資源簡介

特訓01 圓、二次函數、相似三角形 壓軸題 （最新中考模擬，十一大題型）
目錄：
題型1：二次函數的交點問題
題型2：二次函數新定義題
題型3：二次函數存在性問題
題型4：二次函數旋轉問題
題型5：二次函數動點、最值問題
題型6：二次函數與圓
題型7：二次函數的實際應用
題型8：相似三角形中的分類討論
題型9：相似三角形動態問題綜合
題型10：相似三角形—情景探究題
題型11：相似三角形—數學活動題（含相似三角形與圓）
題型1：二次函數的交點問題
1．（2024·江蘇南京·一模）在平面直角坐標系，二次函數的圖象與軸交于點，將點向右平移個單位長度得到點，點恰好也在該函數的圖象上．
(1)寫出該函數圖象的對稱軸；
(2)已知點．
①若函數圖象恰好經過點，求的值；
②若函數圖象與線段只有一個交點，結合函數圖象，直接寫出的取值范圍．
題型2：二次函數新定義題
2．（2023·江蘇鎮江·二模）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖像的“平衡點”．例如，點是函數的圖像的“平衡點”．
(1)在函數①，②，③，④的圖象上，存在“平衡點”的函數是________；（填序號）
(2)設函數與的圖象的“平衡點”分別為點A、B，過點A作軸，垂足為C．當為等腰三角形時，求b的值；
(3)若將函數的圖像繞y軸上一點M旋轉，M在下方，旋轉后的圖象上恰有1個“平衡點”時，求的坐標．
題型3：二次函數存在性問題
3．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A，B兩點，它的對稱軸直線交拋物線于點M，過點M作軸于點C，連接，已知點A的坐標為．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)動點P，Q在此拋物線上，其橫坐標分別為，其中．
①若，請求此時點Q的坐標；
②在線段上是否存在一點D，使得以C，P，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出此時m的值；若不存在，說明理由．
4．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，二次函數（其中）的圖像與軸交于、兩點（點在點左側），與軸交于點，連接、，點為的外心．
(1)填空：點的坐標為 ， ；
(2)記的面積為，的面積為，試探究是否為定值？如果是，求出這個定值；
(3)若在第一象限內的拋物線上存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則 ．
5．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖1，拋物線經過點，對稱軸為直線與x軸的交于點B．
(1)求拋物線L的解析式；
(2)點C在拋物線上，若的內心恰好在x軸上，求點C的坐標；
(3)如圖2，將拋物線L向上平移個單位長度得到拋物線，拋物線與y軸交于點M，過點M作y軸的垂線交拋物線于另一點N．P為線段上一點．若與相似，并且符合條件的點P恰有2個，求k的值．
題型4：二次函數旋轉問題
6．（2024·江蘇淮安·一模）如圖①，二次函數的圖象與直線交于、兩點．點是軸上的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，交該二次函數的圖象于點，設點的橫坐標為．
(1) ， ；
(2)若點在點的上方，且，求的值；
(3)將直線向上平移4個單位長度，分別與軸、軸交于點、（如圖②）．
①記的面積為，的面積為，是否存在，使得點在直線的上方，且滿足=？若存在，求出及相應的、的值；若不存在，請說明理由．
②當時，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接、、，若，直接寫出點F的坐標．
題型5：二次函數動點、最值問題
7．（2024·江蘇常州·二模）如圖，拋物線，拋物線交軸于點（點在點的右側），交軸于點，拋物線與拋物線關于原點成中心對稱．

(1)求拋物線的函數表達式和直線對應的函數表達式．
(2)點是第一象限內拋物線上的一個動點，連接與相交于點．
①作軸，垂足為，當時，求點的橫坐標．
②請求出的最大值．
8．（2023·四川巴中·一模）如圖1，已知拋物線經過點和點B，且與y軸交于點C，直線經過B點和點C．
(1)求直線和拋物線的解析式．
(2)若點P為直線BC上方的拋物線上一點，過點P作于點E，作軸，交直線BC于點F，當的周長最大時，求點P的坐標．
(3)在第（2）問的條件下，直線CP上有一動點Q，連接BQ，求的最小值．
9．（2022·福建·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；
(3)如圖，OP交AB于點C，交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
題型6：二次函數與圓
10．（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，已知拋物線頂點的縱坐標為，且與x軸交于點．作出該拋物線位于x軸下方的圖象關于x軸對稱的圖象，位于x軸上方的圖象保持不變，就得到的圖象，直線與的圖象交于O、B、C三點．
(1)求a、b的值；
(2)新定義：點與點的“折線距離”為．已知．
①求k的值；
②以點B為圓心、長為半徑的交的平分線于點D（異于點O），交x軸點E（異于點O），求的值．
題型7：二次函數的實際應用
11．（2024·江蘇揚州·一模）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一．如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳，經空中飛行后落在著陸坡上的點P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．這里表示起跳點A到地面的距離，表示著陸坡的高度，表示著陸坡底端B到點O的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員到地面的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動的距離x（單位：m）近似滿足函數關系．已知m，m，落點P到的水平距離是，到地面的豎直高度是．
(1)求y與x的函數表達式；
(2)進一步研究發現，運動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離x（m）與飛行時間t（s）具備一次函數關系，當運動員在起跳點騰空時，，；當他在點P著陸時，飛行時間為；
①求x與t的函數表達式；
②當運動員與著陸坡在豎直方向上的距離達到最大時，求出此時他飛行時間t的值．
題型8：相似三角形中的分類討論
12．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，在中，是的對角線，，，點P是的中點．點從點A出發，沿線段向點B運動，連接，以、為鄰邊作．
(1)點D到的距離是__________；
(2)連接，求的最小值；
(3)當和有一個內角相等時，求的長．
題型9：相似三角形動態問題綜合
13．（2024·江蘇揚州·一模）某數學小組在一次數學探究活動過程中，經歷了如下過程：
如圖，正方形中，在邊上任意一點（不與點重合），以為旋轉中心，將逆時針旋轉，得到，連接，，分別交于點，．
(1)當時，的度數為______°；
(2)連接，當P為中點時，求證：；
(3)若，是否存在最小值 如果存在，求此最小值：如果不存在，說明理由．
14．（2024·江蘇泰州·一模）已知，點是邊長為(為常數)的正方形內部一動點，于， 于，連結，，，，記，，的面積分別為，，，令，．
(1)如圖，點P在對角線上．
①求（用含、的代數式表示）
②是否存在實數，使的值與點在上的位置無關．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)若 ，當點在內部(不含邊界)時(如圖)．
①求的取值范圍；
②試說明：的值隨著的增大而增大．
15．（2020·江蘇揚州·二模）定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是，那么稱這個三角形為“準黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．
（1）如圖，在△ABC中，AC=8，BC=5，，試判斷△ABC是否是“準黃金”三角形，請說明理由．

