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專題提升四　帶電粒子在勻強磁場中的臨界和多解問題
(分值：100分)
選擇題1～6題，每小題10分，共60分。
基礎對點練
題組一　帶電粒子在有界勻強磁場中的臨界問題
1.(2024·山東菏澤高二期中)如圖所示，正方形abcd區域(包含邊界)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為q的正電粒子從a點沿著ab方向射入磁場中，邊長為l，不計粒子的重力，為使粒子從cd邊射出磁場區域，粒子的速度可能為(　　)
2.(2024·甘肅蘭州高二期中)中國環流器二號M裝置(HL2M)在成都建成并實現首次放電，該裝置通過磁場將粒子約束在小范圍內實現核聚變。其簡化模型如圖所示，半徑為R和R的兩個同心圓之間的環形區域存在與環面垂直的勻強磁場，核聚變原料氕核(H)和氘核(H)均以相同的速率從圓心O沿半徑方向射出，全部被約束在大圓形區域內。則氕核在磁場中運動的半徑最大為(　　)
R R
R (－1)R
3.如圖所示，半徑分別為R、2R的兩個同心圓，圓心為O，大圓和小圓所夾的環狀區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，其余區域無磁場。一重力不計的帶正電粒子從大圓邊緣的P點沿PO方向以速度v1射入磁場，其運動軌跡如圖所示，圖中軌跡所對應的圓心角為120°。若將該帶電粒子從P點射入的速度大小變為v2，要求不論其入射方向如何，都不可能射入小圓內部區域，則v1∶v2至少為(　　)
題組二　帶電粒子在有界勻強磁場中的多解問題
4.(多選)質量為m、電荷量為q的負電荷，在磁感應強度為B的勻強磁場中，繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運動，若磁場方向垂直于它的運動平面，且作用在負電荷的靜電力是洛倫茲力的3倍，則負電荷做勻速圓周運動的角速度可能是(　　)
5.(多選)(2024·安徽合肥高二期中)如圖所示，寬度為L的有界勻強磁場，磁感應強度為B，AC和DE是它的兩條邊界。現有質量為m、電荷量的絕對值為q的帶電粒子以θ＝45°方向射入磁場。要使粒子不能從邊界DE射出，則粒子入射速度v的最大值可能是(　　)
綜合提升練
6.如圖所示，空間存在方向垂直紙面的勻強磁場，一粒子發射源P位于足夠大的絕緣平板MN的上方距離為d處，在紙面內向各個方向發射速率均為v的同種帶電粒子，不考慮粒子間的相互作用和粒子重力，已知粒子做圓周運動的半徑大小也為d，則粒子(　　)
能打在板上的區域長度為2d
能打在板上的點與P點的最遠距離為d
到達板上的最長時間為
到達板上的最短時間為
7.(20分)如圖所示，一足夠長的矩形區域abcd內，有磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場。現從矩形區域ad邊的中點O處垂直磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v的帶電粒子。已知帶電粒子的質量為m，電荷量為q，ad邊長為L，重力影響忽略。試求：
(1)(10分)粒子能從ab邊射出磁場的v的范圍；
(2)(10分)如果帶電粒子不受上述v大小范圍的限制，粒子在磁場中運動的最長時間。
培優加強練
8.(20分)如圖所示，空間中有一坐標系xOy，其第一象限內充滿著兩個勻強磁場區域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是它們的邊界，區域Ⅰ中的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外；區域Ⅱ中的磁感應強度為2B，方向垂直紙面向里，邊界上的P點坐標為(4L，3L)。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P點平行于y軸沿負方向射入區域Ⅰ，經過一段時間后，粒子恰好經過原點O，忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)(10分)粒子從P點運動到O點的時間至少為多少？
(2)(10分)粒子的速度大小可能是多少？
專題提升四　帶電粒子在勻強磁場中的臨界和多解問題
1.C　[根據洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，可得R＝，可知對于同一粒子或比荷相同的粒子，在同一磁場中做圓周運動的軌跡半徑由速度決定，速度越大軌跡半徑越大，速度越小則軌跡半徑越小。因此，粒子若要從cd邊射出磁場區域，則恰好從d點出射時，粒子有最小速度，且此時ad為粒子軌跡的直徑，有＝，解得vmin＝，若粒子恰好從c點射出，粒子有最大速度，根據幾何關系可知，此時粒子的軌跡半徑為l，則有l＝，解得vmax＝，綜上可知，若粒子從cd邊射出磁場區域，則粒子速度的取值范圍為≤v≤，故C正確。]
