資源簡介

階段檢測（一）
集合與常用邏輯用語
考試范圍：集合、常用邏輯用語；考試時間：120分鐘；
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一．選擇題（共8小題）
1．已知集合，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為或，
所以或，
所以．
故選：．
2．若集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
或，
，
則圖中陰影部分表示的集合為．
故選：．
3．已知，，則　　
A．，， B．，
C．， D．，，
【解答】解：，
，
則，，．
故選：．
4．對于非空實數集，記，．設非空實數集合，若時，則．現給出以下命題：
①對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；
②對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；
③對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；
④對于任意給定符合題設條件的集合、，必存在常數，使得對任意的，恒有，
其中正確的命題是　　
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由已知，為不小于集合中最大值的所有數構成的集合．
①因為，設集合和中最大值分別為和，則，故有，正確；
②設，則，故，錯誤；
③設，則，故，錯誤；
④令，則對任意的，，故恒有，正確．
故選：．
5．已知全集U＝A B＝{x∈N|x≤6}，A （ UB）＝{1，3，5}，則B中元素個數為（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【解答】解：全集U＝A B＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，
A （ UB）＝{1，3，5}，
∴B＝{1，3，5}，{1，3，5} A，
B＝{0，2，4，6}，
則B中元素個數為4．
故選：B．
6．已知集合，集合，則　　
A．， B． C． D．
【解答】解：由，解得，
由，解得，
故．
故選：．
7．全集，，，3，5，，，3，7，，則　　
A．，3，7， B．，7， C．，7， D．，
【解答】解：，，2，3，4，5，6，7，8，，，3，5，，
，4，7，8，，
，．
故選：．
8．已知集合，，，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
，故錯；
，故對；
或，故錯；
或，故錯．
故選：．
二．多選題（共4小題）
9．已知，都是正數，若，則下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，都是正數，，
則，當且僅當時，即時，等號成立，
故，故正確；
，當且僅當時，等號成立，故正確；
，當且僅當，即時，等號成立，
故，故錯誤；
，都是正數，，
則，，
，
，故正確．
故選：．
10．已知，，，且，則　　
A． B．若，則
C． D．若，則
【解答】解：對于，當時，，故錯誤；
對于，因為，所以，則，故，故正確；
對于，因為，所以，則，
當且僅當時，等號成立，顯然，所以，故正確；
對于，當時，，故錯誤．
故選：．
11．已知，是正數，且滿足，則下列敘述正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，，
，當且僅當，即時取等號，正確；
，當且僅當時取等號，，，錯誤；
，，，，，，，正確；
，，，且，成立，正確．
故選：．
12．已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是　　
A．
B．的解集為
C．
D．的解集為
【解答】解：不等式的解集為或，
，
即，，
故選項正確；
可化為，
即，
故的解集為，故選項正確；
，故選項錯誤；
可化為，
即，
故不等式的解集為，選項正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
13．已知集合，，2，3，4，，則　，2，　．
【解答】解：集合，
，2，3，4，，
則，2，．
故答案為：，2，．
14．已知關于的一元二次不等式的解集為，則關于的不等式的解集為 　　．
【解答】解：因為關于的一元二次不等式的解集為，
所以是方程的兩根，且，
則，解得，
所以關于的不等式，即，化簡得，解得，
則關于的不等式的解集為．
故答案為：．
15．已知，，均為正實數，且，則的最小值為 　18　．
【解答】解：由條件知
，
當且僅當，，
又因為，即，，時，的最小值為18．
故答案為：18．
16．設命題，．若是假命題，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：是假命題，是真命題，
命題，，
，，，
設，則，在，上單調遞增，
，
，
實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