（2）如圖，△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是△ABD的重心，求的值．

（3）如圖，，且直線與之間的距離為4，“準黃金”△ABC的“金底”BC在直線上，點A在直線上，=，若∠ABC是鈍角，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉得到△，線段交于點D．當點落在直線上時，則的值為____．

題型10：相似三角形—情景探究題
16．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，在矩形中，，，點E在上，連接、，相交于點G，作，交于點F，設．
【變中不變】
（1）明明發現：連接，當點E的位置在上發生變化時，的度數始終不變．經過思考，他整理出如下說理過程，請補充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度數不變．
【嘗試應用】
（2）若，求的長；
【思維拓展】
（3）將繞著點E順時針旋轉得到，是否存在這樣的x，使得有頂點落在直線上，若存在，請求出滿足條件的x值；若不存在，請說明理由．
17．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）【探究證明】
（1）某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：
如圖①，在矩形中，，分別交于點E、F，分別交于點G、H，求證：；
【結論應用】
（2）如圖②，將矩形沿折疊，使得點B和點D重合，若，求折痕的長；
【拓展運用】
（3）如圖③，將矩形沿折疊．使得點D落在邊上的點G處，點C落在點P處，得到四邊形，若，求的長．

題型11：相似三角形—數學活動題（含相似三角形與圓）
18．（2024·江蘇南京·一模）在 中，
(1)設 ，求證： ，在小明和小紅的思路中，請選擇一種繼續完成證明．
(2)如圖③， 已知線段m，n．求作：滿足已知條件的，且 ，（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出必要說明．）
(3)若△ABC有一條邊的長度為4， 設 的周長為l，直接寫出l關于k的函數表達式，以及l的取值范圍．
19．（2024·江蘇南京·一模）數學的思考
如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，試在軸正半軸上確定點的位置，使得最大，并求出此時點的坐標．
數學的眼光
(1)如圖，請說明；
數學的表達
(2)如圖，根據“垂徑定理”，可知圓心在線段的垂直平分線上，借助直線的表達式及，可以求出圓心的坐標，從而得到點的坐標，請寫出具體的過程；
(3)如圖，延長線段交軸于點，連接，當與相切時，通過求的長可得到點的坐標，請寫出具體的過程；
(4)如圖，已知線段，用尺規在射線上作出點，使得最大（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）特訓01 圓、二次函數、相似三角形 壓軸題 （最新中考模擬，十一大題型）
目錄：
題型1：二次函數的交點問題
題型2：二次函數新定義題
題型3：二次函數存在性問題
題型4：二次函數旋轉問題
題型5：二次函數動點、最值問題
題型6：二次函數與圓
題型7：二次函數的實際應用
題型8：相似三角形中的分類討論
題型9：相似三角形動態問題綜合
題型10：相似三角形—情景探究題
題型11：相似三角形—數學活動題（含相似三角形與圓）
題型1：二次函數的交點問題
1．（2024·江蘇南京·一模）在平面直角坐標系，二次函數的圖象與軸交于點，將點向右平移個單位長度得到點，點恰好也在該函數的圖象上．
(1)寫出該函數圖象的對稱軸；
(2)已知點．
①若函數圖象恰好經過點，求的值；
②若函數圖象與線段只有一個交點，結合函數圖象，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)對稱軸為
(2)①；②或
【分析】本題主要考查二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的性質，對稱軸的計算，圖形交點的計算方法是解題的關鍵．
（1）根據點的平移即對稱軸的計算方法即可求解；
（2）①根據二次函數的對稱軸，可得，結合二次函數過點，即可求解；②根據二次函數圖象的性質可得頂點坐標為，分類討論，當時，點在二次函數圖象上；當時，點在二次函數圖象上；圖形結合分析即可求解．
【解析】（1）解：二次函數圖象與軸交于點，則，
∵點向右平移個單位長度得到點，點 恰好也在該函數的圖象上，
∴，
∴該函數圖象的對稱軸為，
∴對稱軸為；
（2）解：①∵二次函數圖象的對稱軸為，
∴，
∵二次函數圖象過點，
∴，
∴，
∴，
解得，；
②根據題意，，
∴二次函數解析式為，
∴當時，，即頂點坐標為；
當時，，即二次函數與軸的交點為；
當時，，
解得，；
∴當時，如圖所示，

