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09高考數學易錯題解題方法大全（1）
一.選擇題
【范例1】已知集合A={x|x=2n—l，n∈Z}，B={x|x2一4x<0}，則A∩B=（ ）
A． B． C． D．{1，2，3，4}
答案：C
【錯解分析】此題容易錯選為B，錯誤原因是對集合元素的誤解。
【解題指導】集合A表示奇數集，集合B={1，2，3，4}.
【練習1】已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【范例2】若A、B均是非空集合，則A∩B≠φ是AB的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.即不充分也不必要條件
答案：B
【錯解分析】考生常常會選擇A，錯誤原因是混淆了充分性，與必要性。
【解題指導】考查目的：充要條件的判定。
【練習2】已知條件：，條件：，且是的充分不必要條件，則的取值范圍可以是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【范例3】定義在R上的偶函數滿足，且在[-1，0]上單調遞增，設， ，，則大小關系是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【錯解分析】此題常見錯誤A、B，錯誤原因對這樣的條件認識不充分，忽略了函數的周期性。
【解題指導】 由可得，是周期為2 的函數。利用周期性轉化為[-1，0]的函數值，再利用單調性比較.
【練習3】設函數f (x)是定義在Ｒ上的以5為周期的奇函數，若，，則的取值范圍是（ ）
A.(－∞, 0) B.(0, 3) C.(0, +∞) D.(－∞, 0)∪(3, +∞)
【范例4】的值為（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．－2
答案：D
【錯解分析】此題常見錯誤A、C，錯誤原因是對兩倍角公式或對對數運算性質不熟悉。
【解題指導】結合對數的運算性質及兩倍角公式解決.
【練習4】式子值是（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．－2
【范例5】設是方程的解，且，則（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
答案：C
【錯解分析】本題常見錯誤為D，錯誤原因沒有考慮到函數y=8-x與y=lgx圖像的結合。
【解題指導】考查零點的概念及學生的估算能力.
【練習5】方程的實數根有( )個．
A．0 B．1 C．2 D．3
【范例6】已知∠AOB=lrad，點Al，A2，…在OA上，
B1，B2，…在OB上，其中的每一個實線段和
虛線段氏均為1個單位，一個動點M從O點
出發，沿著實線段和以O為圓心的圓弧勻速
運動，速度為l單位／秒，則質點M到達A10
點處所需要的時間為( ) 秒。
A．62 B．63 C．65 D．66
答案：C
【錯解分析】本題常見錯誤B、D，這樣的錯誤常常由于是信息圖片信息把握力不強。
【解題指導】本題綜合考察等差數列求和，及扇形的弧長公式。要細讀題，理解動點的運動規律。
【練習6】如圖，將平面直角坐標系的格點（橫、縱坐標均為整數的點）按如下規則表上數字標簽：
原點處標0，點（1，0）處標1，點（1，-1）處
標2，點（0，-1）處標3，點（-1，-1）處標4，
點（-1，0）標5，點（-1，1）處標6，點（0，1）
處標7，以此類推，則標簽的格點的坐標
為( )
A．(1005,1004) B．(1004.1003)
C．(2009,2008) D．(2008,2007)
【范例7】如圖，點P是單位圓上的一個頂點，它從初始位置開
始沿單位圓按逆時針方向運動角（）到達點，
然后繼續沿單位圓逆時針方向運動到達點，若點的橫
坐標為，則的值等于 .
答案：
【錯解分析】本題常見錯誤寫成的相反數，這樣的錯誤常常是忽略角度所在的象限。
【解題指導】本題主要考察三角函數的定義，及對兩角和與差公式的理解。
【練習7】已知 .
【范例8】已知向量，其中、均為非零向量，則的取值范圍是 .
答案：
【錯解分析】本題常見錯誤五花八門，錯誤原因是沒有理解向量的模的不等式的性質。
【解題指導】分別表示與、同向的單位向量,
【練習8】△ABC中，，，則的最小值是 .
【范例9】若不等式恒成立，則實數a的取值范圍是 .
答案：
【錯解分析】解含絕對值不等式也是考生常常出現錯誤的，錯誤原因有解法單一，比如只會運用去絕對值的方法，這樣會導致計算量較多，易錯。通常簡捷的方法可以是利用絕對值的幾何意義。
【解題指導】由絕對值的幾何意義知的最小值為3.
【練習9】不等式｜x＋1｜(2x－1)≥0的解集為 .
【范例10】圓被直線分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為 .
答案：1∶3
【錯解分析】圓與直線的位置關系的錯誤點通常是考生找錯了圓的圓心，判斷不了圓的位置，在花函數圖像是產生了偏差。
【解題指導】對
【練習10】已知直線與圓交于A、B兩點，O是坐標原點，向量、滿足|+|=|(|，則實數的值是 .
【范例11】一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為__________.
答案：8π
【錯解分析】球體是近年高考通常所設計的集合體，通常也是考生容易
出錯的一個地方，通常的錯誤是對球體的與題目結合時候空間想象力缺乏
導致，或者計算的時候計算不出球的半徑等。
【解題指導】過球心與小圓圓心做球的截面，轉化為平面幾何來解決.
【練習11】如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方
體和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是 ．
【范例12】已知過點的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于、兩點，則的面積最小為 .
答案：4【錯解分析】本題考查均值不等式和數形結合，也是考生容易錯誤的地方，例如不會利用均值不等式，或者沒有看出均值不等式中隱含的“面積”。
【解題指導】設直線方程為,代點得: .由于,所以,所以
【練習12】函數的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為 .
【范例13】已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．
【錯解分析】本題易錯點（1）在于計算橢圓的方程的量本身就大，方法和計算技巧的運用很重要。
解：（1）點A代入圓C方程，得．
∵m＜3，∴m＝1．圓C：．
設直線PF1的斜率為k，則PF1：，
即．∵直線PF1與圓C相切，∴．解得．
當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去．
當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．
2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．
橢圓E的方程為：．
（2），設Q（x，y），，．
∵，即
而，∴－18≤6xy≤18．
∴的取值范圍是[0，36]，
即的取值范圍是[－6，6]．
∴的取值范圍是[－12，0]．
【練習13】已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.
【范例14】如圖，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），點P在BC邊上移動，線段OP的垂直平分線交y軸于點E，點M滿足
（1）求點M的軌跡方程；
（2）已知點F（0，），過點F的直線l交點M的軌跡于Q、R兩點，且求實數的取值范圍.
【錯解分析】向量的綜合題型考察的范圍可以很廣，這樣的題型容易產生畫圖不準確，題意模糊的錯誤，導致考生無法作答，因此要理解題意，把握條件，學會精確畫圖。
解:（1）依題意，設P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
當t=0時，點M與點E重合，則M=（0，1），
當t≠0時，線段OP的垂直平分線方程為：