2.A　[依題意，氕核、氘核全部被約束在大圓形區域內，根據qvB＝m，得r＝，由于二者速率相同，根據半徑與比荷的關系，可知氕核、氘核在磁場中的軌跡半徑之比為1∶2。當氘核在磁場中運動軌跡剛好與磁場外邊界相切時，氘核運動軌跡半徑最大，由幾何知識得(R－rmax)2＝r＋R2，求得氘核的最大半徑為rmax＝R，所以，氕核在磁場中運動的最大半徑為rmax′＝rmax＝R，故A正確。]
3.A　[粒子沿PO方向以速度v1射入磁場時，粒子在磁場中做勻速圓周運動，由幾何知識得r1＝＝；洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qv1B＝m，解得v1＝。假設粒子從P點豎直向上射入磁場，如果粒子不能進入小圓區域，則所有粒子都不可能進入小圓區域；粒子從P點豎直向上射入磁場恰好不能進入小圓區域時，軌跡半徑r2＝，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qv2B＝m，解得v2＝。故v1∶v2＝，選項A正確，B、C、D錯誤。]
4.AC　[磁場方向垂直于負電荷運動平面，其方向存在兩種情形。設負電荷做勻速圓周運動的速度為v、軌道半徑為r，當運動負電荷受到的靜電力和洛倫茲力方向相同時，4qvB＝m，得v＝；根據勻速圓周運動線速度和角速度之間的關系ω＝＝；當運動負電荷受靜電力和洛倫茲力方向相反時，同理得ω′＝，故A、C正確。]
5.BD　[題目中只給出粒子“電荷量的絕對值為q”，未說明是帶哪種電荷。如圖所示，若q為正電荷，軌跡為如圖所示的左方與DE相切的圓弧，軌道半徑R1＝，又L＝R1－R1cos 45°，得v1＝，若q為負電荷，軌跡為如圖所示的右方與DE相切的圓弧，則有R2＝，L＝R2＋R2cos 45°，得v2＝，則粒子入射速度v的最大值可能是(q為正電荷)或(q為負電荷)，故B、D正確。]
6.C　[打在板上的粒子軌跡的臨界狀態如圖甲所示，左端粒子軌跡與平板相切，右邊為直徑與平板的交點。根據幾何關系知，帶電粒子能打在板上的長度l＝r＋＝(1＋)r＝(1＋)d，A錯誤；由圖甲可以看出打在板上最遠點是B點，由幾何關系知，它與P點的距離是2d，B錯誤；
在磁場中運動時間最長和最短粒子運動軌跡示意圖如圖乙中的1和2所示，由幾何關系知，最長時間t1＝T(弧長最長)，最短時間t2＝T(弧長最短)。由于粒子在磁場中運動的周期T＝＝，由此可得t1＝，t2＝，故C正確，D錯誤。]
7.(1)解析　(1)當v較小時，運動軌跡恰好與ab邊相切；當v較大時，恰好與cd邊相切，然后從ab邊穿出，如圖所示。
當速度較小為v1時，有
r＋rsin 30°＝L
解得r＝
又由半徑公式r＝可得v1＝
當速度較大時，設為v2，由幾何關系知r＝L
又由半徑公式r＝得v2＝
可得，帶電粒子在磁場中從ab邊射出時，其速度范圍為
(2)帶電粒子在磁場中運動的周期為T＝
要使帶電粒子運動時間最長，其運動軌跡對應的圓心角應最大，所以粒子在磁場中運動一段時間后從Oa邊穿出時，對應的運動時間最長，即有
tmax＝T＝·＝。
8.(1)　(2)(n＝1，2，3，…)
解析　(1)設粒子的入射速度為v，用r1、r2、T1、T2分別表示粒子在磁場Ⅰ區和Ⅱ區中運動的軌跡半徑和周期，
則有qvB＝m，qv·2B＝m
解得r1＝，r2＝
T1＝＝，T2＝＝
粒子先在磁場Ⅰ區中做順時針的圓周運動，后在磁場Ⅱ區中做逆時針的圓周運動，然后從O點射出，這樣粒子從P點運動到O點所用的時間最短，粒子運動軌跡如圖所示。
tan α＝＝0.75
得α＝37°，α＋β＝90°
粒子在磁場Ⅰ區和Ⅱ區中的運動時間分別為
t1＝T1，t2＝T2
粒子從P點運動到O點的時間至少為t＝t1＋t2
聯立解得t＝。
(2)當粒子的速度大小滿足一定條件時，粒子先在磁場Ⅰ區中運動，后在磁場Ⅱ區中運動，然后又重復前面的運動，直到經過原點O。這樣粒子經過n個周期性的運動到達O點，每個周期的運動情況相同，粒子在一個周期內的位移為
s＝＝＝(n＝1，2，3，…)
粒子每次在磁場Ⅰ區中運動的位移為
s1＝s＝s
由圖中的幾何關系可知＝cos α
由以上各式解得粒子的速度大小可能為
v＝(n＝1，2，3，…)。專題提升四　帶電粒子在勻強磁場中的臨界和多解問題
學習目標　1.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題。2.會分析帶電粒子在勻強磁場中運動的多解問題，知道產生多解的原因。