∴點在二次函數圖象上，
∴，
解得，，
∴當時，二次函數與線段只有一個交點；
當，如圖所示，

∴點在二次函數圖象上，
∴，
解得，，
∴當時，二次函數與線段只有一個交點；
綜上所示，的取值范圍為：或．
題型2：二次函數新定義題
2．（2023·江蘇鎮江·二模）定義：若一個函數的圖象上存在橫、縱坐標之和為零的點，則稱該點為這個函數圖像的“平衡點”．例如，點是函數的圖像的“平衡點”．
(1)在函數①，②，③，④的圖象上，存在“平衡點”的函數是________；（填序號）
(2)設函數與的圖象的“平衡點”分別為點A、B，過點A作軸，垂足為C．當為等腰三角形時，求b的值；
(3)若將函數的圖像繞y軸上一點M旋轉，M在下方，旋轉后的圖象上恰有1個“平衡點”時，求的坐標．
【答案】(1)③
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根據“平衡點”的定義進行逐一計算判斷即可；
（2）可求，，①當為等腰三角形的頂點時，，此時在以圓心，長為半徑的圓周上，由進行求解即可；②當為等腰三角形的頂點時，，此時在以圓心，長為半徑的圓周上，由進行求解即可；③當為等腰三角形的頂點時，，此時在的垂直平分線上，由進行求解即可．
（3）設（），先將拋物線向上平移個單位得，再將繞原點旋轉得：，即：，
然后將向下平移個單位得為繞旋轉后函數解析式；由，進行求解即可．
【解析】（1）解：①，
，
故此函數不存在“平衡點”；
②當時，，
，
，
，
故此函數不存在“平衡點”；
③當時，，
，
，
整理得：，
，
此方程有兩個不相等的實數根，
此函數存在“平衡點”；
④當時，，
，
，
整理得：，
此方程無實數根，
此函數不存在“平衡點”；
故答案：③．
（2）解：當時，，
，
，
解得：，（舍去） ，
，
，
同理可求：，
①如圖，當為等腰三角形的頂點時，，
此時在以圓心，長為半徑的圓周上，
，
解得：，，
當時，，
與重合，舍去
；
②如圖，當為等腰三角形的頂點時，，
此時在以圓心，長為半徑的圓周上，
，
解得：，；
③如圖，當為等腰三角形的頂點時，，
此時在的垂直平分線上，
，
解得：；
綜上所述：的值為、、、．
（3）解：設（），先將拋物線向上平移個單位得，再將繞原點旋轉得：，即：，
然后將向下平移個單位得為繞旋轉后函數解析式；
，
整理得：，
旋轉后的圖象上恰有1個“平衡點”，
，
解得：，
．
【點睛】本題考查了新定義“平衡點”，等腰三角形的判定，函數圖象的旋轉，理解定義，掌握等腰三角形的判定方法和函數圖象旋轉中解析式的變化規律是解題的關鍵．
題型3：二次函數存在性問題
3．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A，B兩點，它的對稱軸直線交拋物線于點M，過點M作軸于點C，連接，已知點A的坐標為．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)動點P，Q在此拋物線上，其橫坐標分別為，其中．
①若，請求此時點Q的坐標；
②在線段上是否存在一點D，使得以C，P，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出此時m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到平行四邊形的性質、線段長度的表示方法、一次函數的圖象和性質，其中（2），確定是本題解題的關鍵．
（1）由待定系數法即可求解；
（2）①證明，得到直線的表達式為：，聯立上式和拋物線的表達式得：，解得：，即可求解；
②當為對角線時，由中點坐標公式列出方程組，即可求解；當或角線時，同理可解．
【解析】（1）解：由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：；
（2）由拋物線的表達式知，點、的坐標分別為：，則點，
設點，
則點，
①由點的坐標得，直線的表達式為：，
∵，則，
則直線的表達式為：，
聯立上式和拋物線的表達式得：，
解得：，
解得：，
則點的坐標為：；
②存在，理由：
由點、的坐標得，直線的表達式為：，
當為對角線時，
由中點坐標公式得：
，
解得：(不合題意的值已舍去)；
當或角線時，
同理可得：，
或，
解得：(舍去)；
綜上，．
4．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，二次函數（其中）的圖像與軸交于、兩點（點在點左側），與軸交于點，連接、，點為的外心．
(1)填空：點的坐標為 ， ；
(2)記的面積為，的面積為，試探究是否為定值？如果是，求出這個定值；
(3)若在第一象限內的拋物線上存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則 ．
【答案】(1)，
(2)為定值，定值為
(3)
【分析】（1）當時，即，解得，，可求得點，點；當時，求得點，得到，故；
（2）根據點D為的外心，，由圓周角定理和外接圓的性質，得，，過點D作y軸的平行線交過點C和x軸的平行線于點M，交x軸于點N，設點，則，，，，證明，得到，，求得，即可求得為定值；
（3）由于在第一象限內的拋物線上存在一點，以、、、為頂點的四邊形只能是四邊形，若四邊形是平行四邊形，則四邊形即是菱形，設點，若為四邊形對角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，再由中點坐標公式列方程即可求解．
【解析】（1）當時，即，
，
解得，，
點，點，
當時，，
點，
，
，
（2）為定值，理由如下：
點D為的外心，，
