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專題01 集合
目錄
題型一： 集合的基本概念 4
題型二： 集合間的基本關系 10
題型三： 集合的運算 16
題型四： 求參數的取值范圍 21
題型五： 集合中的新定義問題 24
集合的概念
(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于兩種，用符號∈或 表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數集的記法
集合 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
注意
N為自然數集(即非負整數集)，包含0，而N*和N＋的含義是一樣的，表示正整數集，不包含0.
集合間的基本關系
表示
關系 文字語言 符號語言 Venn圖
集合間的基本關系 相等 構成兩個集合的元素是一樣的 A B且B A A＝B
子集 集合A中任意一個元素都是集合B中的元素 A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x A AB或BA
結論 任何一個集合是它本身的子集 A A
若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集 A B，B C A C
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A B (B≠ )
集合的基本運算
并集 交集 補集
圖形 表示
符號 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
性質 A∪ ＝A； A∪A＝A； A∪B＝B∪A； A∪B＝A B A A∩ ＝ ； A∩A＝A； A∩B＝B∩A； A∩B＝A A B A∪( UA)＝U； A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
區分下列集合的表示含義
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
含義 方程f(x)＝0的解集 不等式f(x)>0的解集 函數y＝f(x)的定義域 函數y＝f(x)的值域 函數y＝f(x)圖象上的點
【常用結論與知識拓展】
(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．
(2)A (A∪B)，B (A∪B)．
(3)(A∩B) A，(A∩B) B.
(4)A∩B＝A∪B A＝B.
(5)A B A∩B＝A A∪B＝B ( UA) ( UB) A∩( UB)＝ .
(6)如圖所示，用集合A，B表示圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個部分所表示的集合分別是A∩B，A∩( UB)，B∩( UA)， U(A∪B)．
(7)用card(A)表示有限集合A中元素的個數．對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
集合的基本概念
【要點講解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數集、點集還是其他類型的集合。集合中元素的互異性常常容易忽略，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中元素是否滿足互異性。分類討論的思想方法常用于解決集合問題
（2022 長沙模擬）已知集合，，下列選項中均為的元素的是　　
（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【解答】解：集合，，
則，，，，，
故選：．
（2022秋 宜陽縣校級月考）集合的元素個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由題意知，，都是16的正整數因數，
故的取值有：1，2，4，8，16，
故集合，2，4，8，，
故共有5個元素．
故選：．
（2022秋 南昌期末）已知集合，，，則中元素的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因為集合，，，
所以當時，，
即集合，
所以集合中元素個數為1個，
故選：．
（2022 道里區校級四模）已知集合，則中元素的個數為　　
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：由橢圓的性質得，
又，，
所以集合，，，，，，，，，，共有11個元素．
故選：．
（2022 河北模擬）已知集合，2，，，，，則中所含元素的個數為　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由，2，，，，，
當時，，2，滿足集合．
當時，，3；滿足集合．
當時，，3；滿足集合．
共有6個元素．
故選：．
（2022秋 西安）集合，2，，，3，，，，，則中的元素個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因為集合，2，，，3，，，，，
所以的值可能為：、、、、、、、、，
所以中元素只有：3，4，5，6，7，共5個，
故選：．
（2022秋 漢濱區）已知集合，0，1，，，，，則集合中所有的元素之和為　　
A．0 B．2 C． D．
【解答】解：，0，1，，，，，
①當時，，時，，；時，，滿足條件；
②當時，，，滿足條件；
③當時，，，滿足條件；
④當時，，，滿足條件．
從而得到，，，，
集合中所有元素之和為．
故選：．
（2023 濰坊模擬）已知集合，0，，，，則集合中所有元素之和為　　
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：根據條件分別令，0，1，解得，
又，所以，，
所以集合中所有元素之和是，
故選：．
（2022秋 武陵區）若關于的方程的解集中有且僅有一個元素，則實數的值組成的集合中的元素個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：若，則，解集中有且僅有一個元素，成立；
若，△，則．
故實數的值組成的集合中的元素個數為2．
故選：．
（2021 江西模擬）已知集合，只有一個元素，則的取值集合為　　
A． B． C．，， D．，
【解答】解：只有一個元素，
方程只有一個解，
①時滿足題意；
②時，△，解得，
的取值集合為，．
故選：．
（2023 延邊州二模）已知集合的元素只有一個，則實數的值為　　
A． B．0 C．或0 D．無解
【解答】解：集合有一個元素，即方程有一解，
當時，，符合題意，
當時，有一解，
則△，解得：，
綜上可得：或，
故選：．
（2022秋 山西）已知集合中元素滿足，且，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，解得，
又，
，解得，
．
故選：．
（2022 聊城二模）已知集合，1，，，，則集合中元素個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：集合，1，，，，
當，，1，2時，，
當，，1，2時，，1，2，
當，，1，2時，，2，4，
集合，1，2，，
集合中元素個數為4．
故選：．
（2021 麒麟區校級模擬）設集合，0，1，，，，，，，則集合中元素的個數為　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：當，時，，當，時，，
當，時，，當，時，，
當，時，，當，時，，
當，時，，當，時，，、
故，，0，1，2，，即中元素的個數為6個．
故選：．
（2022 全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：由，3，4，5，，，，，
當時，，5，6，
當時，，6，
當時，，
所以，，，，，，，
所以中所含元素個數為6個．
故選：．
（2022 全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個數為　　
A．3 B．6 C．8 D．10
【解答】解：，，，，3，4，5，，
當時，，3，2；
當時，，2；
當時，；
故中所含元素的個數為6，
故選：．
（2022秋 川匯區校級期末）已知集合，2，，，，中所含元素的個數為　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由，2，，，，，
當時，，2，滿足集合，
當時，，3；滿足集合，
當時，，3；滿足集合，
共有6個元素．
故選：．
集合間的基本關系
【要點講解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關系時，必須優先考慮空集的情況，否則會造成漏解；已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系。常用數軸、Venn圖來直觀解決這類問題。
（2023 咸陽模擬）設集合，則集合的真子集個數是　　
A．6 B．7 C．8 D．15
【解答】解：因為，
所以，2，，
所以集合的真子集個數是．
故選：．
（2023 黃埔區校級模擬）設集合，，則集合的真子集個數為　　
A．8 B．7 C．4 D．3
【解答】解：集合，，，1，，
則集合中元素個數為3個，
故集合的真子集個數為．
故選：．
（2023 烏魯木齊模擬）已知集合滿足，，2，3，，那么這樣的集合的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，2，3，，
要確定集合，只需確定1和4是否放置在其中，
共有4種情況，，，，2，，，3，，，2，3，．
故選：．
（2023 全國二模）下列集合關系中錯誤的是　　
A．， B．， C． D．，，
【解答】解：對于：集合為點集，含有元素，集合，含有兩個元素，，
所以不包含于，，故錯誤；
對于，，故正確；
對于，故正確；
對于：因為，，，所以，，，故正確；
故選：．
（2022秋 阜南縣校級月考）已知集合，，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：集合，，
，
故選：．
（2022 全國四模）已知，，則集合、之間的關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
且，
則，
故選：．
（2023 重慶模擬）已知集合，，則下列關系正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，．
故選：．
（2022 河南模擬）已知集合，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，當時，是奇數，是整數，．
故選．
（2023 延慶區一模）已知集合，，，0，，且，則等于　　
A．1 B．0 C． D．
【解答】解：集合，，，0，，且，
，
．
故選：．
（2023 香坊區校級一模）已知集合，，，若，則實數的取值集合為　　
A．，， B． C． D．，，0，
【解答】解：集合，，，
若，則實數的取值集合為，
又集合元素具有互異性，的取值集合為．
故選：．
（2023 湖南模擬）已知集合，，且，則實數的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：，，，
，，
則實數的取值范圍為，．
故選：．
（2023 北碚區校級模擬）已知集合，4，，，，若，則實數組成的集合為　　
A． B．， C．，0， D．，0，1，
【解答】解：集合，4，，，，，
則，解得或，滿足題意，
，解得或1，
當時，符合題意，
當時，集合不滿足集合元素的互異性，舍去，
故實數組成的集合為，0，．
故選：．
（2023 大荔縣一模）設三元集合，則　1　．
【解答】解：依題意，，
則，解得，，
此時兩個集合都是，0，，符合題意，
故．
故答案為：1．
（2022秋 新北區校級月考）已知集合，，，，，，若，則　　．
【解答】解：由題意可知，或，
當時，無意義，
則，
故，0，，，，，
，
，解得或，
當時，，0，，，1，，不符合集合的互異性，
故，
．
故答案為：．
（2022 海口模擬）已知集合，0，，，若，則實數　　
A．2 B．1 C．0 D．
【解答】解：對于集合，因為△，
所以中有兩個元素，且乘積為，
又因為，所以，，所以．即．
故選：．
（2023 鐵嶺模擬）設，，若，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，，
．
故選：．
（2023 2月份模擬）設集合，3，，，，，．若，，則　　
A． B． C．1 D．3
【解答】解：集合，3，，，，，，，，
，
解得．
故選：．
（2022 攀枝花模擬）設集合，，若，則實數的取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：或，
，若，
，則實數的取值范圍是，．
故選：．
（2022 朝陽區校級三模）已知集合，，若，則實數的取值組成的集合是　　
A． B． C．， D．，0，
【解答】解：集合，，集合中至多有一個元素，
若集合為空集，即時，顯然滿足條件，故成立，
若集合非空集，即，此時，
若，則，若，則，
故的取值集合為，，．
故選：．
集合的運算
【要點講解】
集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成人手是解決集合運算問題的前提。有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決。集合之間的運算要注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖。
（2023 烏魯木齊三模）設集合，0，1，，，則的子集個數為　　
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：因為，所以，，，
則集合的元素個數為2，因此，的子集個數為．
故選：．
（2023 全國卷模擬）已知集合，，則　　
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：解得或，故或，
解不等式得，故，
所以或．
故選：．
（2023 天津一模）設全集，，0，1，，集合，，，1，，則　　
A． B．，， C．， D．，1，
【解答】解：因為全集，，0，1，，，1，，則，，
又因為集合，，因此，，．
故選：．
（2023 全國三模）設集合，則　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，
，．
故選：．
（2023 合肥三模）已知集合，集合，則集合的元素個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由，消去得，即，
解得或（舍去），
所以或，
即函數與有兩個交點，
又集合，集合，
所以，
即集合的元素個數為2個．
故選：．
（2023 畢節市模擬）已知集合，，則如圖中陰影部分表示的集合為　　
A． B．， C．，2， D．
【解答】解：依題意，，0，1，2，，而陰影部分表示的集合是，
又，則，
所以，2，．
故選：．
（2023 吉林模擬）已知全集，集合，，，則下圖陰影部分所對應的集合為　　
A． B． C．或 D．
【解答】解：由題意知，，
則，，
由圖可知陰影部分所對應的集合為，．
故選：．
（2022春 下期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：，，
，
．
故選：．
（2023 商洛二模）設集合，，，．若，則　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因為，
所以，解得，
則的解為或，
所以，．
故選：．
（2023 宜章縣模擬）已知集合，，若，則　　
A． B． C．2 D．6
【解答】解：因為集合，，且，
則有，所以．
故選：．
（2023 濟寧二模）已知集合，5，，，，若，則　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：因為，
所以或，
當時，即，
則，5，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當時，或，
當時，，5，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當時，，5，，，滿足題意，
所以．
故選：．
（2013 武昌區校級模擬）若集合，，且，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得，
，，
，則
故選：．
（2010 項城市校級模擬）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1），（2分）
若，則，，解得：（5分）
（2）若，則
①若為空集，則△
則；（8分）
②若為單元集，則△
解得：，將代入方程得：得：即符合要求；（11分）
③若，，則（13分）
綜上所述，或．（14分）
求參數的取值范圍
【要點講解】
根據集合的運算結果求參數時，可先把符號語言轉化為文字語言，然后應用數形結合法求解。
（2023 郴州模擬）已知集合，，，若，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．
【解答】解：，，，，
，，
的取值范圍是：，．
故選：．
（2023 山西模擬）已知集合，若，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因為，
所以，2，3，4，，即，2，3，4，，
因為，所以，又，
所以，
故實數的取值范圍是，．
故選：．
（2023 懷仁市校級四模）已知集合，若，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：，，，
因為，所以的取值范圍為．
故選：．
（2023 茂名二模）已知集合，，若，則實數的取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：由已知可得，
，
因為，所以，
即，
故選：．
（2023 黃山模擬）已知集合，，且，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：因為，所以，
又，所以，
又，所以，解得，
即實數的取值范圍為，．
故選：．
（2023 樂山三模）已知集合，，且，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：集合，
，且，
，
則實數的取值范圍是，．
故選：．
（2023 四川模擬）設集合，，集合中恰好含有2個元素，則實數的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：，2，，
，
因為集合中恰好含有2個元素，
所以．
故選：．
（2023 鐵嶺模擬）設，，若，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，，
．
故選：．
（2023 湖北模擬）已知集合，，若中有且僅有三個整數，則正數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得，，
若中有且僅有三個整數，則只能是，0，1，
故，解得．
故選：．
集合中的新定義問題
【要點講解】
集合新定義問題的“三定”：一定元素，確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素；二定運算，根據要求及新定義，將所求集合的運算轉化為集合的交集、并集與補集的基本運算，或轉化為數的有關運算；三定結果，根據新定義，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素。
（2023 五河縣模擬）對于數集，，定義，，，，，若集合，，則集合中所有元素之和為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
或2，
，，，3，，
，3，4，1，，
元素之和為，
故選：．
（2023 湖北模擬）用（A）表示非空集合中的元素個數，定義若，，，且，設實數的所有可能取值組成的集合是，則等于　　
A．7 B．5 C．3 D．1
【解答】解：由題意知，（A），
，
，
（B）或（B），
即方程有1個根或3個根，
若，
則或，
若，則或，
當時，，（B），符合題意；
當時，對應的根為0和，
若（B），則有以下兩種情況，
①當有兩個相等的實數根時，
△，
解得，
當時，，，，
（B），符合題意；
當時，，，，
（B），符合題意；
②當有兩個不相等的實數根時，
則是的一個根，
即，
無解；
綜上所述，，，；
故，
故選：．
（2022 長豐縣校級模擬）若，，定義且，則　　
A．或 B．或
C． D．
【解答】解：根據題意可化簡兩集合為，，，，
且，又，，，，
，，
故選：．
一．選擇題（共12小題）
1．（2023 南通二模）已知，為的兩個非空真子集，若，則下列結論正確的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：，
，
，，錯誤；時，，錯誤；，，錯誤．
故選：．
2．（2022 渭濱區校級模擬）設集合，，，若，則　　
A．或或2 B．或 C．或2 D．或2
【解答】解：若，則，
，
，4，；
若，則或，
時，，
，，；
