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跟蹤訓練01：集合
一．選擇題（共15小題）
1．設集合，0，1，，，則的子集個數為　　
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：因為，所以，，，
則集合的元素個數為2，因此，的子集個數為．
故選：．
2．已知集合，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：集合表示函數圖象上所有點的集合，是一個點集，
集合表示函數的值域，是一個數集，
．
故選：．
3．已知集合，，則　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：集合，
，
則．
故選：．
4．設集合，1，2，，，3，，，則　　
A． B．， C．， D．，3，
【解答】解：或，
由，1，2，，，3，得，，1，2，3，，
所以，3，，
故選：．
5．已知集合，，則　　
A．， B．，
C．， D．，，
【解答】解：依題意知，
由，解得：或，
即或，又
所以，．
故選：．
6．集合，集合，則　　
A．，1， B．， C．， D．
【解答】解：由題意可得，，所以，1，，
由，所以，故，．
故選：．
7．已知集合，1，，，，，則　　
A．1或 B． C．或2 D．2
【解答】解：集合，1，，，，，
，
或，
解得或，
當時，，1，，不滿足集合中元素的互異性，，
當時，，1，，，，滿足條件，
．
故選：．
8．設全集，，0，1，2，，集合，，，2，，則　　
A． B．， C．， D．，2，
【解答】解：全集，，0，1，2，，，，
則，0，2，，又因為，2，，
所以，．
故選：．
9．已知集合，則　　
A．，1， B．，1，2，3，4，9，
C．， D．，2，3，4，9，
【解答】解：因為，1，2，3，，
所以，1，4，9，，
所以，1，2，3，4，9，．
故選：．
10．已知集合，2，3，4，5，6，，，3，6，，，3，4，，則　　
A．， B．， C．， D．，6，
【解答】解：因為，2，3，4，5，6，，，3，4，，所以，6，，
又因為，3，6，，
所以，．
故選：．
11．已知集合，，則　　
A．，， B．， C．， D．
【解答】解：因為，，
所以，，，．
故選：．
12．設全集，1，2，，集合，，，則　　
A． B． C．，2， D．，1，2，
【解答】解：由題意，，，又，，
所以，
所以，2，．
故選：．
13．已知集合，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
又，
所以．
故選：．
14．已知集合，，，則　　
A．， B．，1， C．，2， D．，1，2，
【解答】解：由題意得，或或，
，
又，1，2，，則，1，．
故選：．
15．已知集合，，若，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：，，
因為，所以，
故，解得：．
故選：．
二．多選題（共5小題）
16．下列關系式正確的有　　
A． B．， C． D．
【解答】解：對于，因為空集中無任何元素，所以，正確；
對于，，，錯誤；
對于，為實數集，為有理數集，又實數包含有理數，錯誤；
對于，是整數集，所以，正確．
故選：．
17．集合，是實數集的子集，定義且，若集，，，，則以下說法正確的是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：集合，，，，
故正確，錯誤，
由題意可知，，，故正確，正確，
故選：．
18．當一個非空數集滿足“如果，，則，，，且時，”時，我們就稱是一個數域，以下關于數域的說法：
①0是任何數域的元素；
②若數域有非零元素，則；
③集合，是一個數域；
④有理數集是一個數域；
⑤無理數集不是一個數域．
其中正確的選項有　　
A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤
【解答】解：對于①，設，有，即，故①正確；
對于②，設，則有，即，則，
則，，則，故②正確；
對于③，當，時，，不是一個數域，故③錯誤；
對于④，，，則，，，且時，，故④正確；
對于⑤，若，，則，，故無理數集不是一個數域，故⑤正確．
故選：．
19．已知集合，，，，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，表示所有2的偶數被加1的數組成的集合，又集合，，表示所有2的整數倍加1的數組成的集合，故，故正確，
又，，，表示部分偶數組成的集合，，，
故選：．
20．設所有被4除余數為，1，2，的整數組成的集合為，即，，則下列結論中正確的是　　
A． B．若，則，
C． D．若，，則
【解答】解：，所以，故正確；
若，則，或，或，或，，故錯誤；，所以，故正確；
令，，，，則，，故，故正確．
故選：．
三．填空題（共5小題）
21．當，時，定義運算：當，時，；當，時，；當，或，時，；當時，；當時，．在此定義下，若集合，則中元素的個數為 　14　．
【解答】解：當，時，，所以或或，
當，時，，所以或或，
當，或，時，，所以或或或或或，
當時，，所以，
當時，，所以，
所以，，，，，，，，，，，，，，
綜上所述，中元素的個數為14個．
故答案為：14．
22．設集合，2，3，，，若，把的所有元素的乘積稱為的容量（若中只有一個元素，則該元素的數值即為它的容量，規定空集的容量為．若的容量為奇（偶數，則稱為奇（偶子集．若，則的所有奇子集的容量之和為 　47　．
【解答】解：時，，2，3，4，5，，
含有一個元素的奇子集為，，，
含有兩個元素的奇子集為，，，，，，
含有三個元素的奇子集為，3，，
故所有奇子集的容量之和為．
故答案為：47．
23．定義集合運算：，，，若，2，，，，則　，2，3，4，　．
【解答】解：，，，，2，，，，
，2，3，4，，
故答案為：，2，3，4，．
24．若用列舉法表示集合，則　　．
【解答】解：由題意得：，則，
，
故答案為：．
25．已知集合，，則　，　．
【解答】解：集合，
，
，．
故答案為：，．
四．解答題（共3小題）
26．已知集合，．
從①；②；③中選擇一個填入橫線處并解答．
（1）若，求；
（2）若_____，求實數的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解答】解：（1），
，
當時，，
．
（2）由（1）知，，，
或，或，
若選①，，則或，
解得或，
的取值范圍是，，．
若選②，，則或，
解得或，
的取值范圍是，，．
若選③，，則，
解得，
的取值范圍是，．
27．已知，，．
（1）求；
（2）若，求實數的值．
【解答】解：（1）由得，
，
不等式可化為，
解得：，
，
或，
或．
（2），
，
，解得，
當時，實數的取值范圍為，．
28．已知集合，，集合．
（1）當時，求；
（2）若，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，，解得，
所以，，，，
所以，．
（2）由得，
又，，所以對，恒成立，
當，時，．
所以，于是實數的取值范圍為，．跟蹤訓練01：集合
一．選擇題（共15小題）