提升1　帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的關鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態，根據磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解。
(1)剛好穿出或剛好不能穿出磁場的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。
(2)當以一定的速率垂直射入磁場時，運動的弧長越長、圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中的運動時間越長。
(3)當比荷相同，速率v變化時，圓心角越大時，運動時間越長。
例1 (多選)如圖，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入一正方形勻強磁場區域，對從右邊界ab離開磁場的電子，下列判斷正確的是(　　)
A.從a點離開的電子速度最小
B.從a點離開的電子在磁場中運動的時間最短
C.從b點離開的電子運動半徑最小
D.從b點離開的電子速度偏轉角最小
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如圖所示，真空中狹長區域內的勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，區域寬度為d，邊界為CD和EF，速度為v的電子從邊界CD外側沿垂直于磁場方向射入磁場，入射方向與CD的夾角為θ，已知電子的質量為m、帶電荷量為e，為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應滿足的條件是(　　)
A.v> B.v<
C.v> D.v<
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
　　　　　　　　　　　　　　
1.帶電粒子電性不確定形成多解。如圖甲中做勻速圓周運動的粒子可能帶正電，也可能帶負電，因帶電性質不確定，軌跡不確定，形成多解。
甲
2.磁場方向不確定帶來多解。如描述的磁場垂直于紙面，需分垂直紙面向外、垂直紙面向里兩種情況進行討論。
3.臨界狀態不唯一形成多解。如圖乙中帶電粒子不打在下極板上，粒子的速度有兩種情況：v≤v1或v≥v2。
4.運動的周期性帶來多解。如帶電粒子在如圖丙所示電磁組合場中會做周期性運動，從而形成多解。
　
乙　　　　　　　　　丙
角度1　帶電粒子電性不確定形成多解
例3 (多選)如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，MN是它的下邊界。現有質量為m、電荷量為q的帶電粒子與MN成30°角垂直射入磁場，則粒子在磁場中運動的時間可能為(　　)
A. B.
C. D.
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　磁場方向不確定形成多解
例4 (多選)如圖所示，A點的離子源在紙面內沿垂直OQ的方向向上射出一束負離子，重力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間夾角為30°。則所加磁場的磁感應強度B應滿足(　　)
A.垂直紙面向里，B>
B.垂直紙面向里，B>
C.垂直紙面向外，B>
D.垂直紙面向外，B>
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　臨界狀態不唯一形成多解
例5 (多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，板間距離也為l，板不帶電。現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　)
A.使粒子的速度v＜
B.使粒子的速度v＞
C.使粒子的速度v＞
D.使粒子的速度 ＜v＜
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度4　運動的周期性形成多解
例6 如圖所示，邊長為l的等邊三角形ACD內、外分布著方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為B。頂點A處有一粒子源，能沿∠CAD的角平分線方向發射不同速度的粒子，粒子質量均為m，電荷量均為＋q，不計粒子重力。則粒子以下列哪一速度發射時不能通過D點(　　)