四．解答題（共6小題）
17．若集合具有以下性質，則稱集合是“好集”：① ，；②若、，則，且時，．
（1）分別判斷集合，0，，有理數集是否是“好集”，并說明理由；
（2）設集合是“好集”，求證：若、，則；
（3）對任意的一個“好集” ，判斷下面命題的真假，并說明理由；命題：若、，則必有．
【解答】解：（1）集合不是“好集“，理由是：，，而；
不是“好集”；
有理數集是“好集”，理由是：
，；
對任意，，有，且時，；
有理數集是“好集，
（2）因為集合是“好集”，所以，
若、，則，即，所以，即；
（3）對任意一個“好集” ，任取、，若、中有0和1時，顯然，
下設、均不含0，1，由定義得，，，
所以，所以，
由（2）得，同理，
若，或．顯然，
若，且，則，可得，所以，
由（2）得，
所以，
綜上，．
18．已知函數，．
（1）若（1），且，求的最小值；
（2）若（1），求關于的不等式的解集．
【解答】（1）解：因為，，（1），
所以，，當且僅當時，等號成立，
因此，的最小值為4．
（2）（1），可得，則，
，則，
解不等式可得或．
因此，不等式的解集為或．
19．已知實數，，，滿足．
（1）試比較和的大小；
（2）利用（1）的結論，比較與的大小．
【解答】解：（1），，
，
當且僅當，即時取等號，
．
（2）由題意知，，
，，
令，，則，
則，，
令，，
，
，
當且僅當，且，即，時取等號，
．
20．已知集合，．求：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），，
；
（2），，
，
則或．
21．已知集合，，，且．
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍．
【解答】解：（1）集合，，，且．
當時，，
故．
（2），所以，
所以：或，
解得或．
故實數的取值范圍為，，．
22．已知函數在區間，上是單調函數
（1）求實數的所有取值組成的集合；
（2）試寫出在區間，上的最大值；
（3）設，令，對任意，都有成立，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）對稱軸為，圖象開口向上，
則或即或，
所以，，；
（2）由（1）知，或，
當時，函數在，上遞減，所以；
當時，函數在，上遞增，所以（2），
所以；
（3）由，，得，
所以，
問題轉化為當時，．
①當時，單調遞減，
所以，（a），
由，解得無解；
②當時，在上遞減，在，上遞增，
所以，
而，，
則，
由，解得無解；
③當時，在上遞減，在，上遞增，在，上遞減，
而，
所以，，
由解得，
④當時，
在上遞減，在，上遞增，在，上遞減，在，上遞增，
又，
所以，（a），
由，解得，
綜上可知：．階段檢測（一）
集合與常用邏輯用語
考試范圍：集合、常用邏輯用語；考試時間：120分鐘；
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一．選擇題（共8小題）
1．已知集合，，則　　
A． B． C． D．
2．若集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為　　
A． B． C． D．
3．已知，，則　　
A．，， B．，
C．， D．，，
4．對于非空實數集，記，．設非空實數集合，若時，則．現給出以下命題：
①對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；
②對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；
③對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；
④對于任意給定符合題設條件的集合、，必存在常數，使得對任意的，恒有，
其中正確的命題是　　
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知全集U＝A B＝{x∈N|x≤6}，A （ UB）＝{1，3，5}，則B中元素個數為（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
6．已知集合，集合，則　　
A．， B． C． D．
7．全集，，，3，5，，，3，7，，則　　
A．，3，7， B．，7， C．，7， D．，
8．已知集合，，，則　　
A． B．
C． D．
二．多選題（共4小題）
9．已知，都是正數，若，則下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
10．已知，，，且，則　　
A． B．若，則
C． D．若，則
11．已知，是正數，且滿足，則下列敘述正確的是　　
A． B．
C． D．
12．已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是　　
A．
B．的解集為
C．
D．的解集為
三．填空題（共4小題）
13．已知集合，，2，3，4，，則 ．
14．已知關于的一元二次不等式的解集為，則關于的不等式的解集為 ．
15．已知，，均為正實數，且，則的最小值為 ．
16．設命題，．若是假命題，則實數的取值范圍是 ．
