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重難點突破01 求函數中值域、最值常用方法
函數的值域、最值是函數的重要性質,求函數的值域常用的方法有函數單調性法、圖像法、換元法、分離常數法、判別式法和基本不等式法等
一．選擇題（共28小題）
1．函數在區間，上的最大值是　　
A． B．（4） C．（1） D．（9）
【解答】解：，
設，
，，
則函數等價為，
則當時，函數取得最大值，，
此時，即（4），
故選：．
2．若函數的定義域為，，則的值域為　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因為的定義域為，，
所以的定義域為，，
令，
因為，，
所以，，
所以，
所以函數的值域即為，，的值域，
由二次函數的性質可知在，上單調遞增，
所以，．
故選：．
3．已知函數，，，用表示，中的較小者，記為，，則的最大值為　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：令，即，解得，
所以，
當時，由在定義域內單調遞減可得，
當時，由二次函數的性質可得，
綜上，函數的最大值為，
故選：．
4．函數且的值域是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：由題意得，2，
故的值域為，．
故選：．
5．函數，，的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據題意，，，，
設，則，
則，為二次函數，開口向上且對稱軸為，
在，上為增函數，則，
故選：．
6．函數在，上的圖象如圖所示．則此函數的最大值、最小值分別為　　
A．3，0 B．3，1 C．3，無最小值 D．3，
【解答】解：由函數圖象可知，當時，函數有最大值，最大值為3，無最小值，
故選：．
7．已知函數，則函數的最小值為　　
A．0.4 B． C．2 D．
【解答】解：因為，
易知在，上單調遞增，
所以．
故選：．
8．已知，且滿足，則的最小值為　　
A．4 B．8 C． D．10
【解答】解：，且滿足，
則，且，
故，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為．
故選：．
9．若正數，滿足，則的最小值為　　
A．4 B．1 C．5 D．2
【解答】解：，
，即，
則，當且僅當即時，等號成立．
故選：．
10．已知函數的定義域為，則的最大值為　　
A．5 B． C．1 D．
【解答】解：，令，，
，當且僅當，即時取得．
（1）．
故選：．
11．已知函數是定義在，上的奇函數，且當，時，，則的最小值是　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：根據題意，當，時，，變形可得，則有，，
又由是，上的奇函數，
則，
故的值域，，，
故的最小值是．
故選：．
12．已知函數在，上的值域為，，則實數的值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：①當時，函數在，上為增函數，
則，
即；
②當時，函數在，上為減函數，
則，
此方程無解，
綜合①②可得，
故選：．
13．函數的值域為　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：，
，
原函數的值域為，．
故選：．
14．已知，，，則的最小值是　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：，，，
，當且僅當即時取等號，
的最小值為．
故選：．
15．設函數的定義域、值域分別為集合，，為實數集，則集合是　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：根據條件可得，；
則，，所以，，
故選：．
16．已知函數在，上的最大值和最小值分別為，，則　　
A． B． C．0 D．2
【解答】解：，則，
令，定義域為，，
則，故為奇函數，
所以，
即，故．
故選：．
17．函數在，上的最大值是　　
A． B．8 C．5 D．6
【解答】解：因為，
所以，
令，
則，
則有，
因為，，
所以，，
由二次函數的性質可知在，上的最大值為：6．
故選：．
18．給定函數，，，用表示，中最小者，記為，，則函數的最大值為　　
A． B． C． D．2
【解答】解：由雙勾函數的性質可知：在上單調遞增，在上單調遞減；
在上單調遞增，
令，解得，
令，
所以的零點為，
當時，，即；當時，，即；
所以，
所以．
故選：．
19．設函數，，若，則函數的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：當時，即，解得或．
又，作出的圖象如圖：
的最大值為．
故選：．
20．的最小值為　　
A．3 B． C．4 D．2
【解答】解：令，
則，
在，上是增函數，
故，
故選：．
21．用，表示，兩個數中的較小者，已知函數，，，，則的最值是　　
A．最大值為3，最小值為 B．最大值為3，最小值為1
C．最大值為，無最小值 D．最大值為，無最小值
【解答】解：，
由，與
得交點坐標為，，，，
如圖所示：由圖象，可知最大值為，無最小值，
故選：．
22．若對，，有，則函數在，上的最大值與最小值的和為　　
A．4 B．6 C．9 D．12
【解答】解：令，，
令則，，
令則，，
；
為奇函數，則其在對稱區間，上的最大值和最小值的和為0，
又，故在，上的最大值和最小值的和為6．
故選：．
23．若關于的函數的最大值為，最小值為，且，則實數的值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因為，
令，，
則，
所以為奇函數，
所以，
所以，，
所以，
解得．
故選：．
24．已知函數的定義域為，且滿足，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．
【解答】解：由，取，
則，
聯立解得，．
，當且僅當，即時等號成立．
的最小值為．
故選：．
25．已知函數，若，則的最小值為　　
A．4 B． C． D．5
【解答】解：易知函數在和上分別單調遞減，
且，則，，，
若，不妨設，且，則，
同樣，則，
由，得，于是得，
則，
當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．
故選：．
26．當時，函數的最大值為　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：由題意，，
則，
令，則，
則當時，，單調遞增，當，時，，單調遞減，
，得函數的最大值為．
故選：．
27．代數式的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以問題轉化為直線上的點到點的距離與到點的距離之和的最小值，
又因為點，點均位于直線的同側，
點關于直線的對稱點為，
所以當，，三點共線時，，
即，
即的最小值為．
故選：．
28．若函數，則下列說法錯誤的是　　
A．當時，在上單減
B．若在上單增，則的取值范圍為，
C．若的定義域為，則的取值范圍為，
D．若的值域為，則的取值范圍為，
【解答】解：當時，，由，得，則在上單減，
而，，，則在上單減，故正確；
若在上單增，則在上單增且大于0恒成立，
則，解得，則的取值范圍為，，故錯誤；
若的定義域為，則對任意恒成立，則，解得，
的取值范圍為，，故正確；
若的值域為，則取到大于0的所有實數，則或，即，
的取值范圍為，，故正確．
故選：．
二．多選題（共3小題）
29．定義一種運算．設，為常數），且，，則使函數最大值為4的值可以是　　
A． B．6 C．4 D．
【解答】解：在，上的最大值為4，
所以由，解得或，
所以要使函數最大值為4，則根據定義可知，
當時，即時，，此時解得，
當時，即時，，此時解得，
故或4，
故選：．
30．已知，，，則　　
A．無最小值 B．最小值 C．無最大值 D．最大值為
【解答】解：在同一坐標系中先畫出與的圖象，
然后根據定義畫出，如圖所示：
由圖象可得有最大值，無最小值，
當時，由，解得（舍或，
此時的最大值為，無最小值．
故選：．
31．已知函數，，則　　
A．（2）
B．（1）
C．當時，的最小值為2
D．當時，的最小值為1
【解答】解：（2），（2）（1），正確，
（1），（1）（2），正確，
：當時，，
設，則在上單調遞減，
（1），錯誤，
：當時，，
當且僅當，即時取等號，
設，，，
則，正確．
故選：．
三．填空題（共7小題）
32．函數的最小值是 　　．
【解答】解：．
當且僅當，即，時等號成立．
函數的最小值是．
故答案為：．
33．若函數的定義域為，，則該函數的值域是 　，　．
【解答】解：因為，
所以，，
故，．
故答案為：，．
34．已知二次函數，為常數）滿足，且方程有兩等根，在，上的最大值為，則的最大值為 　1　．
【解答】解：已知方程有兩等根，即有兩等根，
△，解得，
，得，
是函數圖象的對稱軸，
而此函數圖象的對稱軸是直線，，
故，
若在，上的最大值為，
當時，在，上是增函數，
，
當時，在，上是增函數，在，上是減函數，
（1），
綜上，的最大值為1．
故答案為：1．
35．已知函數，若，則的值域是 　，　；若的值域是，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：當時，，
當時，，
當時，，根據二次函數的性質可知，，
，的值域是，．
若的值域是，則，解得，．
故答案為：，；，．
36．函數，，的最小值為 　　．
【解答】解：函數，，，，所以函數是奇函數，
當，時，，當且僅當時取等號，所以，時，函數的最大值為2．
所以函數，，的最小值為：．
故答案為：．
37．設函數的定義域為，，值域為，，則區間，長度的最小值　　．
【解答】解：根據題意知，函數在，上的值域為，時，最小；
時，，時，；
，；
即的最小值為，
故答案為：．
38．已知，設函數的表達式為．若存在，，，，使得，則實數的最大值為 　　．
【解答】解：因為存在，，，，使得，
所以只需．
由對勾函數的性質可知：在，上單減，在，上單增．
而（1），，且在，上的最小值為，在，上的最大值為（1），所以恒成立．
所以（1）．
設，解得：．
因為（1）（3），，
所以要使成立，只需，即解得：．
由，所以．
故實數的最大值為．
故答案為：．重難點突破01 求函數中值域、最值常用方法
函數的值域、最值是函數的重要性質,求函數的值域常用的方法有函數單調性法、圖像法、換元法、分離常數法、判別式法和基本不等式法等
一．選擇題（共28小題）
1．函數在區間，上的最大值是　　
A． B．（4） C．（1） D．（9）
2．若函數的定義域為，，則的值域為　　
A．， B．， C．， D．，
3．已知函數，，，用表示，中的較小者，記為，，則的最大值為　　
A． B．1 C． D．
4．函數且的值域是　　
A． B． C．， D．，
5．函數，，的最大值為　　
A． B． C． D．
6．函數在，上的圖象如圖所示．則此函數的最大值、最小值分別為　　
A．3，0 B．3，1 C．3，無最小值 D．3，
7．已知函數，則函數的最小值為　　
A．0.4 B． C．2 D．
8．已知，且滿足，則的最小值為　　
A．4 B．8 C． D．10
9．若正數，滿足，則的最小值為　　
A．4 B．1 C．5 D．2
10．已知函數的定義域為，則的最大值為　　
A．5 B． C．1 D．
11．已知函數是定義在，上的奇函數，且當，時，，則的最小值是　　
A． B． C．1 D．2
12．已知函數在，上的值域為，，則實數的值是　　
A． B． C． D．
13．函數的值域為　　
A．， B． C．， D．，
14．已知，，，則的最小值是　　
A． B．1 C． D．
15．設函數的定義域、值域分別為集合，，為實數集，則集合是　　
A． B．， C．， D．，
16．已知函數在，上的最大值和最小值分別為，，則　　
A． B． C．0 D．2
17．函數在，上的最大值是　　
A． B．8 C．5 D．6
18．給定函數，，，用表示，中最小者，記為，，則函數的最大值為　　
A． B． C． D．2
19．設函數，，若，則函數的最大值為　　
A． B． C． D．
20．的最小值為　　
A．3 B． C．4 D．2
21．用，表示，兩個數中的較小者，已知函數，，，，則的最值是　　
A．最大值為3，最小值為 B．最大值為3，最小值為1
C．最大值為，無最小值 D．最大值為，無最小值
22．若對，，有，則函數在，上的最大值與最小值的和為　　
A．4 B．6 C．9 D．12
23．若關于的函數的最大值為，最小值為，且，則實數的值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
24．已知函數的定義域為，且滿足，則的最小值為　　
A．2 B．3 C．4 D．
25．已知函數，若，則的最小值為　　
A．4 B． C． D．5
26．當時，函數的最大值為　　
A． B． C．0 D．1
27．代數式的最小值為　　
A． B． C． D．
28．若函數，則下列說法錯誤的是　　
A．當時，在上單減
B．若在上單增，則的取值范圍為，
C．若的定義域為，則的取值范圍為，
D．若的值域為，則的取值范圍為，
二．多選題（共3小題）
29．定義一種運算．設，為常數），且，，則使函數最大值為4的值可以是　　
A． B．6 C．4 D．
30．已知，，，則　　
A．無最小值 B．最小值 C．無最大值 D．最大值為
31．已知函數，，則　　
A．（2）
B．（1）
C．當時，的最小值為2
D．當時，的最小值為1
三．填空題（共7小題）
32．函數的最小值是 ．
33．若函數的定義域為，，則該函數的值域是 ．
34．已知二次函數，為常數）滿足，且方程有兩等根，在，上的最大值為，則的最大值為 ．
35．已知函數，若，則的值域是 ；若的值域是，則實數的取值范圍是 ．
36．函數，，的最小值為 ．
37．設函數的定義域為，，值域為，，則區間，長度的最小值 ．