1．設集合，0，1，，，則的子集個數為　　
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知集合，，則　　
A． B． C． D．
3．已知集合，，則　　
A． B．， C． D．，
4．設集合，1，2，，，3，，，則　　
A． B．， C．， D．，3，
5．已知集合，，則　　
A．， B．，
C．， D．，，
6．集合，集合，則　　
A．，1， B．， C．， D．
7．已知集合，1，，，，，則　　
A．1或 B． C．或2 D．2
8．設全集，，0，1，2，，集合，，，2，，則　　
A． B．， C．， D．，2，
9．已知集合，則　　
A．，1， B．，1，2，3，4，9，
C．， D．，2，3，4，9，
10．已知集合，2，3，4，5，6，，，3，6，，，3，4，，則　　
A．， B．， C．， D．，6，
11．已知集合，，則　　
A．，， B．， C．， D．
12．設全集，1，2，，集合，，，則　　
A． B． C．，2， D．，1，2，
13．已知集合，，則　　
A． B． C． D．
14．已知集合，，，則　　
A．， B．，1， C．，2， D．，1，2，
15．已知集合，，若，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
16．下列關系式正確的有　　
A． B．， C． D．
17．集合，是實數集的子集，定義且，若集，，，，則以下說法正確的是　　
A．， B．， C．， D．，
18．當一個非空數集滿足“如果，，則，，，且時，”時，我們就稱是一個數域，以下關于數域的說法：
①0是任何數域的元素；
②若數域有非零元素，則；
③集合，是一個數域；
④有理數集是一個數域；
⑤無理數集不是一個數域．
其中正確的選項有　　
A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤
19．已知集合，，，，，，則　　
A． B． C． D．
20．設所有被4除余數為，1，2，的整數組成的集合為，即，，則下列結論中正確的是　　
A． B．若，則，
C． D．若，，則
21．當，時，定義運算：當，時，；當，時，；當，或，時，；當時，；當時，．在此定義下，若集合，則中元素的個數為 ．
22．設集合，2，3，，，若，把的所有元素的乘積稱為的容量（若中只有一個元素，則該元素的數值即為它的容量，規定空集的容量為．若的容量為奇（偶數，則稱為奇（偶子集．若，則的所有奇子集的容量之和為 ．
23．定義集合運算：，，，若，2，，，，則 ．
24．若用列舉法表示集合，則 ．
25．已知集合，，則 ．
26．已知集合，．
從①；②；③中選擇一個填入橫線處并解答．
（1）若，求；
（2）若_____，求實數的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
27．已知，，．
（1）求；
（2）若，求實數的值．
28．已知集合，，集合．
（1）當時，求；
（2）若，求實數的取值范圍．跟蹤訓練02 常用邏輯用語
一．選擇題（共15小題）
1．已知為非零實數，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由，即，即，
解得或，
所以由可以推出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：．
2．已知非零向量，，，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：非零向量，，，
①若成立，則一定成立，
②若成立，只表示向量和在向量上的投影相等，而不一定成立，
是的充分不必要條件．
故選：．
3．設，，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由推不出，比如時，不是充分條件，
由，得，則，是必要條件，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：．
4．“”是“”的　　
A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．充要條件
【解答】解：因為，
所以，或，
所以或，
故“”是“”的必要不充分條件．
故選：．
5．命題“，”的否定是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：命題“，”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，
所以命題“，”的否定是：，．
故選：．
6．數列的通項公式為．則“”是“為遞增數列”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由題意，若為遞增數列，則恒成立，
即，
等價于，解得，
則“”是“為遞增數列”的充分而不必要條件．
故選：．
7．使命題“，，”成立的一個充分不必要條件可以是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，
即在，上恒成立，只需，
又，，所以，則，
又，，，
所以使命題“，，”成立的一個充分不必要條件可以是．
故選：．
8．已知，則“”是“”的　　
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【解答】解：由，可得，
，
“”是“”的必要不充分條件．
故選：．
9．若x，y∈R，則“x＞y”的一個充分不必要條件可以是（　　）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；
由可得，解得x＞y＞0或x＜y＜0，
所以是x＞y的既不充分也不必要條件，排除C；
，反之不成立，D正確；
故選：D．
10．命題，，則為　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【解答】解：因為對全稱量詞的否定用特稱量詞，
所以命題，的否定為：，．
故選：．
11．命題：“，”，命題：“”，則是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【解答】解：對于命題：“，”，
△，得，
可以推出，但是不能推出，
是的充分不必要條件．
故選：．
12．已知函數，則“函數是偶函數”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：函數，
即，
則函數是偶函數，，
即，，
當時，．
故“函數是偶函數”是“”的必要不充分條件．
故選：．
13．若命題，命題，，則是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：當，則，異號，
故存在兩種情況，或，，故無法推出，
當，，此時，
故能推出，
所以是的必要不充分條件．
故選：．
14．給出下列四個命題，其中正確命題為　　
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要不充分條件
C．，，使得
D．“”是“”的充分不必要條件
【解答】解：，，的否定是，，錯誤，
，當，時，滿足，但不成立，錯誤，