則，，
過點D作y軸的平行線交過點C和x軸的平行線于點M，交x軸于點N，
設點，
則，，，，
，，
，
，，
，
，
，，
解得：
則的面積，
為等腰直角三角形，
，
則的面積，
為定值；
（3） 在第一象限內的拋物線上存在一點，
以、、、為頂點的四邊形只能是四邊形，
又，
若四邊形是平行四邊形，則四邊形即是菱形，如圖所示，
由前面可知，點，點，點，設點，
若為四邊形對角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，由中點坐標公式得：
，
解得：或（不合題意舍去）；
綜上，．
【點睛】本題綜合考查了二次函數的圖象和性質、三角形的外接圓與外心、圓周角定理、平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握相關性質和判定，利用數形結合思想是解題的關鍵．
5．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖1，拋物線經過點，對稱軸為直線與x軸的交于點B．
(1)求拋物線L的解析式；
(2)點C在拋物線上，若的內心恰好在x軸上，求點C的坐標；
(3)如圖2，將拋物線L向上平移個單位長度得到拋物線，拋物線與y軸交于點M，過點M作y軸的垂線交拋物線于另一點N．P為線段上一點．若與相似，并且符合條件的點P恰有2個，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)當與相似，并且符合條件的點P恰有2個，則或2
【分析】（1）根據對稱軸為直線且拋物線過點求解可得；
（2）由題意易得x軸平分，即，且點C在y軸的左側，過點C作軸于點D，設，然后可得，進而問題可求解；
（3）設拋物線的解析式為，知、、，再設，分和兩種情況，由對應邊成比例得出關于與的方程，利用符合條件的點恰有2個，結合方程的解的情況求解可得．
【解析】（1）解：由題意知，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：由題意得：x軸平分，即，
∵的內心恰好在x軸上，
∴的三個內角的角平分線交點在x軸上，
由此可知點C在y軸的左側，
過點C作軸于點D，如圖所示：
由題意知：，，
∴，
∴，
設，則有，，
∴，
解得：（不符合題意，舍去），
∴點；
（3）解：如圖2，
設拋物線的解析式為，
、、，
設，
①當時，，
，
①；
②當時，，
，
②；
（Ⅰ）當方程①有兩個相等實數根時，
，
解得：（負值舍去），
此時方程①有兩個相等實數根，
方程②有一個實數根，
，
（Ⅱ）當方程①有兩個不相等的實數根時，
把②代入①，得：，
解得：（負值舍去），
此時，方程①有兩個不相等的實數根、，
方程②有一個實數根，
，
綜上，當與相似，并且符合條件的點P恰有2個，則或2．
【點睛】本題主要考查二次函數的綜合、相似三角形的性質與判定及三角形的內心，熟練掌握二次函數的綜合、相似三角形的性質與判定及三角形的內心是解題的關鍵．
題型4：二次函數旋轉問題
6．（2024·江蘇淮安·一模）如圖①，二次函數的圖象與直線交于、兩點．點是軸上的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，交該二次函數的圖象于點，設點的橫坐標為．
(1) ， ；
(2)若點在點的上方，且，求的值；
(3)將直線向上平移4個單位長度，分別與軸、軸交于點、（如圖②）．
①記的面積為，的面積為，是否存在，使得點在直線的上方，且滿足=？若存在，求出及相應的、的值；若不存在，請說明理由．
②當時，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接、、，若，直接寫出點F的坐標．
【答案】(1)1，
(2)m的值為1
(3)①當時，， ；當時，，；；②
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，三角函數的定義；
（1）把、代入即可得到答案；
（2）先求出直線的解析式，設點，可得 ，進而即可求解；
（3）①先求出的解析式，的解析式，再表示，
，結合=，列出方程，即可求解；②當旋轉后點F在點C左側時，過點B作軸于點Q，過點M作軸，作于點G，作于點H，交x軸于點K，推出，即可求解；當旋轉后點F在點C右側時滿足的點F不存在
【解析】（1）解：∵二次函數的圖象與直線交于、兩點，
∴，解得：，
∴，
把代入，得，
故答案為：1，；
（2）∵直線過、兩點．
∴直線的解析式是，
設點，
∴點M（m，）、N（m，），當點在點的上方時，則 ，
當時，，解得：；
∴m的值為1；
（3）①由題意得：的解析式為，
的解析式，
當時，，
∴點E（3，），
∴，，
∴，
，
∵=，
∴，解得：
∵點在直線的上方
∴令=，解得：
∴
∴存在，，滿足=
當時，， ；
當時，，；
②當旋轉后點F在點C左側時
過點B作軸于點Q，過點M作軸，作于點G，作于點H，交x軸于點K，如圖3，
∵直線的解析式為，
∴，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，
∴，
∴和是全等的兩個等腰直角三角形，
∴，
∵M（m，），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴點F的坐標是，
當旋轉后點F在點C右側時
滿足的點F不存在；
綜上所述，點F的坐標是．
題型5：二次函數動點、最值問題
7．（2024·江蘇常州·二模）如圖，拋物線，拋物線交軸于點（點在點的右側），交軸于點，拋物線與拋物線關于原點成中心對稱．