38．已知，設函數的表達式為．若存在，，，，使得，則實數的最大值為 ．重難點突破02 函數性質綜合
若f(x)≠0，則奇(偶)函數定義的等價形式如下：
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)為偶函數；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)為奇函數．
函數奇偶性常用結論
(1)如果函數f(x)是奇函數且在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0.如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定義域內有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)．
對稱性的三個常用結論
(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(3)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱．
一．選擇題（共16小題）
1．已知函數，則　　
A．為奇函數，且在是增函數
B．為偶函數，且在是增函數
C．為奇函數，且在是減函數
D．為偶函數，且在是減函數
【解答】解：函數的定義域為，且，所以為奇函數，
因為在是增函數，在是減函數，
所以在是增函數，
故選：．
2．設是定義在上的偶函數，且在，單調遞增，則（4）的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于是偶函數，且在，單調遞增，
則（4），有，解得，即不等式的解集為．
故選：．
3．定義在上的偶函數滿足：對任意的，，，有，則　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
【解答】解：因為對任意的，，，有，
所以在，上單調遞減，又為偶函數，
所以在上單調遞增，則（2）（3）（4），
又（2），所以（3）（4）．
故選：．
4．已知是定義在上的偶函數且在，上為減函數，若，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為是偶函數，所以，
由，由指數函數的性質知，函數 在上單調遞減，
且，所以，所以，
因為在，上為減函數，所以，
即．
故選：．
5．已知函數為偶函數，且在上單調遞增，則的解集為　　
A．，， B．，，
C． D．，，
【解答】解：函數為偶函數，且有（1），
，，
函數，
又在上單調遞增，，
拋物線的開口向上，則的解集為．
故選：．
6．已知為上的奇函數，為上的偶函數，且當，時，，若，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由為奇函數，得，即，
又由為偶函數，得，即，
于是，即，因此的周期為8，
又當，時，，則在，上單調遞增，
由，得的圖象關于點成中心對稱，則函數在，上單調遞增，
因此函數在，上單調遞增，由，得的圖象關于直線對稱，
（3）（1），，，
，顯然，即有，即，
所以，，的大小關系為．
故選：．
7．已知函數是定義在上的奇函數，它的圖象是一條連續不斷的曲線．若，，且，，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：設，
函數是定義在上的奇函數，函數是定義在上的偶函數，
，，且，，即，
在，上單調遞增，
又為偶函數，在，上單調遞減，
不等式，可化為，即，
，
①當時，，即，無解，
②當時，，即，
解得，
綜上所述，原不等式的解集為，．
故選：．
8．關于函數有下述四個結論：
①是偶函數；
②在區間上單調遞增；
③在，上有4個零點；
④的值域是，．
其中所有正確結論的編號是　　
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
【解答】解：對于①，，
故是偶函數，故①正確，
對于②，當時，，
令，，則，
因為在上單調遞增，而函數在單調遞增，
由復合函數的單調性可知在區間上單調遞增，故②正確；
對于③，當，時，由，
即或，
得，或，或，由①知是偶函數，
故當，時，得，或，或，
所以在，有6個零點，③錯誤；
對于④，當，時，，
因為，所以當時，，
當時，，
此時，又是偶函數，
故值域為，④錯誤；
故選：．
9．已知函數是定義在上的偶函數，若對任意的，，，且，都有成立，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設函數，
對任意的，，，且，都有成立，
對任意的，，，且，都有成立，
在，上單調遞減，
又函數是定義在上的偶函數，
函數是定義在上的奇函數，
在上單調遞減，
不等式，可化為，
即，
即，
在上單調遞減，
，
解得，
即原不等式的解集為．
故選：．
10．已知函數是定義在上的偶函數，若，，，且，都有成立，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：令，由題意知在，上為減函數，
又為上的偶函數，所以為上的奇函數，
又在，上為減函數，，
所以在上為減函數，
①當時，，即，
所以，所以，解得；
②當時，，即，
所以，所以，解得．所以或．
故選：．
11．已知函數，則不等式的解集為　　
A．，， B．
C．，， D．
【解答】解：對于函數，令，解得或，
所以函數的定義域為，，，
又，所以為偶函數，
當時，則在上單調遞增，
令，，所以，
所以在上單調遞增，
則在上單調遞增，從而得到在上單調遞減，
則不等式等價于，解得或，
所以不等式的解集為，，．
故選：．
12．定義在上的偶函數滿足，且在區間，上單調遞增，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因為，
所以的圖象關于對稱，且，
又因為為偶函數，
所以，
所以，
所以的周期為4，
所以（6）（2），
又因為在區間，上單調遞增，
所以在區間，上單調遞減，
又因為，
所以，
因為，，
因為，，
所以，
所以，
又因為在區間，上單調遞減，
，
所以（2），
即（6），
故選：．
13．已知定義在，，上的奇函數，對任意的，，，滿足，且（1），則的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：構建，則，
故在定義域內為偶函數，
任意的，，，滿足，則在上單調遞增，
故在上單調遞減，
對于不等式，則有：
當時，可得，即，
在上單調遞增，且（1）（1），
的解集為；
當時，可得，即，
在上單調遞減，且（1）（1），
的解集為；
綜上所述：不等式的解集為，，．
故選：．
14．設定義在上的奇函數滿足，對任意，，且，都有，且（3），則不等式的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：設，且，，
由題意，
可得函數在單調性遞減，
（3），可得（3），
那么不等式，即求的解集，
是上的奇函數，
，
，
當時，，
可得成立；
當時，，
可得成立；
綜上可得不等式的解集為，，．
故選：．
15．已知函數是定義域為，，的奇函數，且，若對任意的，，且，都有成立，則不等式的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：設，則不等式等價為，
即當時，為減函數，
是奇函數，是偶函數，且（2），
作出的圖象如圖：，當時，，即，
當時，，即，
綜上的取值范圍是，，，
故選：．
16．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則不等式在上的解集為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
函數關于對稱，
又函數為奇函數，故關于原點中心對稱，即，
，則，
函數是周期為2的函數，
令，
，
當時，，
當時，，
函數在，上為增函數，
當時，，即，
又由時，，
當時，，即，
由對稱性及周期性作函數的示意圖及函數的圖象如下，
由圖象可知，不等式在上的解集為．
故選：．
二．多選題（共3小題）
17．若定義在上的函數滿足：對任意的，，都有，且當時，，則　　
A． B．是奇函數
C．是偶函數 D．在上是減函數
【解答】解：因為定義在上的函數滿足：對任意的，，都有，
所以，即，正確；
令，
則，
所以，即為奇函數，正確，錯誤；
設，則，
當時，，
所以，
所以，即在上單調遞減，正確．
故選：．
18．下列說法不正確的是　　
A．函數的最小值為2
B．已知，，，則
C．函數在定義域上是減函數
D．若定義在上的函數為增函數，且，則實數的取值范圍為
【解答】解：對于，，
令，則，由對勾函數的性質可知，在，上單調遞增，
故，即的最小值不是2，故錯誤；
對于，，，，
，，，
，即（當且僅當時取等號），故正確；
對于，當時，，當時，（1），（1），
函數在定義域上不是減函數，故錯誤；
對于，在上為增函數，且，
，解得，
實數的取值范圍為，故錯誤；
故選：．
19．若定義域為的函數滿足為奇函數，且對任意，，，都有，則下列正確的是　　
A．的圖像關于點對稱
B．在上是增函數
C．
D．關于的不等式的解集為
【解答】解：因為定義域為的函數滿足為奇函數，
所以函數關于對稱，錯誤；
因為對任意，，，都有，
所以在，上單調遞增，
根據函數的對稱性可知在上單調遞增，正確；
由關于對稱可知，錯誤；
因為為奇函數且定義域為，所以（2），
由可得，正確．
故選：．
三．填空題（共13小題）
20．已知函數，則關于的不等式的解集為 　　．
【解答】解：設，定義域為，且，所以為奇函數，
且在上單調遞增，
所以，即為奇函數向上平移一個單位，
所以的對稱中心為，
所以等價于，
即
所以，解得，
所以不等式的解集為，
故答案為：．
21．已知函數的定義域為，是偶函數，當時，，則不等式的解集為 　或　．
【解答】解：是偶函數，
，即：，
關于對稱．
當時，，
在，上單調遞增，
又，
，即：，
，即：，解得：或．
故答案為：或．
22．已知是定義在，上的減函數，且的圖象關于點對稱，則關于的不等式的解集為 　，　．
【解答】解：設函數，因為的圖象關于點對稱，
所以的圖象關于原點對稱，故是定義在，上的奇函數．
因為是定義在，上的增函數，所以也是定義在，上的增函數．
由，得，
即，即，則，
解得，即不等式的解集為，．
故答案為：，．
23．已知函數為定義在上的奇函數，且對于，，，都有，且（3），則不等式的解集為 　或　．
【解答】解：因為對于，，，都有，
故令，則該函數在上單調遞增，
又函數為定義在上的奇函數，故，且是偶函數，
因為（3）（3），
所以當時，即為，故此時解為，
當時，原式轉換為，
故此時解為，
綜上所述，原不等式的解集為或．
故答案為：或．
24．已知是定義在上的偶函數，的圖象是一條連續不斷的曲線，若，，，且，，則不等式的解集為 　　．
【解答】解：令，則，，，且，
根據題意，，
所以在，上單調遞增，
又是偶函數，所以為上奇函數，
所以在上單調遞增，
由，
得，
即，
所以，
得．
故答案為：．
25．已知函數，若，則實數的取值范圍是　，　．
【解答】解：因為，
設，定義域，
，所以為奇函數，
，所以單調遞增，
不等式，即為，
即，所以，
即，
解得，
即實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
26．設函數是定義在，上的偶函數，且在，上單調遞減，若（a），則實數的取值范圍是　　．
【解答】解：為定義在，上的偶函數，
由（a）得，，
又在，上單調遞減，
，
解得．
的取值范圍為．
故答案為：．
27．已知函數，若，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：因為，定義域滿足，解得，
所以
，
故，所以，
則不等式，轉化為，
即，
又函數在上單調遞增，在上單調遞減，，，且設，
所以
，
又，因為，所以，
所以，由于函數在上單調遞增，
所以，故函數在上單調遞增，
所以由函數單調性的性質可得在上單調遞增，
故，可得，解得，
所以實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
28．已知函數，若，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由得：，故為奇函數，
恒成立，故在上是增函數，
所以，
所以，即，解得，
故的范圍是，．
故答案為：，．
29．已知，則不等式的解集是　，　．
【解答】解：構造函數，那么 是單調遞增函數，
且向左移動一個單位得到，
的定義域為，且，
所以 為奇函數，圖象關于原點對稱，所以 圖象關于對稱．
不等式 等價于，
等價于
結合單調遞增可知，
，
所以不等式 的解集是，．
故答案為，．
30．若是上的奇函數，且在上是增函數，若，那么的解集是 　，，　．
【解答】解：因為是上的奇函數，且在上是增函數，，
故在上單調遞增，且（1），
則或；或；
而，即，
即或，解得或，
故不等式的解集為是：，，．
故答案為：，，．
31．已知函數，則使得成立的的取值范圍是 　　．
【解答】解：令，將其向右平移1個單位長度，
得，
所以是函數向右平移1個單位得到的．
而易知是偶函數，
當時，，，
時，顯然，當，，，所以，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
從而可知在上單調遞增，在上單調遞減
所以時，有，解得，
所以的取值范圍為．
故答案為：．
32．已知函數，則不等式的解集為　　．
【解答】解：是上的偶函數，
在上單調遞增，是減函數，
復合函數在上是減函數，且冪函數在上是減函數，
在上是減函數，
，
由得，，且（1），
（1），
（1），
，解得，且，
原不等式的解集為．
故答案為：．
四．解答題（共3小題）
33．已知函數是奇函數．
（1）求的值；
（2）判斷在上的單調性，并證明；
（3）求關于的不等式的解集．
【解答】解：（1）函數是定義在上的奇函數，
，解得；
（2）在上單調遞增；
證明：為上的增函數，且，