四．解答題（共6小題）
17．若集合具有以下性質，則稱集合是“好集”：① ，；②若、，則，且時，．
（1）分別判斷集合，0，，有理數集是否是“好集”，并說明理由；
（2）設集合是“好集”，求證：若、，則；
（3）對任意的一個“好集” ，判斷下面命題的真假，并說明理由；命題：若、，則必有．
18．已知函數，．
（1）若（1），且，求的最小值；
（2）若（1），求關于的不等式的解集．
19．已知實數，，，滿足．
（1）試比較和的大小；
（2）利用（1）的結論，比較與的大小．
20．已知集合，．求：
（1）；
（2）．
21．已知集合，，，且．
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍．
22．已知函數在區間，上是單調函數
（1）求實數的所有取值組成的集合；
（2）試寫出在區間，上的最大值；
（3）設，令，對任意，都有成立，求實數的取值范圍．重難點突破01：集合中的新定義問題
以集合為載體的新定義題，既強化了集合的相關知識，也考察了學生運用所學知識處理問題的能力，符合高考中以能力立意命題的指導思想，故而是高考的常備題型．求解此類問題的關鍵是準確理解新定義的含義，再正確運用集合的一些概念和性質就能破題．
一．選擇題（共13小題）
1．定義集合且．已知集合，4，，，，則中元素的個數為　　
A．6 B．5 C．4 D．7
【解答】解：根據題意，因為，4，，，，
所以，3，5，．
故選：．
2．對于數集，，定義，，，，，若集合，，則集合中所有元素之和為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
或2，
，，，3，，
，3，4，1，，
元素之和為，
故選：．
3．定義集合，，，設集合，0，，，1，，則中元素的個數為　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：因為，0，，，1，，
所以，，0，1，，
故中元素的個數為5．
故選：．
4．如圖所示的圖中，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合，若，，，，，則　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：如圖所示的圖中，，是非空集合，
定義集合為陰影部分表示的集合，
，，，
，，
或．
故選：．
5．如圖所示的韋恩圖中，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，，則　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：依據定義，就是指將除去后剩余的元素所構成的集合；
對于集合，求的是函數的定義域，
解得：；
對于集合，求的是函數的值域，解得；
依據定義，借助數軸得：或，
故選：．
6．設數集，，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：集，，
，且，都是集合的子集，
根據題意，的長度為，的長度為，
當集合的長度的最小值時，
與應分別在區間，的左右兩端，
故的長度的最小值是．
故選：．
7．定義集合，的一種運算：，，，若，，，，則中的元素個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，，，，，，
，，，
中的元素個數為3．
故選：．
8．如圖所示的圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，則　　
A．，4，6， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
【解答】解：由圖可知，，，
因為，，，3，5，7，，，3，4，5，6，，
則，2，3，4，5，6，7，，，5，，
因此，，2，4，6，．
故選：．
9．如圖所示的圖中，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合，若，，，，3，4，5，6，，則　　
A．，2，4， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
【解答】解：由圖可知，，，
因為，，，3，5，7，，，3，4，5，6，，
則，2，3，4，5，6，7，，，5，，
因此，，2，4，6，．
故選：．
10．設集合，定義：集合，集合，，，集合，分別用，表示集合，中元素的個數，則下列結論可能成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，則的值為，，，，，，
由題意，
根據集合中的定義可得中至少有以上5個元素，
設，，，，，
由題意，則集合中至少有7個元素，
不可能，故錯誤；
若，則集合中至多有6個元素，所以，故錯誤；
對，，則與一定成對出現，
，一定是偶數，故錯誤；
對于集合，取，3，5，，則，6，8，10，，
此時，2，，，故正確．
故選：．
11．對于，表示不超過的最大整數，定義在上的函數，若，則中所有元素的和為　　
A．12 B．3 C．14 D．15
【解答】解：當時，，
當時，，
時，，