(1)求拋物線的函數表達式和直線對應的函數表達式．
(2)點是第一象限內拋物線上的一個動點，連接與相交于點．
①作軸，垂足為，當時，求點的橫坐標．
②請求出的最大值．
【答案】(1)，；
(2)①P的橫坐標為；②的最大值為：．
【分析】（1）根據中心對稱的性質可得的表達式，再令，求解，的坐標即可；
（2）①如圖，連接，設，而，求解直線為，可得，，再利用建立方程求解即可；②作于，而，可得，可得，再建立二次函數的模型解題即可．
【解析】（1）解：∵拋物線，拋物線與拋物線關于原點成中心對稱．
∴拋物線為：，
∴，
當，
解得：，，
∴，；
∵，
當時，，
∴，
設為，
∴，
解得：，
∴為；
（2）①如圖，連接，設，
而，
設直線為，
∴，
解得：，
∴直線為，
∴，
解得：，
∴，，

∵，
∴
∴，
解得：，（不符合題意的根舍去），
∴，
∴P的橫坐標為；
②作于，而，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∵，，
∴，
∵，，
∴當時，
的最大值為：．
【點睛】本題考查的是中心對稱的性質，求解函數的解析式以及交點坐標，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的解法，本題的計算量大，難度大，熟練的計算是解本題的關鍵．
8．（2023·四川巴中·一模）如圖1，已知拋物線經過點和點B，且與y軸交于點C，直線經過B點和點C．
(1)求直線和拋物線的解析式．
(2)若點P為直線BC上方的拋物線上一點，過點P作于點E，作軸，交直線BC于點F，當的周長最大時，求點P的坐標．
(3)在第（2）問的條件下，直線CP上有一動點Q，連接BQ，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用拋物線的解析式求點的坐標，代入一次函數求出一次函數的解析式，再求出點的坐標，最后把的坐標代入拋物線的解析式中即可；
（2）設點P的橫坐標為，用的代數式表示點P和點F的坐標，構建是的二次函數，利用二次函數的性質確定最大值，此時的周長也最大，最后求出點P的坐標；
（3）作，利用相似得比例線段，把轉化為，再用“二點一線”模型，結合相似三角形求最小值．
【解析】（1）在中
令，，∴
將點代入得：，
∴直線的解析式是，
當時，，∴，∴，
將，代入得
解得：，
∴拋物線的解析式是
（2）∵，，
∴，，
易得，
∴，即，
∴，
∴的周長為：
∴當PF最大時，的周長最大．
設點P的坐標為，則點F的坐標為
∴
∴當時，PF的值最大，的周長最大，此時
（3）過點Q作于點E
∵，，
∴軸
∴，
∴，即，
∴，
∴，
作點B關于直線CP的對稱點，連接，此時，，過點作于點，交CP于點，此時，的值最小，即的值最小，最小值為．
∴，∴，
∵，
∴
∴，即
∴，即的最小值為．
【點睛】本題是二次函數與一次函數的綜合，考查了求一次函數的解析式，求二次函數的解析式，構建二次函數求最值，解題的關鍵是掌握待定系數法，突破點是構建新的二次函數求最值．
9．（2022·福建·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線經過A（4，0），B（1，4）兩點．P是拋物線上一點，且在直線AB的上方．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點P的坐標；
(3)如圖，OP交AB于點C，交AB于點D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）待定系數法求得直線AB的解析式為，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．過點B作BE⊥PM，垂足為E．可得，設，則．由，解方程求得的值，進而即可求解；
（3）由已知條件可得，進而可得，過點分別作軸的垂線，垂足分別，交于點，過作的平行線，交于點，可得，設，，則，根據可得，根據，根據二次函數的性質即可求的最大值．
【解析】（1）解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以拋物線的解析式為．
（2）設直線AB的解析式為，
將A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直線AB的解析式為．
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交AB于點N．
過點B作BE⊥PM，垂足為E．
所以
．
因為A（4，0），B（1，4），所以．
因為△OAB的面積是△PAB面積的2倍，
所以，．
設，則．
所以，
即，
解得，．
所以點P的坐標為或（3，4）．
（3）
記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．則
如圖，過點分別作軸的垂線，垂足分別，交于點，過作的平行線，交于點
，
，
設
直線AB的解析式為．
設，則
整理得
時，取得最大值，最大值為
【點睛】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，面積問題，相似三角形的性質與判定，第三問中轉化為線段的比是解題的關鍵．
題型6：二次函數與圓
10．（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，已知拋物線頂點的縱坐標為，且與x軸交于點．作出該拋物線位于x軸下方的圖象關于x軸對稱的圖象，位于x軸上方的圖象保持不變，就得到的圖象，直線與的圖象交于O、B、C三點．
(1)求a、b的值；
(2)新定義：點與點的“折線距離”為．已知．
①求k的值；
②以點B為圓心、長為半徑的交的平分線于點D（異于點O），交x軸點E（異于點O），求的值．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）①求出點，點，由，即可求解；②求出點，得到直線的表達式為：，設點、點，則，即可求解．
【解析】（1）解：∵拋物線頂點的縱坐標為，且與x軸交于點．
∴頂點的坐標為：，
則拋物線的表達式為：，
將點代入上式得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：，
即，；
（2）解：①由函數的對稱性，翻折后拋物線的表達式為：，
聯立上式和得：，
解得：，，
即點，
同理可得，點，
∵，
∴，
解得：（舍去）或；
②由①知，點B的坐標為：，
則直線的表達式為：，
在上取點，則，
作軸于點N，交于點P，過點P作于點T，
∵平分，
∴設，則，，則，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
則點，
由點P的坐標得，直線的表達式為：，
設點、點，
則，
即，
解得：，，（不符合題意的根舍去）
即點D、E的坐標分別為：、，
則．
【點睛】本題考查的是新定義運算的含義，二次函數的圖象與性質，利用待定系數法求解函數的解析式，一元二次方程的解法，同圓的半徑相等，勾股定理的應用，理解題意，選擇合適的方法解題是關鍵．
題型7：二次函數的實際應用
11．（2024·江蘇揚州·一模）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一．如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳，經空中飛行后落在著陸坡上的點P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．這里表示起跳點A到地面的距離，表示著陸坡的高度，表示著陸坡底端B到點O的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員到地面的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動的距離x（單位：m）近似滿足函數關系．已知m，m，落點P到的水平距離是，到地面的豎直高度是．