，當，時，成立，正確，
，在上為增函數，，是的充要條件，錯誤．
故選：．
15．已知，為實數，則使得“”成立的一個充分不必要條件為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于，如果，例如，，則，不能推出，如果，則必定有，既不是充分條件也不是必要條件，錯誤；
對于，如果，因為是單調遞增的函數，所以，不能推出，例如，，
對于，如果，根據對數函數的單調性可知，，但不能推出，例如，，不是充分條件，
如果，則，，是必要條件，即是的必要不充分條件，錯誤；
對于，如果，則必有，是充分條件，如果，例如，，則不能推出，所以是充分不必有條件，正確．
故選：．
二．多選題（共5小題）
16．命題“，，”是真命題的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：依題意，命題“，，”是真命題，
所以對任意，上恒成立，所以，
其必要不充分條件是或．
故選：．
17．下列說法正確的是　　
A．命題“，”的否定是“，”
B．已知，則“”是“”的必要不充分條件
C．函數的單調增區間是
D．，
【解答】解：對于，命題命題“，”的否定是“，”，故正確；
對于，由，得， “ “是“”的必要不充分條件，故正確；
對于，由，得函數的定義域為，，，
由的增區間為，故錯誤；
對于，作出函數和的圖象，
，
在上，恒成立，故錯誤．
故選：．
18．設為正實數，且，已知函數，使得函數在上單調遞減成立的充分不必要條件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為為正實數，且，且函數，使得函數在上單調遞減成立，
則，則，
根據充分不必要條件的定義可知：，，滿足題意，
故選：．
19．以下說法正確的有　　
A．“且”是“”的充要條件
B．若，則
C．命題“，使得”的否定是“，使得”
D．當時，的最小值為
【解答】解：對于，當且時，有；當時，或，得不出且．所以，“且”是“”的充分不必要條件，故錯誤；
對于，由可知，由不等式的性質，可得成立，故正確；
對于，由存在量詞命題的否定可知命題“，使得”的否定是“，使得”，故正確；
對于，令，因為在上單調遞減，所以，故錯誤．
故選：．
20．下列選項中說法錯誤的是　　
A．若函數的定義域為，，則函數的定義域為
B．函數的單調遞增區間是，，
C．設，，則“”是“”的充要條件
D．函數的最小值為
【解答】解：因為函數的定義域為，，所以，所以由解得，即函數的定義域為，故正確；
取時，（1），故在，，上不是增函數，故錯誤；
當時，由推不出，所以“”不是“”的充要條件，故錯誤；
因為，當且僅當時等號成立，顯然取不到等號，故不是最小值，故錯誤．
故選：．
三．填空題（共5小題）
21．“，使得成立”的一個充分不必要條件可以是 　（答案不唯一）　（寫出滿足題意的一個即可）
【解答】解：“，使得成立”的充要條件是：
，
，，
當且僅當，即時，等號成立，
“，使得成立”的一個充分不必要條件可以是．
故答案為：（答案不唯一）．
22．能說明“，，”是假命題的一個實數的取值是 　，　．
【解答】解：，時，，，所以時的取值范圍是；
所以“，，”是假命題的一個實數的取值是，．
故答案為：，．
23．若“，”為真命題，則實數的取值范圍為 　或　．
【解答】解：若“，”為真命題，則有解，
當時，不等式可化為，顯然有解；
當時，是開口向下的二次函數，則有解；
當時，是開口向上的二次函數，則“有解”等價于△，即，解得或，結合有：或；
綜上，實數的取值范圍為：或．
故答案為：或．
24．已知命題，，若是假命題，則實數的取值范圍是 　，，　．
【解答】解：命題，，
若命題為假命題，
則命題為真命題，故，為真命題；
故，
解得或，即的取值范圍為，，．
故答案為：，，．
25．是復數為純虛數的　必要不充分　條件．（填“充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要”
【解答】解：當時，復數為純虛數不一定成立，
故是復數為純虛數的不充分條件
當復數為純虛數時，成立
故是復數為純虛數的必要條件
故是復數為純虛數的必要不充分條件
故答案為：必要不充分
四．解答題（共3小題）
26．已知非空集合，，全集．
（1）當時，求；
（2）若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，，而，，故
故．
（2）因為非空，故即．
因為“”是“”的必要條件，故，
故，故．
27．設全集，集合，集合．
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）求；
（3）有三個條件：①，②，③若“”是“”的必要條件，從這三個條件中任選一個作為已知條件，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）集合，
若，則，
解得，
所以實數的取值范圍是，．
（2）全集，集合，
由，可得，
化簡得，即，解得或，或，
所以．
（3）有三個條件：①，②，③若“”是“”的必要條件，
從這三個條件中任選一個作為已知條件，都可得，又集合或，
①若，由（1）可知，此時滿足，符合題目要求，
②若，要滿足，則或，
解得或，
綜上所述可得實數的取值范圍是或．
所以實數的取值范圍是，，．
28．設命題：實數滿足，命題：實數滿足，其中．若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【解答】解：
是的充分不必要條件，
，，
則，解得，
故實數的取值范圍是，．跟蹤訓練02 常用邏輯用語
一．選擇題（共15小題）
1．已知為非零實數，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知非零向量，，，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．設，，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．“”是“”的　　
A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．充要條件
5．命題“，”的否定是　　
A．， B．， C．， D．，
6．數列的通項公式為．則“”是“為遞增數列”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．使命題“，，”成立的一個充分不必要條件可以是　　
A． B． C． D．
8．已知，則“”是“”的　　
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
9．若x，y∈R，則“x＞y”的一個充分不必要條件可以是（　　）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
10．命題，，則為　　
A．，
B．，
C．，
D．，
11．命題：“，”，命題：“”，則是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
12．已知函數，則“函數是偶函數”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