當時，，
時，，
故，1，3，4，，元素和為．
故選：．
12．已知有限集，，定義集合，且，表示集合中的元素個數．若，2，3，，，4，，則　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：，2，3，，，4，，
，，，
故，2，，
故，
故選：．
13．對于任意兩個正整數，，定義某種運算“※”如下：當，都為正偶數或都為正奇數時，※；當，中一個為正偶數，另一個為正奇數時，※，則在此定義下，集合※中的元素個數是　　
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：由定義知，
當，都為正偶數或都為正奇數時，※，
故是，，，，，，；
當，中一個為正偶數，另一個為正奇數時，※，
故是，；
故共9個元素，
故選：．
二．填空題（共6小題）
14．定義兩個集合與的差：且，對稱差△，若，，則△　　．
【解答】解：，，，，
由且，得，．
所以△，，．
15．定義：實數，，，若滿足，則稱，，是等差的，若滿足，則稱，，是調和的．已知集合，，集合是集合的三元子集，即，，，若集合中的元素，，既是等差的，又是調和的，稱集合為“好集”，則集合為“好集”的個數是 　1010　．
【解答】解：由好集的定義得且，則，化簡得，
故或，
由，，得，故，，
，，，且，
，
且，解得，
故集合為“好集”的個數為．
故答案為：1010．
16．對于集合，，，的子集，，，，定義的“特征數列”為，，，，其中，其余項均為0，例如子集，的“特征數列”為0，1，1，0，0，，0．
（1）子集，，，的“特征數列”的前四項和等于 　3　；
（2）若的子集的“特征數列” ，，，滿足，，，的子集的“特征數列”為，，，，滿足，，，則的元素個數為 　　．
【解答】解：（1）根據“特征數列”的定義可知子集，，，的“特征數列”為：
1，0，1，1，1，0，0，，0，
子集，，，的“特征數列”的前四項和為：．
（2）的“特征數列”為1，0，1，0，1，0，，1，0，
的“特征數列”滿足，且，，或，，
的“特征數列”為1，1，0，1，1，0，1，1，0，，0，1或1，0，1，1，0，1，，0，1，1，
，，，，，，，
，，，，，，，或，，，，，，，
，的“特征數列”周期的最小公倍數為6，
一個周期內的元素個數為2，共有，
的元素個數為或個．
故答案為：3；33或34．
17．對于非空集合，定義若，是兩個非空集合，且，則　0　；若，，且存在，，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：，
當時，，，，
當時，，，
綜上所述，，
，，
存在，，存在，且，
即存在，使得且，
即，顯然，
①當時，則，，
②當時，顯然滿足，
③當時，則，，
④當時，，滿足題意，
綜上所述，實數的取值范圍是，，．
18．定義全集的子集的特征函數，這里表示在全集中的補集，那么對于集合、，下列所有正確說法的序號是 　（1）（2）（4）　．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【解答】解：（1），分類討論：
①當，則，此時；
②當，且，即，此時；
③當，且，即時，，，此時；
綜合有，故（1）正確；
（2），故（2）正確；
（3）假設，任取，則，則，但，則，故（3）不正確；
（4）．
故（4）正確．
故答案為：（1）（2）（4）．
19．已知，均為實數，設數集，且數集、都是數集的子集．如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是　　．
【解答】解：由已知得且，解得，
且，解得，
從而當，或，時的長度最小，
當，時，，，長度為；
當，時，，，長度為．
所以的長度的最小值是．
故答案為：．
三．解答題（共5小題）
20．若集合，滿足，則稱，為集合的一種分拆，并規定：當且僅當時，，與，為集合的同一種分拆，寫出集合，的不同分拆．
【解答】解：當集合時，，，，此時只有一種分拆；
當為單元素時，
若，則，或，；
若，則，或，．
此時有4種分拆；
當中含有兩個元素時，，，
可取的任何子集，此時有4種分拆．
綜上，共有9種不同分拆．
21．對于集合，定義函數
對于兩個集合，，定義運算．
（1）若，2，，，3，4，，寫出（1）與（1）的值，并求出；
（2）證明：；
（3）證明：運算具有交換律和結合律，即，．
【解答】解：（1），2，，，3，4，，
（1），（1），
，4，；
（2）①當且時，，
所以．所以，
所以，
②當且時，，，
所以．所以，
所以，
③當且時，，．
所以．所以．
所以．
④當且時，．
所以．所以．
所以．
綜上，；
（3）因為，，
所以．
因為，，
所以．
22．對非空數集，，定義與的和集，．對任意有限集，記為集合中元素的個數．
（Ⅰ）若集合，1，，，3，5，7，，寫出集合與；
（Ⅱ）若集合，，，滿足，且，求．
【解答】解：（Ⅰ）集合，1，，，3，5，7，，
根據題意可得：，1，2，3，，
，2，3，4，5，6，7，8，9，10，；
（Ⅱ）集合，，，滿足，
，
中至少有個元素，
即，又，
．
23．已知集合是集合的子集，對于，定義．任取的兩個不同子集，，對任意．
（Ⅰ）判斷（A）（B）是否正確？并說明理由；
（Ⅱ）證明：（A）（B）．