(1)求y與x的函數表達式；
(2)進一步研究發現，運動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離x（m）與飛行時間t（s）具備一次函數關系，當運動員在起跳點騰空時，，；當他在點P著陸時，飛行時間為；
①求x與t的函數表達式；
②當運動員與著陸坡在豎直方向上的距離達到最大時，求出此時他飛行時間t的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）解：將，代入，得，計算求解，然后作答即可；
（2）①設，將，代入，得，計算求解，然后作答即可；②設直線的解析式為，將代入得，，計算求解可確定直線的解析式為，設運動員飛行過程中的某一位置為M，如圖，過M作軸交于點N，設，則，則，由，可得當時，最大，根據，計算求解即可．
【解析】（1）解：將，代入，得，
解得，
∴y與x的函數關系式為；
（2）①解：設，
將，代入，得，
解得，
∴；
②解：設直線的解析式為，
將代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
設運動員飛行過程中的某一位置為M，如圖，過M作軸交于點N，
設，則，
∴，
∵，
∴當時，最大，
∴，
解得．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，一次函數的應用，二次函數的最值，一次函數解析式等知識．熟練掌握二次函數的應用，一次函數的應用，二次函數的最值，一次函數解析式是解題的關鍵．
題型8：相似三角形中的分類討論
12．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，在中，是的對角線，，，點P是的中點．點從點A出發，沿線段向點B運動，連接，以、為鄰邊作．
(1)點D到的距離是__________；
(2)連接，求的最小值；
(3)當和有一個內角相等時，求的長．
【答案】(1)
(2)
(3)2或
【分析】根據等腰三角形的性質和勾股定理即可求得答案；
連接，在中，由三邊關系得，則當B、M、D三點共線時最小，此時，即點M落在上．根據平行四邊形的性質得．即可判定是的中位線，結合線段之間關系即可；
由題意得有兩種情況：或，①當時，由（2）的情況，；②當時，根據平行四邊形的性質得∽，有，即可求得．
【解析】（1）解：過點作于點，如圖，
則，
∵，
∴點D到的距離，
故答案為：；
（2）解：如圖，連接，
在中，，
當B、M、D三點共線時最小，此時，
當B、M、D三點共線，即點M落在上．
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
即．
∴，
∵點P是的中點，
∴，即，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為．
（3）解：當和有一個內角相等時，存在兩種情況：
或，
①當時，如（2）的情況，；
②當時，在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
綜上所述，當和有一個內角相等時，的長為2或．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質、平行四邊形的性質、三角形三邊之間的關系、相似三角形的判定和性質和三角形中位線定理，解題的關鍵是分類討論和三角形相似的應用．
題型9：相似三角形動態問題綜合
13．（2024·江蘇揚州·一模）某數學小組在一次數學探究活動過程中，經歷了如下過程：
如圖，正方形中，在邊上任意一點（不與點重合），以為旋轉中心，將逆時針旋轉，得到，連接，，分別交于點，．
(1)當時，的度數為______°；
(2)連接，當P為中點時，求證：；
(3)若，是否存在最小值 如果存在，求此最小值：如果不存在，說明理由．
【答案】(1)65
(2)見解析
(3)存在，
【分析】（1）由旋轉的性質得出，，求出和的度數，則可得出答案；
（2）過點作交延長線于，于，則，證明，得出，，證出是等腰直角三角形，則可得出答案；
（3）連接，設，，則，由（2）可知，，證明，得出，可得出答案．
【解析】（1）解： 四邊形是正方形，
，
將逆時針旋轉得到，
，，
，
，
，
，
，
故答案為： ；
（2）過點作交延長線于，于，連接，則，
四邊形是正方形，
，，
，，
四邊形為矩形，
將逆時針旋轉得到，
，，
，
，
，
，，
為的中點，
，
，
四邊形為正方形
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）存在．理由如下：
連接，
四邊形是正方形，
，，
由勾股定理可知，
當取最小值時，有最小值，
而，
當取最大值時，有最小值時，
即：當取最大值時，有最小值，
設，，則，
由（2）可知，，
，
，
，
，
時，有最大值，
此時，，則，
，
即：當時，存在最小值，此時取得最小值為．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性質等知識，熟練掌握正方形的性質和矩形的性質，證明三角形相似和三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．
14．（2024·江蘇泰州·一模）已知，點是邊長為(為常數)的正方形內部一動點，于， 于，連結，，，，記，，的面積分別為，，，令，．
(1)如圖，點P在對角線上．
①求（用含、的代數式表示）
②是否存在實數，使的值與點在上的位置無關．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)若 ，當點在內部(不含邊界)時(如圖)．
①求的取值范圍；
②試說明：的值隨著的增大而增大．
【答案】(1)①；②存在，
(2)①；②理由見解析
【分析】（1）①證明四邊形是矩形，得到，，繼而得到，，根據等邊對等角得到，，再根據三角形的面積即可得解；
②求出，根據題意即可得解；
（2）①連接，，根據四邊形是矩形，，得，延長交于，作于，證明，得，繼而得到，得，再根據點在內部（不含邊界）可得解；
②根據，利用二次函數的性質即可得解．
【解析】（1）解：①∵點是邊長為的正方形的對角線上的一點，且， ，，，，，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，的面積分別為，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵四邊形是矩形，，，
∴，
∴
，
∵的值與點在上的位置無關，即與值無關，
∴，
解得：，
∴當時，的值為，與點在上的位置無關；
（2）①連接，，
由（1）知：，，
∵四邊形是矩形，即，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
延長交于，作于，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵點在內部（不含邊界）
∴；
②∵，
∴對稱軸為：，
∵，
∴，
∵，
∴當時，隨的增大而增大，
即的值隨的增大而增大．
【點睛】本題考查正方形的性質，矩形的判定和性質，等角對等邊，相似三角形的判定和性質，二次函數的性質等知識點．掌握矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，二次函數的性質是解題的關鍵．
15．（2020·江蘇揚州·二模）定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是，那么稱這個三角形為“準黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．
（1）如圖，在△ABC中，AC=8，BC=5，，試判斷△ABC是否是“準黃金”三角形，請說明理由．