為上的減函數，為上的增函數，
在上單調遞增；
（3）奇函數在上單調遞增，
可化為，
，即，
解得：，
不等式的解集為．
34．已知函數為奇函數，且（3）（5）．
（1）求函數的解析式；
（2）若且在區間，上為增函數，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）由條件冪函數，在上為增函數，
得到，解得，
又因為，所以或1．
又因為是奇函數，
當時，，滿足為奇函數；
當時，，不滿足為奇函數；
所以．
（2）由（1）知：且在區間，上為增函數．
令，；
①當時，為增函數，只需在區間，上為增函數．
即：，解得：，所以；
②當時，為減函數，只需在區間，上為減函數．
即，解得：，此時無解；
綜上可知：的取值范圍為：，．
35．已知函數是定義域上的奇函數，且．
（1）令函數，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍；
（2）已知函數在，上單調遞減，在，上單調遞增，令，，若對，，都有，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）因為函數是定義域上的奇函數，且，有（1），
則，解得，，函數，
顯然，
即函數是定義域，，上的奇函數，則，，
，
函數在上有兩個零點，等價于方程有兩個不等的正根，，
于是得，解得，
所以實數的取值范圍是．
（2）由（1）知，
而，當時，函數在上單調遞減，在，上單調遞增，
函數圖象的對稱軸，因此函數在上單調遞增，
則當，即時，，當，即或時，，
從而當時，，當或時，，
對，，都有，等價于，
即，解得，而，即有，
所以實數的取值范圍是．重難點突破02 函數性質綜合
一．選擇題（共16小題）
1．已知函數，則　　
A．為奇函數，且在是增函數
B．為偶函數，且在是增函數
C．為奇函數，且在是減函數
D．為偶函數，且在是減函數
2．設是定義在上的偶函數，且在，單調遞增，則（4）的解集為　　
A． B． C． D．
3．定義在上的偶函數滿足：對任意的，，，有，則　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
4．已知是定義在上的偶函數且在，上為減函數，若，，，則　　
A． B． C． D．
5．已知函數為偶函數，且在上單調遞增，則的解集為　　
A．，， B．，，
C． D．，，
6．已知為上的奇函數，為上的偶函數，且當，時，，若，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
7．已知函數是定義在上的奇函數，它的圖象是一條連續不斷的曲線．若，，且，，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
8．關于函數有下述四個結論：
①是偶函數；
②在區間上單調遞增；
③在，上有4個零點；
④的值域是，．
其中所有正確結論的編號是　　
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
9．已知函數是定義在上的偶函數，若對任意的，，，且，都有成立，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
10．已知函數是定義在上的偶函數，若，，，且，都有成立，則不等式的解集為　　
A． B．
C． D．
11．已知函數，則不等式的解集為　　
A．，， B．
C．，， D．
12．定義在上的偶函數滿足，且在區間，上單調遞增，則　　
A． B．
C． D．
13．已知定義在，，上的奇函數，對任意的，，，滿足，且（1），則的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
14．設定義在上的奇函數滿足，對任意，，且，都有，且（3），則不等式的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
15．已知函數是定義域為，，的奇函數，且，若對任意的，，且，都有成立，則不等式的解集為　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
16．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則不等式在上的解集為　　
A． B． C． D．
二．多選題（共3小題）
17．若定義在上的函數滿足：對任意的，，都有，且當時，，則　　
A． B．是奇函數
C．是偶函數 D．在上是減函數
18．下列說法不正確的是　　
A．函數的最小值為2
B．已知，，，則
C．函數在定義域上是減函數
D．若定義在上的函數為增函數，且，則實數的取值范圍為
19．若定義域為的函數滿足為奇函數，且對任意，，，都有，則下列正確的是　　
A．的圖像關于點對稱
B．在上是增函數
C．
D．關于的不等式的解集為
三．填空題（共13小題）
20．已知函數，則關于的不等式的解集為 ．
21．已知函數的定義域為，是偶函數，當時，，則不等式的解集為 ．
22．已知是定義在，上的減函數，且的圖象關于點對稱，則關于的不等式的解集為 ．
23．已知函數為定義在上的奇函數，且對于，，，都有，且（3），則不等式的解集為 ．
24．已知是定義在上的偶函數，的圖象是一條連續不斷的曲線，若，，，且，，則不等式的解集為 ．
25．已知函數，若，則實數的取值范圍是 ．
26．設函數是定義在，上的偶函數，且在，上單調遞減，若（a），則實數的取值范圍是 ．
27．已知函數，若，則實數的取值范圍是 ．
28．已知函數，若，則實數的取值范圍是 ．
29．已知，則不等式的解集是 ．
30．若是上的奇函數，且在上是增函數，若，那么的解集是 ．
31．已知函數，則使得成立的的取值范圍是 ．
32．已知函數，則不等式的解集為 ．
四．解答題（共3小題）
33．已知函數是奇函數．
（1）求的值；
（2）判斷在上的單調性，并證明；
（3）求關于的不等式的解集．
34．已知函數為奇函數，且（3）（5）．
（1）求函數的解析式；
（2）若且在區間，上為增函數，求實數的取值范圍．
35．已知函數是定義域上的奇函數，且．
（1）令函數，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍；
（2）已知函數在，上單調遞減，在，上單調遞增，令，，若對，，都有，求實數的取值范圍．重難點突破03 冪、指、對數的大小比較
比較大小是高考常考題型,常以選擇題的形式出現,解決這類問題需要學生具備一定的數學靈感和知識積累．求解問題時,需通過分析條件和結論,或對其進行合理的變形,找到解決問題的突破口,再結合條件和選項中給出的相關值加以賦值,最后利用指數與對數的運算等知識判斷出大小．本文結合例題對比較大小的方法進行歸納總結．
一．選擇題（共25小題）
1．已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，，
又，
，
，
故選：．
2．設，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
，
，
所以．
故選：．
3．設，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
故．
故選：．
4．已知，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
綜上，．
故選：．
5．設，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
所以．
故選：．
6．已知實數，，，其中，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，
則，
即；
又，
；
又，
，
即．
故選：．
7．已知，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
，所以且，
，
所以．
故選：．
8．已知，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，則在上遞增，
因為，，
所以，（1），，
所以．
故選：．
9．已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，
所以．
故選：．
10．若，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，，，
所以．
故選：．
11．已知，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
．
故選：．
12．已知，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：根據冪函數在上為增函數，可得，即，
又，所以．
故選：．
13．已知，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，
，，
，
故選：．
14．已知函數，若，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，即，
又是增函數，所以．
故選：．
15．已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意可得：，，且，則，
因為，則，
所以．
故選：．
16．已知，則下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可知，
所以，所以錯誤；
因為，但無法判定與1的大小，所以錯誤；
當時，，故錯誤；
因為，所以，故正確．
故選：．
17．已知，，，則、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
故．
故選：．
18．設，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
．
故選：．
19．已知，，，則、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：顯然，，，
，
顯然，有，，于是得，即，
所以．
故選：．
20．若正數，，滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，則，在同一坐標系中作出，，的圖象，如圖所示：
易得，即．
故選：．
21．已知，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
又因為，
所以，即，
因為，
又因為，
所以，即，
所以．
故選：．
22．已知，，，則，，大小為　　
A． B． C． D．
【解答】解：可以看成與圖象的交點的橫坐標為，
可以看成與圖象的交點的橫坐標為，
可以看成與圖象的交點的橫坐標為，
畫出函數的圖象如下圖所示，
由圖象可知，．
故選：．
23．已知，，滿足，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
由題意知，為函數與函數交點的橫坐標，
為函數與函數交點的橫坐標，
為函數與函數交點的橫坐標，
分別畫出函數，，與函數的圖像，
由圖像得，．
故選：．
24．，，，，則，，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故選：．
25．已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，且，，
，即，
，，
，即，
，，且，
，即，
．
故選：．
二．多選題（共6小題）
26．已知，則下列不等式一定成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，
則，
對于，，
，故正確，
對于，令，，滿足，但，故錯誤，
對于，，
則，故正確，
對于，，
，故正確．
故選：．
27．已知，則下列結論正確的是　　
A． B．
C． D．若，則
【解答】解：，
，
，
，
對于，，，故正確；
對于，，，，故錯誤；
對于，設，，則，，是減函數，
，，故正確；
對于，，，
，
若，則，故錯誤．
故選：．
28．下列結論正確的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，
，故錯誤；
，，，故正確；
，
，故，故錯誤；
，，
，
，故正確．
故選：．
29．下列不等式中成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，在上為增函數，，錯誤，
，，正確，
，，，，正確，
，，，，錯誤，
故選：．
30．已知，，，，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，即，錯誤，正確，
，，，
，
，錯誤，正確，
故選：．
31．已知實數，，滿足，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，所以函數為增函數，
又，所以，故正確；
因為，所以函數為增函數，
又，所以，即，
所以，故錯誤；
因為函數在上為減函數，
又，所以，故正確；
因為，所以，，故，故正確．
故選：．
三．填空題（共5小題）
32．已知，，，則，，的大小關系為 　　．
【解答】解：因為在上單調遞減，，
故且，所以，
因為在上單調遞減，，
所以，
，
故．
故答案為：．
33．已知，，分別滿足以下三個方程：；；，則，，的大小關系為　　．
【解答】解：，，
，，
，，
．
故答案為：．
34．設，則，，按從小到大順序排列依次為　　．
【解答】解：，，，
即，，，
，
故答案為：
35．已知，，，則，，的大小關系是　　．
【解答】解：，，
．
故答案為：．
36．已知，，，則，，的大小關系是 　　（用“”連接）
【解答】解：，，
，，
，，
，
故答案為：．重難點突破03 冪、指、對數的大小比較
