資源簡介

重難點突破01 玩轉指對冪比較大小
目錄
01 方法技巧與總結 2
02題型歸納總結 3
題型一：直接利用單調性 3
題型二：引入媒介值 4
題型三：含變量問題 6
題型四：構造函數 9
題型五：數形結合 12
題型六：特殊值法、估算法 19
題型七：放縮法 20
題型八：不定方程 23
題型九：泰勒展開 26
題型十：同構法 28
題型十一：帕德逼近估算法 32
03過關測試 33
（1）利用函數與方程的思想，構造函數，結合導數研究其單調性或極值，從而確定a，b，c的大小．
（2）指、對、冪大小比較的常用方法：
①底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；
②指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；
④底數、指數、真數都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定．
（3）轉化為兩函數圖象交點的橫坐標
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常見函數的麥克勞林展開式：
①
②
③
④
⑤
⑥
題型一：直接利用單調性
【典例1-1】記，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，冪函數在上單調遞增，
又，所以，
所以，
又對數函數在上單調遞減，所以，
故.
故選：D.
【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則實數a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由在R上單調遞增，可得，又，
則．
由在上單調遞增，可得．
由在上單調遞增，可得．
所以，
故選：A．
【變式1-1】設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，
所以，則，即，
因為，，
所以，所以，則，即，
又，所以，
所以.
故選：D
【變式1-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題知，，，因為在定義域內單調遞增，
所以，即，
因為在定義域內單調遞減，所以，即，
因為在上單調遞減，所以，即，
綜上：.
故選：D
題型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·甘肅蘭州·二模）故，，，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以，
故選：D
【典例2-2】（2024·高三·廣西·開學考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因為，所以，
因為，所以，
所以，
故選：A.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，那么，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，則，即，
，即，
，故
故選：B
【變式2-2】（2024·江西上饒·模擬預測）設，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得，，
，而，所以.
故選：B
題型三：含變量問題
【典例3-1】（2024·陜西西安·統考一模）設且，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
則
因為，所以，則，
因為，所以．
故選：A．
【典例3-2】（多選題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A選項中，因為，故在R上單調遞減，故，
因為在上單調遞增，故，綜上，，A正確；
B選項中，由于，而已知，所以B不正確；
C選項中，，
設，則，
設，
則，
所以在上遞增，這樣，故C正確；
D選項中，取，，則，，
又，故，所以D錯誤.
故選：AC.
【變式3-1】（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知x，y，z都為正數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】令，則，，，
所以，B錯誤；
（注意等號不成立），故，A正確；
（注意等號不成立），則，C正確，
由，令且，
則，
由，
因為，故，
綜上，，即在上單調遞減，
所以，故恒成立，即，D正確.
故選：ACD
【變式3-2】（多選題）（2024·山西·模擬預測）已知當時，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因為，令，，則，
令，，則，A正確；
因為，則，，…，，以上各式相加有，B錯誤；
由得，，即，
于是，，，…，，
以上各式相加有，即，C正確；
由得，，因此，
設，，
則，所以，D正確．
故選：ACD
【變式3-3】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）已知正實數a，b，c滿足，則一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由正實數a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等價于，
構造函數，
，
當時，
故在上遞增，從而．
又取時，原式為同樣成立，
故CD不正確，
故選：AB
題型四：構造函數
【典例4-1】設，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】構造函數，的定義域為，
，令可得：，令可得：，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
故，即，
變形可得，即，所以；
又，所以，又因為，
所以，綜上，，
故選：B．
【典例4-2】（2024·湖北武漢·二模）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
設，，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，所以，
設，，則，
所以在上單調遞增，
所以，即，
綜上，
設，，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即，所以，
所以
故選：B.
【變式4-1】設，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，則，
易知，且，
所以在上單調遞減，在上單調遞增；在上單調遞增，在上單調遞減，
即，在時取得等號，
且，在時取得等號，則，在時取得等號，
所以，即.
故選：D
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，所以，，
令，則，
令，則恒成立，
所以在上單調遞減，則，
所以在上恒成立，則上單調遞減，又，
所以，即，即，
所以，則；
因為，所以，而，
令，則，
令，則恒成立，
所以在上單調遞減，則，
所以在上恒成立，則上單調遞減，又，
所以，即，即，
所以，則；
綜上，.