A. B.
C. D.
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解決帶電粒子在勻強磁場中運動的多解問題的關鍵是充分考慮問題的各種可能性，認真分析其物理過程，畫出各種可能的運動軌跡，找出隱含的幾何關系，綜合運用數學、物理知識求解。
隨堂對點自測
1.(臨界問題)如圖所示，在區域MNQP中有一垂直紙面向里的勻強磁場。質量和電荷量都相等的帶電粒子a、b、c以不同的速率從O點沿垂直于PQ的方向射入磁場，圖中實線是它們的軌跡。已知O是PQ的中點，不計粒子重力。下列說法中正確的是(　　)
A.射入磁場時粒子a的速率最小
B.粒子a帶負電，粒子b、c帶正電
C.射出磁場時粒子b的動能最小
D.粒子b在磁場中運動的時間最短
2.(多解問題)(多選)如圖所示，直線MN與水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直紙面向外的勻強磁場，左下方存在垂直紙面向里的勻強磁場，兩磁場的磁感應強度大小均為B。一粒子源位于MN上的a點，能水平向右發射不同速率、質量為m(重力不計)、電荷量為q(q>0)的同種粒子，所有粒子均能通過MN上的b點，已知ab＝L，則粒子的速度可能是(　　)
A. B.
C. D.
專題提升四　帶電粒子在勻強磁場中的臨界和多解問題
提升1
例1 BC　[對于從右邊界ab離開磁場的電子，從a點離開的軌跡半徑最大，從b點離開的軌跡半徑最小，根據r＝知，軌跡半徑越大，電子的速度越大，則從a點離開的電子速度最大，A錯誤，C正確；從a點離開的電子速度偏轉角最小，則軌跡對應的圓心角θ最小，根據t＝T＝·＝，知運動時間與電子的速度無關，θ越小，運動的時間越短，B正確，D錯誤。]
例2 A　[由題意可知，電子從邊界EF射出的臨界條件為到達邊界EF時，速度方向與EF平行，即運動軌跡與EF相切，如圖所示。由幾何知識得：
R＋Rcos θ＝d，R＝
解得v0＝，當v＞v0時，電子能從邊界EF射出，故A正確。]
提升2
例3 AD　[由于帶電粒子的電性不確定，其軌跡可能是如圖所示的兩種情況。
由qvB＝m和T＝得T＝。由圖可知，若為正電荷，軌跡對應的圓心角為θ1＝300°，若為負電荷，軌跡對應的圓心角為θ2＝60°，則對應時間分別為t1＝T＝，t2＝T＝。選項A、D正確。]
例4 BC　[當所加勻強磁場方向垂直紙面向里時，由左手定則可知負離子向右偏轉，負離子被約束在OP之下的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP相切，如圖(大圓弧)，由幾何知識知r2＝OO2sin 30°＝OO2，而OO2＝s＋r2，故r2＝s，所以當離子運動軌跡的半徑小于s時滿足約束條件，由牛頓第二定律可得qvB＝m，解得B>，選項A錯誤，B正確；當所加勻強磁場方向垂直紙面向外時，由左手定則可知負離子向左偏轉，負離子被約束在OP之下的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP相切，如圖(小圓弧)，由幾何知識知r1＝，所以當離子運動軌跡的半徑小于時滿足約束條件；由牛頓第二定律得qvB＝，解得B>，選項C正確，D錯誤。]
例5 AB　[欲使粒子不打在極板上，如圖所示，
帶正電的粒子從左邊射出磁場時，其在磁場中圓周運動的半徑r＜
粒子在磁場中做圓周運動由洛倫茲力提供向心力，根據
qvB＝m
可得粒子做圓周運動的半徑r＝
所以粒子從左邊射出不打到極板上滿足
＜，即v＜
帶正電的粒子從右邊射出，如圖所示，此時粒子的最小半徑為r′，由幾何關系有r′2＝l2＋2
可得粒子做圓周運動的最小半徑r′＝
則＞
即v＞
故欲使粒子不打在極板上，粒子的速度必須滿足v＜或v＞，故選項A、B正確。]
例6 C　[粒子帶正電，且經過D點，其可能的軌跡如圖所示：
所有圓弧所對的圓心角均為60°，所以粒子運動的半徑為r＝(n＝1，2，3，…)；粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，故C正確。]
隨堂對點自測
1.D　[粒子在磁場中做勻速圓周運動時，由洛倫茲力提供向心力，即qvB＝m，解得v＝，由題圖可知，射入磁場時粒子c的半徑最小，則速率最小，A錯誤；由題圖可知，a向左偏，b、c向右偏，根據左手定則知粒子a帶正電，粒子b、c帶負電，B錯誤；粒子的動能Ek＝mv2＝，由于q、B、m都相同，因此r越大，粒子動能越大，由題圖可知，b的軌跡半徑r最大，則粒子b動能最大；c的半徑最小，則動能最小，C錯誤；粒子在磁場中做圓周運動的周期T＝，粒子在磁場中的運動時間t＝T＝，其中θ為轉過的圓心角，由于m、q、B都相同，粒子c轉過的圓心角θ最大，則在磁場中c的運動時間最長，粒子b轉過的圓心角θ最小，則在磁場中粒子b的運動時間最短，D正確。]
2.AB　[由題意可知，粒子可能的運動軌跡如圖所示，所有圓弧所對的圓心角均為120°，所以粒子運動的半徑為r＝·(n＝1，2，3，…)；粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，得qvB＝m，則v＝＝·(n＝1，2，3，…)，選項A、B正確。](共47張PPT)