時，（舍，
故選：．
3．（2023 江西模擬）已知集合，，，，，，若，則　　
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：，
或，解得，，
．
故選：．
4．（2023 定西模擬）已知集合，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：集合，，
，，，
因此選項正確，選項，，錯誤；
故選：．
5．（2023 河南模擬）已知集合為英文單詞“”的字母組成的集合，集合為英文單詞“”的字母組成的集合，則集合的子集個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，，，，，，
，，
子集的個數為：．
故選：．
6．（2023 西寧一模）已知集合，，，則中元素的個數為　　
A．3 B．4 C．8 D．9
【解答】解：集合，，元素：
，，，共四個元素，
故選：．
7．（2021 江西模擬）已知集合，，，若，則符合條件的實數的值組成的集合為　　
A．， B．， C．，0， D．，
【解答】解：
當時，滿足要求；
當時，
或
或
綜上，，0，．
故選：．
8．（2023 渝中區校級一模）已知集合，，，則　　
A．， B． C． D．
【解答】解：，，
而，滿足，
，
故，
故選：．
9．（2023 福建二模）是正整數集的子集，滿足：，，，并有如下性質：若，，則，則的非空子集數為　　
A．2022 B．2023 C． D．
【解答】解：由題意可知：若，，則，，，均屬于，
而事實上，若，，中，
所以，
故，中有正整數，
從而中相鄰兩數不可能大于等于2，
故2，3，，，
若，，則有，與矛盾，
故，2，，，
所以非空子集有個．
故選：．
10．（2021 石家莊模擬）已知集合，，，，，，，若，則　　
A． B．2 C． D．1
【解答】解：，
①當時，解得，，
②當時，解得，此時，1，，與互異性矛盾，
綜上，．
故選：．
11．（2023 桃城區校級模擬）已知集合，，則下列結論中正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：集合，或，
項，集合不是集合的子集，錯誤；
項，，錯誤；
項，，，不是的子集，錯誤；
項，，不為空集，正確．
故選：．
12．（2023 南京二模）集合的子集個數為　　
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：，，
的子集個數為．
故選：．
二．多選題（共2小題）
13．（2022 泉州模擬）已知集合，均為的子集，若，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根據條件畫出圖如下：
則：，，．
故選：．
14．（2021 武漢模擬）圖中矩形表示集合，，是的兩個子集，則陰影部分可以表示為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由圖知，陰影部分中的元素在集合中但不在集合中，
所以陰影部分所表示的集合是，，，
故選：．
三．填空題（共4小題）
15．（2010 南通模擬）記集合，1，2，3，4，5，，，將中的元素按從大到小的順序排列，則第2009個數是　　．
【解答】解：解法一：中的元素為
，故從大到小排列第2009個數是．
解法二：根據題意，發現是關于類似7進制的轉換問題，從大到小排序的第一個是
6666（7）（7）
所以第2009個數就是：
6666（7）（7）
即1100（7）
故本題的答案即為；
故答案為：．
16．（2022 寶山區模擬）已知集合，，，是虛數單位，對任意，，可以相等）均有，則符合條件的元素個數最多的集合　，，，　．
【解答】解：因為，對任意，，有，所以，，，
假設中有不為1的元素，不妨設其為：，且，不同時為0，有，
則，
其中，，且，不同時為0，
因此，，，且，
又，，
，
同理，，
或，即或，
時，，，，此時，或；
時，，，又不為1，故，此時，，
因此，符合條件的元素個數最多的集合，，，，
故答案為：，，，．
17．（2012 南通模擬）已知數集，0，中有3個元素，則實數不能取的值構成的集合為　，　．
【解答】解：由集合中元素的互異性可得，，解得，且，
故實數不能取的值構成的集合為，．
18．（2018 武清區校級模擬）用列舉法表示集合　，，6，3，2，　
【解答】解：根據，且可得：
時，；時，；時，；
時，；時，；時，；
，，6，3，2，．
故答案為：，，6，3，2，．
21．（2023 沛縣校級模擬）設，，若，求實數的取值范圍．
【解答】解：由，得，
，
由，得，
，
，
，
．專題01 集合
目錄
題型一： 集合的基本概念 4
題型二： 集合間的基本關系 6
題型三： 集合的運算 9
題型四： 求參數的取值范圍 11
題型五： 集合中的新定義問題 12
集合的概念
(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于兩種，用符號∈或 表示．
(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數集的記法
集合 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*(或N＋) Z Q R
注意
N為自然數集(即非負整數集)，包含0，而N*和N＋的含義是一樣的，表示正整數集，不包含0.
集合間的基本關系
表示
關系 文字語言 符號語言 Venn圖
集合間的基本關系 相等 構成兩個集合的元素是一樣的 A B且B A A＝B
子集 集合A中任意一個元素都是集合B中的元素 A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x A AB或BA
結論 任何一個集合是它本身的子集 A A
若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集 A B，B C A C
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A B (B≠ )
集合的基本運算
并集 交集 補集
圖形 表示
符號 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
性質 A∪ ＝A； A∪A＝A； A∪B＝B∪A； A∪B＝A B A A∩ ＝ ； A∩A＝A； A∩B＝B∩A； A∩B＝A A B A∪( UA)＝U； A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
區分下列集合的表示含義
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
含義 方程f(x)＝0的解集 不等式f(x)>0的解集 函數y＝f(x)的定義域 函數y＝f(x)的值域 函數y＝f(x)圖象上的點
【常用結論與知識拓展】
(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．
(2)A (A∪B)，B (A∪B)．
(3)(A∩B) A，(A∩B) B.
(4)A∩B＝A∪B A＝B.
(5)A B A∩B＝A A∪B＝B ( UA) ( UB) A∩( UB)＝ .
(6)如圖所示，用集合A，B表示圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個部分所表示的集合分別是A∩B，A∩( UB)，B∩( UA)， U(A∪B)．
(7)用card(A)表示有限集合A中元素的個數．對任意兩個有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
集合的基本概念
【要點講解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數集、點集還是其他類型的集合。集合中元素的互異性常常容易忽略，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中元素是否滿足互異性。分類討論的思想方法常用于解決集合問題
（2022 長沙模擬）已知集合，，下列選項中均為的元素的是　　
（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
（2022秋 宜陽縣校級月考）集合的元素個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
（2022秋 南昌期末）已知集合，，，則中元素的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022 道里區校級四模）已知集合，則中元素的個數為　　
A．9 B．10 C．11 D．12
（2022 河北模擬）已知集合，2，，，，，則中所含元素的個數為　　
A．2 B．4 C．6 D．8
（2022秋 西安）集合，2，，，3，，，，，則中的元素個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
（2022秋 漢濱區）已知集合，0，1，，，，，則集合中所有的元素之和為　　
A．0 B．2 C． D．
（2023 濰坊模擬）已知集合，0，，，，則集合中所有元素之和為　　
A．0 B．1 C． D．
（2022秋 武陵區）若關于的方程的解集中有且僅有一個元素，則實數的值組成的集合中的元素個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021 江西模擬）已知集合，只有一個元素，則的取值集合為　　
A． B． C．，， D．，
（2023 延邊州二模）已知集合的元素只有一個，則實數的值為　　
A． B．0 C．或0 D．無解
（2022秋 山西）已知集合中元素滿足，且，，則　　
A． B． C． D．
（2022 聊城二模）已知集合，1，，，，則集合中元素個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
（2021 麒麟區校級模擬）設集合，0，1，，，，，，，則集合中元素的個數為　　
A．5 B．6 C．7 D．8
（2022 全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．6
（2022 全國一模）已知集合，3，4，5，，，，，則中所含元素的個數為　　
A．3 B．6 C．8 D．10
（2022秋 川匯區校級期末）已知集合，2，，，，中所含元素的個數為　　
A．2 B．4 C．6 D．8
集合間的基本關系
【要點講解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關系時，必須優先考慮空集的情況，否則會造成漏解；已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系。常用數軸、Venn圖來直觀解決這類問題。
（2023 咸陽模擬）設集合，則集合的真子集個數是　　
A．6 B．7 C．8 D．15
（2023 黃埔區校級模擬）設集合，，則集合的真子集個數為　　
A．8 B．7 C．4 D．3
（2023 烏魯木齊模擬）已知集合滿足，，2，3，，那么這樣的集合的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 全國二模）下列集合關系中錯誤的是　　
A．， B．， C． D．，，
（2022秋 阜南縣校級月考）已知集合，，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
（2022 全國四模）已知，，則集合、之間的關系為　　
A． B． C． D．
（2023 重慶模擬）已知集合，，則下列關系正確的是　　
A． B． C． D．
（2022 河南模擬）已知集合，，則　　
A． B． C． D．
（2023 延慶區一模）已知集合，，，0，，且，則等于　　
A．1 B．0 C． D．
（2023 香坊區校級一模）已知集合，，，若，則實數的取值集合為　　
A．，， B． C． D．，，0，
（2023 湖南模擬）已知集合，，且，則實數的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．，
（2023 北碚區校級模擬）已知集合，4，，，，若，則實數組成的集合為　　
A． B．， C．，0， D．，0，1，
（2023 大荔縣一模）設三元集合，則　 　．
（2022秋 新北區校級月考）已知集合，，，，，，若，則　 ．
（2022 海口模擬）已知集合，0，，，若，則實數　　
A．2 B．1 C．0 D．
（2023 鐵嶺模擬）設，，若，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
（2023 2月份模擬）設集合，3，，，，，．若，，則　　
A． B． C．1 D．3
（2022 攀枝花模擬）設集合，，若，則實數的取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
（2022 朝陽區校級三模）已知集合，，若，則實數的取值組成的集合是　　
A． B． C．， D．，0，
集合的運算
【要點講解】
集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成人手是解決集合運算問題的前提。有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決。集合之間的運算要注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖。
（2023 烏魯木齊三模）設集合，0，1，，，則的子集個數為　　
A．2 B．4 C．8 D．16
（2023 全國卷模擬）已知集合，，則　　
A． B．
C．或 D．或
（2023 天津一模）設全集，，0，1，，集合，，，1，，則　　
A． B．，， C．， D．，1，
（2023 全國三模）設集合，則　　
A．， B．， C．， D．，
（2023 合肥三模）已知集合，集合，則集合的元素個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 畢節市模擬）已知集合，，則如圖中陰影部分表示的集合為　　
A． B．， C．，2， D．
（2023 吉林模擬）已知全集，集合，，，則下圖陰影部分所對應的集合為　　
A． B． C．或 D．
（2022春 下期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為　　
A．， B．， C． D．，
（2023 商洛二模）設集合，，，．若，則　　
A．， B．， C．， D．，
（2023 宜章縣模擬）已知集合，，若，則　　
A． B． C．2 D．6
（2023 濟寧二模）已知集合，5，，，，若，則　　
A． B． C．2 D．3
（2013 武昌區校級模擬）若集合，，且，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
（2010 項城市校級模擬）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
求參數的取值范圍
【要點講解】
根據集合的運算結果求參數時，可先把符號語言轉化為文字語言，然后應用數形結合法求解。
（2023 郴州模擬）已知集合，，，若，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．
（2023 山西模擬）已知集合，若，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
（2023 懷仁市校級四模）已知集合，若，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．，
（2023 茂名二模）已知集合，，若，則實數的取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
（2023 黃山模擬）已知集合，，且，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．，
（2023 樂山三模）已知集合，，且，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
（2023 四川模擬）設集合，，集合中恰好含有2個元素，則實數的取值范圍為　　
A． B．， C．， D．，
（2023 鐵嶺模擬）設，，若，則實數的取值范圍為　　
A． B． C． D．
（2023 湖北模擬）已知集合，，若中有且僅有三個整數，則正數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
集合中的新定義問題
【要點講解】
集合新定義問題的“三定”：一定元素，確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素；二定運算，根據要求及新定義，將所求集合的運算轉化為集合的交集、并集與補集的基本運算，或轉化為數的有關運算；三定結果，根據新定義，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素。
（2023 五河縣模擬）對于數集，，定義，，，，，若集合，，則集合中所有元素之和為　　
A． B． C． D．
（2023 湖北模擬）用（A）表示非空集合中的元素個數，定義若，，，且，設實數的所有可能取值組成的集合是，則等于　　
A．7 B．5 C．3 D．1
（2022 長豐縣校級模擬）若，，定義且，則　　
A．或 B．或
C． D．
一．選擇題（共12小題）
1．（2023 南通二模）已知，為的兩個非空真子集，若，則下列結論正確的是　　
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022 渭濱區校級模擬）設集合，，，若，則　　
A．或或2 B．或 C．或2 D．或2
3．（2023 江西模擬）已知集合，，，，，，若，則　　
A． B．0 C．1 D．2
4．（2023 定西模擬）已知集合，，則　　
A． B． C． D．
5．（2023 河南模擬）已知集合為英文單詞“”的字母組成的集合，集合為英文單詞“”的字母組成的集合，則集合的子集個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023 西寧一模）已知集合，，，則中元素的個數為　　
A．3 B．4 C．8 D．9
7．（2021 江西模擬）已知集合，，，若，則符合條件的實數的值組成的集合為　　
A．， B．， C．，0， D．，
8．（2023 渝中區校級一模）已知集合，，，則　　
A．， B． C． D．
9．（2023 福建二模）是正整數集的子集，滿足：，，，并有如下性質：若，，則，則的非空子集數為　　
A．2022 B．2023 C． D．
10．（2021 石家莊模擬）已知集合，，，，，，，若，則　　
A． B．2 C． D．1
11．（2023 桃城區校級模擬）已知集合，，則下列結論中正確的是　　
A． B．
C． D．
12．（2023 南京二模）集合的子集個數為　　
A．2 B．4 C．8 D．16
13．（2022 泉州模擬）已知集合，均為的子集，若，則　　
A． B．
C． D．
14．（2021 武漢模擬）圖中矩形表示集合，，是的兩個子集，則陰影部分可以表示為　　
A． B． C． D．
15．（2010 南通模擬）記集合，1，2，3，4，5，，，將中的元素按從大到小的順序排列，則第2009個數是　 ．
16．（2022 寶山區模擬）已知集合，，，是虛數單位，對任意，，可以相等）均有，則符合條件的元素個數最多的集合　 ．
17．（2012 南通模擬）已知數集，0，中有3個元素，則實數不能取的值構成的集合為　 　．
18．（2018 武清區校級模擬）用列舉法表示集合　 　
21．（2023 沛縣校級模擬）設，，若，求實數的取值范圍．專題02 常用邏輯用語
目錄
題型一： 充要條件 4
題型二： 求參數取值范圍 7
題型三： 全稱量詞命題和存在量詞命題 10
題型四： 全稱量詞和存在量詞參數的取值范圍 13
題型五： 綜合運用 15
充分條件、必要條件與充要條件
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且qp
p是q的必要不充分條件 pq且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp
全稱量詞和存在量詞
(1)全稱量詞有：所有的、任意一個、任給一個、每一個、一切等，用符號“ ”表示；存在量詞有：存在一個、至少有一個、有些、有一個、 有的、某一個等，用符號“ ”表示．
(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為 x∈M，p(x)．
(3)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符號簡記為 x∈M，p(x)．
含有一個量詞的命題的否定
命題 命題的否定
x∈M，p(x) x∈M，
x∈M，p(x) x∈M，
注意
含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”. 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題；對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其進行否定.