13．若命題，命題，，則是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
14．給出下列四個命題，其中正確命題為　　
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要不充分條件
C．，，使得
D．“”是“”的充分不必要條件
15．已知，為實數，則使得“”成立的一個充分不必要條件為　　
A． B．
C． D．
二．多選題（共5小題）
16．命題“，，”是真命題的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
17．下列說法正確的是　　
A．命題“，”的否定是“，”
B．已知，則“”是“”的必要不充分條件
C．函數的單調增區間是
D．，
18．設為正實數，且，已知函數，使得函數在上單調遞減成立的充分不必要條件是　　
A． B． C． D．
19．以下說法正確的有　　
A．“且”是“”的充要條件
B．若，則
C．命題“，使得”的否定是“，使得”
D．當時，的最小值為
20．下列選項中說法錯誤的是　　
A．若函數的定義域為，，則函數的定義域為
B．函數的單調遞增區間是，，
C．設，，則“”是“”的充要條件
D．函數的最小值為
三．填空題（共5小題）
21．“，使得成立”的一個充分不必要條件可以是 　　（寫出滿足題意的一個即可）
22．能說明“，，”是假命題的一個實數的取值是 　　．
23．若“，”為真命題，則實數的取值范圍為 　　．
24．已知命題，，若是假命題，則實數的取值范圍是 　　．
25．是復數為純虛數的 條件．（填“充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要”
四．解答題（共3小題）
26．已知非空集合，，全集．
（1）當時，求；
（2）若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍．
27．設全集，集合，集合．
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）求；
（3）有三個條件：①，②，③若“”是“”的必要條件，從這三個條件中任選一個作為已知條件，求實數的取值范圍．
28．設命題：實數滿足，命題：實數滿足，其中．若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．跟蹤訓練03 等式性質與不等式性質
一．選擇題（共15小題）
1．若，，則下列各式中正確的是　　
①
②
③
④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：因為，，
所以，，即，故①正確，②錯誤；
因為，，
所以，，，
所以，，故③錯誤，④正確．
故選：．
2．對于任意的，且，則下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于，在上單調遞減，，錯誤；
對于，當時，原式無意義，錯誤；
對于，當時，，錯誤；
對于，在上單調遞增，，正確．
故選：．
3．設，則，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，故，所以，
即，所以，
故．
故選：．
4．已知，則下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：對：由于，則兩邊同時乘以有：，錯誤；
對：由于，則兩邊同時加有：，錯誤；
對：由于，則兩邊同時3次方有：，錯誤；
對：由于，則兩邊同時乘以有：，正確．
故選：．
5．下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【解答】解：對于，取，，滿足，但是不成立，故錯誤，
對于，取，，滿足，但是不成立，故錯誤，
對于，，，，，
，故正確，
對于，取，，，，滿足，，但是不成立，故錯誤，
故選：．
6．已知實數，，滿足，，則的值　　
A．一定是正數 B．一定為負數 C．可能為0 D．正負不定
【解答】解：不妨設，
又實數，，滿足，，
則，，
則，
即的值一定為負數，
故選：．
7．已知，則下列不等式恒成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得為負數，為正數，
對于，取，，則，故錯誤；
對于，因為，，所以，故錯誤；
對于，因為，兩邊同時乘以，可得，故正確；
對于，取，，則，故錯誤．
故選：．
8．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若，，，則下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【解答】解：對于，取，，滿足，但，故錯誤；
對于，當，若，則，故錯誤；
對于，取，，滿足，但，故錯誤；
對于，若，則，故，所以，故正確，
故選：．
9．某學生月考數學成績不低于100分，英語成績和語文成績的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：數學成績不低于100分表示為，英語成績和語文成績的總成績高于200分且低于240分表示為，
即．
故選：．
10．已知，且，則的取值范圍是　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：設，
則，
所以，解得，，
所以．
因為，所以，
因為，所以，
所以，
所以的取值范圍是，．
故選：．
11．下列命題為真命題的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【解答】解：對于，當時，不成立，故錯誤；
對于，由，根據不等式的性質，可得，故正確；
對于，取，，可知不成立，故錯誤；
對于，取，，可知不成立，故錯誤，
故選：．
12．已知，且，則下列不等式中一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，；
對于，當，時，，此時，錯誤；
對于，當，時，，此時，錯誤；
對于，當，時，，此時，錯誤；
對于，，，，即，正確．
故選：．
13．下列命題中真命題的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
【解答】解：對于，若，當時，則不成立，故為假命題；
對于，若，例如，，滿足，但是，故為假命題；
對于，若，，例如，，，，滿足，，但，故為假命題；
對于，若，則，故為真命題．
故選：．
14．設實數，，滿足，，則下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：對于，，則，故錯誤，
對于，，，則，故正確，
對于，，則，，故錯誤，
對于，，則，，，故錯誤，
故選：．
15．已知，則下列選項正確的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：設，則，
設，則，
在上單調遞減，，即，
單調遞減，
，，
，
設，則，在上單調遞增，
，即，，
，，即，
則．
故選：．
二．多選題（共5小題）