【解答】解：（1）不正確，理由如下：
，2，，，3，，，2，3，，
當時，因為，所以（A），
因為，所以（B），
因為，所以，
此時（A）（B），
所以對任意，（A）（B）不正確．
（2）證明：①若，此時有，
當且時，（A），（B），此時（A）（B）；
當且時，（A），（B），此時（A）（B）；
當且時，（A），（B），此時（A）（B），
因此（A）（B）成立．
②若，則，
此時且，則（A），（B），
此時（A）（B），
因此（A）（B）成立，
綜合①②可知，（A）（B）成立．
24．已知實數集，，，，定義（A），，．
（Ⅰ）若，0，1，，求（A）；
（Ⅱ）若（A），，，，12，18，，求集合；
（Ⅲ）若中的元素個數為9，求（A）的元素個數的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）（A），，0，；
（Ⅱ）首先，；
其次中有4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負，
記，，，，，不妨設或者，
①當時，，，，，，，，，18，，
相乘可知，，從而，
從而，，，4，，所以，，3，4，；
②當時，與上面類似的方法可以得到，
進而，，，，，從而，2，，，，
所以，，3，4，或者，2，，，；
（Ⅲ）估值構造，需要分類討論中非負元素個數，
先證明（A），考慮到將中的所有元素均變為原來的相反數時，
集合（A）不變，故不妨設中正數個數不少于負數個數，接下來分類討論：
情況一：中沒有負數，
不妨設，則，
上式從小到大共有個數，它們都是（A）的元素，這表明（A）；
情況二：中至少有一個負數，設，，，是中的全部負元素，
，，，是中的全部非負元素．
不妨設，
其中，為正整數，，，，
則，
以上是（A）中的個非正數元素，另外，注意到，
它們是（A）中的5個正數，這表明（A）；
綜上可知，總有（A），
另一方面，當，，，， 時，（A），，，，，，，中恰有13個元素，
綜上所述，（A）中元素個數的最小值為13．重難點突破01：集合中的新定義問題
以集合為載體的新定義題，既強化了集合的相關知識，也考察了學生運用所學知識處理問題的能力，符合高考中以能力立意命題的指導思想，故而是高考的常備題型．求解此類問題的關鍵是準確理解新定義的含義，再正確運用集合的一些概念和性質就能破題．
一．選擇題（共13小題）
1．定義集合且．已知集合，4，，，，則中元素的個數為　　
A．6 B．5 C．4 D．7
2．對于數集，，定義，，，，，若集合，，則集合中所有元素之和為　　
A． B． C． D．
3．定義集合，，，設集合，0，，，1，，則中元素的個數為　　
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如圖所示的圖中，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合，若，，，，，則　　
A． B． C．或 D．或
5．如圖所示的韋恩圖中，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，，則　　
A． B． C．或 D．或
6．設數集，，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是　　
A． B． C． D．
7．定義集合，的一種運算：，，，若，，，，則中的元素個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如圖所示的圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，則　　
A．，4，6， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
9．如圖所示的圖中，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合，若，，，，3，4，5，6，，則　　
A．，2，4， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
10．設集合，定義：集合，集合，，，集合，分別用，表示集合，中元素的個數，則下列結論可能成立的是　　
A． B． C． D．
11．對于，表示不超過的最大整數，定義在上的函數，若，則中所有元素的和為　　
A．12 B．3 C．14 D．15
12．已知有限集，，定義集合，且，表示集合中的元素個數．若，2，3，，，4，，則　　
A．3 B．4 C．5 D．6
13．對于任意兩個正整數，，定義某種運算“※”如下：當，都為正偶數或都為正奇數時，※；當，中一個為正偶數，另一個為正奇數時，※，則在此定義下，集合※中的元素個數是　　
A．10 B．9 C．8 D．7
二．填空題（共6小題）
14．定義兩個集合與的差：且，對稱差△，若，，則△ ．
15．定義：實數，，，若滿足，則稱，，是等差的，若滿足，則稱，，是調和的．已知集合，，集合是集合的三元子集，即，，，若集合中的元素，，既是等差的，又是調和的，稱集合為“好集”，則集合為“好集”的個數是 ．
16．對于集合，，，的子集，，，，定義的“特征數列”為，，，，其中，其余項均為0，例如子集，的“特征數列”為0，1，1，0，0，，0．