專題提升四　帶電粒子在勻強磁場中的臨界和多解問題　
第一章　安培力與洛倫茲力
1.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題。
2.會分析帶電粒子在勻強磁場中運動的多解問題，知道產生多解的原因。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
課后鞏固訓練
03
隨堂對點自測
02
提升
1
提升2　帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
提升1　帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
提升1　帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題的關鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態，根據磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解。
(1)剛好穿出或剛好不能穿出磁場的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。
(2)當以一定的速率垂直射入磁場時，運動的弧長越長、圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中的運動時間越長。
(3)當比荷相同，速率v變化時，圓心角越大時，運動時間越長。
BC
例1 (多選)如圖，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入一正方形勻強磁場區域，對從右邊界ab離開磁場的電子，下列判斷正確的是(　　)
A.從a點離開的電子速度最小
B.從a點離開的電子在磁場中運動的時間最短
C.從b點離開的電子運動半徑最小
D.從b點離開的電子速度偏轉角最小
A
例2 如圖所示，真空中狹長區域內的勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，區域寬度為d，邊界為CD和EF，速度為v的電子從邊界CD外側沿垂直于磁場方向射入磁場，入射方向與CD的夾角為θ，已知電子的質量為m、帶電荷量為e，為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應滿足的條件是(　　)
解析　由題意可知，電子從邊界EF射出的臨界條件為到達邊界EF時，速度方向與EF平行，即運動軌跡與EF相切，如圖所示。由幾何知識得：
提升2　帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
1.帶電粒子電性不確定形成多解。如圖甲中做勻速圓周運動的粒子可能帶正電，也可能帶負電，因帶電性質不確定，軌跡不確定，形成多解。
甲
2.磁場方向不確定帶來多解。如描述的磁場垂直于紙面，需分垂直紙面向外、垂直紙面向里兩種情況進行討論。
3.臨界狀態不唯一形成多解。如圖乙中帶電粒子不打在下極板上，粒子的速度有兩種情況：v≤v1或v≥v2。
4.運動的周期性帶來多解。如帶電粒子在如圖丙所示電磁組合場中會做周期性運動，從而形成多解。
乙　　　　　　　　 　丙
AD
角度1　帶電粒子電性不確定形成多解
例3 (多選)如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，MN是它的下邊界。現有質量為m、電荷量為q的帶電粒子與MN成30°角垂直射入磁場，則粒子在磁場中運動的時間可能為(　　)
解析　由于帶電粒子的電性不確定，其軌跡可能是如圖所示的兩種情況。
BC
AB
角度3　臨界狀態不唯一形成多解
例5 (多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，板間距離也為l，板不帶電。現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　)
粒子在磁場中做圓周運動由洛倫茲力提供向心力，根據
C
角度4　運動的周期性形成多解
例6 如圖所示，邊長為l的等邊三角形ACD內、外分布著方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為B。頂點A處有一粒子源，能沿∠CAD的角平分線方向發射不同速度的粒子，粒子質量均為m，電荷量均為＋q，不計粒子重力。則粒子以下列哪一速度發射時不能通過D點(　　)
解析　粒子帶正電，且經過D點，其可能的軌跡如圖所示：
解決帶電粒子在勻強磁場中運動的多解問題的關鍵是充分考慮問題的各種可能性，認真分析其物理過程，畫出各種可能的運動軌跡，找出隱含的幾何關系，綜合運用數學、物理知識求解。
隨堂對點自測
2
D
1.(臨界問題)如圖所示，在區域MNQP中有一垂直紙面向里的勻強磁場。質量和電荷量都相等的帶電粒子a、b、c以不同的速率從O點沿垂直于PQ的方向射入磁場，圖中實線是它們的軌跡。已知O是PQ的中點，不計粒子重力。下列說法中正確的是(　　)