16．十六世紀中葉，英國數學加雷科德在《礪智石》一書中先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠，若，，則下面結論正確的是　　
A．若，則
B．若，則有最小值
C．若，則
D．若，則有最大值1
【解答】解：對于，，則，即，正確；
對于，，，，則，
當且僅當，即時取等號，正確；
對于，，，由得：，有，則，不正確；
對于，，，，則，當且僅當時取等號，正確．
故選：．
17．下列四個命題中，正確的是　　
A．若，則 B．若，且，則
C．若，，則 D．若，則
【解答】解：對于，舉例，，，滿足，但是不成立，故錯誤；
對于，，，，
又，，故正確；
對于，，，，
，，故正確；
對于，，，，
又，
，故正確．
故選：．
18．若實數，，，滿足，則下列不等式正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，所以，故正確，
且，所以，故正確，
當，時，，故錯誤，
當，，，時，，故錯誤，
故選：．
19．若，，，均為不相等實數，下列命題中正確的是　　
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．當時，不等式成立
【解答】解：項：由不等式的性質，正確；
選項：由，得，故，
當且僅當時，等號成立，又，正確；
選項：若，，，時，，，故錯誤；
選項：當時，，
此時或，與矛盾，錯誤．
故選：．
20．生活經驗告訴我們，克糖水中有克糖，，且，若再添加克糖后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：．趣稱之為“糖水不等式”．根據生活經驗和不等式的性質判斷下列命題一定正確的是　　
A．若，，則與的大小關系隨的變化而變化
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則一定有
【解答】解：選項，，所以，選項說法錯誤；
選項，當，時，，，即，選項說法錯誤；
選項，，即，選項說法正確；
選項，因為，，所以，，
所以，選項說法正確．
故選：．
三．填空題（共5小題）
21．實數，滿足，，那么的取值范圍是 　　．
【解答】解：令，，故，，
則，，，
．
故答案為：．
22．已知，、、均不為0，且，，，則　1　
【解答】解：，、、均不為0，且，，，
則，同理可得：，．
則．
故答案為：1．
23．已知，，則　　．（填“”或“”
【解答】解：已知，，
則，
則．
故答案為：．
24．與的大小關系為 　　．
【解答】解：，，
且，
，
故答案為：．
25．已知實數，滿足，，則的最大值是　13　．
【解答】解：，
因為，，
所以，，
所以，
即，
所以的最大值是13．
故答案為：13．
四．解答題（共3小題）
26．若，，試比較與的大小．
【解答】．
解：；①
，，
當時，①式取0即；
當時，①式大于0即；
當時，①式小于0即．
27．比較下列兩個代數式的大小，寫出比較過程．
當時，與．
【解答】解：當時，．
當時，．
28．比較下列兩組數的大小．
（1）與；
（2）與．
【解答】解：（1），
；
（2），
，
當時等號成立．跟蹤訓練03 等式性質與不等式性質
一．選擇題（共15小題）
1．若，，則下列各式中正確的是　　
①
②
③
④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．對于任意的，且，則下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
3．設，則，的大小關系是　　
A． B． C． D．
4．已知，則下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
5．下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
6．已知實數，，滿足，，則的值　　
A．一定是正數 B．一定為負數 C．可能為0 D．正負不定
7．已知，則下列不等式恒成立的是　　
A． B． C． D．
8．十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若，，，則下列命題正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
9．某學生月考數學成績不低于100分，英語成績和語文成績的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為　　
A． B．
C． D．
10．已知，且，則的取值范圍是　　
A．， B． C．， D．，
11．下列命題為真命題的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
12．已知，且，則下列不等式中一定成立的是　　
A． B． C． D．
13．下列命題中真命題的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
14．設實數，，滿足，，則下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
15．已知，則下列選項正確的是　　
A．
B．
C．
D．
二．多選題（共5小題）
16．十六世紀中葉，英國數學加雷科德在《礪智石》一書中先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠，若，，則下面結論正確的是　　
A．若，則
B．若，則有最小值
C．若，則
D．若，則有最大值1
17．下列四個命題中，正確的是　　
A．若，則 B．若，且，則
C．若，，則 D．若，則
18．若實數，，，滿足，則下列不等式正確的是　　
A． B． C． D．
19．若，，，均為不相等實數，下列命題中正確的是　　
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，則
D．當時，不等式成立
20．生活經驗告訴我們，克糖水中有克糖，，且，若再添加克糖后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：．趣稱之為“糖水不等式”．根據生活經驗和不等式的性質判斷下列命題一定正確的是　　
A．若，，則與的大小關系隨的變化而變化
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則一定有
三．填空題（共5小題）
21．實數，滿足，，那么的取值范圍是 ．
22．已知，、、均不為0，且，，，則
23．已知，，則 ．（填“”或“”
24．與的大小關系為 ．
25．已知實數，滿足，，則的最大值是 ．
四．解答題（共3小題）
26．若，，試比較與的大小．
27．比較下列兩個代數式的大小，寫出比較過程．
當時，與．
28．比較下列兩組數的大小．
（1）與；
（2）與．跟蹤訓練04 基本不等式
一．選擇題（共15小題）
1．設，，且，求的最小值是　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：因為，，且，
所以，，，當且僅當，即時取等號，
故選：．
2．已知，則的最小值為　　
A． B．0 C．1 D．
【解答】解：，
，
當且僅當，即時取等號．
故選：．