（1）子集，，，的“特征數列”的前四項和等于 ；
（2）若的子集的“特征數列” ，，，滿足，，，的子集的“特征數列”為，，，，滿足，，，則的元素個數為 ．
17．對于非空集合，定義若，是兩個非空集合，且，則 ；若，，且存在，，則實數的取值范圍是 ．
18．定義全集的子集的特征函數，這里表示在全集中的補集，那么對于集合、，下列所有正確說法的序號是 ．
（1）；（2）；（3）；（4）．
19．已知，均為實數，設數集，且數集、都是數集的子集．如果把叫做集合的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是 ．
三．解答題（共5小題）
20．若集合，滿足，則稱，為集合的一種分拆，并規定：當且僅當時，，與，為集合的同一種分拆，寫出集合，的不同分拆．
21．對于集合，定義函數
對于兩個集合，，定義運算．
（1）若，2，，，3，4，，寫出（1）與（1）的值，并求出；
（2）證明：；
（3）證明：運算具有交換律和結合律，即，．
22．對非空數集，，定義與的和集，．對任意有限集，記為集合中元素的個數．
（Ⅰ）若集合，1，，，3，5，7，，寫出集合與；
（Ⅱ）若集合，，，滿足，且，求．
23．已知集合是集合的子集，對于，定義．任取的兩個不同子集，，對任意．
（Ⅰ）判斷（A）（B）是否正確？并說明理由；
（Ⅱ）證明：（A）（B）．
24．已知實數集，，，，定義（A），，．
（Ⅰ）若，0，1，，求（A）；
（Ⅱ）若（A），，，，12，18，，求集合；
（Ⅲ）若中的元素個數為9，求（A）的元素個數的最小值．重難點突破02：一元二次方程根的分布情況
一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布是指方程的根相對于零的關系.(如兩根同正、兩根同負、兩根一正一負)
設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實根分別為x1,x2,且x1≤x2.
[性質1]　x1>0,x2>0
(兩個正根)
[推廣1]x1>0,x2>0 或
上述推論結合二次函數圖象不難得到.
[性質2]　x1<0,x2<0
(兩個負根)
[推廣2]x1<0,x2<0 或
由二次函數圖象易知它的正確性.
[性質3]　x1<0一元二次方程根的“k”分布(a>0)
分布情況 滿足條件 大致圖象
x1,x2x1,x2>k
x14.一元二次方程根在區間上的分布(a>0)
分布情況 滿足條件 大致圖象
x1,x2∈(m,n)
x1 (m,n),x2∈(m,n) f(m)·f(n)<0
x1∈(m,n),x2∈(p,q)
一．選擇題（共11小題）
1．已知一元二次方程有兩個實數根，，且，則的值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：一元二次方程有兩個實數根，，且，
令，
則，即，解得，
，
．
故選：．
2．設，是關于的方程的根．若，，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意知，函數開口方向向上，
若，，則函數須同時滿足三個條件：
當時，，代入解得，恒成立；
當時，，代入解得，；
當時，，代入解得，
綜上，實數的取值范圍是．
故選：．
3．已知方程有兩個不相等的實數根，且都大于2，則實數的取值范圍是　　
A．，， B．
C． D．，，
【解答】解：令，
則由已知可得函數與軸有兩個不同的交點，且都在2的右側，
如圖所示：
由圖可得：，解得：，
故的取值范圍為：，
故選：．
4．若方程有兩個不相等的實數根，且僅有一個根在區間內，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為方程有兩個不相等的實數根，且僅有一個根在區間內，
所以①當（2）（3）時，，解得；
②令（2），得，方程，另一解為，不適合；
③令（3），得，方程，另一解為，不適合，
綜上實數的取值范圍是，
故選：．
5．關于的方程在上有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，
因為方程在上有兩個不相等的實根，
所以，
解得．
故選：．
6．若函數在區間上有兩個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得，
所以，
設的兩個零點為，，則，
所以（1）．
故選：．
7．若一元二次方程不等于有一個正根和一個負根，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：一元二次方程不等于有一個正根和一個負根，
，求得．
故選：．
8．一元二次方程有一個正根和一個負根的一個充要條件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為一元二次方程有一個正根和一負根，設兩根為和，
所以，解得，故．
故選：．
9．已知一元二次方程的兩根都在內，則實數的取值范圍是　　
A． B．，
C．，， D．，
【解答】解：因為一元二次方程的兩根都在內，
可設，則，
解得，
所以實數的取值范圍是，．
故選：．