【常用結論與知識拓展】
1.充分條件與必要條件的兩個特征
(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件．若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件．
(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p q，且q r” “p r”(“p q，且q r” “p r”)．若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．
2.區別A是B的充分不必要條件(A B且B A)，與A的充分不必要條件是B(B A且A B)兩者的不同．
3.從集合的角度理解充分條件與必要條件
若p以集合A的形式出現，q以集合B的形式出現，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關于充分條件，必要條件又可以敘述為
(1)若A B，則p是q的充分條件；
(2)若A B，則p是q的必要條件；
(3)若A＝B，則p是q的充要條件；
(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；
(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；
(6)若AB且A B，則p是q的既不充分也不必要條件．
4.等價轉化法判斷充分條件、必要條件：p是q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．
5.命題p和p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假．
6.常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定詞語 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多有一個 至少有一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少有兩個 一個也沒有
7.數學定義、判定定理和性質定理與充分、必要、充要條件的關系
(1)每一條數學定義都給出了相應數學結論成立的一個充要條件．
(2)每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
(3)每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件.
充要條件
【要點講解】
確定誰是條件，誰是結論；嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件是結論的充分條件，否則條件就不是結論的充分條件；嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件是結論的必要條件，否則條件就不是結論的必要條件。
設，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：當時，必定有成立，故充分性成立；
當時，可得或，故必要性不成立．
故選：．
已知，命題是一元二次方程的一個根，命題，則是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：對于命題，為方程的根，則，充分性成立；
對于命題，且，則必是題設方程的一個根，必要性成立；
所以是的充分必要條件．
故選：．
設，是向量，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：若“”，則以，為鄰邊的平行四邊形是菱形；
若“”，則以，為鄰邊的平行四邊形是矩形；
故“”是“”的既不充分也不必要條件；
故選：．
設，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：由“”得，
由得或，
即“”是“”的充分不必要條件，
故選：．
若x，y∈R，則“x＞y”的一個充分不必要條件可以是（　　）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；
由可得，解得x＞y＞0或x＜y＜0，
所以是x＞y的既不充分也不必要條件，排除C；
，反之不成立，D正確；
故選：D．
設，為兩條直線，則的充要條件是　　
A．，與同一個平面所成角相等
B．，垂直于同一條直線
C．，平行于同一個平面
D．，垂直于同一個平面
【解答】解：對于，如圖示：
，與平面所成角都為，但，相交，故錯誤，
對于，如圖示：
，都垂直于軸，但，相交，故錯誤，
對于，如圖示：
，都在上底面與下底面平行，但，相交，故錯誤，
對于，由，得，垂直于同一個平面，是充分條件，
反之，若，垂直于同一個平面，則，是必要條件，
故選：．
不等式成立的一個充分不必要條件是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：不等式解得，時，一定有，，而，時，不一定滿足，
所以不等式成立的一個充分不必要條件是，
故選：．
復數是純虛數的充分不必要條件是　　
A．且 B． C．且 D．
【解答】解：因為復數是純虛數的充要條件是且，
又因為且是且的充分不必要條件，
所以且是復數為純虛數的充分不必要條件．
故選：．
求參數取值范圍
【要點講解】
利用充分、必要、充要條件的關系求參數范圍的四個步驟：化簡兩命題；根據與的關系（充分、必要、充要條件）轉化為集合間的關系；利用集合間的關系建立不等式；求解參數范圍
已知；，若是的充分條件，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由題意可得，即，解得；
是的充分條件，
，
解得．
故選：．
已知集合，，，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：集合，，，，“”是“”的充分不必要條件，
則，解得，
故的取值范圍為，．
故選：．
已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：由題意集合，，，
若，則，此時，
因為“”是“”的必要不充分條件，故，
故，；
若，則，此時，
因為“”是“”的必要不充分條件，故，
故，；
若，則，此時，滿足，
綜合以上可得，
故選：．
若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由題意可知，
當，即時，集合，滿足題意，
當，即時，集合或，
，
，
解得，
綜上所述，的取值范圍是，．
故答案為：，．
若“”是“”的充分條件，則實數的取值范圍為 　　．
【解答】解： “”是“”的充分條件，，，
即實數的取值范圍為．
故答案為：．
已知集合，或．
（1）當時，求；
（2）當時，若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，
，
又或，
．
（2）當時，，
是的充分條件，，
或，
或，又，
，
實數的取值范圍為，．
全稱量詞命題和存在量詞命題
【要點講解】
要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每個元素驗證成立；要判斷全稱量詞命題是假命題，只要舉出集合中的一個，使得不成立即可（這就是通常所說的“舉出一個反例”，要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合Ｍ中，找到一個，使成立即可；否則，這一存在量詞命題就是假命題。提醒：判斷全稱量詞命題為假，只需舉一個反例即可；判斷存在量詞命題為真，只需舉一個特例
命題“，”的否定是　　
A． B．
C．， D．
【解答】解：由題意可得，“，”的否定是．
故選：．
命題：“，”的否定是 　，　．
【解答】解：由全稱命題的否定為特稱命題知，原命題的否定為，．
故答案為：，．
已知命題，，則為　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：全稱命題的否定為特稱命題，改變量詞，否定結論即可．
即，，
故選：．
下列關于命題的說法錯誤的是　　
A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”
B．“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件
C．若命題，，則，
D．命題“，”是真命題
【解答】解：因為命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以正確；
由能得到函數在區間上為增函數，反之，函數在區間上為增函數，不一定大于2，所以“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件，所以選項正確；
命題，，的否定為，，所以選項正確；
因為當時恒有，所以命題“，”為假命題，所以不正確．
故選：．
下列命題中，真命題是　　
A．存在，使得
B．對任意，
C．“”是“”的充分不必要條件
D．“或是假命題”是“非為真命題”的必要而不充分條件
【解答】解：對于時，，故錯誤；
對于，故正確；
對于：“”是“”的必要不充分條件，故錯誤；
對于或是假命題”是“非為真命題”的充分不必要條件，故錯誤；
故選：．
已知，，命題，，命題，使得，則下列說法正確的是　　
A．是真命題，，
B．是假命題，，
C．是真命題，，
D．是假命題，，
【解答】解：，由得，由得，
即當時，函數取得極小值，同時也是最小值，
，成立，即是真命題．
在上為增函數，當時，，（1），
則：，使得成立，即命題是真命題．
則，，
，，
綜上只有成立，
故選：．
全稱量詞和存在量詞參數的取值范圍
【要點講解】
要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每個元素驗證成立；要判斷全稱量詞命題是假命題，只要舉出集合中的一個，使得不成立即可（這就是通常所說的“舉出一個反例”，要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合Ｍ中，找到一個，使成立即可；否則，這一存在量詞命題就是假命題。提醒：判斷全稱量詞命題為假，只需舉一個反例即可；判斷存在量詞命題為真，只需舉一個特例
已知命題“，，”為真命題，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為命題“，，”為真命題，
所以命題“，，”為真命題，
所以，時，，
因為，
所以當，時，，當且僅當時取得等號，
所以，時，，
即實數的取值范圍是．
故選：．
若命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為 　，　．（用區間表示）
【解答】解：因為，即函數的值域為，，
所以實數的取值范圍為，．
故答案為：，．
已知命題，，若為真命題，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：若，為真命題，等價于，
，當且僅當時，等號成立，
，即，
可得，故實數的取值范圍是．
故答案為：．
已知，．若為假命題，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為為假命題，所以，為真命題，
故當時，恒成立．
因為當時，的最小值為，
所以，即的取值范圍為．
故選：．
已知命題，，若為假命題，求實數的取值范圍 　，　．
【解答】解：依題意，命題，是假命題，
所以，是真命題，
當時，不等式化為，成立，
當時，不等式化為，，不成立．
當時，不等式化為，成立，
綜上所述，的取值范圍是，．
故答案為：，．
設命題，．若是假命題，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：是假命題，是真命題，
命題，，
，，，
設，則，在，上單調遞增，
，
，
實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
綜合運用
【要點講解】
在一些邏輯問題中，當題中并未出現“或”“且”“非”時，應從語句的陳述中搞清含義，并根據題目進行邏輯分析，找出各個命題之間的內在聯系，從而解決問題
已知函數且函數，則下列選項正確的是　　
A．點是函數的零點
B．，，使
C．函數的值域為
D．若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是，
【解答】解：對于選項，零點不是一個點，應該說是函數的零點，故選項錯誤．
對于選項，當時，，
由可得；由可得．
所以在上單調遞減，在單調遞增，
所以時，單調遞增，則；
當時，，
由可得；由可得．
所以在上單調遞減，在上單點遞增．
所以時，單調遞減，則；
所以，，使，
故選項正確．
對于選項，由選項可得在上單調遞減，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，
又
，則的值域為，
故選項正確．
對于選項，，
若，則．
則關于的方程有兩個不相等的實數根，
有兩個不相等的實數根，
有一個非零實數根，
函數與有一個交點，且．
當時，，
可以解得在上單調遞增，上單調遞減，上單點遞增，
所以極大值，極小值；
當時，，
可以解得在上單調遞減，在單調遞增，
極小值．
畫出函數的大致圖像如下：
由圖像可得，只需或，
即的取值范圍為，故正確．
故選：．
設，則對任意實數是的　　
A．充分必要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：，的定義域為
．
是奇函數
在上是增函數
在上是增函數
可得
（a）（b）
（a）（b）成立
若（a）（b）則（a）（b）由函數是增函數知
成立
是（a）（b）的充要條件．
故選：．
已知函數，，若存在，使得，則的取值范圍是　　
A．， B．，，
C． D．，，
【解答】解：當時，，即，則的值域為，，
當時，，即，則的值域為，，
若存在，使得，
則，，，
若，，，
則或，
得或，
則當或，，時，，
即實數的取值范圍是，，
故選：．
已知集合，函數．
（1）當時，解關于的不等式；
（2）若命題“存在，使得”為假命題，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）不等式整理得，即，
若，則解集為，，（2分）
若，則解集為，．（4分）
（2），
命題“存在，使得”的否定為：
“對任意的，，均有成立”為真命題，（6分）
即，只需，（8分）
當時，，所以，即．（10分）
（2023 南充模擬）“”是“”的　　條件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【解答】解：當“”時，“”不成立，
當“”時，整理得：，故“”成立，
故“”是“”的必要不充分條件．
故選：．
（2023 廣東模擬）“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【解答】解：“” “”，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：．
（2023 鄭州模擬）已知第一象限內的動點在直線的左下方，則是恒成立的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：因為第一象限內的動點在直線的左下方，
所以、且，
若恒成立，即恒成立，
因為，
當且僅當時取等號，所以，
所以是恒成立的充分不必要條件．
故選：．
（2023春 郫都區校級期中）“”是“直線與直線平行”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：若直線與直線平行，
則，解得，
因此，“”是“直線與直線平行”的充要條件．
故選：．
（2023 溫州模擬）“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：設，則，即是增函數，
則時，，即，
即“”是“”的充要條件，
故選：．
（2023 日照二模）已知，，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：因為定義域上單調遞減，
故由得，而定義域上單調遞增，故，滿足充分性；
又，滿足必要性，
故選：．
（2023 青羊區校級模擬）已知，則“”是“有兩個不同的零點”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：若有兩個不同的零點，則△，解得或，
所以“”是“有兩個不同的零點”的充分不必要條件．
故選：．
（2023 遂寧模擬）下列說法不正確的是　　
A．若，則
B．命題，，則，
C．回歸直線方程為，則樣本點的中心可以為
D．在中，角，，的對邊分別為，，，則“”是“”的充要條件
【解答】解：對于選項，因為，所以，所以，故正確；
對于選項，根據命題的否定的定義，，，故錯誤；
對于選項，把代入，得，
所以樣本點的中心可以為，故正確；
對于選項，當時，根據三角形中大邊對大角，得，
再根據正弦定理得，所以；
當時，根據正弦定理，得，
即，又，所以，
由正弦定理得，，所以．
所以“”是“”的充要條件，故正確．
故選：．
（2023春 浙江期中）下列說法正確的是　　
A．“”是“”的充分不必要條件