3．最早發現勾股定理的人應是我國西周時期的數學家商高，根據記載，商高曾經和周公討論過這個定理的有關問題．如果一個直角三角形的斜邊長等于，則當這個直角三角形周長取最大值時，其面積為　　
A． B．1 C．2 D．6
【解答】解：記該直角三角形的斜邊為，直角邊為，，則，
因為，所以，即，
當且僅當，且，即時，等號成立，
因為，，所以，
所以該直角三角形周長，
故這個直角三角形周長取最大值時，該三角形的面積為．
故選：．
4．下列命題中真命題的個數為　　
①負數沒有平方根；
②對任意的實數，，都有；
③二次函數的圖象與軸恒有交點；
④，，．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①任意負數沒有平方根，故①正確；
②，即對任意的實數，，都有，故②正確；
③二次函數中，△二次函數的圖象與軸恒有交點，故③正確；
④當時，，故④錯誤，
故選：．
5．若實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，由，得，
于是，整理得，當且僅當時取等號，
解得，錯誤，正確；
又，即，當且僅當時取等號，錯誤．
故選：．
6．已知，，且，則的最小值為　　
A．4 B．6 C．8 D．12
【解答】解：，，且，
，當且僅當時取等號，
整理得：，
解得或（舍，
的最小值為4．
故選：．
7．已知，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：，，
，當且僅當，即時，等號成立，
的最小值為5．
故選：．
8．已知，，且，則的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．9
【解答】解：因為，所以，
則，
當且僅當，時，等號成立．
故選：．
9．若實數，滿足，則　　成立．
A． B． C． D．．
【解答】解：，，
又，當且僅當時，取等號，
，即，故錯誤，
，故正確，
，
，故錯誤，
故選：．
10．當時，函數　　
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
【解答】解：，，
，當且僅當時等號成立，
故選：．
11．設、，，若，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為、，，，則，即，
由題意可得，，
所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為．
故選：．
12．已知正數，滿足：，則以下結論中
（1）
（2）
（3）的最小值為9
（4）的最小值為3
正確結論個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因為，
所以，
設，其中，
則，
所以在上是單調增函數；
所以，即，結論（1）正確、（2）錯誤；
，當且僅當時取“”，
所以的最小值為9，結論（3）正確、（4）錯誤．
故選：．
13．正項等比數列中，，若，則的最小值等于　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：因為正項等比數列中，，
則，可得，
又，則，則，
則，當且僅當時，等號成立，
故選：．
14．已知：，，，則下列說法正確的是　　
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
【解答】解：因為，，，所以有，當且僅當時取等號，因此正確，錯誤；
因為，，，
所以有，
當且僅當時取等號，即當且僅當時取等號，不正確，
當時，顯然有，不正確，
故選：．
15．已知正實數，滿足，則的最小值為　　
A．3 B．9 C．4 D．8
【解答】解：因為正實數，滿足，
則，
當且僅當且，即時取等號．
故選：．
二．多選題（共5小題）
16．給出下面四個結論，其中正確的是　　
A．若實數，，，則
B．設正實數，滿足，則有最小值4
C．若函數的值域是，，則函數的值域為，
D．若函數滿足，則
【解答】解：對于選項，，則，
又，則，
又，則，
則，
即選項錯誤；
對于選項，正實數，滿足，
則，
當且僅當時取等號，
則有最小值4，
即選項正確；
對于選項，函數的值域是，，
則函數的值域為，，
即選項錯誤；
對于選項，函數滿足，
則，，，
則，
即選項正確，
故選：．
17．下列函數中，最小值不為4的函數為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：當時，顯然不成立；
因為，，當且僅當，即，顯然等號無法取得，不成立；
，當且僅當，即時取等號，成立；
當時，顯然不成立．
故選：．
18．已知實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
設，則，所以，
即，
由△，
解得，即，選項正確，錯誤；
因為，所以，
當且僅當時取等號，
解得，選項正確，選項錯誤．
故選：．
19．下列說法正確的是　　
A．不等式的解集是
B．若正實數，滿足，則的最大值為2
C．若，則
D．不等式對恒成立
【解答】解：對，解得，
故不等式的解集是，正確；
對，，則，當且僅當時等號成立，錯誤；
對，令，則，可得，
當時，則，當且僅當，即時等號成立；
當時，則，當且僅當，即時等號成立，
故，
綜上所述：，錯誤；
對，
，，
不等式對恒成立，正確．
故選：．
20．下列結論中，正確的是　　
A．若，則函數的最小值為
B．若，，則的最小值為8
C．若，，，則的最大值為1
D．若，則的最大值為
【解答】解：對于：若時，函數無最小值，故錯誤；
對于：若，，則，，則，則，當且僅當，時取等號，故正確；
對于：若，，，，解得，故正確；
對于：若，
則，即，整理為，
則，解得，或，解得，
則，即，可得，當時等號成立，所以的最大值為，故正確．
故選：．
三．填空題（共5小題）
21．已知正數，滿足，則的最小值為 　　．
【解答】解：因為，
所以，，，
所以，
當，即，即，時等號成立，
所以的最小值是．
故答案為：．
22．已知，，，則的最小值為 　　．
【解答】解：，，
又，，，
，
當時，的值最小，最小值為．
故答案為：．
23．已知正數，滿足，則的最大值為 　　．
【解答】解：，當且僅當時等號成立．
所以目標式最大值為．
故答案為：．
24．已知，，則的最小值為 　3　．
【解答】解：，，，，
，
當且僅當，時取等號，
的最小值為3，
故答案為：3．
25．已知，，且，則的最小值為 　6　．
【解答】解：因為，，，
所以，，
令，
則，
其中，當且僅當，即時，等號成立，
故，此時，，
故答案為：6．
四．解答題（共3小題）
26．求下列函數的最值．
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值．
【解答】解（1），，
，
當且僅當即時取等號，
的最小值為9．
（2）因為，，且，
，
，
當且僅當且，即，時取等號，
故的最小值8．
27．已知奇函數在上單調，且正實數，滿足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【解答】（1）解：由題意是奇函數，且在上單調，
所以，所以，即．
所以，得，當且僅當時，等號成立．
故的最大值為；
（2）由（1）得，