故選：B．
【變式4-3】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞增；
又，所以，
所以；
，，
設，，
，所以函數在區間上單調遞減，
所以，
所以，又，
所以，則，
綜上，.
故選：C.
題型五：數形結合
【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，，當時，
，單減，故，即；
設，，當時，，
所以，即，即；
，故最小，
，，，
因為，所以，所以，，
所以
故選：C
【典例5-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，
設0，所以，
所以函數在上單調遞增，
所以，即.
根據已知得，
可設，
則，
所以函數在上單調遞增，
所以，即.
綜上，.
故選：D.
【變式5-1】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，畫出的圖象，
故為下凸函數，
當時，
所以，.
設，畫出圖象，
故為上凸函數，當時，
所以，
同一坐標系內畫出和的圖象，
又在R上單調遞減，故，所以.
設，則，在上單調遞減，
所以時，
所以，，
所以，同理可得，，
相加得，，
所以.
故選：A
【變式5-2】（2024·四川廣安·二模）已知，，均為正數，，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可變形為：，可變形為：，可變形為：，
令，，，，且，
可知分別為函數與，，的交點橫坐標，
當時，單調遞增且，，
，，這三個函數全部單調遞減，且，，，，
由零點存在性定理可知：，所以只需判斷，，這三個函數的單調性，在范圍內下降速度快的，交點橫坐標小，下降速度慢的交點橫坐標大，
由圖象可知，下降速度最慢，所以最大，
，，時，，所以交點，
故選：B
【變式5-3】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，由，故，
由與在上單調遞增，故在上單調遞增，
又，，故，故B錯誤；
令，
由函數的圖象及的圖象可得在上只有一個零點，
由，故，
又，
，故，故C錯誤；
有，故A錯誤；，故D正確.
故選：D.
【變式5-4】雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士數學家，他酷愛數學，常常忘情地沉溺于數學之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一種常見的不等式．伯努利不等式的一種形式為：，，則．伯努利不等式是數學中的一種重要不等式，它的應用非常廣泛，尤其在概率論、統計學等領域中有著重要的作用．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
令，兩函數圖象如圖所示，
因為均單調遞增，且，
結合圖象可知當時，，即，
故，故；
如圖，單位圓A中，于，設，，
則的長度，，，
則由圖易得，，即，
所以，故；
綜上，.
故選：B.
【變式5-5】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，作出單位圓，與軸交于點，則，
過點作垂直于軸，交射線于點，連接，過點作⊥軸于點，
由三角函數定義可知，，，
設扇形的面積為，則，即，故，
因為，所以，
又，由得，即，
令，，
則，當時，，
故在上單調遞減，
所以，所以，
故，
綜上，.
故選：D
【變式5-6】（2024·江西南昌·三模）若，，，則正數大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，則為與交點的橫坐標，
由，則為與交點的橫坐標，
由，即，則為與交點的橫坐標，
作出，，，的圖象如下所示，
由圖可知，.
故選：B
題型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】若都不為零的實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取，滿足，但，A錯誤；
當，滿足，但，B錯誤；
因為，所以，所以，C正確；
當或時，無意義，故D錯誤．
故選：C
【典例6-2】已知，，，若，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】取，則，，，所以．
故選：B．
【變式6-1】已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，，可知，
又由，從而，可得，
因為，所以；
因為，從而，即，
由對數函數單調性可知，，
綜上所述，．
故選：B．
【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預測）若滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，所以，所以錯誤；
令，此時與無意義，所以錯誤；
因為，所以由不等式的性質可得，所以正確；
令，則，所以錯誤.
故選：.
題型七：放縮法
【典例7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則恒成立，
所以在單調遞增，
所以當時，，即；
令，則恒成立，
所以在單調遞增，
所以當時，，即；
由誘導公式得，
所以，因此；
因為，，
故只需比較與的大小，
由二項式定理得，，
所以．
綜上，.
故選：C
【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，
所以．
因為，，
所以．
綜上可知，．
故選：B．
【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
對于A，易得，所以，故A成立.
對于B，因為，所以，故B成立.
對于C，，
當且僅當時，等號成立，
顯然等號不成立，所以，故C不成立.
對于D，因為且，
所以，故D成立.
故選：C.
【變式7-2】（2024·江西宜春·模擬預測）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】顯然，，
因為，所以；
又因為，，
令，．則，
可知在上單調遞增，
則，可得，
令，，則在內恒成立，
可知在內單調遞增，
則，即，所以；
綜上所述：．
故選：A．
【變式7-3】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）設，，，則、、的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
因為，所以，
因為，
，
所以，
所以.