比較大小是高考常考題型,常以選擇題的形式出現,解決這類問題需要學生具備一定的數學靈感和知識積累．求解問題時,需通過分析條件和結論,或對其進行合理的變形,找到解決問題的突破口,再結合條件和選項中給出的相關值加以賦值,最后利用指數與對數的運算等知識判斷出大小．本文結合例題對比較大小的方法進行歸納總結．
一．選擇題（共25小題）
1．已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
2．設，，，則　　
A． B． C． D．
3．設，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
4．已知，，，則　　
A． B． C． D．
5．設，，，則　　
A． B． C． D．
6．已知實數，，，其中，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
7．已知，，，則　　
A． B． C． D．
8．已知，，，則　　
A． B． C． D．
9．已知，則　　
A． B． C． D．
10．若，，，則　　
A． B． C． D．
11．已知，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
12．已知，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
13．已知，則　　
A． B． C． D．
14．已知函數，若，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
15．已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
16．已知，則下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
17．已知，，，則、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
18．設，，，則　　
A． B． C． D．
19．已知，，，則、、的大小關系為　　
A． B． C． D．
20．若正數，，滿足，則　　
A． B． C． D．
21．已知，，，則　　
A． B． C． D．
22．已知，，，則，，大小為　　
A． B． C． D．
23．已知，，滿足，，，則，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
24．，，，，則，，，的大小關系為　　
A． B． C． D．
25．已知，，，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
二．多選題（共6小題）
26．已知，則下列不等式一定成立的是　　
A． B．
C． D．
27．已知，則下列結論正確的是　　
A． B．
C． D．若，則
28．下列結論正確的是　　
A．
B．
C．
D．
29．下列不等式中成立的是　　
A． B．
C． D．
30．已知，，，，則下列說法正確的是　　
A． B． C． D．
31．已知實數，，滿足，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
三．填空題（共5小題）
32．已知，，，則，，的大小關系為 ．
33．已知，，分別滿足以下三個方程：；；，則，，的大小關系為 ．
34．設，則，，按從小到大順序排列依次為 ．
35．已知，，，則，，的大小關系是 ．
36．已知，，，則，，的大小關系是 （用“”連接）重難點突破04 函數中的零點問題01
函數的零點是新高考的一大亮點和熱點．函數的零點是溝通函數、方程、圖像的重要橋梁,它充分體現了函數與方程間的緊密聯系,展現了數形結合的美,諸如,方程的根的問題、存在性問題與交點問題等都可以轉化為零點問題．這類問題形式多樣,但只要牢牢抓住導數這一研究函數的有力工具,通過研究函數的單調性、極值、最值、圖像等性質,對問題進行恰當分類、合理轉化,便能解決與函數零點有關的問題
一．選擇題（共25小題）
1．用二分法求方程的近似解，以下區間可以作為初始區間的是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：令，
函數在上單調遞增，
（1），（2），（3），
故，可以作為初始區間．
故選：．
2．函數的零點為　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：函數的零點解得方程的根，可得，
，解得．
故選：．
3．已知函數，則的零點所在的區間為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得在上單調遞增，
（1），，（2），，（3），
（3），
的零點所在的區間為．
故選：．
4．設是定義在上的函數，若是奇函數，是偶函數，函數，則下列說法正確的個數有　　
（1）當，時，；
（2）；
（3）若，則實數的最小值為
（4）若有三個零點，則實數．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：因為是奇函數，是偶函數，
所以，解得，
由，
當時，，
則，所以，
同理：當時，，
以此類推，我們可以得到如下的圖象：
對于（1）：根據上述規律，當時，，故（1）錯誤；
對于（2）：根據圖象，剛好是相鄰兩個自然數中間的數，
則剛好是每一段圖象中的極大值，代入函數解析式得，故（2）正確；
對于（3）：根據圖象，當時，由圖像可得（3）正確；
對于（4）：有三個零點，
等價于函數與函數有三個不同的交點，設，則函數的圖象為恒過點的直線，如圖所示．
當函數與，相切的時候，有三個交點，
相切時斜率小于直線的斜率，直線的斜率為，
故有三個零點，，故（4）錯誤．
說法正確的個數為2．
故選：．
5．已知函數，方程有兩個實數解，分別為和，當時，若存在使得成立，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，作出函數與的圖象，
易得兩函數交點位于兩側，不妨設，
若存在使得成立，
即，
又關于對稱，
故，
因為，
所以，
所以，
即在有解，
則．
故選：．
6．已知函數，若關于的方程恰有5個不同的實根，則的取值范圍為　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：，，，或．
作出函數的圖像如圖所示，
由圖知的圖像與有兩個交點，
若關于的方程恰有5個不同的實根，則的圖像與有三個公共點，
所以的取值范圍，．
故選：．
7．設函數在上滿足，，且在閉區間，上只有（1）（3），則方程在閉區間，上的根的個數　　
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
【解答】解：在上滿足，，
關于直線和直線對稱，且，，
所以，所以，所以的周期為6，
又在閉區間，上只有（1）（3），則（7），，
且當，時，通過其關于直線對稱，得其值對應著，的值，
則在閉區間，上只有（7）（3），
同理可推得在，也只有兩個零點，
因為，則在，共有個零點，
因為，且在，的圖象與，的圖象相同，
則在，上有個零點，
則方程在閉區間，上的根的個數為1347個．
故選：．
8．已知函數，則函數的零點個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：令得，
在同一直角坐標系中作出，的大致圖象如下：
由圖象可知，函數與的圖象有3個交點，
即函數有3個零點，
故選：．
9．方程的解所在的區間為　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，則函數的定義域為，
在上單調遞增，
又（1），（2），
由零點存在性定理得的零點所在區間為，
故方程的解所在的區間為，
故選：．
10．函數的零點所在的區間為　　
A． B． C． D．
【解答】解：依題意，函數的定義域為，
而在為單調遞減函數，在為單調遞減函數，
因為，所以，即，
所以，，
所以（2）（3），
所以由零點存在性定理可知，
函數在區間有零點．
故選：．
11．已知是定義域為的偶函數且，則函數零點個數是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：，，
當時，，，
當時，，，，有；，有，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
，，，，
，（1）（e），（e），
由零點存在定理，所以在，，上各有一個零點，
又是定義域為的偶函數，則函數有6個零點．
故選：．
12．已知函數，則方程的實根個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：，解得或，
當時，，解得，，解得（舍；
當時，，解得或（舍，，解得或（舍；
綜上，方程的實根為或或，
即方程的實根個數為3個，
故選：．
13．已知函數若函數有四個不同的零點，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：由得，
作出函數的圖象如圖：
由圖象知，要使有四個不同的零點，
則需要與有4個不同的交點，
則此時，
即實數的取值范圍是，．
故選：．
14．已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C． D．，
【解答】解：當時，，又，所以在上有唯一零點，
要使有3個零點，即在，上有2個零點，
即與的圖象有2個交點，
設切點為設切點坐標為，
由，得，則過切點的切線方程為，
把點代入，可得，
得，則切點坐標為，
即過與相切的直線方程為，
所以實數的取值范圍是．
故選：．
15．設，函數若恰有一個零點，則的取值范圍是　　
A． B．，
C． D．
【解答】解：令，作出的圖象，如圖所示：
函數可由分段平移得到，
易知當時，函數恰有一個零點，滿足題意；
當時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；
當時，圖象往下平移，當時，函數有兩個零點；
當時，恰有一個零點，滿足題意，即；
綜上可得的取值范圍是，．
故選：．
16．設有三個不同的零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，由有三個不同的零點，可得有三個不同的零點，
畫出函數的圖像，直線過定點，
當時，設過的直線與的切點為，，
由，得，
所以切線的斜率，故切線方程為，
把定點代入得：，即，
所以，即直線的斜率為，
由圖知，當時，與有三個交點，
所以使有三個不同的零點的的取值范圍是．
故選：．
17．函數的零點個數為　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：函數的零點個數，等價于方程的根的個數，
即函數與的圖象交點個數，
畫出函數與的大致圖象，如圖所示：
由圖象可知，函數與的圖象只有1個交點，
所以函數有1個零點．
故選：．
18．定義在上的奇函數滿足，且在，上單調遞減，若方程在，有實數根，則方程在區間，上所有實數根之和是　　
A．6 B．12 C．30 D．56
【解答】解：因為函數滿足，所以函數的圖像關于直線對稱，故，
又是上奇函數，所以，所以，故函數的周期為4，
考慮一個周期，，由函數在區間，上單調遞減，又由是上奇函數，且關于直線對稱，
知在區間，上單調遞增，在區間，上單調遞減，在區間，上單調遞增，
因為，（2），
故當，時，，當，，（2），
當，時，，當，時，（2），
因為方程在區間，有實數根，則這實根是唯一的，
又因為函數的圖像關于直線對稱，則方程在區間，有唯一實數根，
方程在區間，和區間，上沒有實根，
所以方程在一個周期內有且只有2個實數根，根據對稱性，知這兩根之和為2，
因為函數在區間，上恰好3個周期，
所以根據函數周期性和對稱性知，方程在區間，上所有實數根之和為．
故答案為：．
19．已知函數，若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【解答】解：畫出、和的圖象如下圖所示，
由解得．由，解得，
設，對于函數，要使與的圖象有兩個交點，
結合圖象可知，．
故選：．
20．已知函數的圖像與直線有3個不同的交點，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．，
【解答】解：如圖，作函數的大致圖像（實線），
平移直線，由可得，，
，
故當時，直線與曲線相切；
當時，直線經過點，且與曲線有2個不同的交點；
當時，直線經過點，且與的圖像有3個不同的交點．
由圖分析可知，當，時，的圖像與直線有3個不同的交點．
故選：．
21．設是定義在上的偶函數，對任意的，都有，且當，時，，則在區間，內關于的方程的根的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：是定義在上的偶函數，對任意的，都有，
，
即，即函數的周期是4．
當，時，，，
此時，
即，，．
由得：
，
分別作出函數和圖象如圖：
則由圖象可知兩個圖象的交點個數為4個，
即方程的根的個數為是4個．
故選：．
22．已知定義在上的函數對于任意的都滿足，當時，，若函數至少有6個零點，則的取值范圍是　　
A． B．，
C． D．，
【解答】解：由知是周期為2的周期函數，
函數至少有6個零點等價于函數與的圖象至少有6個交點，
①當時，畫出函數與的圖象如圖所示，
根據圖象可得（5），即．
②當時，畫出函數與的圖象如圖所示，
根據圖象可得，即．
綜上所述，的取值范圍是．
故選：．
23．已知偶函數滿足，且當，時，，關于的不等式在，上有且只有30個整數解，則實數的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
又函數為偶函數，，即函數周期為，
因為不等式在，上有且只有30個整數解，所以不等式在，上恰有3個整數解，
又，可知時，，時，，
所以在上遞增，在上遞減，，所以1，2，3滿足不等式，
故，且需解得．
故選：．
24．已知定義在上的函數滿足，，且當時，，則函數在，上的零點個數為　　
A．9 B．11 C．13 D．15
【解答】解：因為，，
所以為奇函數，