A.射入磁場時粒子a的速率最小
B.粒子a帶負電，粒子b、c帶正電
C.射出磁場時粒子b的動能最小
D.粒子b在磁場中運動的時間最短
AB
2.(多解問題)(多選)如圖所示，直線MN與水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直紙面向外的勻強磁場，左下方存在垂直紙面向里的勻強磁場，兩磁場的磁感應強度大小均為B。一粒子源位于MN上的a點，能水平向右發射不同速率、質量為m(重力不計)、電荷量為q(q>0)的同種粒子，所有粒子均能通過MN上的b點，已知ab＝L，則粒子的速度可能是(　　 )
課后鞏固訓練
3
C
題組一　帶電粒子在有界勻強磁場中的臨界問題
1.(2024·山東菏澤高二期中)如圖所示，正方形abcd區域(包含邊界)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為q的正電粒子從a點沿著ab方向射入磁場中，邊長為l，不計粒子的重力，為使粒子從cd邊射出磁場區域，粒子的速度可能為(　　)
基礎對點練
A
A
3.如圖所示，半徑分別為R、2R的兩個同心圓，圓心為O，大圓和小圓所夾的環狀區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，其余區域無磁場。一重力不計的帶正電粒子從大圓邊緣的P點沿PO方向以速度v1射入磁場，其運動軌跡如圖所示，圖中軌跡所對應的圓心角為120°。若將該帶電粒子從P點射入的速度大小變為v2，要求不論其入射方向如何，都不可能射入小圓內部區域，則v1∶v2至少為(　　)
AC
題組二　帶電粒子在有界勻強磁場中的多解問題
4.(多選)質量為m、電荷量為q的負電荷，在磁感應強度為B的勻強磁場中，繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運動，若磁場方向垂直于它的運動平面，且作用在負電荷的靜電力是洛倫茲力的3倍，則負電荷做勻速圓周運動的角速度可能是(　　)
BD
5.(多選)(2024·安徽合肥高二期中)如圖所示，寬度為L的有界勻強磁場，磁感應強度為B，AC和DE是它的兩條邊界。現有質量為m、電荷量的絕對值為q的帶電粒子以θ＝45°方向射入磁場。要使粒子不能從邊界DE射出，則粒子入射速度v的最大值可能是(　　)
C
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6.如圖所示，空間存在方向垂直紙面的勻強磁場，一粒子發射源P位于足夠大的絕緣平板MN的上方距離為d處，在紙面內向各個方向發射速率均為v的同種帶電粒子，不考慮粒子間的相互作用和粒子重力，已知粒子做圓周運動的半徑大小也為d，則粒子(　　)
7.如圖所示，一足夠長的矩形區域abcd內，有磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場。現從矩形區域ad邊的中點O處垂直磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v的帶電粒子。已知帶電粒子的質量為m，電荷量為q，ad邊長為L，重力影響忽略。試求：
(1)粒子能從ab邊射出磁場的v的范圍；
(2)如果帶電粒子不受上述v大小范圍的限制，粒子在磁場中運動的最長時間。
解析　(1)當v較小時，運動軌跡恰好與ab邊相切；當v較大時，恰好與cd邊相切，然后從ab邊穿出，如圖所示。
要使帶電粒子運動時間最長，其運動軌跡對應的圓心角應最大，所以粒子在磁場中運動一段時間后從Oa邊穿出時，對應的運動時間最長，即有
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8.如圖所示，空間中有一坐標系xOy，其第一象限內充滿著兩個勻強磁場區域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是它們的邊界，區域Ⅰ中的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外；區域Ⅱ中的磁感應強度為2B，方向垂直紙面向里，邊界上的P點坐標為(4L，3L)。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P點平行于y軸沿負方向射入區域Ⅰ，經過一段時間后，粒子恰好經過原點O，忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)粒子從P點運動到O點的時間至少為多少？
(2)粒子的速度大小可能是多少？
粒子先在磁場Ⅰ區中做順時針的圓周運動，后在磁場Ⅱ區中做逆時針的圓周運動，然后從O點射出，這樣粒子從P點運動到O點所用的時間最短，粒子運動軌跡如圖所示。
(2)當粒子的速度大小滿足一定條件時，粒子先在磁場Ⅰ區中運動，后在磁場Ⅱ區中運動，然后又重復前面的運動，直到經過原點O。這樣粒子經過n個周期性的運動到達O點，每個周期的運動情況相同，粒子在一個周期內的位移為

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