B．在中，“”是“”的充要條件
C．在中，“”是“”的必要不充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
【解答】解：對于：當，時，有，
由“”推不出“”，
當時，可得，
由“”可以推出“”，
“”是“”的必要不充分條件，故錯誤．
對于中，，，且在，上是減函數， “”是“”的充要條件，正確；
對于中，一方面，因為，所以，
由正弦定理可知：；
另一方面，由，
所以在中，是的充要條件，不正確；
對于或，而或，
故“”是“”的充分不必要條件，正確．
故選：．
（2022秋 南充期末）命題“，，”是真命題的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：依題意，命題“，，”是真命題，
所以對任意，上恒成立，所以，
其必要不充分條件是或．
故選：．
（2022秋 歷下區校級期末）已知命題，，若為真命題，則實數的值可以是　　
A． B．0 C． D．
【解答】解：因為，為真命題，所以方程有實根．
當時，符合題意；
當時，由方程有實根，可得△，所以．
綜上，實數的值可以是，0和．
故選：．
（2022 商水縣校級開學）下列命題是真命題的是　　
A．若設函數的圖象過點，則
B．，
C．，
D．命題“，”的否定是“，”
【解答】解：對于，若冪函數過點，，則，解得，故錯誤；
對于，在同一平面直角坐標系上畫出與兩函數圖象，如圖，
由圖可知，，故正確；
對于，取，得，故錯誤；
對于，根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可知，命題“，”的否定為：
“，”，故正確．
故選：．
（2022秋 徐匯區校級月考）若“”是“”的充分非必要條件，則的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由可得，
由于“”是“”的充分非必要條件，
所以．
故答案為：，．
（2022秋 大通縣期末）已知命題，，則為 　，　．
【解答】解：命題，，
則為，．
故答案為：，．
（2022秋 開福區校級期末）命題“，”的否定是 　，　．
【解答】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，
命題“，”的否定是：，．
故答案為：，．
（2023 當涂縣校級開學）設命題，命題，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：命題，
則，解得，
命題，
是的充分不必要條件，
則表示的集合是表示集合的真子集，即，解得，
故實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
（2021秋 和平區校級期末）設全集是，集合，．
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）條件，條件，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）若，
當時，，解得，
當時，，解得，
綜合得，
（2）條件，條件，若是的充分不必要條件，
則，
且等號不能同時成立，
解得．
（2023 大荔縣一模）已知集合，或．
（1）當時，求；
（2）當時，若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，
，
又或，
．
（2）當時，，
是的充分條件，，
或，
或，又，
，
實數的取值范圍為，．專題02 常用邏輯用語
目錄
題型一： 充要條件 4
題型二： 求參數取值范圍 5
題型三： 全稱量詞命題和存在量詞命題 7
題型四： 全稱量詞和存在量詞參數的取值范圍 8
題型五： 綜合運用 9
充分條件、必要條件與充要條件
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且qp
p是q的必要不充分條件 pq且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 pq且qp
全稱量詞和存在量詞
(1)全稱量詞有：所有的、任意一個、任給一個、每一個、一切等，用符號“ ”表示；存在量詞有：存在一個、至少有一個、有些、有一個、 有的、某一個等，用符號“ ”表示．
(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．“對M中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為 x∈M，p(x)．
(3)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符號簡記為 x∈M，p(x)．
含有一個量詞的命題的否定
命題 命題的否定
x∈M，p(x) x∈M，
x∈M，p(x) x∈M，
注意
含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞，否結論”. 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題；對省略了全稱量詞的命題否定時，要對原命題先加上全稱量詞再對其進行否定.
【常用結論與知識拓展】
1.充分條件與必要條件的兩個特征
(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件．若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件．
(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p q，且q r” “p r”(“p q，且q r” “p r”)．若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件．
2.區別A是B的充分不必要條件(A B且B A)，與A的充分不必要條件是B(B A且A B)兩者的不同．
3.從集合的角度理解充分條件與必要條件
若p以集合A的形式出現，q以集合B的形式出現，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關于充分條件，必要條件又可以敘述為
(1)若A B，則p是q的充分條件；
(2)若A B，則p是q的必要條件；
(3)若A＝B，則p是q的充要條件；
(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；
(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；
(6)若AB且A B，則p是q的既不充分也不必要條件．
4.等價轉化法判斷充分條件、必要條件：p是q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．
5.命題p和p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題的否定的真假．
6.常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定詞語 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多有一個 至少有一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少有兩個 一個也沒有
7.數學定義、判定定理和性質定理與充分、必要、充要條件的關系
(1)每一條數學定義都給出了相應數學結論成立的一個充要條件．
(2)每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
(3)每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件.
充要條件
【要點講解】
確定誰是條件，誰是結論；嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件是結論的充分條件，否則條件就不是結論的充分條件；嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件是結論的必要條件，否則條件就不是結論的必要條件。
設，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
已知，命題是一元二次方程的一個根，命題，則是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
設，是向量，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
設，則“”是“”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
若x，y∈R，則“x＞y”的一個充分不必要條件可以是（　　）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
設，為兩條直線，則的充要條件是　　
A．，與同一個平面所成角相等
B．，垂直于同一條直線
C．，平行于同一個平面
D．，垂直于同一個平面
不等式成立的一個充分不必要條件是　　
A． B．， C． D．，
復數是純虛數的充分不必要條件是　　
A．且 B． C．且 D．
求參數取值范圍
【要點講解】
利用充分、必要、充要條件的關系求參數范圍的四個步驟：化簡兩命題；根據與的關系（充分、必要、充要條件）轉化為集合間的關系；利用集合間的關系建立不等式；求解參數范圍
已知；，若是的充分條件，則實數的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
已知集合，，，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．，
已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．
若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是 　 ．
若“”是“”的充分條件，則實數的取值范圍為 　　 　．
已知集合，或．
（1）當時，求；
（2）當時，若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍．
全稱量詞命題和存在量詞命題
【要點講解】
要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每個元素驗證成立；要判斷全稱量詞命題是假命題，只要舉出集合中的一個，使得不成立即可（這就是通常所說的“舉出一個反例”，要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合Ｍ中，找到一個，使成立即可；否則，這一存在量詞命題就是假命題。提醒：判斷全稱量詞命題為假，只需舉一個反例即可；判斷存在量詞命題為真，只需舉一個特例
命題“，”的否定是　　
A． B．
C．， D．
命題：“，”的否定是 　　 　．
已知命題，，則為　　
A．， B．，
C．， D．，
下列關于命題的說法錯誤的是　　
A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”
B．“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件
C．若命題，，則，
D．命題“，”是真命題
下列命題中，真命題是　　
A．存在，使得
B．對任意，
C．“”是“”的充分不必要條件
D．“或是假命題”是“非為真命題”的必要而不充分條件
已知，，命題，，命題，使得，則下列說法正確的是　　
A．是真命題，，
B．是假命題，，
C．是真命題，，
D．是假命題，，
全稱量詞和存在量詞參數的取值范圍
【要點講解】
要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每個元素驗證成立；要判斷全稱量詞命題是假命題，只要舉出集合中的一個，使得不成立即可（這就是通常所說的“舉出一個反例”，要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合Ｍ中，找到一個，使成立即可；否則，這一存在量詞命題就是假命題。提醒：判斷全稱量詞命題為假，只需舉一個反例即可；判斷存在量詞命題為真，只需舉一個特例
已知命題“，，”為真命題，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
若命題“，”為真命題，則實數的取值范圍為 　　 ．（用區間表示）
已知命題，，若為真命題，則實數的取值范圍是 　　 　．
已知，．若為假命題，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
已知命題，，若為假命題，求實數的取值范圍 　　 ．
設命題，．若是假命題，則實數的取值范圍是 　　 ．
綜合運用
【要點講解】
在一些邏輯問題中，當題中并未出現“或”“且”“非”時，應從語句的陳述中搞清含義，并根據題目進行邏輯分析，找出各個命題之間的內在聯系，從而解決問題
已知函數且函數，則下列選項正確的是　　
A．點是函數的零點
B．，，使
C．函數的值域為
D．若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是，
設，則對任意實數是的　　
A．充分必要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
已知函數，，若存在，使得，則的取值范圍是　　
A．， B．，，
C． D．，，
已知集合，函數．
（1）當時，解關于的不等式；
（2）若命題“存在，使得”為假命題，求實數的取值范圍．
（2023 南充模擬）“”是“”的　　條件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
（2023 廣東模擬）“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
（2023 鄭州模擬）已知第一象限內的動點在直線的左下方，則是恒成立的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023春 郫都區校級期中）“”是“直線與直線平行”的　　
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023 溫州模擬）“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023 日照二模）已知，，則“”是“”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023 青羊區校級模擬）已知，則“”是“有兩個不同的零點”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023 遂寧模擬）下列說法不正確的是　　
A．若，則
B．命題，，則，
C．回歸直線方程為，則樣本點的中心可以為
D．在中，角，，的對邊分別為，，，則“”是“”的充要條件
（2023春 浙江期中）下列說法正確的是　　
A．“”是“”的充分不必要條件
B．在中，“”是“”的充要條件
C．在中，“”是“”的必要不充分條件
D．“”是“”的充分不必要條件
（2022秋 南充期末）命題“，，”是真命題的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
（2022秋 歷下區校級期末）已知命題，，若為真命題，則實數的值可以是　　
A． B．0 C． D．
（2022 商水縣校級開學）下列命題是真命題的是　　
A．若設函數的圖象過點，則
B．，
C．，
D．命題“，”的否定是“，”
（2022秋 徐匯區校級月考）若“”是“”的充分非必要條件，則的取值范圍是 　　．
（2022秋 大通縣期末）已知命題，，則為 　　．
（2022秋 開福區校級期末）命題“，”的否定是 　　．
（2023 當涂縣校級開學）設命題，命題，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是 　　．
（2021秋 和平區校級期末）設全集是，集合，．
（1）若，求實數的取值范圍；
（2）條件，條件，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
（2023 大荔縣一模）已知集合，或．
（1）當時，求；
（2）當時，若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍．專題03 等式性質與不等式性質
目錄
題型一： 不等式的性質 4
題型二： 比較大小 8
題型三： 不等式范圍求解 10
比較實數a，b大小的基本事實
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
等式的基本性質
(1)對稱性：a＝b b＝a；
(2)傳遞性：a＝b，b＝c a＝c；
(3)可加性：a＝b a±c＝b±c；
(4)可乘性：a＝b ac＝bc；
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝.