又因為，即，
所以，
即，
所以為周期函數，且周期，
所以（2）（2），即（2），
作出函數的大致圖象如圖所示：
由圖象可知，在，上零點個數為13．
故選：．
25．已知函數，若函數，恰有4個零點，則的取值范圍　　
A． B．
C． D．
【解答】解：當時，，則，
所以在，上單調遞增，
若恰有4個零點，
即恰有4個根，即與有四個交點，
當時，與的圖象如下：
兩圖象只有兩個交點，不符合題意，
當時，與軸相交于兩點與，
圖象如下：
當時，函數的函數值為，
當時，函數的函數值為，
所以兩圖象有四個交點，符合題意；
當時，與軸相交于兩點與，
圖象如下：
在，內兩圖象有兩個交點，
所以若有四個交點，
只需要與在，內還有兩個根，
因為，所以，
所以有在，內還有兩個根，
即在，內還有兩個根，
所以在在，內還有兩個根，
因為（當且僅當時，取等號），
所以且，解得，
綜上所述，的取值范圍為，，．
故選：．
二．多選題（共5小題）
26．已知函數，則下列結論正確的是　　
A．當時，無零點
B．當時，只有一個零點
C．當時，有兩個零點
D．若有兩個零點，，則
【解答】解：令，則，即，即，
考察直線和拋物線的位置關系，
由圖可知，當時，無零點，故正確；
當或時，只有一個零點，故正確；
當且時，有兩個零點，故錯誤；
若有兩個零點，，則，是方程的兩根，
由韋達定理，得，故正確．
故選：．
27．已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數不可能是　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
則函數的圖象，如圖所示：
函數恰有兩個零點，即有兩個實數根，轉化為的圖象與有兩個交點，
由圖象得，
又當時，，由圖象得，或，符合題意，
故實數的取值范圍為，
故選：．
28．已知函數是定義在，，上的偶函數，當時，，若方程有四個不相等的實數根，則滿足條件的可以為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知當時，，當時，，
當，時，，
又為偶函數，函數的圖象關于軸對稱，根據以上信息可作出函數的圖象如下，
對于：再作函數，觀察圖象可得與的圖象有四個交點，
方程有四個不相等的實數根，故正確；
對于：再作函數的圖角可得，
觀察圖象可得與的圖象有三個交點，
方程有三個不相等的實數根，故不正確；
對于：再作函數的圖角可得，
觀察圖象可得與的圖象有四個交點，
方程有四個不相等的實數根，故正確；
對于：再作函數的圖角可得，
觀察圖象可得與的圖象有一個交點，
方程有一個不相等的實數根，故不正確；
故選：．
29．已知函數為自然對數的底數），，若（a）（b），則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：對于，由于，，
而在上單調遞增，
則，故，即，選項正確；
對于，由于，
則由函數零點存在性定理可知，，
所以，選項正確；
對于，易知，若，則，即，這與矛盾，選項錯誤；
對于，，令，
作出函數和的函數圖象如下所示，
由圖象可知，函數（a）在上單調遞減，則，選項正確．
故選：．
30．已知函數，若方程有四個不同的實數解，它們從小到大依次記為，，，，則　　
A． B．
C． D．
【解答】解：當時，，在，單調遞減，，，
在，單調遞增，，；
當時，，
在，單調遞減，，，
在單調遞增，，，
若有四個不同的實數解，則，故正確；
因為，所以，，，所以，，故錯誤；
因為，，根據韋達定理可知在方程中，故正確；
，，，
所以，正確．
故選：．
三．填空題（共8小題）
31．設函數，則滿足條件“方程有三個實數解”的實數的一個值為 　3（答案不唯一）　．
【解答】解：作出函數的圖象如下圖所示，
由圖象可知，要使方程有三個實數解，則需，
則符合題意的一個的值為3．
故答案為：3（答案不唯一）．
32．函數的零點的個數為 　3　．
【解答】解：由題意，
即函數的零點的個數即為，的交點的個數，
在同一直角坐標系中畫出兩個函數圖像，如圖所示，
數形結合可知，兩個函數有3個交點，
故函數的零點的個數是3．
故答案為：3．
33．已知函數若函數有5個零點，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：令，
可得或，
作出函數的大致圖象如下圖所示，
由圖象可知，有2個解，
要使函數有5個零點，則需有3個解，
由圖象可知，，解得．
故答案為：．
34．已知，若存在三個不同實數、、使得（a）（b）（c），則的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由題意，可畫出函數的圖象大致如下：
存在三個不同實數，，，使得（a）（b）（c），
可假設，
根據函數圖象，可知：，，．
又（b）（c），
，
即：．
．
，即．
．
，
．
故答案為：，．
35．若對任意，，關于的方程在區間，上總有實根，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：設，，
因為，，所以在定義域上單調遞增，
又因為，在定義域上單調遞增，
所以在上單調遞增，
又因為方程在區間，上總有實根，
所以在，上總有零點，
又因為在，上單調遞增，
所以（2）或或（3），
即或或，
解得，
即有在，上恒成立，
所以，
又因為，，
所以．
故答案為：，．
36．已知函數若恰有2個零點，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由，得，得；
由，得，得或，
因為恰有2個零點，
所以若和是函數的零點，則不是函數的零點，則；
若和是函數的零點，則不是函數的零點，則，
若和是函數的零點，不是函數的零點，則不存在這樣的．
綜上所述：或，即實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
37．已知函數，若存在四個不相等的實根，，，，則的最小值是 　3　．
【解答】解：作函數與圖象如下：
由圖可得，
存在四個不相等的實根，，，，可得，
可得，，即，，
所以，
當且僅當即且等號成立，
則的最小值是3．
故答案為：3．
38．定義函數，設，，
若含有3個不同的實數拫，則實數的取值范圍是 　或　．
【解答】解：設，，
由，解得，，
由于含有3個不同的實數拫，
所以有兩個相等的實根或者兩個相異的實根，
則△，
即，解得，或．
當時，，解得，又，滿足題意；
當時，如下圖，的對稱軸方程，（2），則有4個根，不合題意，舍去；
當時，，解得，即（2），含有2個不同的實數拫，不滿足題意；
當時，如下圖，（2），若含有3個不同的實數拫，則，解得；
綜上，或．
故答案為：或．
四．解答題（共2小題）
39．已知函數．
（Ⅰ）用定義證明在定義域上是減函數；
（Ⅱ）若函數在，上有零點，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）證明：根據題意，函數，
則有，解可得，即函數的定義域為，
設，則，
由于，則，必有，
故，
則函數在定義域上是減函數；
（2）根據題意，由（1）的結論，函數在定義域為上的減函數，則為減函數，
若函數在，上有零點，則，解可得：，
故的取值范圍為，．
40．已知函數．
（1）當時，判斷在上的單調性并證明；
（2）討論函數的零點個數．
【解答】解：（1）當，時，，此時在上單調遞減，
證明：任取，，且，
則，
，則，，
，即，
故在上單調遞減；
（2）令，即的根的個數，
令，作出函數的圖象，如圖所示：
由圖象得當或或時，直線與有兩個交點；
當或時，直線與只有一個交點；
當或時，直線與有三個交點，
綜上所述，當，，時，有2個零點；
當，，時，有1個零點；
當，，時，有3個零點．重難點突破04 函數中的零點問題01
函數的零點是新高考的一大亮點和熱點．函數的零點是溝通函數、方程、圖像的重要橋梁,它充分體現了函數與方程間的緊密聯系,展現了數形結合的美,諸如,方程的根的問題、存在性問題與交點問題等都可以轉化為零點問題．這類問題形式多樣,但只要牢牢抓住導數這一研究函數的有力工具,通過研究函數的單調性、極值、最值、圖像等性質,對問題進行恰當分類、合理轉化,便能解決與函數零點有關的問題
一．選擇題（共25小題）
1．用二分法求方程的近似解，以下區間可以作為初始區間的是　　
A．， B．， C．， D．，
2．函數的零點為　　
A． B．2 C． D．
3．已知函數，則的零點所在的區間為　　
A． B． C． D．
4．設是定義在上的函數，若是奇函數，是偶函數，函數，則下列說法正確的個數有　　
（1）當，時，；
（2）；
（3）若，則實數的最小值為
（4）若有三個零點，則實數．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．已知函數，方程有兩個實數解，分別為和，當時，若存在使得成立，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
6．已知函數，若關于的方程恰有5個不同的實根，則的取值范圍為　　
A． B． C．， D．，
7．設函數在上滿足，，且在閉區間，上只有（1）（3），則方程在閉區間，上的根的個數　　
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
8．已知函數，則函數的零點個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
9．方程的解所在的區間為　　
A． B． C． D．
10．函數的零點所在的區間為　　
A． B． C． D．
11．已知是定義域為的偶函數且，則函數零點個數是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知函數，則方程的實根個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
13．已知函數若函數有四個不同的零點，則實數的取值范圍為　　
A．， B．， C． D．
14．已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是　　
A．， B． C． D．，
15．設，函數若恰有一個零點，則的取值范圍是　　
A． B．，
C． D．
16．設有三個不同的零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
17．函數的零點個數為　　
A．0 B．1 C．2 D．3
18．定義在上的奇函數滿足，且在，上單調遞減，若方程在，有實數根，則方程在區間，上所有實數根之和是　　
A．6 B．12 C．30 D．56
19．已知函數，若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．
20．已知函數的圖像與直線有3個不同的交點，則實數的取值范圍是　　
A． B． C． D．，
21．設是定義在上的偶函數，對任意的，都有，且當，時，，則在區間，內關于的方程的根的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
22．已知定義在上的函數對于任意的都滿足，當時，，若函數至少有6個零點，則的取值范圍是　　
A． B．，
C． D．，
23．已知偶函數滿足，且當，時，，關于的不等式在，上有且只有30個整數解，則實數的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
24．已知定義在上的函數滿足，，且當時，，則函數在，上的零點個數為　　
A．9 B．11 C．13 D．15
25．已知函數，若函數，恰有4個零點，則的取值范圍　　
A． B．
C． D．
二．多選題（共5小題）
26．已知函數，則下列結論正確的是　　
A．當時，無零點
B．當時，只有一個零點
C．當時，有兩個零點
D．若有兩個零點，，則
27．已知函數，若函數恰有兩個零點，則實數不可能是　　
A． B． C．0 D．1
28．已知函數是定義在，，上的偶函數，當時，，若方程有四個不相等的實數根，則滿足條件的可以為　　
A． B． C． D．
29．已知函數為自然對數的底數），，若（a）（b），則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
30．已知函數，若方程有四個不同的實數解，它們從小到大依次記為，，，，則　　
A． B．
C． D．
三．填空題（共8小題）
31．設函數，則滿足條件“方程有三個實數解”的實數的一個值為 ．
32．函數的零點的個數為 ．
33．已知函數若函數有5個零點，則實數的取值范圍是 ．
34．已知，若存在三個不同實數、、使得（a）（b）（c），則的取值范圍是 ．
35．若對任意，，關于的方程在區間，上總有實根，則實數的取值范圍是 ．
36．已知函數若恰有2個零點，則實數的取值范圍是 ．
37．已知函數，若存在四個不相等的實根，，，，則的最小值是 ．
38．定義函數，設，，
若含有3個不同的實數拫，則實數的取值范圍是 ．
四．解答題（共2小題）
39．已知函數．
（Ⅰ）用定義證明在定義域上是減函數；
（Ⅱ）若函數在，上有零點，求實數的取值范圍．
40．已知函數．
（1）當時，判斷在上的單調性并證明；
（2）討論函數的零點個數．重難點突破05 嵌套函數
我們把形如或的一類函數稱為嵌套函數,把含有嵌套函數的函數問題稱為嵌套函數問題.嵌套函數問題有兩類基本形式:
"型
這一類型是同一個函數自身嵌套問題,求解這一類型的策略是:首先將“內層函數”換元,即設,然后根據題設條件解出相應的值或范圍,最后利用函數或利用函數與的圖像關系解得問題.
“型
這一類型是兩個函數的互嵌問題,求解這一類型的策略是:首先將“內層函數”換元,即設,然后通過中間變量即是“內層函數”的函數值,又是的自變量,或利用與兩個函數的性質,或做出并利用與兩個函數的圖像來解決問題.
在數學命題中,嵌套函數問題常以能力型問題出現,且常處于客觀題壓軸的位置.這類問題因其抽象程度高,綜合性強,能很好地考查數學抽象、邏輯推理、數學建模及直觀想象等數學核心素養,因而是高考或各地模擬考試的熱點題型.
