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09高考數學易錯題解題方法大全（2）
一.選擇題
【范例1】已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，
其平面展開圖如右圖所示，則該凸多面體的體積( )
A． B． 1 C． D．
答案： A
【錯解分析】此題容易錯選為D，錯誤原因是對棱錐的體積公式記憶不牢。
【解題指導】將展開圖還原為立體圖，再確定上面棱錐的高。
【練習1】一個圓錐的底面圓半徑為，高為，則這個圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【范例2】設是展開式的中間項，若在區間上恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【錯解分析】此題容易錯選為C，錯誤原因是對恒成立問題理解不透。
注意區別不等式有解與恒成立：
； ；
；
【解題指導】∵，∴在區間上恒成立，即在區間上恒成立，∴.
【練習2】若的展開式中第三項系數等于6，則n等于（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
【范例3】一只螞蟻在邊長分別為5，12，13的三角形區域內隨機爬行，則其恰在離三個頂點距離都大于1的地方的概率為（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【錯解分析】此題容易錯選為A，錯誤原因是沒有看清螞蟻在三角形區域內隨機爬行，而不是在三邊上爬。
【解題指導】考查幾何概型的計算，滿足條件部分的面積與三角形面積之比.
【練習3】設在區間[0，5]上隨機的取值，則方程有實根的概率為（ ）
A. B. C. D. 1
【范例4】方程在[0，1]上有實數根，則m的最大值是（ ）
A.0 B.-2 C. D. 1
答案：A
【錯解分析】此題容易錯選為B，錯誤原因是不能利用導數準確地求最值。
【解題指導】轉化為求函數在[0，1]上的最值問題.
【練習4】已知函數，若直線對任意的都不是曲線的切線，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【范例5】已知，則=（ ）
A．10 B．8 C．6 D．
答案：A
【錯解分析】此題容易錯選為C，錯誤原因是對復數的代數形式化簡不到位。
【解題指導】∴
∴
【練習5】復數的值是（ ）
A． B． C．4 D．－4
【范例6】從2006名學生中選取50名組成參觀團，若采用以下方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣從2006名學生中剔除6名，再從2000名學生中隨機抽取50名. 則其中學生甲被剔除和被選取的概率分別是 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
【錯解分析】此題容易錯選為B，錯誤原因是對抽樣的基本原則理解不透。
【解題指導】法（一）學生甲被剔除的概率則學生甲不被剔除的概率為,所以甲被選取的概率故選C.
法（二）每位同學被抽到，和被剔除的概率是相等的，所以學生甲被剔除的概率甲被選取的概率
【練習6】在抽查產品的尺寸過程中，將尺寸分成若干組，是其中的一組，抽查出的個體在該組上的頻率為m，該組上的直方圖的高為h，則=( )
A．hm B． C． D．
二.填空題
【范例7】已知一個棱長為6cm的正方體塑料盒子(無上蓋)，上口放著一個半徑為5cm的鋼球，則球心到盒底的距離為 cm.
答案：10
【錯解分析】此題容易錯填11，錯誤原因是空間想象能力不到位。
【解題指導】作出截面圖再分析每個量的關系.
【練習7】設是球表面上的四個點，兩兩垂直，且，則球的表面積為 .
【范例8】已知直線的充要條件是= .
答案：
【錯解分析】此題容易錯填為-1，3，主要是沒有注意到兩直線重合的情況。
【解題指導】的充要條件是且.
【練習8】已知平面向量，，且，則 .
【范例9】已知雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線上一點，且,則雙曲線的離心率是 .
答案：
【錯解分析】此題容易漏掉圓錐曲線定義在解題中的應用。
【解題指導】求圓錐曲線的離心率值或范圍時，就是尋求含齊次方程或不等式，同時注意. 找全的幾個關系，（1）（2），（3）。 將（2）式平方可得所以
所以。
【練習9】若雙曲線－=1的漸近線與方程為的圓相切，則此雙曲線的離心率為 ．
【范例10】點在直線上，則最小值為 .