不等式的性質
性質 性質內容 注意
對稱性 a>b ba 可逆
傳遞性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可開方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
【常用結論與知識拓展】
1.不等式的兩類常用性質
(1)倒數性質
①a>b，ab>0 <；
②a＜0＜b ＜；
③a>b>0，d>c>0 >；
④0(2)有關分數的性質
若a>b>0，m>0，則
①真分數性質：<<(b－m>0)，即真分數越加越大，越減越小；
②假分數性質：<<(b－m>0)，即假分數越加越小，越減越大．
2.若a3.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
不等式的性質
【要點講解】(1)利用不等式的性質逐個驗證;
(2)利用特殊值法排除錯誤選項;
(3)作差(商)法;
(4)構造函數,利用函數的單調性;
(5)利用基本不等式.
（2022 西城區校級三模）已知，，且，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，且，則，與的大小關系不確定，，即，與0的大小關系不確定．
故選：．
（2023 吉林模擬）已知，則下列不等式不一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：選項，，故，，所以，兩邊同乘以得，，正確；
選項，因為，所以，且，
由基本不等式得，故正確；
選項，因為，所以，
故，
所以，正確；
選項，不妨取，，滿足，此時，故錯誤．
故選：．
（2023 阿拉善盟一模）已知，則下列不等式不成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函數，在上單調遞增，
當時，．
故選：．
（2023 廣陵區校級模擬）已知，，則下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
由不等式的基本性質，知和都正確；
取，，則，，故錯誤；
冪函數，在上是增函數，
當時，，故正確．
故選：．
（2023 惠州模擬）已知實數，則下列結論一定正確的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：選項中，因為，所以，故選項正確；
選項中，因為函數在上單調遞減且，所以，故選項錯誤：
選項中，因為，則，故選項錯誤；
選項中，若，，滿足，但，故選項錯誤．
故選：．
（2023 大同二模）已知，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意可知，不妨取，，
則，，此時不滿足，即錯誤；
易得，此時，所以錯誤；
對于，無意義，所以錯誤，
由指數函數單調性可得，當時，，即正確．
故選：．
（2023 臨高縣模擬）給定下列四個命題：命題①，；命題②：；命題③：；命題④：．其中真命題的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：對于命題①：，，，
故，錯誤；
對于命題②：在遞減，故正確；
對于命題③：，，，，
故正確；
對于命題④：，，，
，，故正確；
其中真命題的個數是3個，
故選：．
（2023 武漢模擬）下列不等式正確的是　　
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，，且，則
【解答】解：對于，若，當時，與的大小關系無法確定，故錯誤，
對于，取，，，則滿足，但不滿足，故錯誤；
對于，取，，，則滿足，，但不滿足，故錯誤；
對于，若，，，且，則，
所以，即，故正確．
故選：．
（2023 盱眙縣校級四模）已知，給出下列不等式：①；②；③；④；其中正確的有　　
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：對于①：，
因為，
所以，，
所以，即，故①正確，
對于②：，
因為，
所以，，
所以，即，故②正確，
對于③：當，時，，，
所以，故③錯誤，
對于④：，
因為，
所以，，
所以，即，故④正確，
綜上所述，正確的有①②④．
故選：．
（2021秋 莒南縣校級月考）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據這個事實，下列不等式中一定成立的有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根據題意，糖水中含有糖，此時糖水中含糖濃度為，
若再添加糖完全溶解在其中，則糖水中含糖濃度為，
因為糖水變得更甜了，
所以，故正確，錯誤，
又因為，所以，故正確，
由可得，進而可得，故錯誤，
故選：．
比較大小
【要點講解】（1）做差法（2）做商法
已知，，，則，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：
．
．
故選：．
已知，，其中，則，的大小關系為　　
A． B． C． D．大小不確定
【解答】解：，，，
而，
．
故選：．
（2021秋 舒城縣）已知，比較下列各題中兩個代數式值的大小：
（1）與；
（2）與．
【解答】解：（1），
；
（2），
，
，，，，
，
．
（2021秋 江岸區校級月考）試比較下列各組式子的大小：
（1）與，其中；
（2）與，其中．
【解答】解：（1）由題意可得，
，
因為，
所以．
（2），
因為，所以，，，
所以，
即．
不等式范圍求解
【要點講解】1.求形如a-b的取值范圍,要先求-b的取值范圍,再加a的取值范圍即為a-b的取值范圍;
2.求形如的取值范圍,要借助反比例函數的圖象先求出的取值范圍,再與a遵循“同向同正可乘性”的原則求出的取值范圍;
3.已知M1(1)設g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根據恒等變形求得待定系數p,q;
(3)再根據不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范圍.
（2022秋 魏縣校級期中）已知，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：對于，因為，，所以，，故正確；
對于，因為，所以，故錯誤；
對于，因為，所以，故正確；
對于，因為，，所以，故正確．
故選：．
（2021 雞冠區校級三模）已知，，則的取值范圍是 　，　．
【解答】解：，，
，
，
的取值范圍是：，．
故答案為：，．
（2022秋 南關區校級期末）若，，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，
則，解得，
，，
由不等式的可加性可得，，
故的取值范圍為．
故選：．
（2023 西山區校級模擬）已知，，則　　
A．的取值范圍為， B．的取值范圍為，
C．的取值范圍為， D．的取值范圍為
【解答】解：因為，，
所以，，正確，正確；
因為，
所以，錯誤；
因為，
所以，
所以，錯誤．
故選：．
（2023 重慶模擬）已知，，則下列不等式不正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：對于選項，，，，，，故正確；
對于選項，，，，，
，，，故不正確；
對于選項，設，則，
，，
，
，，
，，
，故正確、錯誤；
故選：．
（2022秋 廣東期末）已知，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，
所以，，
則，．
故選：．
（2022秋 金山區校級期末）已知實數、滿足，，則的取值范圍為 　，　．
【解答】解：因為實數、滿足，，則，則，
則，
故答案為：，．
一．選擇題（共8小題）
1．（2021秋 懷仁市校級月考）設，，那是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：，解得，，
則是的必要不充分條件．
故選：．
2．（2023 重慶一模）設，，且，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，則，，故選錯誤；
令，，則，故選項錯誤；
選項，，，故，故選正確，
故選：．
3．（2022秋 眉山期末）若，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于，
對于選項，故選項正確．
對于選項：當，時，，故選項錯誤．
對于選項：當時，，故選項錯誤．
對于選項：由于，由于為單調增函數，所以，故選項錯誤．
故選：．
4．（2022 杭州模擬）下列結論正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【解答】解：對于選項：當，時，滿足，但是，故錯誤；
對于選項：當，時，滿足，但是，故錯誤；
對于選項，，根據不等式的同向相加可知：，故，故正確；
對于選項：當時，若，則，故錯誤；
故選：．
5．（2022 杭州模擬）用一架兩臂不等長的天平稱黃金，先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，則兩次共稱得的黃金　　
A．大于 B．等于 C．小于 D．無法確定
【解答】解：設左右兩臂的長度為，，兩次取的黃金重量為，克，顯然，
則，，化簡得，
由基本不等式得．
故選：．
6．（2022 杭州模擬）設，，則與的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，
所以，
所以．
故選：．
7．（2022秋 周村區校級期末）設函數，，若實數，滿足（a），（b），則　　
A．（b）（a） B．（a）（b） C．（b）（a） D．（a）（b）
【解答】解：是單調遞增函數，
且（1），（2），
又（a），
，
同理，在上單調遞增，
且（2），（3），
又（b），
，
（a）（2），
（b）（2），
（a）（b）．
故選：．
8．（2023 金山區二模）若實數、滿足，則下列不等式中成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：對于，取，，滿足，但是不成立，故錯誤；
對于，取，，滿足，但是，即不成立，故錯誤；
對于，取，，滿足，但是不成立，故錯誤；
對于，，且在上單調遞增，
，故正確．
故選：．
二．多選題（共4小題）
9．（2022秋 西安區期末）下列命題中正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【解答】解：對于，若，又，則，故正確，
對于，若，，滿足，但是，故錯誤，
對于，若，則，所以，即，故正確，
對于，若，，滿足，但是，故錯誤，
故選：．
10．（2022秋 雁峰區校級期末）下列說法中正確的是　　
A．若，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【解答】解：對于，因為，，所以，故正確；
對于，若，，則，所以，故錯誤；
對于，若，則，又，所以，故正確；
對于，若，，當，，，，則，故錯誤．
故選：．
11．（2022秋 宣城期末）已知，，則下列結論正確的是　　
A．若，則
B．若，則
C．若，，，則
D．若，則
【解答】解：對于，，，，即，故正確；
對于，若，則，，故錯誤；
對于，設，顯然在上單調遞增，
，，
，即（a）（b），
，故正確；
對于，，，，故錯誤．
故選：．
12．（2022秋 市中區校級期末）下列命題為真命題的是　　
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
【解答】解：因為，所以，又因為，所以，所以對；
因為，所以，即，所以對；
因為，所以，又因為，所以，所以對；
當，，，，滿足，，不滿足，所以錯．
故選：．
三．填空題（共4小題）
13．（2021秋 貴溪市校級月考）若，則． 　正確　（判斷對錯）
【解答】解：由，可知，所以，
故答案為：正確．
14．（2022秋 昆都侖區校級月考）已知，，記，，則　　．（用“”或“”或“”填）
【解答】解：因為，，
所以，
因為，，
所以，，
所以，即．
故答案為：．
15．（2022秋 興慶區校級月考）已知，，則的范圍是 　　．
【解答】解：，
，
又，
，
故的范圍是．
故答案為：．
16．（2022秋 浦東新區期末）設、、、是實數，則下列命題為真命題的是 　①③④　．
①如果，且，那么；
②如果，且，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
【解答】解：對于①，根據不等式的基本性質得，如果，且，那么，命題①正確；
對于②，如果，且，那么錯誤，如，，，時，，命題②錯誤；
對于③，如果，那么，所以，即，命題③正確；
對于④，如果，那么，所以，命題④正確．
所以真命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．
四．解答題（共2小題）
17．（2022秋 桃城區校級月考）已知關于的不等式的解集為．
（1）求的值；
（2）當時，比較與的大小．
【解答】解：（1）因為的解集為，所以，解得；
（2）由，得，
時，，，
所以，
所以，即．
18．（2022 南京模擬）比較與的大小．
【解答】解：
．
，，
，，
又（當且僅當時等號成立），
，
即（當且僅當時等號成立．專題03 等式性質與不等式性質
目錄
題型一： 不等式的性質 4
題型二： 比較大小 6
題型三： 不等式范圍求解 6
比較實數a，b大小的基本事實
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
等式的基本性質
(1)對稱性：a＝b b＝a；
(2)傳遞性：a＝b，b＝c a＝c；
(3)可加性：a＝b a±c＝b±c；
(4)可乘性：a＝b ac＝bc；
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝.
不等式的性質
性質 性質內容 注意
對稱性 a>b ba 可逆
傳遞性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可開方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
【常用結論與知識拓展】
1.不等式的兩類常用性質
(1)倒數性質
①a>b，ab>0 <；
②a＜0＜b ＜；
③a>b>0，d>c>0 >；
④0(2)有關分數的性質
若a>b>0，m>0，則
①真分數性質：<<(b－m>0)，即真分數越加越大，越減越小；
②假分數性質：<<(b－m>0)，即假分數越加越小，越減越大．
2.若a3.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
不等式的性質
【要點講解】(1)利用不等式的性質逐個驗證;
(2)利用特殊值法排除錯誤選項;
(3)作差(商)法;
(4)構造函數,利用函數的單調性;
(5)利用基本不等式.
（2022 西城區校級三模）已知，，且，則　　
A． B．
C． D．
（2023 吉林模擬）已知，則下列不等式不一定成立的是　　
A． B． C． D．
（2023 阿拉善盟一模）已知，則下列不等式不成立的是　　
A． B．
C． D．
（2023 廣陵區校級模擬）已知，，則下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
（2023 惠州模擬）已知實數，則下列結論一定正確的是　　
A． B．
C． D．
（2023 大同二模）已知，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
（2023 臨高縣模擬）給定下列四個命題：命題①，；命題②：；命題③：；命題④：．其中真命題的個數是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 武漢模擬）下列不等式正確的是　　
A．若，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，，且，則
（2023 盱眙縣校級四模）已知，給出下列不等式：①；②；③；④；其中正確的有　　
A．① B．② C．③ D．④
（2021秋 莒南縣校級月考）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據這個事實，下列不等式中一定成立的有　　
A． B．
C． D．
比較大小
【要點講解】（1）做差法（2）做商法
已知，，，則，的大小關系為　　
A． B． C． D．
已知，，其中，則，的大小關系為　　
A． B． C． D．大小不確定
（2021秋 舒城縣）已知，比較下列各題中兩個代數式值的大小：
（1）與；
（2）與．
（2021秋 江岸區校級月考）試比較下列各組式子的大小：
（1）與，其中；
（2）與，其中．
不等式范圍求解
【要點講解】1.求形如a-b的取值范圍,要先求-b的取值范圍,再加a的取值范圍即為a-b的取值范圍;
2.求形如的取值范圍,要借助反比例函數的圖象先求出的取值范圍,再與a遵循“同向同正可乘性”的原則求出的取值范圍;
3.已知M1(1)設g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根據恒等變形求得待定系數p,q;
(3)再根據不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范圍.