一．選擇題（共11小題）
1．已知函數是上的奇函數，當時，．若關于的方程有且僅有兩個不相等的實數解，則實數的取值范圍是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由題設，若，則，
所以，值域為，函數圖象如下：
當，時，只有一個，與之對應；
當，時，有兩個對應自變量，
記為，，則；
當時，有三個對應自變量且，0，；
當，時，有兩個對應自變量，
記為，，則；
當，時，有一個，與之對應；
令，則，要使有且僅有兩個不相等的實數解，
若有三個解，則，0，，此時有7個解，不滿足；
若有兩個解，且，此時和各有一個解，
結合圖象知，不存在這樣的，故不存在對應的；
若有一個解，則有兩個解，此時，，，
所以對應的，，，
綜上，，，．
故選：．
2．已知函數為自然對數的底數，則函數的零點個數為　　
A．5 B．6 C．7 D．3
【解答】解：令，則有，
作出的圖象，如圖所示：
設直線與相切，切點為，，
則有，解得，，
設直線與相切，切點為，，
則有，解得，，
所以直線與的圖象有4個交點，
不妨設4個交點的橫坐標分別為：，，，，且，
由圖象可知，，，，
由圖象可知無解，有1個解，有3個解，有2個解，
所以有6個零點．
故選：．
3．已知函數為自然對數的底數），則函數的零點個數為　　
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：設，令可得：，
對于，，故在處切線的斜率值為，
設與相切于點，，
，切線斜率，則切線方程為：，
即，，解得：；
由于，故作出與圖象如下圖所示，
與有四個不同交點，
即與有四個不同交點，
設三個交點為，，，，由圖象可知：，
作出函數，的圖象如圖，
由此可知與無交點，與有三個不同交點，與，各有兩個不同交點，
的零點個數為7個，
故選：．
4．已知函數，則函數的零點個數為　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：令，則有，
作出的圖象，如圖所示：
設直線與相切，切點為，，
則有，解得，，
設直線與相切，切點為，，
則有，解得，，
所以直線與的圖象有4個交點，
不妨設4個交點的橫坐標分別為：，，，，且，
由圖象可知，，，，
由圖象可知無解，有1個解，有3個解，有2個解，
所以有6個零點．
故選：．
5．已知函數，則函數的零點個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：設，則，
令，可得，
在處的導數為，
與在軸左邊沒有交點，
作出與的圖象，如圖所示，
數形結合可得與兩交點橫坐標滿足：，，
又，作出，與的圖象，如圖所示，
數形結合可得，與的圖象共有三個交點，交點橫坐標分別為，，，
故的零點個數為3，
故選：．
6．已知函數，g（x）＝x﹣k，函數g（f（x））有4個不同的零點x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，則x1+x2+x3+x4的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．（0，+∞）
【解答】解：g（f（x））＝f（x）﹣k，令g（f（x））＝0，得f（x）＝k，
函數g（f（x））有4個不同的零點，即f（x）＝k有4個不同的根；
根據題意，作出f（x）的圖像，如圖：
明顯地，根據二次函數和對數函數的性質，有x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，
因為x4＞x3＞0，故，
令，得或x＝9，故，
又因為x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4，
則，整理得，
故x1+x2+x3+x4的取值范圍為．
故選：B．
7．已知函數，函數恰有5個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：當時，．由，得，由，得，
則在，上單調遞減，在上單調遞增，
故的大致圖象如圖所示．
設，則，由圖可知當時，有且只有1個實根，
則最多有3個不同的實根，不符合題意．
當時，的解是，．有2個不同的實根，有2個不同的實根，
則有4個不同的實根，不符合題意．
當時，有3個不同的實根，，，且，，，，．
有2個不同的實根，有2個不同的實根，有3個不同的實根，
則有7個不同的實根，不符合題意．
當時，有2個不同的實根，，且，，．
有2個不同的實根，有3個不同的實根，
則有5個不同的實根，符合題意．
當時，有2個不同的實根，，且，，
有2個不同的實根，，有2個不同的實根，則有4個不同的實根，不符合題意．
當時，有且只有1個實根，則最多有3個不同的實根，不符合題意，
綜上，的取值范圍是，．
故選：．
8．已知函數，則函數的零點個數是　　
A．1 B．0 C．2 D．3
【解答】解：函數，
對，令，令，
可知在上單調遞增，在上單調遞減，
且趨向負無窮時，，時，，
故結合對數函數圖象，可畫出函數圖像如下圖所示：
函數的零點，即，令，代入可得，
由圖像可知，即，
結合函數圖像可知，有1個解，
綜合可知，函數的零點有1個．
故選：．
9．已知函數，則函數零點個數最多是　　
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：由題意可得，
作出的圖象，如圖所示：
由此可得，
令，則，
所以，
令，則有，
則有，，
當時，有三個實數根，分別為，，，
若，即時，則有，，，
若，即時，則，
當，即時，沒有實數根，
又，，
若，，即時，有3個零點；，即時，有4個零點；，，即時，有4個零點，
所以此時共有11個零點；
若時，，，各自對應著4個零點，此時共有12個零點，
所以函數零點個數最多為12個．
故選：．
10．已知函數則解的個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：時，，
則，
在上單調遞減，
又時，，，，
作出函數的圖象如圖：
由，得，即，
則有兩個根，即解的個數為2．
故選：．
11．已知函數，，若有6個零點，則的取值范圍為　　
A． B． C．， D．
【解答】解：作出函數的圖象如圖所示：
根據圖像可得，當或時，有兩個解；
當時，有4個解；
當時，有3個解；
當時，有1個解．
因為最多有兩個解．
因此要使有6個零點，則有兩個解，設為，．
則存在下列幾種情況：
①有2個解，有4個解，即或，，顯然，
則此時應滿足，解得；
②有3個解，有3個解，設即，，
則應滿足，解得；
綜上所述，或，
即的取值范圍為．
故選：．
二．多選題（共4小題）
12．已知函數，下列關于函數的零點個數的說法中，正確的是　　
A．當，有1個零點 B．當時，有3個零點
C．當，有4個零點 D．當時，有7個零點
【解答】解：，則當時，，
當時，，
令得，設，即，
對于：當時，當時，，對稱軸，當時，，
在，上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，
由得，即，解得，
故時，有1個零點，故正確；
對于：當時，當時，，當時，，
由得，即，即，則當時，，解得，
當時，，解得，
故時，有3個零點，故正確；
對于：當時，當時，，對稱軸，，
由得，即，解得，
故當時，有1個零點，故錯誤；
對于：當時，當時，，當時，，
由得，即，即，則當時，，解得，
當時，，解得，
由得，解得，
則當，即，此時有1解，
當，即，此時有2解，或，此時有1解，
綜上所述，當時，有7個零點，故正確，
故選：．
13．若函數和的定義域都是，且關于的方程有實數解，則下列式子中可以是的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，所以，
則有解，
對于，當時，方程有解，故選項正確；
對于，當時，方程無解，故選項錯誤；
對于，當，令，
因為，
由零點的存在性定理可知，在上存在零點，
所以方程有解，故選項正確；
對于，當時，為方程的解，
所以方程有解，故選項正確．
故選：．
14．已知函數和函數，關于的方程有個實根，則下列說法中正確的是　　
A．當時， B．當時， C．， D．，
【解答】解：令，若，則，
解得或，
即或，
當，即，解得，
該方程有一解，正確；
當時，，易知為單調遞增函數，
當時，，由對勾函數的性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，
作出圖象如圖，若，可知，，錯誤；
若，可知，，正確；
至多三個解，錯誤．
故選：．
15．已知函數，若，則下列說法正確的是　　
A．當時，有4個零點 B．當時，有5個零點
C．當時，有1個零點 D．當時，有2個零點
【解答】解：令，
當時，作出的圖象如圖所示：
對于，令，則有，
所以，
由此可得有3個解：，，，
又因為的值域為，，
所以無解；
有一個解；
有三個解；
所以此時共有4個解，
即共有4個零點，故正確，錯誤；
當時，作出的圖象，如圖所示：
對于，，令，則有，
所以，
所以，，
又因為的值域為，，，
所以無解，
只有一個解，
所以此時只有一個解，
即只有一個零點，故正確，錯誤．
故選：．
三．填空題（共5小題）
16．設函數，若函數有六個不同的零點，則實數的取值范圍為 　，　．
【解答】解：函數，，
令，則，
函數有六個不同的零點，
則有6個實數根，
作出函數與的圖象如圖所示，
當時，與有兩個交點，此時或，
此時有3個不同的零點，不符合題意，
當時，與有3個交點，
此時有6個不同的零點，符合題意，
當時，與有2個交點，
此時有4個不同的零點，不符合題意，
故函數有六個不同的零點時，實數的取值范圍為，．
故答案為：，．
17．已知函數，若函數有5個零點，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：設，則由得，
若，作出函數的圖象如圖：
當或時，，此時，無解，
當時，由，得只有一個解且，此時，最多有3個零點，不滿足條件．
故，不成立，
當時，作出函數的圖象如圖：．
則，
由，得方程有3個不同的根，其中，
其中，，，
當時，，只有一個根，
當時，，只有一個根，
要使函數有5個零點，
則必有，有3個零點，
由，得，即，
此時只要，即可，
得，即，
得，
即實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
18．已知函數，若有六個零點，則實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由，解得或；
由，解得．
因為，所以或或，
即，，，
因為有六個零點，
所以函數的圖象與三條直線，，共有六個交點，
因為函數的圖象與三條直線，，共有三個交點，
所以的圖象與三條直線共有三個交點，
當時，，
所以在區間單調遞增，在區間單調遞減，
所以時，取得極大值也即是最大值，
，，
結合的圖象，可知或或，
所以或或，即實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
19．已知函數，若有三個零點，則　　．
【解答】解：令，由可知，
，
，有三個零點，
有三解，
又，的圖象開口向下，
函數的頂點為，
，解得（負值舍去），
．
故答案為：．
20．已知函數，若函數有三個零點，則　　．
【解答】解：令，由可知，，
，有三個零點，
有三解，
由圖象的圖象，可知，
．
故答案為：．重難點突破05 嵌套函數
我們把形如或的一類函數稱為嵌套函數,把含有嵌套函數的函數問題稱為嵌套函數問題.嵌套函數問題有兩類基本形式:
"型
這一類型是同一個函數自身嵌套問題,求解這一類型的策略是:首先將“內層函數”換元,即設,然后根據題設條件解出相應的值或范圍,最后利用函數或利用函數與的圖像關系解得問題.
“型
這一類型是兩個函數的互嵌問題,求解這一類型的策略是:首先將“內層函數”換元,即設,然后通過中間變量即是“內層函數”的函數值,又是的自變量,或利用與兩個函數的性質,或做出并利用與兩個函數的圖像來解決問題.
在數學命題中,嵌套函數問題常以能力型問題出現,且常處于客觀題壓軸的位置.這類問題因其抽象程度高,綜合性強,能很好地考查數學抽象、邏輯推理、數學建模及直觀想象等數學核心素養,因而是高考或各地模擬考試的熱點題型.