當且僅當，即時，等號成立．
故的最小值為48．
28．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，，若，求的最小值．
【解答】解：（1）因為，
所以，
當且僅當，即時取等號，此時的最小值為9；
（2）由，，可得，
則，
當且僅當即，時取等號，此時的最小值為．跟蹤訓練04 基本不等式
一．選擇題（共15小題）
1．設，，且，求的最小值是　　
A．1 B．2 C． D．
2．已知，則的最小值為　　
A． B．0 C．1 D．
3．最早發現勾股定理的人應是我國西周時期的數學家商高，根據記載，商高曾經和周公討論過這個定理的有關問題．如果一個直角三角形的斜邊長等于，則當這個直角三角形周長取最大值時，其面積為　　
A． B．1 C．2 D．6
4．下列命題中真命題的個數為　　
①負數沒有平方根；
②對任意的實數，，都有；
③二次函數的圖象與軸恒有交點；
④，，．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
6．已知，，且，則的最小值為　　
A．4 B．6 C．8 D．12
7．已知，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知，，且，則的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．9
9．若實數，滿足，則　　成立．
A． B． C． D．．
10．當時，函數　　
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
11．設、，，若，則的最小值為　　
A． B． C． D．
12．已知正數，滿足：，則以下結論中
（1）
（2）
（3）的最小值為9
（4）的最小值為3
正確結論個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
13．正項等比數列中，，若，則的最小值等于　　
A．1 B． C． D．
14．已知：，，，則下列說法正確的是　　
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
15．已知正實數，滿足，則的最小值為　　
A．3 B．9 C．4 D．8
二．多選題（共5小題）
16．給出下面四個結論，其中正確的是　　
A．若實數，，，則
B．設正實數，滿足，則有最小值4
C．若函數的值域是，，則函數的值域為，
D．若函數滿足，則
17．下列函數中，最小值不為4的函數為　　
A． B．
C． D．
18．已知實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
19．下列說法正確的是　　
A．不等式的解集是
B．若正實數，滿足，則的最大值為2
C．若，則
D．不等式對恒成立
20．下列結論中，正確的是　　
A．若，則函數的最小值為
B．若，，則的最小值為8
C．若，，，則的最大值為1
D．若，則的最大值為
三．填空題（共5小題）
21．已知正數，滿足，則的最小值為 ．
22．已知，，，則的最小值為 ．
23．已知正數，滿足，則的最大值為 ．
24．已知，，則的最小值為 ．
25．已知，，且，則的最小值為 ．
四．解答題（共3小題）
26．求下列函數的最值．
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，，且，求的最小值．
27．已知奇函數在上單調，且正實數，滿足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
28．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，，若，求的最小值．跟蹤訓練05 二次函數與一元二次方程、不等式
一．選擇題（共15小題）
1．已知函數在區間，上的最小值為，最大值為，則　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：的對稱軸為代入，，
所以，即，
又因為對稱軸方程為，
函數在區間，上單調遞增，所以，
所以方程的兩個根為和，所以．
故選：．
2．不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
故選：．
3．不等式的解集是　　
A．或 B． C．或 D．
【解答】解：不等式，解得或，
即不等式的解集為，，．
故選：．
4．不等式的解集是　　
A．或 B． C． D．或
【解答】解：令，得，，
故當時，或，
即不等式的解集為或．
故選：．
5．不等式的解集為　　
A． B．或 C． D．或
【解答】解：由，
即，得，
所以不等式的解集為．
故選：．
6．若函數在，上是增函數，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函數的對稱軸為：，圖象開口向上，
函數在，上單調遞增，
，解得，
故選：．
7．已知，是關于的一元二次方程的兩根，其中，，則的值　　
A．僅與有關 B．僅與有關
C．與均有關 D．是與無關的定值
【解答】解：因為，是關于的一元二次方程的兩根，
所以由韋達定理得，
又，所以，
同理，
所以．
故選：．
8．若關于的不等式的解集是或，則　　
A． B． C． D．1
【解答】解：依題意，關于的不等式的解集是或，
所以關于的方程的根為或，
所以，
所以．
故選：．
9．已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為關于的不等式的解集為，
則，，
則不等式即不等式，解集為：．
故選：．
10．已知關于的方程的兩根為，，且兩根的平方和比兩根之積大40，則值為　　
A．或18 B．2或 C． D．
【解答】解：因為關于的方程的兩根為，，
則△，即，，
因為，
所以，
所以，即，解得或（舍，
故．
故選：．
11．如果方程的解為，則實數，的值分別是　　
A．， B．， C．，9 D．，2
【解答】解：方程的解為，
和是方程的兩個根，
，解得．
故選：．
12．已知不等式的解集為空集，則實數的取值范圍是　　
A．或 B．或 C． D．
【解答】解：因為不等式的解集為空集，
所以，解得．
故選：．
13．若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：當時，不等式化為，此時不等式無解，
當時，要滿足題意，只需，解得，
綜上，實數的范圍為，，
故選：．
14．已知函數，若，則的值是　　
A．負數 B．正數 C．零 D．正負與有關
【解答】解：開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，
因為，故，
又因為，所以，
設的兩根為，，，
則，，
所以，
因為，故，，所以
故選：．
15．關于的不等式的解集為，，若，則實數的值是　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：因為的解集為，，
則方程的解為或，
則由韋達定理有：，
又，得，即，
結合解得．
故選：．
二．多選題（共5小題）
16．下列四個不等式中，解集為的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于，不等式可化為，解得或，所以不等式的解集是或，不是空集；