（2022秋 魏縣校級期中）已知，，則　　
A． B． C． D．
（2021 雞冠區校級三模）已知，，則的取值范圍是 　 　．
（2022秋 南關區校級期末）若，，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
（2023 西山區校級模擬）已知，，則　　
A．的取值范圍為， B．的取值范圍為，
C．的取值范圍為， D．的取值范圍為
（2023 重慶模擬）已知，，則下列不等式不正確的是　　
A． B． C． D．
（2022秋 廣東期末）已知，，則的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
（2022秋 金山區校級期末）已知實數、滿足，，則的取值范圍為 　 　．
一．選擇題（共8小題）
1．（2023秋 懷仁市校級月考）設，，那是的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023 重慶一模）設，，且，則　　
A． B． C． D．
3．（2022秋 眉山期末）若，則　　
A． B． C． D．
4．（2022 杭州模擬）下列結論正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5．（2022 杭州模擬）用一架兩臂不等長的天平稱黃金，先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，則兩次共稱得的黃金　　
A．大于 B．等于 C．小于 D．無法確定
6．（2022 杭州模擬）設，，則與的大小關系是　　
A． B． C． D．
7．（2022秋 周村區校級期末）設函數，，若實數，滿足（a），（b），則　　
A．（b）（a） B．（a）（b） C．（b）（a） D．（a）（b）
8．（2023 金山區二模）若實數、滿足，則下列不等式中成立的是　　
A． B．
C． D．
二．多選題（共4小題）
9．（2022秋 西安區期末）下列命題中正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
10．（2022秋 雁峰區校級期末）下列說法中正確的是　　
A．若，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
11．（2022秋 宣城期末）已知，，則下列結論正確的是　　
A．若，則
B．若，則
C．若，，，則
D．若，則
12．（2022秋 市中區校級期末）下列命題為真命題的是　　
A．若，，則
B．若，則
C．若，，則
D．若，，則
三．填空題（共4小題）
13．（2021秋 貴溪市校級月考）若，則． 　　（判斷對錯）
14．（2022秋 昆都侖區校級月考）已知，，記，，則　　．（用“”或“”或“”填）
15．（2022秋 興慶區校級月考）已知，，則的范圍是 　　．
16．（2022秋 浦東新區期末）設、、、是實數，則下列命題為真命題的是 　　．
①如果，且，那么；
②如果，且，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
四．解答題（共2小題）
17．（2022秋 桃城區校級月考）已知關于的不等式的解集為．
（1）求的值；
（2）當時，比較與的大小．
18．（2022 南京模擬）比較與的大小．專題04 基本不等式
目錄
題型一： 直接利用基本不等式 3
題型二： 拼湊法 4
題型三： 常數代換 6
題型四： 變量分離 8
題型五： 消元法 11
題型六： 和積轉化 12
題型七： 換元法 14
題型八： 恒成立問題 16
題型九： 應用題 18
基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同號)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
算術平均數與幾何平均數
給定兩個正數a，b，數稱為a，b的算術平均數；數稱為a，b的幾何平均數．基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0.
(1)如果積xy是定值P，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值，是2(簡記：積定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值，是(簡記：和定積最大)．
【常用結論與注意點】
1.常用的幾個結論
(1)若x≠0，則≥2，當且僅當x＝±1時，等號成立．
(2)若ab≠0，則≥2，當且僅當a＝±b時，等號成立．
(3)若ab>0，x≠0，則≥2，當且僅當x＝±時，等號成立．
(4)若a>0，b>0，則≤≤≤，當且僅當a＝b時，等號成立．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2.利用基本不等式求最值的兩個常用結論
(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，則有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＋＝1，則有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
3.應用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯．
4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式．若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
直接利用基本不等式
【要點講解】利用基本不等式：≤進行求解
的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由已知函數，
，，
，
當且僅當，即時等號成立，
當時，函數有最小值是4，
故選：．
函數的最小值為　　
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：由題意，
當且僅當，即時取等號，此時取得最小值為20，
故選：．
已知，則的最小值為　　
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由，，
當且僅當，即時，取得等號，
故的最小值為，
故選：．
拼湊法
【要點講解】拼湊法是將相關代數式進行適當變形,通過添項、拆項、變系數、湊因式等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼湊法的實質在于代數式的靈活變形,拼系數、湊常數是關鍵.
已知，那么函數的最小值是　　
A．5 B．6 C．4 D．8
【解答】解：已知，則，
函數，
當且僅當時“”成立，
故函數的最小值是6，
故選：．
若，則的最小值為　　
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：因為，
則，
當且僅當，即時取等號，
故選：．
已知函數，　　
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值3 D．有最大值3
【解答】解：，，
，當，即時，取等號，
有最小值3．
故選：．
設實數滿足，函數的最小值為　　
A． B． C． D．6
【解答】解：，，
，當且僅當，即時等號成立，
函數的最小值為．
故選：．
已知，的最大值是　1　．
【解答】解：由，可得
，
當且僅當，即時，取得最大值1．
故答案為：1．
常數代換
【要點講解】注常數代換法就是將已知條件中的等式右邊化為1,將所求式子乘以1,1再換成前面的等式即可,此法通常適合條件和所求的式子分別為整式和分式時,把所求的式子常構造成的形式.
已知實數，，，則的最小值為　　
A．100 B．300 C．800 D．400
【解答】解：根據題意，，
當且僅當，即時等號成立，
故選：．
已知，，且，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，可得，
又由，可得，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以，即的最大值為．
故選：．
若正數，滿足，則的最小值是　　
A．1 B． C．9 D．16
【解答】解：正數，滿足，
當且僅當即且時取等號．
故選：．
已知，，且，則的最小值為 　　．
【解答】解：因為，，且，
則，當且僅當且，即，時取等號，
故答案為：．
若正實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為正實數，滿足，
所以，
所以，
當且僅當且，即，時取等號．
故選：．
若正數，滿足，則的最小值是　5　．
【解答】解：，，，
，
，
當且僅當即時取等號，
故答案為：5．
正實數，滿足，則的最小值為 　　．
【解答】解：，，，
，
（當且僅當時取等號），
即的最小值為．
故答案為：．
已知正實數，滿足，則的最小值為 　　．
【解答】解：，，
，，
，
當且僅當，即，時取等號，
的最小值為．
故答案為：．
變量分離
【要點講解】變量分離法就是把分式形式的函數分離出兩項的和且其積是定值的形式,然后用基本不等式求最值.通常適合函數的模型是或
若，，，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，
則，當且僅當時等號成立，
則，當且僅當時等號成立，
即的最大值為，
故選：．
已知，則的最小值為　　．
【解答】解：因為，
所以，，，
所以，，
則，
當且僅當且，時取等號，此時的最小值．
故答案為：．
若，，，則的最小值為 　8　．
【解答】解：，，，
則，
當且僅當且時，取得最小值8，
故答案為：8．
已知，，，則的最小值為　　
A． B．12 C． D．16
【解答】解：由可得，
．
當且僅當時，等號成立，即．
所以的最小值為，
故選：．
已知正實數，滿足，且，則的最小值為　　．
【解答】解：正實數，滿足，且，
可得，解得，
則，
由
，
當且僅當時，取得等號，
則的最小值為，
故答案為：．
已知，，則的最小值為　4　．
【解答】解：，，
則，（當且僅當即時取等號），
，當且僅當即時取等號，
故，當且僅當且即，時取等號，此時取得最小值4．
故答案為：4
消元法
【要點講解】消元法就是將兩個變元消去一個代入所求式,然后利用分離常數法求最值
已知，，且，則的最小值為　　．
【解答】解：，，且，
，，
，當且僅當時取“ “，
故答案為：．
若，，，則的最小值為 　　．
【解答】解：，，，
則，當且僅當，時取等號．
的最小值為．
故答案為：．
已知，，滿足，則的最小值是 　　．
【解答】解：因為，，
則由可得，
所以，
當且僅當，即時取等號，此時取得最小值為，
故答案為：．
設，，若，則的最小值是 　　．
【解答】解：，，若，
，
，
當且僅當，又，即，時等號成立，
故答案為：．
和積轉化
【要點講解】和積轉化法僅適用于將已知等式中的和或積通過基本不等式轉化為所求式子中的和或積,然后解不等式以達到目的,此方法雖然沒湊出定值,但湊出所求式子是其根本思想
已知，，，則的最小值是　　
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：考察基本不等式，
整理得
即，又，
所以
故選：．
若實數，滿足，則的最大值是　　．
【解答】解：
，整理求得
的最大值是
故答案為：
若實數，滿足：，，，則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因為，，，
所以，當且僅當，即時，取等號，
則，即
可得，則，
故選：．
已知，，，則的最小值為 　6　．
【解答】解：由于，，，
則，
，
當且僅當時，取“”
則此時，
由于，，解得，
故
故答案為6．
已知，，，則的最小值為　4　．
【解答】解：考察基本不等式（當且僅當時取等號）
整理得
即，又，
所以（當且僅當時即，時取等號）
則的最小值是4．
故答案為：4．
已知正實數，滿足，則的最小值為 　　，的最大值為 　　．
【解答】解：，，
，
（當且僅當，即時，等號成立），
故的最小值為，
，
（當且僅當，即，時，等號成立），
，即，
解得，或（舍去），
故的最大值為，
故答案為：，．
換元法
【要點講解】換元法實質是把復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化、高次問題低次化
已知實數，滿足，則的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
則，
當且僅當時取等號，此時的最大值為．
故選：．
已知，都是正數，則的最小值是 　2　．
【解答】解：設，，
則，，，，
則，
當且僅當，即時取等號．
故答案為：2．
設正實數，滿足，，則的最小值為 　8　．
【解答】解：由基本不等式可得
．
當且僅當時，等號成立，
故答案為：8．
已知實數，，，則的最小值是　　．
【解答】解：，
，且，，
，當且僅當，即時取等號，
的最小值是．
故答案為：．
函數的最小值是　　．
【解答】解：函數
．
當且僅當，即有，取得等號．
則函數的最小值為．
故答案為：．
恒成立問題
【要點講解】大于最大，小于最小
若不等式對恒成立，則實數的最大值為　　
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：根據題意，，則，
則，
當且僅當時等號成立，
則的最小值為9，
若不等式對恒成立，即式恒成立，必有恒成立，
故實數的最大值為9；
故選：．
已知，，若不等式恒成立，則的最大值為　　
A．9 B．12 C．16 D．10
【解答】解：由已知，，不等式恒成立，所以
恒成立，轉化成求的最小值，
，所以．
故選：．
已知，，若不等式恒成立，則正數的最小值是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：因為，，正數；
，
因為不等式恒成立，
所以，
即，
解得，
所以．
故選：．
若兩個正實數，滿足，且不等式恒成立，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：因為兩個正實數，滿足，
所以，當且僅當且，即，時取等號，
所以，
因為不等式恒成立，
所以，
解得．
故答案為：，．
已知，，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，
，
．
，，
（當且僅當，即時取等號），
．
故選：．
應用題
某城市有一直角梯形綠地，其中，，．現過邊界上的點處鋪設一條直的灌溉水管，將綠地分成面積相等的兩部分．
（1）如圖①，若為的中點，在邊界上，求灌溉水管的長度；
（2）如圖②，若在邊界上，求灌溉水管的最短長度．
【解答】解：（1）因為，，，
所以，（2分）
取中點，則四邊形的面積為，
即，
解得，（6分）
所以．
故灌溉水管的長度為．（8分）
（2）設，，在中，，
所以在中，，
所以，
所以的面積為，
又，所以，即．（12分）
在中，由余弦定理，得，
當且僅當時，取“”．
故灌溉水管的最短長度為．（16分）
如圖，某生態園將一三角形地塊的一角開辟為水果園種植桃樹，已知角為，，的長度均大于200米，現在邊界，處建圍墻，在處圍竹籬笆．
（1）若圍墻，總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊的面積最大？
（2）已知段圍墻高1米，段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？
【解答】解：設米，米，則
（1），的面積，
當且僅當時取等號；
（2）由題意得，即，
要使竹籬笆用料最省，只需最短，所以
所以時，有最小值，此時．
一．選擇題（共8小題）
1．（2023 民勤縣校級開學）函數的最小值為　　
A．6 B．4 C．2 D．3
【解答】解：因為，所以，
則，
當且僅當，即時取等號，
故選：．
2．（2023春 高坪區校級期中）已知正數，滿足，則的最小值為　　
A． B．2 C． D．6
【解答】解：因為正數，滿足，即，
則，
當且僅當且，即，時取等號．
故選：．
3．（2023 永定區校級開學）已知，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：，，
，當且僅當，即時，等號成立，
的最小值為5．
故選：．
4．（2022秋 深圳校級期末）若，，且，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，
因為，
當且僅當時取等號，
所以，
所以．
故選：．
5．（2022秋 濱州期末）已知，，且，則的最小值為　　
A．6 B．4 C．2 D．1
【解答】解：因為，，且，
則，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為4．
故選：．
6．（2023 浙江模擬）已知，則的最小值為　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：因為，
所以由，
當且僅當時取等號，即時取等號，
故選：．
7．（2023春 鼓樓區校級期中）實數，滿足，，則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因為，
所以，，
所以，當且僅當時取等號．
故選：．
8．（2022秋 吉水縣校級期末）已知：，，，則下列說法正確的是　　
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
【解答】解：因為，，，所以有，當且僅當時取等號，因此正確，錯誤；
因為，，，
所以有，
當且僅當時取等號，即當且僅當時取等號，不正確，
當時，顯然有，不正確，
故選：．
二．多選題（共4小題）
9．（2022秋 上城區校級期末）下列說法正確的是　　
A．若，則
B．若，則恒成立
C．若正數，滿足，則有最小值
D．若實數，滿足，則沒有最大值
【解答】解：對于，時，，所以選項錯誤；
對于，時，，所以恒成立，選項正確；
對于，因為正數，滿足，且，當且僅當時取“”，
所以，解得，所以，所以有最小值，選項正確；
對于，因為，所以，，解得，，
所以，，，
所以，，有最大值，選項錯誤．
故選：．
10．（2022秋 聊城期末）下列說法正確的是　　
A．已知，則的最小值為3
B．當時，的最小值為4
C．已知，，，，則的取值范圍是，
D．已知，，，則的最小值為8
【解答】解：，則，當且僅當時取等號，正確；
當時，，，
在，上單調遞減，時取得最小值5，錯誤；
，，，當且僅當時取等號，
解得，正確；
，，，當且僅當且，即，時取等號，
解得，
則的最小值為8，正確．
故選：．
11．（2022秋 官渡區期末）已知，，且，則下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：項中，，為負數，不成立；
項中，，則，項正確；
項中，，則，當且僅當時取等號；
項中，，為負數，例如，，不成立；
故選：．
12．（2023 南京二模）若實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：對選項，故，正確；
對選項，正確；
對選項：取，，滿足，此時 不成立，錯誤；
對選項：取，，滿足，此時，錯誤．
故選：．
三．填空題（共4小題）
13．（2023 凱里市校級三模）正數，滿足，若不等式恒成立，則實數的取值范圍 　　．
【解答】解：因為不等式恒成立，所以，
由，，可得，
當且僅當且，即，時等號成立，
所以，解得．
所以的取值范圍為．
故答案為：．
14．（2023 黃浦區模擬）若關于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集為R，則的最小值為 　8　．
【解答】解：因為不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集為R，
則，
因為b＞1，所以b﹣1＞0，
所以＝．
當且僅當，即b＝3時，取到等號．
故答案為：8．
15．（2023 崇明區二模）已知正實數、滿足，則的最小值等于 　4　．
【解答】解：，當，即，時等號成立，
故的最小值為4．
故答案為：4．
16．（2022秋 成都期末）已知實數，滿足，則的最小值為 　　．
【解答】解：因為，時取等號，
則，得，
可得，
即得最小值為，
故答案為：．
四．解答題（共2小題）
17．（2022秋 定州市期中）已知正實數，滿足．求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值．
【解答】解：（1）因為，是正數，，
所以，
因為，，
所以，
當且僅當，時等號成立，
故的最小值為；
（2）由可得，即，
所以，，
又，因為，，
所以
當且僅當，時等號成立，故的最小值為25．
（3）由可得，所以，
所以，，
所以
當且僅當，時等號成立，
故的最小值為．
18．（2022秋 川匯區校級期末）（1）已知，求取得最大值時的值？
（2）已知，求的最大值？
（3）函數的最小值為多少？
【解答】解：（1）因為，
所以，
當且僅當，即時取等號；
（2）因為，
所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，此時的最大值1；
（3）因為，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，此時函數取得最小值．專題04 基本不等式
目錄
題型一： 直接利用基本不等式 3
題型二： 拼湊法 4
題型三： 常數代換 4
題型四： 變量分離 5
題型五： 消元法 6
題型六： 和積轉化 7
題型七： 換元法 7
題型八： 恒成立問題 8
題型九： 應用題 9
基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同號)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
算術平均數與幾何平均數
給定兩個正數a，b，數稱為a，b的算術平均數；數稱為a，b的幾何平均數．基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0.