顯然，點（0，1）適合上式 .故點M的軌跡方程為x2=－4(y－1)( －2≤x≤2)
（2）設得x2+4k－2=0.
設Q（x1,y1）、R（x2,y2），則
,.消去x2，得.
解得
【練習14】已知拋物線C的一個焦點為F（，0），對應于這個焦點的準線方程為x=-.
（1）寫出拋物線C的方程；
（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程；
（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點分別是M，N.當P點在何處時，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
【范例15】如圖：在三棱錐中，面，是直角三角形，，，，點分別為的中點。
⑴求證：；
⑵求直線與平面所成的角的大小；
⑶求二面角的正切值。
【錯解分析】立體幾何是高考的必考內容，容易錯誤的地方通常是求二面角的大小，因此要歸納總結通常尋找二面角的平面角的方法。
解：⑴連結。在中，
，點為的中點，
又面，即為在平面內的射影
分別為的中點
⑵面，
連結交于點，，
平面
為直線與平面所成的角，且
面，，又
，，
在中，，
⑶過點作于點，連結，，
面，即為在平面內的射影
，為二面角的平面角
中，，
【練習15】如圖所示，正三棱柱的底面邊長是2，側棱長是，D是AC的中點。
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求直線與平面所成的角的正弦值。
練習題參考答案：
1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A
7. －1 8. 9. 10. 2或(2 11.  12. 413. 解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN
GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是。
（2）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形
若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形
若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由
矛盾，故l的斜率存在.
設l的方程為

①
②
把①、②代入
∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.
14. 解：（1）拋物線方程為：y2=2x.
（2）①當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.
設A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.
設△AOB的重心為G（x，y）則，消去k得y2=為所求，
②當直線垂直于x軸時，A（，1），B（，-1），△AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.
綜合①②得，所求的軌跡方程為y2=，
（3）設已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，
根據圓的性質有：|MN|=2.
當|PQ|2最小時，|MN|取最小值，
設P點坐標為(x0，y0)，則y=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，
∴當x0=2，y0=±2時，|PQ|2取最小值5，
故當P點坐標為（2，±2）時，|MN|取最小值.
15. 解法一：（1）設與相交于點P，連接PD，則P為中點，
D為AC中點，PD//.
又PD平面D，//平面D
（2）正三棱住， 底面ABC。
又BDACBD
就是二面角的平面角。
=，AD=AC=1tan =
=, 即二面角的大小是
（3）由（2）作AM，M為垂足。
BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC
BD平面，AM平面，BDAM
BD = DAM平面，連接MP，則就是直線與平面D所成的角。
=，AD=1，在RtD中，=，
，,
直線與平面D所成的角的正弦值為
解法二：（1）同解法一（2）如圖建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）
=（-1，，-），=（-1，0，-）
設平面的法向量為n=（x，y，z）
則n
n
則有，得n=（，0，1）
由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量。
設n與所成角為，則，
二面角的大小是
（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）則
直線與平面D所成的角的正弦值為.

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