一．選擇題（共11小題）
1．已知函數是上的奇函數，當時，．若關于的方程有且僅有兩個不相等的實數解，則實數的取值范圍是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知函數為自然對數的底數，則函數的零點個數為　　
A．5 B．6 C．7 D．3
3．已知函數為自然對數的底數），則函數的零點個數為　　
A．3 B．5 C．7 D．9
4．已知函數，則函數的零點個數為　　
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知函數，則函數的零點個數為　　
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知函數，g（x）＝x﹣k，函數g（f（x））有4個不同的零點x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，則x1+x2+x3+x4的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．（0，+∞）
7．已知函數，函數恰有5個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C．， D．
8．已知函數，則函數的零點個數是　　
A．1 B．0 C．2 D．3
9．已知函數，則函數零點個數最多是　　
A．10 B．12 C．14 D．16
10．已知函數則解的個數為　　
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函數，，若有6個零點，則的取值范圍為　　
A． B． C．， D．
二．多選題（共4小題）
12．已知函數，下列關于函數的零點個數的說法中，正確的是　　
A．當，有1個零點 B．當時，有3個零點
C．當，有4個零點 D．當時，有7個零點
13．若函數和的定義域都是，且關于的方程有實數解，則下列式子中可以是的是　　
A． B． C． D．
14．已知函數和函數，關于的方程有個實根，則下列說法中正確的是　　
A．當時， B．當時， C．， D．，
15．已知函數，若，則下列說法正確的是　　
A．當時，有4個零點 B．當時，有5個零點
C．當時，有1個零點 D．當時，有2個零點
三．填空題（共5小題）
16．設函數，若函數有六個不同的零點，則實數的取值范圍為 ．
17．已知函數，若函數有5個零點，則實數的取值范圍是 ．
18．已知函數，若有六個零點，則實數的取值范圍是 ．
19．已知函數，若有三個零點，則 ．
20．已知函數，若函數有三個零點，則 ．跟蹤訓練09 函數的應用
一．選擇題（共15小題）
1．地震震級是根據地震儀記錄的地震波振幅來測定的，一般采用里氏震級標準，里氏震級是用距震中100千米處的標準地震儀所記錄的地震波的最大振幅的對數值來表示的，里氏震級的計算公式為，其中是被測地震的最大振幅，是“標準地震”的振幅（使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）．根據該公式可知，2021年7月28日發生在美國阿拉斯加半島以南91公里處的8.2級地震的最大振幅約是2021年8月4日發生在日本本州近岸5.3級地震的最大振幅的　　倍（精確到．（參考數據：，，
A．794 B．631 C．316 D．251
2．某商場要將單價分別為36元，48元，72元的3種糖果按的比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質量都相等．那么該商場對混合糖果比較合理的定價應為　　
A．52元 B．50元 C．48元 D．46元
3．據報道，全球變暖，使北冰洋冬季冰蓋面積在最近50年內減少了，如果按此規律，設2009年的冬季冰蓋面積為，從2009年起，經過年后冬季冰蓋面積與的函數關系是　　
A． B．
C． D．
4．有一組實驗數據如表所示：
3.0 6.0 9.0 12.0 15.0
1.5 2.5 2.9 3.6 4.0
現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是　　
A． B． C． D．
5．生物體死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數之間的函數關系式為為常數），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．若2022年某遺址文物出土時碳14的殘余量約為原始量的，則可推斷該文物屬于　　
參考數據：；參考時間軸：
A．戰國 B．漢 C．唐 D．宋
6．中國的技術領先世界，技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率取決于信道帶寬，經科學研究表明：與滿足，其中是信道內信號的平均功率，是信道內部的高斯噪聲功率，為信噪比．當信噪比比較大時，上式真數中的1可以忽略不計．若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（附　　
A． B． C． D．
7．某購物網站在2022年11月開展“全部6折”促銷活動，在11日當天購物還可以再享受“每張訂單金額折后）滿300元時可減免60元”．某人在11日當天欲購入原價48元（單價）的商品共45件，為使花錢總數最少，他最少需要下的訂單張數為　　
A．7 B．6 C．5 D．4
8．某化工廠生產一種溶質，按市場要求，雜質含量不能超過．若該溶質的半成品含雜質，且每過濾一次雜質含量減少，則要使產品達到市場要求，該溶質的半成品至少應過濾　　
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
9．我國古代一些學者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”用現代漢語敘述為：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠也取不完．這樣，每日剩下的部分都是前日的一半．現把“一尺之棰”長度看成單位“1”，則第一日所取木棒長度為，那么前四日所取木棒的總長度為　　
A．1 B． C． D．
10．某科技研發公司2021年全年投入的研發資金為300萬元，在此基礎上，計劃每年投入的研發資金比年增加，則該公司全年投入的研發資金開始超過600萬元的年份是　　
（參考數據：，，，．
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
11．生物學家為了了解抗生素對生態環境的影響，常通過檢測水中生物體內抗生素的殘留量來進行判斷．已知水中某生物體內抗生素的殘留量（單位：與時間（單位：年）近似滿足關系式，，其中為抗生素的殘留系數，當時，，則　　
A． B． C． D．
12．核酸檢測在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依據之一，核酸檢測是用熒光定量法進行的，通過化學物質的熒光信號，對在擴增過程中的靶標進行實時檢測．已知被標靶的在擴增期間，每擴增一次，的數量就增加．若被測標本擴增5次后，數量變為原來的10倍，則的值約為　　．（參考數據：，
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
13．研究鮭魚的科學家發現鮭魚的游速（單位：可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數．則鮭魚以游動時的耗氧量是它靜止時的耗氧量的　　
A．7倍 B．8倍 C．9倍 D．10倍
14．按復利計算利息的一種儲蓄，本息和（單位：萬元）與儲存時間（單位：月）滿足函數關系為自然對數的底數，，為常數）若本金為5萬元，在第22個月時本息和為20萬元，則在第33個月時本息和是　　萬元．
A．36 B．40 C．50 D．60
15．第19屆亞洲運動會將于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市舉行，換上智慧腦、聰明肺的黃龍體育中心將承辦足球、體操、水球等項目．為了倡導綠色可循環的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統．已知過濾過程中廢水污染物數量與時間的關系為為最初污染物數量）．如果前4小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要　　
A．3.6小時 B．3.8小時 C．4小時 D．4.2小時
二．多選題（共5小題）
16．樹人中學的“希望工程”中，甲、乙兩個募捐小組暑假期間走上街頭分別進行了為期兩周的募捐活動．兩個小組第1天都募得1000元，之后甲小組繼續按第1天的方法進行募捐，則從第2天起，甲小組每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小組采取了積極措施，從第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣傳材料，則從第2天起，第，天募得的捐款數為元．若甲小組前天募得捐款數累計為元，乙小組前天募得捐款數累計為元（需扣除印刷宣傳材料的費用），則　　
A．
B．甲小組募得捐款為9550元
C．從第7天起，總有
D．，且
17．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是　　
A．消耗汽油，乙車最多可行駛
B．甲車以的速度行駛消耗約汽油
C．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
D．某城市機動車最高限速80千米小時．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
18．如圖，假定兩點，相同的初速度運動．點沿直線做勻速運動，；點沿線段（長度為個單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經過的距離．令與同時分別從，出發，那么，定義為的納皮爾對數，用現在的數學符號表示與的對應關系就是，其中為自然對數的底數．
則下列結論正確的是　　
A．當點在線段的三等分點（靠近點時，
B．當點在線段的中點時，
C．當點從線段的三等分點（靠近點移動到中點時，經過的時間為
D．當點從線段的三等分點（靠近點移動到中點時，經過的時間為
19．某一時段內，從天空降落到地面上的液態或固態的水，未經蒸發，滲透流失，而在水平面上積聚的深度稱為這段時間的降雨量．降雨量的等級劃分如下：
等級 降用量
小雨
中雨 ，
大雨 ，
暴雨 ，
大暴雨 ，
特大暴雨 ，
在一次暴雨降雨過程中，小明用一個大容量燒杯（如圖，瓶身直徑大于瓶口直徑，瓶身高度為，瓶口高度為收集雨水，降雨結束后，容器內雨水的高度可能是　　
A． B． C． D．
20．地震震級根據地震儀記錄的地震波振幅來測定，一般采用里氏震級標準．里氏震級的計算公式為（其中常數是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅，是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（單位：焦耳）是指當地震發生時，以地震波的形式放出的能量．已知，其中為地震震級．下列說法正確的是　　
A．若地震震級增加1級，則最大振幅增加到原來的10倍
B．若地震震級增加1級，則放出的能量增加到原來的10倍
C．若最大振幅增加到原來的100倍，則放出的能量也增加到原來的100倍
D．若最大振幅增加到原來的100倍，則放出的能量增加到原來的1000倍
三．填空題（共5小題）
21．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：與時間（單位：月）的關系為．關于下列說法正確的是 ．
①浮萍每月的增長率為2；
②浮萍每月增加的面積都相等；
③第4個月時，浮萍面積不超過；
④若浮萍蔓延到，，所經過的時間分別是，，，則．
22．已知，兩城市的距離是、根據交通法規，兩城市之間的公路車速應限制在，假設油價是6元，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，其它費用是36元．為了這次行車的總費用最少，那么最經濟的車速是 （精確到，參考數據
23．個人所得稅是指以個人所得為征稅對象，并由獲取所得的個人繳納的一種稅，我國現行的個人所得稅政策主要內容包括：（1）個稅起征點為5000元；（2）每月應納稅所得額（含稅）收入個稅起征點五險一金（個人繳納部分）累計專項附加扣除；專項附加扣除包括：①贍養老人費用，②子女教育費用，③繼續教育費用，④大病醫療費用等，其中前兩項的扣除標準為：①贍養老人費用，每月扣除2000元，②子女教育費用，每個子女每月扣除1000元，個稅政策的稅率表部分內容如下：
級數 全月應納稅所得額 稅率
1 不超過3000元的部分
2 超過3000元至12000的部分
3 超過12000元至25000的部分
現王某每月收入為30000元，每月繳納五險一金（個人繳納部分）6000元，有一個在讀高一的獨生女兒，還需獨自贍養老人，除此之外無其他專項附加扣除，則他每月應繳納的個稅金額為 ．
24．中國移動通信公司早前推出“全球通”移動電話資費“個性化套餐”，具體方案如表：
方案代號 基本月租（元 免費時間（分鐘） 超過免費時間的話費（元分鐘）
1 30 48 0.60
2 98 170 0.60
3 168 330 0.50
4 268 600 0.45
5 388 1000 0.40
6 568 1700 0.35
7 788 2588 0.30
某用戶的月通話量平均為320分鐘，則在表中所列出的七種方案中，選擇方案 較合算．
25．中國古代數學著作《九章算術》中記載買雞問題：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、雞價各幾何？”設人數為，雞價為，則那么， ， ．
四．解答題（共3小題）
26．某公司有兩種活期理財產品，投資周期最多為一年，產品一：投資1萬元，每月固定盈利40元．產品二：投資1萬元，前個月的總盈利（單位：元）與的關系式為．已知小明選擇了產品二，第一個月盈利10元，前兩個月盈利30元．
（1）求的解析式；
（2）若小紅有1萬元，根據小紅的投資周期的不同，探討她在產品一和產品二中選擇哪一個，才能獲得最大盈利．
27．人對聲音的感覺與它的強度有關，聲音的強度用（單位：表示，但在實際測量時，聲音的強度水平用（單位：分貝）表示，它們滿足以下公式：，其中，這是人們平均能聽到的最小強度，是聽覺的開端．
（1）若樹葉沙沙聲的強度，耳語的強度，恬靜的無線電廣播的強度，分別求出它們的強度水平；
（2）某一新建的安靜小區規定：小區內公共場所的聲音的強度水平必須保持在50分貝以下．試求聲音強度范圍為多少？
28．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如表：
每戶每月用水量 水價
不超過的部分 3元
超過但不超過的部分 6元
超過的部分 9元
（1）求出每月用水量和水費之間的函數關系；