故選：D.
【變式7-4】下列大小關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A，由于，
所以，故，故A錯誤；
對于BCD，設，則，
當時，，此時單調遞減，
當時，，此時單調遞增，
因此，
即，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：C
題型八：不定方程
【典例8-1】已知a、b、c是正實數，且，則a、b、c的大小關系不可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，a、b、c是正實數，
所以，
因為，所以，
對于A，若，則，滿足題意；
對于B，若，則，滿足題意；
對于C，若，則，滿足題意；
對于D，若，則，不滿足題意．
故選：D．
【典例8-2】設實數，滿足，，則，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法比較
【答案】C
【解析】假設，則，，
由得，
因函數在上單調遞減，又，則，所以；
由得，
因函數在上單調遞減，又，則，所以；
即有與假設矛盾，所以，
故選：C
【變式8-1】已知實數、，滿足，，則關于、下列判斷正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】先比較與2的大小，
因為，
所以，
所以，即，
故排除，，
再比較與2 的大小，
易得，當時，由，得與矛盾，舍去，
故，則有，得，
令，，
令，則，
故，
故，
從而．
故選：．
【變式8-2】已知實數，滿足，，則下列判斷正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
故，
，，
故，即，
，且，
，，
令，
則，
故，即，
故，
故選：．
【變式8-3】若且，且，且，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令，則．
由得：．
函數在上單調遞增，在上單調遞減．
，，，，，，
（4）（a），（5）（b），（6）（c）．
，（6）（5）（4），（c）（b）（a），
又，，，，，都小于，．
故選：．
題型九：泰勒展開
【典例9-1】已知，則（ ）
【答案】A
【解析】設，則，，
，計算得，故選A．
【典例9-2】設，則的大小關系為___________．（從小到大順序排）
【答案】
【解析】，由函數切線放縮得，因此．
故答案為：
【變式9-1】設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故選
【變式9-2】，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，故選B
【變式9-3】（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，，，
設，，
則，
其中，
令，則，
當時，，∴在上單調遞減，，
∴當時，，， 在上單調遞增，
∴，即，∴有.
對于與，，
將泰勒展開，得，
，
∴.
綜上所述，，，的大小關系為.
故選：C.
題型十：同構法
【典例10-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列關系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
【答案】ABC
【解析】由
得，
令，則分別在和上單調遞增，
令，則分別在和上單調遞增，
當時，的值域為，當時，的值域為，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故選項A正確．
令，則方程
可化為，
由換底公式可得，
顯然關于b的方程在上有解，所以，使，故選項B正確．
當時，因為，所以．
又在上單調遞增，所以．
因為，
令，則在上單調遞增．
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項C正確．
當時，因為，所以．
又在上單調遞增，所以．
因為．
令，則在上單調遞增，
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項D錯誤．
故選：ABC．
【典例10-2】（多選題）已知，且滿足，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】等式，等號兩邊同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
構造函數，則，
顯然，函數在定義域內是增函數，
所以，即．
而，而，
故，故，故D正確.
故選：AD．
【變式10-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】當時，，
函數是正實數集的上的增函數，
因為，因此，顯然，
因此選項A不正確；
當時，，
函數是正實數集的上的增函數，
因為，因此，顯然，
因此選項B不正確；
因為，所以
由，
構造函數，顯然該函數單調遞增，
由，因此選項C不正確，選項D正確，
故選：D
【變式10-2】（2024·重慶·模擬預測）已知正實數 滿足 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得
因，則有即（*）
設，則（*）即，因在上為增函數，故可得：.
故選：B.
【變式10-3】（多選題）（2024·遼寧撫順·模擬預測）已知實數a，b滿足，，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C． D．
【答案】ABC
【解析】因為，
令函數，則，
則函數在上單調遞增，且，
可知當時，；當時，；
且，則有：
當時，，即，可得，故A正確；
當時，，即，可得，故B正確；
又因為當時，在定義域內單調遞減，可得；
當時，在定義域內單調遞增，可得，
所以C正確，D錯誤．
故選：ABC.
【變式10-4】（2024·陜西西安·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式，
令函數，求導得，令，求導得，
當時，，當時，，函數在上遞減，在上遞增，
，即，因此函數在R上遞增，
原不等式等價于，于是，
對于AB，取，有，AB錯誤；
對于CD，，即，C錯誤，D正確.