(1)如果積xy是定值P，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值，是2(簡記：積定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值，是(簡記：和定積最大)．
【常用結論與注意點】
1.常用的幾個結論
(1)若x≠0，則≥2，當且僅當x＝±1時，等號成立．
(2)若ab≠0，則≥2，當且僅當a＝±b時，等號成立．
(3)若ab>0，x≠0，則≥2，當且僅當x＝±時，等號成立．
(4)若a>0，b>0，則≤≤≤，當且僅當a＝b時，等號成立．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2.利用基本不等式求最值的兩個常用結論
(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，則有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＋＝1，則有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
3.應用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯．
4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式．若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
直接利用基本不等式
【要點講解】利用基本不等式：≤進行求解
的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
函數的最小值為　　
A．10 B．15 C．20 D．25
已知，則的最小值為　　
A． B．2 C． D．4
拼湊法
【要點講解】拼湊法是將相關代數式進行適當變形,通過添項、拆項、變系數、湊因式等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼湊法的實質在于代數式的靈活變形,拼系數、湊常數是關鍵.
已知，那么函數的最小值是　　
A．5 B．6 C．4 D．8
若，則的最小值為　　
A．6 B．8 C．10 D．12
已知函數，　　
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值3 D．有最大值3
設實數滿足，函數的最小值為　　
A． B． C． D．6
已知，的最大值是 ．
常數代換
【要點講解】注常數代換法就是將已知條件中的等式右邊化為1,將所求式子乘以1,1再換成前面的等式即可,此法通常適合條件和所求的式子分別為整式和分式時,把所求的式子常構造成的形式.
已知實數，，，則的最小值為　　
A．100 B．300 C．800 D．400
已知，，且，則的最大值為　　
A． B． C． D．
若正數，滿足，則的最小值是　　
A．1 B． C．9 D．16
已知，，且，則的最小值為 ．
若正實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
若正數，滿足，則的最小值是 ．
正實數，滿足，則的最小值為 ．
已知正實數，滿足，則的最小值為 ．
變量分離
【要點講解】變量分離法就是把分式形式的函數分離出兩項的和且其積是定值的形式,然后用基本不等式求最值.通常適合函數的模型是或
若，，，則的最大值為　　
A． B． C． D．
已知，則的最小值為 ．
若，，，則的最小值為 ．
已知，，，則的最小值為　　
A． B．12 C． D．16
已知正實數，滿足，且，則的最小值為 ．
已知，，則的最小值為 ．
消元法
【要點講解】消元法就是將兩個變元消去一個代入所求式,然后利用分離常數法求最值
已知，，且，則的最小值為 ．
若，，，則的最小值為 ．
已知，，滿足，則的最小值是 ．
設，，若，則的最小值是 ．
和積轉化
【要點講解】和積轉化法僅適用于將已知等式中的和或積通過基本不等式轉化為所求式子中的和或積,然后解不等式以達到目的,此方法雖然沒湊出定值,但湊出所求式子是其根本思想
已知，，，則的最小值是　　
A．3 B．4 C． D．
若實數，滿足，則的最大值是 ．
若實數，滿足：，，，則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知，，，則的最小值為 ．
已知，，，則的最小值為 ．
已知正實數，滿足，則的最小值為 ，的最大值為 ．
換元法
【要點講解】換元法實質是把復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化、高次問題低次化
已知實數，滿足，則的最大值為　　
A． B． C． D．
已知，都是正數，則的最小值是 ．
設正實數，滿足，，則的最小值為 ．
已知實數，，，則的最小值是 ．
函數的最小值是 ．
恒成立問題
【要點講解】大于最大，小于最小
若不等式對恒成立，則實數的最大值為　　
A．7 B．8 C．9 D．10
已知，，若不等式恒成立，則的最大值為　　
A．9 B．12 C．16 D．10
已知，，若不等式恒成立，則正數的最小值是　　
A．2 B．4 C．6 D．8
若兩個正實數，滿足，且不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ．
已知，，且，若不等式恒成立，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
應用題
某城市有一直角梯形綠地，其中，，．現過邊界上的點處鋪設一條直的灌溉水管，將綠地分成面積相等的兩部分．
（1）如圖①，若為的中點，在邊界上，求灌溉水管的長度；
（2）如圖②，若在邊界上，求灌溉水管的最短長度．
如圖，某生態園將一三角形地塊的一角開辟為水果園種植桃樹，已知角為，，的長度均大于200米，現在邊界，處建圍墻，在處圍竹籬笆．
（1）若圍墻，總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊的面積最大？
（2）已知段圍墻高1米，段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？
一．選擇題（共8小題）
1．（2023 民勤縣校級開學）函數的最小值為　　
A．6 B．4 C．2 D．3
2．（2023春 高坪區校級期中）已知正數，滿足，則的最小值為　　
A． B．2 C． D．6
3．（2023 永定區校級開學）已知，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022秋 深圳校級期末）若，，且，則的最小值為　　
A． B． C． D．
5．（2022秋 濱州期末）已知，，且，則的最小值為　　
A．6 B．4 C．2 D．1
6．（2023 浙江模擬）已知，則的最小值為　　
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2023春 鼓樓區校級期中）實數，滿足，，則的最小值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022秋 吉水縣校級期末）已知：，，，則下列說法正確的是　　
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
二．多選題（共4小題）
9．（2022秋 上城區校級期末）下列說法正確的是　　
A．若，則
B．若，則恒成立
C．若正數，滿足，則有最小值
D．若實數，滿足，則沒有最大值
10．（2022秋 聊城期末）下列說法正確的是　　
A．已知，則的最小值為3
B．當時，的最小值為4
C．已知，，，，則的取值范圍是，
D．已知，，，則的最小值為8
11．（2022秋 官渡區期末）已知，，且，則下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
12．（2023 南京二模）若實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
三．填空題（共4小題）
13．（2023 凱里市校級三模）正數，滿足，若不等式恒成立，則實數的取值范圍 　　．
14．（2023 黃浦區模擬）若關于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集為R，則的最小值為 　 　．
15．（2023 崇明區二模）已知正實數、滿足，則的最小值等于 　　．
16．（2022秋 成都期末）已知實數，滿足，則的最小值為 　　．
四．解答題（共2小題）
17．（2022秋 定州市期中）已知正實數，滿足．求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值．
18．（2022秋 川匯區校級期末）（1）已知，求取得最大值時的值？
（2）已知，求的最大值？
（3）函數的最小值為多少？專題05 二次函數與一元二次方程、不等式
目錄
題型一： 分式不等式求解 3
題型二： 一元二次不等式求解 4
題型三： 含參一元二次不等式求解 5
題型四： 求一元二次不等式相關系數 9
題型五： 恒成立問題 11
一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．
三個“二次”間的關系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1注意
當Δ<0時，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是 ，要注意區別.
分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.簡單的絕對值不等式
絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集為(－a，a)．記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間．
【常用結論與注意點】
1.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)時不要忘記當a＝0時的情形．
2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視對系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論．
3.求解分式不等式時注意正確進行同解變形，不能把≤0直接轉化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.
分式不等式求解
【要點講解】
且
求不等式的解集：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由，可得，
解得或，
所以不等式的解集為或；
（2）由，可得，
等價于，解得，
所以不等式的解集為．
解下列不等式
．
【解答】解：，解得或，
，解得或，
故原不等式的解集為或．
求下列不等式的解集：
．
【解答】解：不等式化為，即，解得，所以不等式的解集為．
解下列不等式．
．
【解答】解：．即，
且，解得或，
故原不等式的解集為或．
一元二次不等式求解
【要點講解】求解一元二次不等式的解集問題，需要借助一元 二次方程的根的判別式、韋達定理求出實數解，再結合一元二次函數的圖象求得不等式的解集.
解關于的不等式．
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由可得，，
或，
故不等式的解集為或；
（2）由可得，，
，
故不等式的解集為；
（3）令得，或，
，
故不等式的解集為．
求下列不等式的解集
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）原不等式可變為：．
方程的兩個實根分別是，．
故原不等式的解集為；
（2）方程兩個實根分別是．
故原不等式的解集為；
（3）對于方程，因為△，
所以方程沒有實數根．
故原不等式的解集為．
求下列不等式的解集：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原不等式化為，即，所以，
原不等式解集為．
（2）原不等式化為，又△，
所以原不等式無解，解集為．
含參一元二次不等式求解
【要點講解】步驟一：考慮不等式是否為一元二次不等式
步驟二：考慮二次函數開口
步驟三：考慮對應方程是否有根？
步驟四：比較根的大小關系
已知，解關于的不等式．
【解答】解：當時，不等式的解為；
當時，分解因式
當時，原不等式整理得：，即，
不等式的解為或；
當時，，不等式的解為；
當時，，不等式的解為；
當時，不等式的解為．
若，解關于的不等式．
【解答】解：當時，．（2分）
當時，．
當時，，解得．（4分）
當時，．
當時，．（6分）
當時，，或．
當時，，或．（8分）
當時，解集是；當時，解集是；當時，解
集是；當時，解集是．（10分）
解關于的不等式．
【解答】解：關于的不等式等價于；
當時，不等式化為，解得解集為；
當時，不等式等價于，
解得不等式的解集為，，；
當時，不等式等價于，
若，則，解得不等式的解集為，；
若，則，不等式化為，此時不等式的解集為；
若，則，解得不等式的解集為．
綜上，時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為，，；
時，不等式的解集為，；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為．
解下列關于的不等式．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）當時，不等式可化為：．
所以方程的兩個根為和2．
當時，，所以不等式的解集為．
當時，，不等式的解集為．
當時，不等式，不等式的解集為．
綜上知，當時，不等式的解集為．
當時，不等式的解集為．
當時，不等式的解集為．
（2）不等式中，計算△，
令△，解得，
當時，不等式化為，解得；
當時，不等式化為，解得；
當或時，△，不等式對應的方程有兩個不等的實數根，，且，
解不等式得，或；
當時，△，不等式對應的方程沒有實數根，不等式的解集為．
綜上知，時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當或時，不等式的解集為，或；
當時，不等式的解集為．
關于的不等式
（1）已知不等式的解集為，，，求的值；
（2）解關于的不等式．
【解答】解：（1）關于的不等式可變形為
，
且該不等式的解集為，，，
；
又不等式對應方程的兩個實數根為和2；
，解得；
（2）①時，不等式可化為，它的解集為；
②時，不等式可化為，
當時，原不等式化為，
它對應的方程的兩個實數根為和，且，
不等式的解集為或；
當時，不等式化為，
不等式對應方程的兩個實數根為和，
在時，，
不等式的解集為；
在時，，不等式的解集為；
在時，，不等式的解集為．
綜上，時，不等式的解集為，
時，不等式的解集為或，
時，不等式的解集為，
時，不等式的解集為，
時，不等式的解集為．
求一元二次不等式相關系數
【要點講解】我們首先需結合不等式解集的端點值 和韋達定理，求得不等式的系數，然后將的值代入所求的不等式，解該不等式即可得出結果.