（2）若某戶居民某月交納的水費為54元，則此月此戶居民的用水量為多少？階段檢測（二）
基本初等函數
考試范圍：基本初等函數；考試時間：150分鐘；
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一．選擇題（共8小題）
1．已知函數，的定義域均為，且，，若為偶函數，且（2），則　　
A．5 B．4 C．3 D．0
【解答】解：，以為對稱中心，且（1），
，即，
為偶函數，以軸為對稱軸，
，即，
由知，，
，，
從而，即，
的周期為4，的周期為4，
故（2）（1）．
故選：．
2．已知是定義在上的奇函數，且滿足，當，，則　　
A．0 B． C．1 D．
【解答】解：因為是定義在上的奇函數，且滿足，
所以，，
則，即，
則，
即是以4為周期的周期函數，
又，當時，，
所以（3）（1）．
故選：．
3．已知函數的定義域是，函數的圖象的對稱中心是，若對任意的，，且，都有成立，（1），則不等式的解集為　　
A．，， B．
C．，， D．，，
【解答】解：因為是向左平移1個單位長度得到，且函數的圖象的對稱中心是，
所以的圖象的對稱中心是，故是上的奇函數，所以（1），
對任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根據單調性的定義可得在上單調遞增，
由是上的奇函數可得是，，上的偶函數
所以在上單調遞減，
當時，不等式得到，矛盾；
當時，轉化成即（1），
所以；
當時，轉化成，，所以，
綜上所述，不等式的解集為，，．
故選：．
4．設是定義在上的偶函數，對任意的，都有，且當，時，，則在區間，內關于的方程的根的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：是定義在上的偶函數，對任意的，都有，
，
即，即函數的周期是4．
當，時，，，
此時，
即，，．
由得：
，
分別作出函數和圖象如圖：
則由圖象可知兩個圖象的交點個數為4個，
即方程的根的個數為是4個．
故選：．
5．游戲一共有20波，你在一波結束時每有點“收獲”便獲得點材料和經驗，獲得材料和經驗后，你的收獲增加，每波獲得的經驗都可以以的比例轉化為收獲，每波材料的通貨膨脹率為，若你一開始擁5點收獲，則20波結束時，你能獲得的材料真實收益約為　　，，，，
A．445 B．447 C．449 D．451
【解答】解：設第波時收獲為，則易知，
則數列構成公比是1.25的等比數列，首項，
則，
每波材料的通貨膨脹率為，
第波時收獲的真實收益為，
由題意知20波結束時，你能獲得的材料真實收益約為，
又設，則，，
即，
即，則，即，
注意到，
故．
故選：．
6．設，，，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：由題知，，，
因為在定義域內單調遞減，
所以（3）（1），
即，
因為在定義域內單調遞增，
所以，
即，
因為在定義域內單調遞增，
所以（1）（2），
即，
綜上：．
故選：．
7．已知，，，，，2，3，，使恒成立的有序數對有　　
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
【解答】解：因為，，
所以的定義域為，
要想恒成立，即恒成立，
即恒成立，恒成立，
設，，
則，
所以當時，（3），
使恒成立的可取1，
所以當時，（1），
使恒成立的可取1，2，3，
所以一共有，，，共4種．
故選：．
8．若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是　　
A．，， B．， C．，， D．，
【解答】解：由對數函數的定義可知，且，
當時，單調遞增，，故
因為，則，
所以，解得，與求交集，得到，
當時，單調遞減，，故，
由于當時，，故此時無解，
綜上：實數的取值范圍是，．
故選：．
二．多選題（共4小題）
9．已知函數，且的對稱中心為，當，時，，則下列選項正確的是　　
A．在上單調遞減
B．的最小值是
C．在上的函數值大于0
D．的圖像關于直線對稱
【解答】解：根據可得為偶函數，對稱中心為，可知的圖象關于對稱，
結合，時，，可畫出的部分圖象如下：
由圖象可知：的最小值是，在上單調遞增，
的圖像關于直線對稱，在上的函數值小于0，
故不正確，正確．
故選：．
10．對于兩個均不等于1的正數和，定義：，，則下列結論正確的是　　
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，則
D．若，，則
【解答】解：選項：當時，，即，即；
當時，，即，即．
綜上，當時，或，則錯誤；
選項：由及，得，即，
即，即或，即或．由，得，從而可得，則正確；
選項：若，則，
而由，得，所以成立，則正確；
選項：由指數函數是減函數，且，可得；
由冪函數是增函數，且，可得，于是，
所以，同理，，
所以，則錯誤．
故選：．
11．已知函數，若關于的方程有5個不同的實根，則實數的取值可以為　　
A． B． C． D．
【解答】解：作出函數的圖象如下：
因為關于的方程有5個不同的實根，
令，則方程有2個不同的實根，，
則△，解得或，
若，則或，
令，或，
解得，得；
當時解得，此時，解得，，不符合題意，故舍去，
綜上可得．
故選：．
12．設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，當，時，，若方程，在，上恰有5個實數解，則　　
A．的周期為4 B．在，上單調遞減
C．的值域為， D．
【解答】解：對于，因為是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，
所以，，
則，則函數的周期為4，選項正確；
對于，當，時，，可得在，上單調遞增，則函數在，上單調遞增，選項錯誤；
對于，，（2），故的值域為，，選項錯誤；
對于，作出函數與的圖象如下所示，
由圖可知，要使與在，上恰有5個實數解，則需，即，
解得，選項正確．
故選：．
三．填空題（共4小題）
13．已知函數，，，其中，，若的最小值為2，則實數的取值范圍是 　　．
【解答】解：①當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，在，上單調遞增，
，則，
，
，，，，，
或或，
；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
，
，即，；
②當時，在，上單調遞增，
，
，，因此滿足題意；
綜上，的取值范圍為．
故答案為：．
14．函數，當時，，則的取值范圍為 　　．
【解答】解：函數，當時，不等式可化為；
設，，
則在上為增函數，且（b），
當時，，則有時，，
當時，，
即必過點，
則（b），解得，
所以，
則滿足的另一個零點，
即，
所以，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
15．已知當時，不等式且恒成立，則的取值范圍是　　．
【解答】解：，，
當時，不等式恒成立，轉化為，
即，而，
；
當時，不等式恒成立，轉化為，
即，
，，
．
綜上所述，的取值范圍是．
故答案為：．
16．已知函數，函數，若存在兩個不同零點，則的取值范圍為　或　
【解答】解：作出函數的函數圖象，如圖所示：
函數存在兩個不同零點，等價于方程有2個不等的實根，
即與有2個不同的交點，
由圖當與圖像相切滿足題意，
此時有兩個相等實根，則△，
解得，
又由圖，當，即時滿足題意，
綜上所述，的取值范圍為或．
故答案為：或．
四．解答題（共6小題）
17．已知函數．
（1）求函數的定義域；
（2）若（a），求實數的值；
（3）若，求證：為偶函數，并求的解集．
【解答】解：（1）要使得有意義，只需，得，故得，
所以函數的定義域為；
（2）因為（a），得，即，解得；
（3）因為，
由，得或，則的定義域為，，，
又，所以為偶函數；
由，得，則，所以或，
所以的解集為或．
18．已知函數是定義在上的奇函數．
（1）求的值，判斷函數的單調性并用定義證明；
（2）若，解關于的不等式：．
【解答】解：（1）是定義在上的奇函數，
（1），
，
當時，，經檢驗此時為奇函數符合題意，
函數單調遞減，證明如下：
任取，且，
則，
因為，所以，
所以，即，
在上單調遞減；
（2）在上單調遞減，
，
，即，
，，
當，則；當，則，
綜上，當時，；當時，則．
19．（1）已知函數，若對任意的，都有，求實數的取值范圍；
（2）已知函數，集合，若任意的，總存在，，使得成立，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可得，
由對勾函數的性質可知在，上單調遞減，
所以；
由指數的性質可知在，上單調遞增，
所以（2），
所以，解得，
所以的取值范圍為，；
（2）由題意可知，
又因為圖象開口向上，對稱軸為，
當時，函數在，上為增函數，
則，（2），
由，解得；
當時，在區間，上為減函數，在，上為增函數，
（a），（2），
由，解得；
當時，函數在區間，上為減函數，在，上為增函數，
（a），，
由，解得；
當時，在，上單調遞減，
所以（2），，
由，解得，
綜上所述，實數的取值范圍為，，．
20．已知函數．
（1）證明：對任意，總存在，使得對恒成立．
（2）若不等式對，恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）證明：的定義域為，
因為在上為增函數，在上為增函數，
所以在為增函數，
因為，（1），
所以在內存在唯一的零點，
所以當時，．
故對任意，總存在，使得對恒成立．
（2）由，得．
設函數，為關于的二次函數．
因為對，恒成立，
由圖可知，即，
設函數，
在上為增函數，在上為增函數，
則在上為增函數，
因為（1），所以不等式的解集為，
而當時，顯然成立，
所以的取值范圍為．
21．若函數在，時，函數值的取值區間恰為，則稱，為的一個“倒域區間”．定義在，上的奇函數，當，時，．
（1）求在，上的解析式；
（2）求的“倒域區間”．
【解答】解：（1）定義在，上的奇函數，當，時，，
當，時，，，
由奇函數的定義可得，
在，上的解析式為；
（2）由（1）得，
在，時，函數值的取值區間恰為，
其中，且，，，則，
只考慮或，
①當時，因為函數（1），則，
，，
函數在，上遞減，且在，上遞減，且在，上的值域為，
，解得，
函數在，內的“遞域區間”為，，
②當時，在，上單調遞減，在，上單調遞增，
當，時，，
，，
，
在，上單調遞減，則，
解得，
在，內的“倒域區間”為，，
綜上，函數在定義域內的“倒域區間”為，和，．
22．某家具制造公司欲將如圖所示的一塊不規則的名貴木板裁制成一個矩形桌面板，已知，，且米，曲線段是以點為頂點且開口向上的拋物線的一段，如果要使矩形桌面板的相鄰兩邊分別落在、上，且一個頂點落在曲線段上．
（1）建立適當的坐標系，設點的橫坐標為，求矩形桌面板的面積關于的函數；
（2）求矩形桌面板的最大面積．
【解答】解：（1）以為原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
依題意可設拋物線方程為，且，所以，即，
故點所在曲線段的方程為，
設，是曲線段上的任意一點，
則在矩形中，，，
桌面板的面積為，，；
（2），
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以當時，有最大值，，
矩形桌面板的最大面積為平方米．階段檢測（二）
基本初等函數
考試范圍：基本初等函數；考試時間：150分鐘；
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一．選擇題（共8小題）
1．已知函數，的定義域均為，且，，若為偶函數，且（2），則　　
A．5 B．4 C．3 D．0
2．已知是定義在上的奇函數，且滿足，當，，則　　
A．0 B． C．1 D．
3．已知函數的定義域是，函數的圖象的對稱中心是，若對任意的，，且，都有成立，（1），則不等式的解集為　　
A．，， B．
C．，， D．，，
4．設是定義在上的偶函數，對任意的，都有，且當，時，，則在區間，內關于的方程的根的個數為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．游戲一共有20波，你在一波結束時每有點“收獲”便獲得點材料和經驗，獲得材料和經驗后，你的收獲增加，每波獲得的經驗都可以以的比例轉化為收獲，每波材料的通貨膨脹率為，若你一開始擁5點收獲，則20波結束時，你能獲得的材料真實收益約為　　，，，，
A．445 B．447 C．449 D．451
6．設，，，則　　
A． B． C． D．
7．已知，，，，，2，3，，使恒成立的有序數對有　　
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
8．若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是　　
A．，， B．， C．，， D．，
二．多選題（共4小題）
9．已知函數，且的對稱中心為，當，時，，則下列選項正確的是　　
A．在上單調遞減
B．的最小值是
C．在上的函數值大于0
D．的圖像關于直線對稱
10．對于兩個均不等于1的正數和，定義：，，則下列結論正確的是　　
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，則
D．若，，則
11．已知函數，若關于的方程有5個不同的實根，則實數的取值可以為　　
A． B． C． D．
12．設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，當，時，，若方程，在，上恰有5個實數解，則　　
A．的周期為4 B．在，上單調遞減
C．的值域為， D．
三．填空題（共4小題）
13．已知函數，，，其中，，若的最小值為2，則實數的取值范圍是 ．
14．函數，當時，，則的取值范圍為 ．
15．已知當時，不等式且恒成立，則的取值范圍是 ．
16．已知函數，函數，若存在兩個不同零點，則的取值范圍為
四．解答題（共6小題）
17．已知函數．
（1）求函數的定義域；
（2）若（a），求實數的值；
（3）若，求證：為偶函數，并求的解集．
18．已知函數是定義在上的奇函數．
（1）求的值，判斷函數的單調性并用定義證明；
（2）若，解關于的不等式：．
19．（1）已知函數，若對任意的，都有，求實數的取值范圍；
（2）已知函數，集合，若任意的，總存在，，使得成立，求實數的取值范圍．
20．已知函數．
（1）證明：對任意，總存在，使得對恒成立．
（2）若不等式對，恒成立，求的取值范圍．
21．若函數在，時，函數值的取值區間恰為，則稱，為的一個“倒域區間”．定義在，上的奇函數，當，時，．
（1）求在，上的解析式；
（2）求的“倒域區間”．
22．某家具制造公司欲將如圖所示的一塊不規則的名貴木板裁制成一個矩形桌面板，已知，，且米，曲線段是以點為頂點且開口向上的拋物線的一段，如果要使矩形桌面板的相鄰兩邊分別落在、上，且一個頂點落在曲線段上．
（1）建立適當的坐標系，設點的橫坐標為，求矩形桌面板的面積關于的函數；
（2）求矩形桌面板的最大面積．

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