故選：D
題型十一：帕德逼近估算法
【典例11-1】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，綜上，.
故選：B
【典例11-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
綜上，．
故選：B.
【變式11-1】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，
綜上，．
故選：B
【變式11-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
.
綜上，．
故選：A
1．（2024·江西萍鄉·二模）已知，則這三個數的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，令得，令得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
因為，
且，
則，即.
故選：C.
2．（2024·寧夏銀川·三模）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題意，構造函數，則，
當時，，所以在區間上單調遞增，
因此可得，即，
所以，
又指數函數為單調遞增，可得，即，
因為，所以.
故選：A.
3．（2024·河南新鄉·三模）設，其中是自然對數的底數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令函數，求導得，即函數在上單調遞減，
而，又，因此，
所以.
故選：B
4．（2024·天津紅橋·二模）若，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，而，
所以a，b，c的大小關系為.
故選：C
5．已知，，，，則在，，，，，這6個數中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，
，，則，故，
又，，，，，故最小值是，
故選：C．
6．（2024·全國·模擬預測）已知，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，又，，即；
，，即，；
，可令，
，在上單調遞增，
，即，；
綜上所述：.
故選：A.
7．（2024·山西·模擬預測）已知實數滿足，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，且，，
令，則，
設，可得，所以為R上單調遞增函數，
因為，可得，即，
所以，即單調遞減，所以，即，
即，所以，
再設，可得，
所以在上在單調遞增，所以，即，
又因為，所以，所以，
綜上可得：.
故選：C.
8．（2024·湖北黃岡·二模）已知分別滿足下列關系：，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由可得
因，
又，故,即；
因，則由，
由函數，，因時，，
即函數在上單調遞減，則有，故得；
由，而，即，
綜上，則有.
故選：B.
9．（2024·青海西寧·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則.
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
則，故.
令，則.
當時，，單調遞減，
則，即.
故.
故選：A.
10．（2024·安徽·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
即，
令，
則在上恒成立，
故在上單調遞增，
則有，即，
令，
則在上恒成立，
故在上單調遞減，
則有，即，
故.
故選：A.
11．（2024·河南南陽·模擬預測）設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】得.
由得，
又.
取，則.
設，
則，
所以在區間內單調遞增，
又，則，
即，所以.
令，
則，
所以在區間內單調遞增，
則，
故，則，即，
所以.
故選：A.
12．（多選題）已知，，則下列說法正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A選項，因為，所以，
令，，
則，
因為，所以恒成立，
故在上單調遞減，
故，
則，故A錯誤；
B選項，由A選項可知，
，故B正確；
CD選項，由AB選項可知，，C正確，D錯誤.
故選：BC
13．（多選題）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】已知，則，有，
由，得，則，即，
所以，A選項正確；
函數，有，
時，，單調遞減，時，，單調遞增，
，，即，時等號成立，
已知，由，所以，B選項正確；
已知，則，，當且僅當，即等號成立，
所以，有，得，C選項錯誤；
設，有，則，，有，
設，有，
設，則，
所以，即，，
所以，在上恒成立，
得在上單調遞增，，即，D選項正確.
故選：ABD.
14．（多選題）已知函數為自然對數的底數），，若，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由題意，即，
而在定義域上遞增，故，
所以，即，A對，C錯；
由，，故零點，
所以，B對；
由，則，
而，顯然，則，故，
綜上，，D對.
故選：ABD
15．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預測）若正實數滿足，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因為，為單調遞增函數，故，
由于，故，或，
當時，，此時；
，故；
，；
當時，，此時，，故；，；
對于ABC，A正確，BC均錯誤；
對于D，，兩邊取自然對數，，
因為不管，還是，均有，
所以，故只需證即可，
設（且），則，
令（且），則，
當時，，當時，，
所以，所以在且上恒成立，
故（且）單調遞減，
因為，所以，結論得證，D正確．
故選：AD．
16．（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知，，，下面結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】A選項，變形得到，
因為，所以，故，
解得，當且僅當時，等號成立，A錯誤；
B選項，因為，所以，即，
又，所以，即，
因為，所以，同理可得，
由可得，故，
，所以，
故，解得，
又，即，所以，即，解得，
解得，綜上，，同理可得，
所以，故B正確；
C選項，因為，所以，解得，
當且僅當時，等號成立，
，C正確；
D選項，由B可知，，
設，，則，
故當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
又，所以，
所以，即，解得，
，
故選：BCD
17．若，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，所以，
令，所以，則，
，
所以，
即恒為遞增函數，
則，即，所以，
綜上：，
故選：A.