對于，不等式，判別式△，所以不等式的解集是；
對于，不等式，判別式△，所以不等式的解集是；
對于，不等式可化為，
判別式△，
因為，所以，當且僅當，即時取“”；
所以△，不等式的解集是．
故選：．
17．二次函數的圖像如圖所示，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
由函數圖像可得：且（1），即，且，
故，正確，錯誤，且，所以，故正確，
故選：．
18．已知關于的不等式，下列結論正確的是　　
A．當時，不等式的解集為
B．當時，不等式的解集可以表示為的形式
C．若不等式的解集恰為，則或
D．若不等式的解集恰為，則
【解答】解：設，則，
對于，，當時，不等式的解集為，故正確，
對于，當時，不等式化為，畫出圖象，如圖所示：
不等式的解集為，故錯誤，
對于，若不等式的解集恰為，則，且，，（a）（b），
，解得或，
當時，，不符合題意，舍去，
當時，，符合題意，
，
故錯誤，正確，
故選：．
19．已知不等式的解集為，則以下選項正確的有　　
A．
B．
C．的解集為
D．的解集為或
【解答】解：不等式的解集為，
和3是方程的兩個根，且，
，，，
，，故正確，錯誤，
不等式可化為，，
即，解得或，
的解集為或，故錯誤，正確，
故選：．
20．已知關于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是　　
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
【解答】解：因為不等式的解集是或，
所以和是方程的根且，錯誤；
所以，，
所以，，
不等式可化為，解得，正確；
不等式可化為，即，
解得，正確；
根據二次函數的性質可知，當時，，正確．
故選：．
三．填空題（共5小題）
21．已知不等式的解集為，且，則　3　．
【解答】解：不等式的解集為，
所以，
所以，
解得或△，舍去），
所以．
故答案為：3．
22．已知函數在區間，上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：因為在區間，上是嚴格減函數，
所以，
解得，．
故答案為：．
23．已知方程的兩根為，，則　　．
【解答】解：方程的兩根為，，
，
故答案為：．
24．已知關于的不等式的解集為，若，則實數的取值范圍為 　，　．
【解答】解：因為關于的不等式的解集為且，
所以，即，即，
解得，
即實數的取值范圍為，．
故答案為：，．
25．關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍為 　，　．
【解答】解：當時，不等式可化為，無解，滿足題意；
當時，不等式化為，解得，不符合題意，舍去；
當時，要使得不等式的解集為，
則解得．
綜上，實數的取值范圍是，
故答案為：．
四．解答題（共3小題）
26．已知函數．
（Ⅰ）當時，求函數在，上的最值；
（Ⅱ）求關于的不等式的解集．
【解答】解：（Ⅰ）當時，，
函數圖象的對稱軸為直線，
因為，，
所以當時，，當時，（2）；
（Ⅱ）不等式化為：，，
則．．
不等式的解集為．
27．已知二次函數．
（1）若是奇函數，求的值；
（2）在區間，上的最小值記為，求的最大值．
【解答】解：（1）因為是奇函數，所以是偶函數，
即二次函數對稱軸為，即；
（2）的對稱軸為，
當時，即，，即；
當，即，時，，故；
當時，即，時，（1）；
綜上，，
故，時，，，時，，，對稱軸為，，
所以的最大值為0．
28．已知關于的不等式，其中．
（1）若該不等式的解集為，求的值；
（2）解原不等式．
【解答】解：（1）由于原不等式的解集為，所以1和2是方程的兩實根，
所以，解得．
（2）由原不等式可得，
當時，即時，解得，原不等式的解集為；
當時，即時，原不等式為，解得，原不等式的解集為；
當時，即時，解得，原不等式的解集為
綜上，時，；時，；時，．跟蹤訓練05 二次函數與一元二次方程、不等式
一．選擇題（共15小題）
1．已知函數在區間，上的最小值為，最大值為，則　　
A． B． C．2 D．
2．不等式的解集是　　
A． B．
C． D．
3．不等式的解集是　　
A．或 B． C．或 D．
4．不等式的解集是　　
A．或 B． C． D．或
5．不等式的解集為　　
A． B．或
C． D．或
6．若函數在，上是增函數，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
7．已知，是關于的一元二次方程的兩根，其中，，則的值　　
A．僅與有關 B．僅與有關
C．與均有關 D．是與無關的定值
8．若關于的不等式的解集是或，則　　
A． B． C． D．1
9．已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為　　
A． B． C． D．
10．已知關于的方程的兩根為，，且兩根的平方和比兩根之積大40，則值為　　
A．或18 B．2或 C． D．
11．如果方程的解為，則實數，的值分別是　　
A．， B．， C．，9 D．，2
12．已知不等式的解集為空集，則實數的取值范圍是　　
A．或 B．或 C． D．
13．若關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
14．已知函數，若，則的值是　　
A．負數 B．正數 C．零 D．正負與有關
15．關于的不等式的解集為，，若，則實數的值是　　
A．1 B． C．2 D．
二．多選題（共5小題）
16．下列四個不等式中，解集為的是　　
A． B．
C． D．
17．二次函數的圖像如圖所示，則　　
A． B． C． D．
18．已知關于的不等式，下列結論正確的是　　
A．當時，不等式的解集為
B．當時，不等式的解集可以表示為的形式
C．若不等式的解集恰為，則或
D．若不等式的解集恰為，則
19．已知不等式的解集為，則以下選項正確的有　　
A．
B．
C．的解集為
D．的解集為或
20．已知關于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是　　
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
三．填空題（共5小題）
21．已知不等式的解集為，且，則 ．
22．已知函數在區間，上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是 ．
23．已知方程的兩根為，，則 ．
24．已知關于的不等式的解集為，若，則實數的取值范圍為 ．
25．關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍為 ．
四．解答題（共3小題）
26．已知函數．
（Ⅰ）當時，求函數在，上的最值；
（Ⅱ）求關于的不等式的解集．
27．已知二次函數．
（1）若是奇函數，求的值；
（2）在區間，上的最小值記為，求的最大值．
28．已知關于的不等式，其中．
（1）若該不等式的解集為，求的值；
（2）解原不等式．

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