（2）如圖，△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是△ABD的重心，求的值．

（3）如圖，，且直線與之間的距離為4，“準黃金”△ABC的“金底”BC在直線上，點A在直線上，=，若∠ABC是鈍角，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉得到△，線段交于點D．當點落在直線上時，則的值為____．

【答案】（1）△ABC是“準黃金”三角形；理由見解析；（2）；（3）
【分析】(1)過點A作AD⊥CB交CB的延長線于D．解直角三角形求出AD即可得出結論．
(2) 根據A，D關于BC對稱，得到BE⊥AD，AE＝ED，根據△ABC是“準黃金”三角形，得到BC是“金底”，再利用C是△ABD的重心求解即可得到答案；
(3) 過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥AC于F，過點B′作B′G⊥BC于G．證明△CGB′∽△CFD，推出DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，設DF=4k，CF=3k，CD=5k，再求出AD（用k表示）即可解決問題．
【解析】解：（1）結論：△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”．
理由：過點A作AD⊥CB交CB的延長線于D．

∵AC＝8，∠C＝30°，
∴AD＝4，
∴＝
∴△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”；
（2）如圖，

∵A，D關于BC對稱，
∴BE⊥AD，AE＝ED，
∵△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”，
∴＝，不妨設AE＝4k，BC＝5k，
∵C是△ABD的重心，
∴BC：CE＝2：1，
∴CE＝ ，BE＝ ，
∴AB＝，
∴；
（3）如圖4中，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥AC于F，過點B′作B′G⊥BC于G．

在Rt△CB′G中，∵∠CGB′=90°，GB′=4，=CB=5，
∴ ，
又∵=，
∴ ，
∴ ，
∴EC=7，
∵∠GCB′=∠FCD=α，∠CGB′=∠CFD=90°，
∴△CGB′∽△CFD，
∴DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，
設DF=4k，CF=3k，CD=5k，
∵△AEC∽△DFA，
，
解得： ，
∴AF=7k，
∴
．
【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質，“準黃金”三角形的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
題型10：相似三角形—情景探究題
16．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，在矩形中，，，點E在上，連接、，相交于點G，作，交于點F，設．
【變中不變】
（1）明明發現：連接，當點E的位置在上發生變化時，的度數始終不變．經過思考，他整理出如下說理過程，請補充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度數不變．
【嘗試應用】
（2）若，求的長；
【思維拓展】
（3）將繞著點E順時針旋轉得到，是否存在這樣的x，使得有頂點落在直線上，若存在，請求出滿足條件的x值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；；；（2）；（3）或或．
【分析】（1）證明推出，再證明，得到，據此即可求解；
（2）由（1）得到，推出，得到，根據勾股定理求得相關數據，再代入求解即可；
（3）分三種情況討論，①當點與點重合時；②當點落在直線上時，過點作交分別為，證明，用表示出，在中，利用勾股定理列式計算即可求解；③當點落在直線上時，過點作交分別為，用表示出，證明，利用相似三角形的性質列式計算即可求解．
【解析】解：（1）∵，且；
∴；
∴即：；
又∵；
∴；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴，即度數不變．
故答案為：；；；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，即，
解得；
（2）存在，①當點與點重合時，點都在直線上，此時；
②當點落在直線上時，由旋轉得，，，
過點作交分別為，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
同理，
在中，，即，
整理得，
解得或，
∵，
∴不合題意，舍去，
∴；
③當點落在直線上時，過點作交分別為，
同理四邊形為矩形，
∴，
由旋轉得，，，
同理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（舍去負值），
∴，
綜上，或或．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理，解一元二次方程，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．
17．（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）【探究證明】
（1）某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：
如圖①，在矩形中，，分別交于點E、F，分別交于點G、H，求證：；
【結論應用】
（2）如圖②，將矩形沿折疊，使得點B和點D重合，若，求折痕的長；
【拓展運用】
（3）如圖③，將矩形沿折疊．使得點D落在邊上的點G處，點C落在點P處，得到四邊形，若，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】（1）如圖，過作交于，過作交于，由矩形，可得，，則四邊形、均為平行四邊形，，，證明，即可證明，則，；
（2）由矩形的性質可得，由勾股定理得，由（1）可知，，即，計算求解即可；
（3）如圖，過點作交延長線于，由（1）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折疊的性質可得，，，，設，則，在中，結合勾股定理即可解得，即，再證明，則，計算求解和的值，進而可得的長．
【解析】解：（1）如圖，過作交于，過作交于，

∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴四邊形、均為平行四邊形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如圖所示，連接，
∵四邊形是矩形，
∴，，
由勾股定理得，
∵將矩形沿折疊，使得點B和點D重合，
∴，
由（1）可知，，即，
∴，
∴的長．

（3）如圖所示，過點作交延長線于，
由折疊的性質可得，

由（1）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
由折疊的性質可得，，，，
設，則，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
在中，由勾股定理得．
【點睛】本題考查了正方形、矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，折疊等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用以及正確作出輔助線構造相似三角形．
題型11：相似三角形—數學活動題（含相似三角形與圓）
18．（2024·江蘇南京·一模）在 中，
(1)設 ，求證： ，在小明和小紅的思路中，請選擇一種繼續完成證明．
(2)如圖③， 已知線段m，n．求作：滿足已知條件的，且 ，（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出必要說明．）
(3)若△ABC有一條邊的長度為4， 設 的周長為l，直接寫出l關于k的函數表達式，以及l的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)當時，，此時；當時，，此時，當時，，此時；
【分析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，數形結合和分類討論是解題的關鍵．
（1）選擇小明的思路：證明，則，得到，進一步即可得到結論；選擇小紅的思路：由翻折可知證明，則，得到，由即可得到結論；
（2）按照步驟：①作，②以點C為圓心，n為半徑作圓，以點D為圓心，m為半徑作圓，兩圓相交于點A，③以點A為圓心，m為半徑作圓，交的延長線于點B，則即為所求，
（3）分三種情況分別進行解答即可．
【解析】（1）證明：選擇小明的思路：
∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
即；
選擇小紅的思路：由翻折可知，
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
（2）如圖，即為所求，（答案不唯一）
①作，
②以點C為圓心，n為半徑作圓，以點D為圓心，m為半徑作圓，兩圓相交于點A，
③以點A為圓心，m為半徑作圓，交的延長線于點B，則即為所求，
（3）∵設，則
∵
∴
即，
∴，
由（1）得，
分三種情況：
①當時，即，
∴，即，
代入得，
解得，
∴
∴，
②當時，
代入得，
解得，
∴
∴，
③當時，則
代入得，
解得，
∴
∴，
綜上可知， 當時，，此時；當時，，此時，當時，，此時；
19．（2024·江蘇南京·一模）數學的思考
如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，試在軸正半軸上確定點的位置，使得最大，并求出此時點的坐標．
數學的眼光
(1)如圖，請說明；
數學的表達
(2)如圖，根據“垂徑定理”，可知圓心在線段的垂直平分線上，借助直線的表達式及，可以求出圓心的坐標，從而得到點的坐標，請寫出具體的過程；
(3)如圖，延長線段交軸于點，連接，當與相切時，通過求的長可得到點的坐標，請寫出具體的過程；
(4)如圖，已知線段，用尺規在射線上作出點，使得最大（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．
【答案】(1)見解析；
(2)點坐標為，見解析；
(3)點坐標為，見解析；
(4)見解析．
【分析】（）設與圓于點，連接，根據外角性質，得到即可；
（）設點，求出，根據和兩點間的距離，列出等式即可求解；
（）連接并延長，交于點，連接，證明，再根據性質即可求解；
（）延長，交于點，根據第（）問，可知，則在右圖中構造，然后左圖以為圓心，為半徑畫弧，交于點即可．
【解析】（1）解：如圖，設與圓于點，連接，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖，設與直線交于點，設直線與軸交于點，過作軸于點，
∵點，，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
由題意得：，
∴，
∴，即重合，
∴，
設直線的表達式是，
∴，解得：，
∴直線的表達式是，
∵點在直線上，
∴設點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，（不合題意，舍去）
∴點坐標為；
（3）解：如圖，連接并延長，交于點，連接，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵與軸相切于點，
∴軸，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點，，
∴同理解析式為，
當時，,
∴點，
∴， ，
∴，
即，
∴，
∴點坐標為 ；
（4）如圖：
延長，交于點，
同（）理得，設，
以為直徑畫半圓，過作的垂線交半圓于點，
易證，
∴，
然后以為圓心，為半徑畫弧，交于點，
∴即為所求．
【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，相似三角形的判定與性質，兩點間的距離，三角形外角性質，熟練掌握以上知識的應用是解題的關鍵

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