　　)
A.a粒子帶正電，b粒子帶負電
B.a粒子在磁場中所受洛倫茲力較大
C.b粒子動能較大
D.b粒子在磁場中運動時間較長
CD
C
綜合提升練
7.真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區域內，磁場的磁感應強度最小為(　　)
D
8.(2024·福建漳州高二期中)如圖所示，圓形區域內存在著垂直于紙面向外的勻強磁場，比荷相同的兩個粒子沿直徑AB方向從A點射入磁場中，分別從圓弧上的P、Q兩點射出，下列說法正確的是(　　)
A.兩粒子分別從A到P、Q經歷時間之比為3∶1
B.粒子在磁場中做勻速圓周運動周期之比為2∶1
C.粒子在磁場中速率之比為1∶3
D.粒子在磁場中運動的軌道半徑之比為3∶1
AC
9.(多選)(2024·安徽阜陽臨泉一中高二期中)如圖所示，邊長為L的正方形區域內存在垂直紙面向里的勻強磁場。一個帶電粒子靜止在正方形的中心O處，某時刻分裂成兩個帶正電的粒子a、b，粒子a從中心O水平向左射出，粒子b從中心O水平向右射出，經一段時間a、b兩粒子同時射出磁場區域，已知粒子a恰從A處飛出磁場，粒子b從CD邊某處飛出，飛出磁場時速度與CD邊的夾角為60°，若忽略重力和粒子間的相互作用力，則下列判斷正確的是(　　)
A.a、b兩帶電粒子的半徑之比為1∶2
B.a、b兩帶電粒子的速度大小之比為2∶3
C.a、b兩帶電粒子的質量之比為2∶3
D.a、b兩帶電粒子的比荷之比為2∶3
10.(2024·廣東深圳高二期中)如圖所示， 在平面直角坐標系xOy的第四象限有垂直紙面向里的勻強磁場，一質量為 m＝5.0×10－8 kg、電荷量為 q＝1.0×10－6 C的帶電粒子。從靜止開始經U0＝2.5 V的電壓加速后，從P點沿圖示方向進入磁場，已知OP＝16 cm(粒子重力不計，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1) 帶電粒子到達 P 點時速度v大小；
(2)若要求粒子不能進入x軸上方，磁感應強度的最小值B是多大(要求畫出粒子運動的軌跡)。
答案　(1)10 m/s　(2)5 T
代入數據得v＝10 m/s。
(2)帶電粒子恰好不從x軸射出，其軌跡與x軸相切，如圖所示，
由幾何關系得OP＝R＋Rcos 53°
其中OP＝16 cm＝0.16 m
(1)兩粒子在磁場邊界上的穿出點A、B之間的距離d；
(2)兩粒子進入磁場的時間間隔Δt。
解析　(1)粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，有
兩粒子的運動軌跡如圖所示，則

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