10．已知關于的方程在區間內有實根，則實數的取值范圍是　　
A．， B．
C．，， D．，，
【解答】解：因為關于的方程在區間內有實根，
所以在區間內有實根，
令，，所以在上單調遞減，
所以（2）（1），即，，
依題意與在內有交點，
所以．
故選：．
11．已知方程有兩根，一根在，而另一根在，則實數的取值范圍為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：設，
則的一個零點在，內，另一零點在內，
，，
實數的取值范圍為，，
故選：．
二．填空題（共9小題）
12．已知關于的方程的兩根分別在區間，內，則實數的取值范圍為 　　．
【解答】解：令，
根據題意得，即，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：，
故的取值范圍為．
故答案為：．
13．設，關于的方程有兩實數根，，且，則實數的取值范圍是 　，，　．
【解答】解：設，
由，是的兩個零點，且，
可得，即，
即，
所以或．
故答案為：，，．
14．方程的一根大于1，一根小于1，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：由題意得，
解得，
故答案為：．
15．已知關于的方程有兩個實數根，且一根小于，一根大于，則實數的取值范圍為 　　．
【解答】解：設，
由題意可知，
即，
解得，
即實數的取值范圍為．
故答案為：．
16．關于的方程有兩實根，且一個大于4，一個小于4，則的取值范圍為　，　．
【解答】解：令，
由題意可得或，
即或，解得，
故實數的取值范圍為，，
故答案為：，．
17．二次方程的兩個根與，當，時，則實數的取值范圍為　　．
【解答】解：由已知設，
則當，時，
滿足，解得，即，
故答案為：．
18．已知函數有一個零點在區間內，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：，，函數的零點為，不滿足題意；
當時，若二次函數只有一個零點，則△，解得：，
此時的零點為，不滿足題意：
若二次函數有兩個零點，有且只有一個零點在區間中，則（1），
解得，檢驗：當，時，，即兩個零點異號，
因此當（1），時，函數有且只有一個零點在區間內，
當若二次函數有兩個零點，兩個零點在區間中時，
，即，無解，故不存在兩個零點在區間內，
綜上，的取值范圍為：，．
故答案為：，．
19．方程的一根在內，另一根在內，則實數的取值范圍是　　．
【解答】解：設，
則的一個零點在內，另一零點在內．
，即，
解得．
故答案為
20．一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，則實數的取值范圍是　　．
【解答】解：依題意可得設函數，
因為一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，
所以，
解得．
故答案為：．
三．解答題（共5小題）
21．已知二次函數，在下列條件下，求實數的取值范圍．
（1）兩根均大于1；
（2）一個根大于1，一個根小于1．
【解答】解：（1）因為方程的兩根均大于1，
所以，解得，
即的取值范圍為；
（2）由可得，
因為方程的一個根大于1，一個根小于1，
所以（1），解得．
即的取值范圍為．
22．設二次函數．
（1）若該二次函數無零點，求實數的取值范圍；
（2）方程的兩根為，，若，，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）若函數無零點，
則判別式△，解得，
即實數的范圍為；
（2）因為方程的兩根，，
則，即，解得，
即實數的范圍為，．
23．設二次函數．
（1）若，，且有兩個零點，求的取值范圍；
（2）若的解集是，求不等式的解集．
【解答】解：（1）當，時，，
因為有兩個零點，
所以△，即，
故的取值范圍；
（2）由的解集是知：且，2是方程的兩根，
由韋達定理知：，，
由得：，，，
解得或，
故不等式的解集為．
24．已知關于的方程．
（1）若方程無實數根，求實數的取值范圍；
（2）若方程有兩個小于的實數根，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）因為方程無實數根，
所以△，解得，
即實數的取值范圍為；
（2）設，
方程有兩個小于的實數根，
則，解得，
故的取值范圍為，．
25．關于的方程的兩個實根，．
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）若，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）關于的方程的兩個實根，，
，，
令，
，求得，
故實數的取值范圍為．
（2）若，則，即，
求得．重難點突破02：一元二次方程根的分布情況
一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布是指方程的根相對于零的關系.(如兩根同正、兩根同負、兩根一正一負)
設一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實根分別為x1,x2,且x1≤x2.