18．（2024·高三·四川成都·期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，則，
令，，
則，
令，，
則在上恒成立，
故在上單調遞增，
又，故在上恒成立，
將中換為可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上單調遞增，
由復合函數單調性可知在上單調遞增，
故，即.
故選：D
19．（2024·全國·模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．
取，則，，．
設，則，
所以在上單調遞增，則，即，所以．
令，則，
所以在上單調遞增，則，
所以，即，
所以．
故選：A
20．已知，，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，，
構造函數，，則，
當時，，當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故在時取得極大值，也是最大值，
若，不妨設，
設，，則，
，
當時，，故在上單調遞增，
故，即，
又，故，
因為，所以，
而在上單調遞減，
故，則，
由于，令，
而，
而在上單調遞減，
，即，
，而，故，即，
綜上，.
故選：C
21．已知三個互不相等的正數滿足，（其中是一個無理數），則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以
所以根據冪函數的性質可得，
因為都是正數，
，
，
因為是遞增函數，又因為，
作出和的圖像，如圖可得，當時，兩函數值相等；時，圖像一直在的上方，所以
故，
故選：B
22．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
因為在上單調遞增，所以，
所以，即，
所以，
令，則，
當時，，所以在上遞減，
因為，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
綜上，，
故選：D
23．（多選題）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】令，則，
當時，，當時，，
故在、上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，當時，，
，有，故，
又，，
故，故有，
故，即C正確，，即，故D錯誤，
下證：恒成立.
即證：，即證，
設，
則，
因為，，故，
故在上為減函數，故，
即在成立，
故恒成立.
因為，則，
若，則；
若，則，
而故即，故A錯誤；
令，有，
則，
當時，，當，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
有，又，故，
令，
則，
由，故，即，
故在上單調遞增，又，故恒成立，
即，由，即有，
又，即有，有，，
又在上單調遞減，故，即，故B正確.
故選：BC.
24．（多選題）（2024·湖南長沙·二模）下列不等式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由
，則有，A正確；
假定，有，
令，求導得，在上單調遞增，
則，即當時，，，，
令，求導得，在上單調遞減，
則，即當時，，，，
，
因成立，則成立，所以成立，B不正確；
假定，有，
令，，則在上單調遞增，
而，則，所以成立，C不正確；
令，求導得，，
曲線在處切線方程為，
令，求導得，即在上單調遞減，
而，則，即，D正確.
故選：AD
25．（多選題）（2024·山東聊城·一模）若實數，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】對于選項A：原式等價于，對于選項C：，對于選項D：變形為，構造函數，通過求導判斷其在上的單調性即可判斷；
對于選項B：利用換底公式：，
等價于，利用基本不等式，再結合放縮法即可判斷；令，則在上恒成立，所以函數在上單調遞減，
對于選項A：因為，所以，
即原不等式等價于，因為，所以，從而可得，故選項A正確；
對于選項C：，
由于函數在上單調遞減，所以，即，
因為，所以，取，則，故選項C錯誤；
對于選項D：，與選項A相同，故選項D正確.