二次不等式的解集為，則的值為　　
A． B．5 C． D．6
【解答】解：不等式的解集為，
，
原不等式等價于，
由韋達定理知，，
，，
．
故選：．
關于的不等式，解集為，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意知，，是方程的兩根，可得，解得；
所以不等式為，即，
解得，
所以不等式的解集為，．
故選：．
已知一元二次不等式，，的解集為，則的最大值為　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：一元二次不等式，，的解集為，
所以，
解得，，
所以，
當且僅當，即時取“”，
所以的最大值為．
故選：．
已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為　　
A．4 B． C．2 D．1
【解答】解：因為關于的不等式的解集為，
則，是方程的兩根，且，
則，解得，所以，
則，當且僅當時取得最小值為2，
故選：．
恒成立問題
【要點講解】在解答含參一元二次不等式恒成立問題時，結合 一元二次函數的圖象來分析不等式成立的情況，能有效地提升解題的效率.
若恒成立，則實數的取值范圍是　，　．
【解答】解：當時，恒成立，符合題意；
當時，恒成立，則，解得：．
綜上所述，，即實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：關于的不等式的解集為，
則△，
解得，
所以“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是“”．
故選：．
對于任意實數，不等式恒成立，則實數取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：，即時，，恒成立；
時，，解得，
故選：．
若關于的不等式對一切實數恒成立，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：對一切實數恒成立，
△，
解得：，
故答案為：．
設．
（1）若不等式對于一切實數恒成立，求實數的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
【解答】解：（1）對于一切實數恒成立等價于對于一切實數恒成立，
當時，不等式可化為，不滿足題意；
當時，即，
解得：；
（2）不等式等價于
當時，不等式可化為，所以不等式的解集為；
當時，不等式可化為，此時，
所以不等式的解集為；
當時，不等式可化為，
①當時，，不等式的解集為；
②當時，，不等式的解集為或；
③當時，，不等式的解集為或．
設函數．
（1）若對于一切實數，恒成立，求的取值范圍；
（2）對于，，恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）要使恒成立，
若，顯然；
若，則有．
．
（2）當時，顯然恒成立；當時，該函數的對稱軸是，在，上是單調函數．
當時，由于（1），要使在，上恒成立，只要（3）即可．
即得，即；
當時，若△，由（1）知顯然成立，此時；若△，則，
由于函數在，上恒成立，只要（1）即可，此時（1）顯然成立，綜上可知：．
一．選擇題（共8小題）
1．（2022秋 臨渭區期末）不等式的解集是　　
A．或 B．
C． D．
【解答】解：，或，
則不等式的解集是或．
故選：．
2．（2023 射洪市模擬）“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：關于的不等式的解集為，
則△，
解得，
所以“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是“”．
故選：．
3．（2022秋 朝陽區校級期中）若函數在區間，上是減函數，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由二次函數性質知：對稱軸為，
，解得：．
故選：．
4．（2022秋 雨花區期末）已知不等式解集為，下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于不等式解集為，
所以；
故和2為的兩根；
所以，整理得：，故；
由于，所以；
故，整理得，所以；故、、錯誤．
所以當時，，故正確；
故選：．
5．（2022 杭州模擬）拋物線的圖象如圖所示，則一次函數與反比例函數在同一平面直角坐標系內的圖象大致為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根據二次函數圖象可得：，，，
當，時，則一次函數圖象上升，且經過第一、三、四象限，
當時，則反比例函數經過第二、四象限，
符合條件只有選項．
故選：．
6．（2022 杭州模擬）若函數在區間內恰有一個零點，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：當時，，此時只有一個零點，零點為，不符合要求；
當時，函數為二次函數，，利用零點存在性定理和二次函數的圖象性質得（1），解得．
故選：．
7．（2023 河南模擬）已知集合，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：集合，或，
，
所以，所以正確；不正確；
或，所以、不正確；
故選：．
8．（2022秋 阜南縣校級月考）不等式的解集為　　
A．，， B．，，
C． D．，
【解答】解：不等式化為，，
故選：．
二．多選題（共4小題）
9．（2022 杭州模擬）已知關于的不等式的解集為，且，若，是方程的兩個不等實根，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因為關于的不等式的解集為，所以，故錯誤；
因為將二次函數的圖像上的所有點向上平移1個單位長度，得到二次函數的圖像，
所以，即，正確；
如圖，
又，所以，正確；
當，時，，，
所以，錯誤．
故選：．
10．（2022秋 金安區校級期末）已知關于的不等式的解集為，，，則　　
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為，
【解答】解：關于的不等式的解集為，，，
，
即，；
故選項錯誤；
不等式可化為，
故不等式的解集為，
故選項正確；
，
故選項正確；
，
，
即，
的解集為，
故選項錯誤；
故選：．
11．（2022秋 李滄區校級期中）已知關于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是　　
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
【解答】解：因為不等式的解集是或，
所以和是方程的根且，錯誤；
所以，，
所以，，
不等式可化為，解得，正確；
不等式可化為，即，
解得，正確；
根據二次函數的性質可知，當時，，正確．
故選：．
12．（2022秋 臺江區校級期末）對于給定實數，關于的一元二次不等式的解集可能是　　
A． B． C． D．
【解答】解：關于的一元二次方程的兩根為，，
當時，，故不等式的解集為，
當時，
②若，則，不等式解集為，
②若，則，不等式的解集為，，，
③若，則，不等式的解集為，，，
故選：．
三．填空題（共4小題）
13．（2022秋 崇明區期末）已知函數在區間，上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：，對稱軸為，
函數在，上是嚴格減函數，
，
故實數的取值范圍為，．
故答案為：，．
14．（2022秋 楊浦區校級期中）設為常數，關于的不等式的解集中有且僅有兩個整數解，則實數的取值范圍為 　　．
【解答】解：，
，則，解得，
又，
解集中有且僅有兩個整數解為1，2，
，解得，
故實數的取值范圍為，
故答案為：．
15．（2022秋 青浦區校級月考）函數在區間，上的最大值為3，最小值為2，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：因為的開口向上，對稱軸，
又因為，，
若函數在區間，上的最大值為3，最小值為2，
則．
故答案為：，．
16．（2022春 五華區校級月考）若點在直線的左上方，則的取值范圍是 　　．
【解答】解：由點在直線的左上方得：，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
四．解答題（共2小題）
17．（2022秋 城關區校級期末）已知為二次函數，且滿足：對稱軸為，（2），（3）．
（1）求函數的解析式，并求圖象的頂點坐標；
（2）在給出的平面直角坐標系中畫出的圖象，并寫出函數的單調區間．
【解答】解：（1）設函數為，
所以解得，
所以，
所以（1），所以頂點坐標為．
（2）圖象如圖所示，
函數的增區間為：，，，，函數的減區間為：，，，．
18．（2022秋 咸陽期末）設函數，．
（1）當時，求關于的不等式的解集；
（2）若關于的不等式的解集為，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，，即，
即，解得或，
所以當時，不等式的解集為或．
（2）當時，的解集為，滿足題意；
當時，由，解得，
綜上，實數的取值范圍是，．專題05 二次函數與一元二次方程、不等式
目錄
題型一： 分式不等式求解 3
題型二： 一元二次不等式求解 4
題型三： 含參一元二次不等式求解 5
題型四： 求一元二次不等式相關系數 7
題型五： 恒成立問題 7
一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．
三個“二次”間的關系
判別式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個不相等的實數根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1注意
當Δ<0時，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是 ，要注意區別.
分式不等式與整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.簡單的絕對值不等式
絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集為(－a，a)．記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間．
【常用結論與注意點】
1.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)時不要忘記當a＝0時的情形．
2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視對系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論．
3.求解分式不等式時注意正確進行同解變形，不能把≤0直接轉化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.
分式不等式求解
【要點講解】
且
求不等式的解集：
（1）；
（2）．
解下列不等式
．
求下列不等式的解集：
．
解下列不等式．
．
一元二次不等式求解
【要點講解】求解一元二次不等式的解集問題，需要借助一元 二次方程的根的判別式、韋達定理求出實數解，再結合一元二次函數的圖象求得不等式的解集.
解關于的不等式．
（1）；
（2）；
（3）．
求下列不等式的解集
（1）；
（2）；
（3）．
求下列不等式的解集：
（1）
（2）
含參一元二次不等式求解
【要點講解】步驟一：考慮不等式是否為一元二次不等式
步驟二：考慮二次函數開口
步驟三：考慮對應方程是否有根？
步驟四：比較根的大小關系
已知，解關于的不等式．
若，解關于的不等式．
解關于的不等式．
解下列關于的不等式．
（1）；
（2）．
關于的不等式
（1）已知不等式的解集為，，，求的值；
（2）解關于的不等式．
求一元二次不等式相關系數
【要點講解】我們首先需結合不等式解集的端點值 和韋達定理，求得不等式的系數，然后將的值代入所求的不等式，解該不等式即可得出結果.
二次不等式的解集為，則的值為　　
A． B．5 C． D．6
關于的不等式，解集為，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
已知一元二次不等式，，的解集為，則的最大值為　　
A． B． C．1 D．2
已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為　　
A．4 B． C．2 D．1
恒成立問題
【要點講解】在解答含參一元二次不等式恒成立問題時，結合 一元二次函數的圖象來分析不等式成立的情況，能有效地提升解題的效率.
若恒成立，則實數的取值范圍是　 ．
“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
對于任意實數，不等式恒成立，則實數取值范圍是　　
A． B．， C． D．，
若關于的不等式對一切實數恒成立，則實數的取值范圍是 　 　．
設．
（1）若不等式對于一切實數恒成立，求實數的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
設函數．
（1）若對于一切實數，恒成立，求的取值范圍；
（2）對于，，恒成立，求的取值范圍．
一．選擇題（共8小題）
1．（2022秋 臨渭區期末）不等式的解集是　　
A．或 B．
C． D．
2．（2023 射洪市模擬）“關于的不等式的解集為”的一個必要不充分條件是　　
A． B． C． D．
3．（2022秋 朝陽區校級期中）若函數在區間，上是減函數，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
4．（2022秋 雨花區期末）已知不等式解集為，下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
5．（2022 杭州模擬）拋物線的圖象如圖所示，則一次函數與反比例函數在同一平面直角坐標系內的圖象大致為　　
A． B．
C． D．
6．（2022 杭州模擬）若函數在區間內恰有一個零點，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
7．（2023 河南模擬）已知集合，，則　　
A． B． C． D．
8．（2022秋 阜南縣校級月考）不等式的解集為　　
A．，， B．，，
C． D．，
二．多選題（共4小題）
9．（2022 杭州模擬）已知關于的不等式的解集為，且，若，是方程的兩個不等實根，則　　
A． B．
C． D．
10．（2022秋 金安區校級期末）已知關于的不等式的解集為，，，則　　
A．
B．不等式的解集為
C．
D．不等式的解集為，
11．（2022秋 李滄區校級期中）已知關于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是　　
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
12．（2022秋 臺江區校級期末）對于給定實數，關于的一元二次不等式的解集可能是　　
A． B． C． D．
三．填空題（共4小題）
13．（2022秋 崇明區期末）已知函數在區間，上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是 　　．
14．（2022秋 楊浦區校級期中）設為常數，關于的不等式的解集中有且僅有兩個整數解，則實數的取值范圍為 　　．
15．（2022秋 青浦區校級月考）函數在區間，上的最大值為3，最小值為2，則實數的取值范圍是 　　．
16．（2022春 五華區校級月考）若點在直線的左上方，則的取值范圍是 　　．
四．解答題（共2小題）
17．（2022秋 城關區校級期末）已知為二次函數，且滿足：對稱軸為，（2），（3）．
（1）求函數的解析式，并求圖象的頂點坐標；
（2）在給出的平面直角坐標系中畫出的圖象，并寫出函數的單調區間．
18．（2022秋 咸陽期末）設函數，．
（1）當時，求關于的不等式的解集；
（2）若關于的不等式的解集為，求實數的取值范圍．

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