[性質1]　x1>0,x2>0
(兩個正根)
[推廣1]x1>0,x2>0 或
上述推論結合二次函數圖象不難得到.
[性質2]　x1<0,x2<0
(兩個負根)
[推廣2]x1<0,x2<0 或
由二次函數圖象易知它的正確性.
[性質3]　x1<0一元二次方程根的“k”分布(a>0)
分布情況 滿足條件 大致圖象
x1,x2x1,x2>k
x14.一元二次方程根在區間上的分布(a>0)
分布情況 滿足條件 大致圖象
x1,x2∈(m,n)
x1 (m,n),x2∈(m,n) f(m)·f(n)<0
x1∈(m,n),x2∈(p,q)
一．選擇題（共11小題）
1．已知一元二次方程有兩個實數根，，且，則的值為　　
A． B． C． D．
2．設，是關于的方程的根．若，，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
3．已知方程有兩個不相等的實數根，且都大于2，則實數的取值范圍是　　
A．，， B．
C． D．，，
4．若方程有兩個不相等的實數根，且僅有一個根在區間內，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
5．關于的方程在上有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
6．若函數在區間上有兩個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
7．若一元二次方程不等于有一個正根和一個負根，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
8．一元二次方程有一個正根和一個負根的一個充要條件是　　
A． B． C． D．
9．已知一元二次方程的兩根都在內，則實數的取值范圍是　　
A． B．，
C．，， D．，
10．已知關于的方程在區間內有實根，則實數的取值范圍是　　
A．， B．
C．，， D．，，
11．已知方程有兩根，一根在，而另一根在，則實數的取值范圍為　　
A． B．
C． D．
二．填空題（共9小題）
12．已知關于的方程的兩根分別在區間，內，則實數的取值范圍為 ．
13．設，關于的方程有兩實數根，，且，則實數的取值范圍是 ．
14．方程的一根大于1，一根小于1，則實數的取值范圍是 ．
15．已知關于的方程有兩個實數根，且一根小于，一根大于，則實數的取值范圍為 ．
16．關于的方程有兩實根，且一個大于4，一個小于4，則的取值范圍為 ．
17．二次方程的兩個根與，當，時，則實數的取值范圍為 ．
18．已知函數有一個零點在區間內，則實數的取值范圍是 ．
19．方程的一根在內，另一根在內，則實數的取值范圍是 ．
20．一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，則實數的取值范圍是 ．
三．解答題（共5小題）
21．已知二次函數，在下列條件下，求實數的取值范圍．
（1）兩根均大于1；
（2）一個根大于1，一個根小于1．
22．設二次函數．
（1）若該二次函數無零點，求實數的取值范圍；
（2）方程的兩根為，，若，，求實數的取值范圍．
23．設二次函數．
（1）若，，且有兩個零點，求的取值范圍；
（2）若的解集是，求不等式的解集．
24．已知關于的方程．
（1）若方程無實數根，求實數的取值范圍；
（2）若方程有兩個小于的實數根，求實數的取值范圍．
25．關于的方程的兩個實根，．
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）若，求實數的取值范圍．

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