對于選項B：，因為，
所以等價于，因為，
因為，
所以不等式成立，故選項B正確；
故選：ABD
26．（多選題）（2024·江蘇南通·三模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
C． D．
【答案】BC
【解析】由已知，得．
令，則，所以，
所以，
所以．
等式兩邊同時除以，得，即．
同理，令，有．
所以是方程的兩個根．
設，則易知在區間上單調遞減，
所以．
又因為，
所以．故，且，所以．
又，所以．
故選：BC．
28．（多選題）已知，，，則下列結論一定成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【解析】對于A，函數均為R上的增函數，
且時，兩函數值相等，均為1，時，兩函數值相等，均為9，
作出函數的圖象如圖：
由圖可知當時，，即，A正確；
對于B，時，，
由于，故，故，B正確；
對于C，作出函數的圖象如圖，
由圖象可知當時，，即，C錯誤；
對于D，，則，，，
由于，故，即，D正確，
故選：ABD
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破01 玩轉指對冪比較大小
目錄
01 方法技巧與總結 2
02題型歸納總結 3
題型一：直接利用單調性 3
題型二：引入媒介值 3
題型三：含變量問題 4
題型四：構造函數 4
題型五：數形結合 5
題型六：特殊值法、估算法 6
題型七：放縮法 6
題型八：不定方程 7
題型九：泰勒展開 7
題型十：同構法 8
題型十一：帕德逼近估算法 9
03過關測試 9
（1）利用函數與方程的思想，構造函數，結合導數研究其單調性或極值，從而確定a，b，c的大小．
（2）指、對、冪大小比較的常用方法：
①底數相同，指數不同時，如和，利用指數函數的單調性；
②指數相同，底數不同，如和利用冪函數單調性比較大小；
③底數相同，真數不同，如和利用指數函數單調性比較大小；
④底數、指數、真數都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定．
（3）轉化為兩函數圖象交點的橫坐標
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常見函數的麥克勞林展開式：
①
②
③
④
⑤
⑥
題型一：直接利用單調性
【典例1-1】記，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則實數a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知，，，則（ ）
A． B．
C． D．
題型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·甘肅蘭州·二模）故，，，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高三·廣西·開學考試）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，那么，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·江西上饒·模擬預測）設，則有（ ）
A． B．
C． D．
題型三：含變量問題
【典例3-1】（2024·陜西西安·統考一模）設且，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（多選題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知x，y，z都為正數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（多選題）（2024·山西·模擬預測）已知當時，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）已知正實數a，b，c滿足，則一定有（ ）
A． B． C． D．
題型四：構造函數
【典例4-1】設，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·湖北武漢·二模）設，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】設，則下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】已知，則（ ）
A． B． C． D．
題型五：數形結合
【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）設，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·四川廣安·二模）已知，，均為正數，，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-4】雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士數學家，他酷愛數學，常常忘情地沉溺于數學之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一種常見的不等式．伯努利不等式的一種形式為：，，則．伯努利不等式是數學中的一種重要不等式，它的應用非常廣泛，尤其在概率論、統計學等領域中有著重要的作用．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-5】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）．
A． B． C． D．
【變式5-6】（2024·江西南昌·三模）若，，，則正數大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
題型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】若都不為零的實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知，，，若，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預測）若滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
題型七：放縮法
【典例7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·江西宜春·模擬預測）若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）設，，，則、、的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-4】下列大小關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型八：不定方程
【典例8-1】已知a、b、c是正實數，且，則a、b、c的大小關系不可能為（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】設實數，滿足，，則，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法比較
【變式8-1】已知實數、，滿足，，則關于、下列判斷正確的是　　
A． B． C． D．
【變式8-2】已知實數，滿足，，則下列判斷正確的是　　
A． B． C． D．
【變式8-3】若且，且，且，則　　
A． B． C． D．
題型九：泰勒展開
【典例9-1】已知，則（ ）
【典例9-2】設，則的大小關系為___________．（從小到大順序排）
【變式9-1】設，則（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】，則（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2024·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
題型十：同構法
【典例10-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知實數a，b滿足，則下列關系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
【典例10-2】（多選題）已知，且滿足，則下列結論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式10-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式10-2】（2024·重慶·模擬預測）已知正實數 滿足 則（ ）
A． B． C． D．
【變式10-3】（多選題）（2024·遼寧撫順·模擬預測）已知實數a，b滿足，，，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C． D．
【變式10-4】（2024·陜西西安·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
題型十一：帕德逼近估算法
【典例11-1】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式11-1】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江西萍鄉·二模）已知，則這三個數的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·寧夏銀川·三模）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南新鄉·三模）設，其中是自然對數的底數，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津紅橋·二模）若，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，，則在，，，，，這6個數中最小的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全國·模擬預測）已知，，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西·模擬預測）已知實數滿足，，，則（ ）
A． B．
C． D．
18．（2024·高三·四川成都·期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·全國·模擬預測）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
20．已知，，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知三個互不相等的正數滿足，（其中是一個無理數），則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
22．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
23．（多選題）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
24．（多選題）（2024·湖南長沙·二模）下列不等式正確的有（ ）
A． B．
C． D．
25．（多選題）（2024·山東聊城·一模）若實數，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（多選題）（2024·江蘇南通·三模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
27．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
28．（多選題）已知，，，則下列結論一定成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
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