答案：9
【錯解分析】此題主要考查學生對均值不等式的應用，及指數的四則運算。一定要牢記這些公式。
【解題指導】.
【練習10】已知且則最大值為 .
【范例11】函數滿足條件,則的值為 .
答案：6
【錯解分析】此題主要考查二次函數的性質，主要易錯在不能很好的應用性質解題。
【解題指導】（一）對稱軸所以.
（二）對稱軸所以
【練習11】已知二次函數滿足，且，若在區間上的值域是，則＝ ，＝ .
【范例12】已知向量，，=（），則向量與的夾角范圍為 .
答案：
【錯解分析】此題主要錯在不能認識到點A的軌跡是一個圓.
【解題指導】 ∵，
∵， ∴點A的軌跡是以C（2，2）為圓心，為半徑的圓. 過原點O作此圓的切線，切點分別為M，N，連結CM、CN（∠MOB<∠NOB），則向量與的夾角范圍是〈〉. ∵，∴知，但.
∴，故〈〉
【練習12】如圖，在正方形中，已知，為的中點，
若為正方形內（含邊界）任意一點，則的最大值是 .
三.解答題
【范例13】已知數列{}的前項和,
（1）求數列的通項公式；
（2）設,且，求.
【錯解分析】（1）在求通項公式時容易漏掉對n=1的驗證。
（2）在裂項相消求數列的和時，務必細心。
解:（1）∵Sn=n2+2n ∴當時，
當n=1時，a1=S1=3， ,滿足上式.
故
（2）∵, ∴
∴
∴

【練習13】已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為數列{}的前n項和為，點均在函數的圖像上.
（1）求數列{}的通項公式；
（2）設，的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數.
【范例14】已知函數．
（1）求函數的單調增區間；
（2）已知，且，求的值．
【錯解分析】在利用降冪公式兩倍角公式時，本身化簡就繁瑣，所以仔細是非常重要的。
解：（1）＝．
由，得．
∴函數的單調增區間為 ．
（2）由，得．∴．
∴，或，
即或．∵，∴．
【練習14】在△ABC中，依次是角所對的邊，且4sinB·sin2(+)+cos2B=1+.
(1)求角B的度數；
(2)若B為銳角，，，求邊的長．
【范例15】某工廠制造甲、乙兩種產品，已知制造甲產品1 kg要用煤9噸，電力4 kw，勞力(按工作日計算)3個；制造乙產品1 kg要用煤4噸，電力5 kw，勞力10個.又知制成甲產品1 kg可獲利7萬元，制成乙產品1 kg可獲利12萬元，現在此工廠只有煤360噸，電力200 kw，勞力300個，在這種條件下應生產甲、乙兩種產品各多少千克，才能獲得最大經濟效益？
【錯解分析】對于線性規劃的題目，首先要認真審題，列出約束條件，及目標函數，這是本題的重點及難點。
解：設此工廠應生產甲、乙兩種產品x kg、y kg，利用z萬元，則依題意可得約束條件：
利潤目標函數為z＝7x＋12y.
作出不等式組所表示的平面區域，即可行域(如下圖).
作直線l：7x＋12y＝0，把直線l向右上方平移至l1位置時，直線l經過可行域上的點M時，此時z＝7x＋12y取最大值.
解方程組得M點的坐標為(20,24).
答：應生產甲種產品20千克，乙種產品24千克，才能獲得最大經濟效益.
【練習15】某養雞場有1萬只雞,用動物飼料和谷物飼料混合喂養.每天每只雞平均吃混合飼料0.5kg,其中動物飼料不能少于谷物飼料的.動物飼料每千克0.9元,谷物飼料每千克0.28元,飼料公司每周僅保證供應谷物飼料50000kg,問飼料怎樣混合,才使成本最低.
練習題參考答案：
1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7． 8．， 9．2 10. 4
11. m=0 ，n＝1 12. 4
13. 解：（1）設這二次函數，
由于，得.
又因為點的圖像上，所以
當
（2）由（1）得知
故
因此，要使，必須且僅須滿足
即，所以滿足要求的最小正整數為10.
14. 解：（1）由4sinB · sin2+ cos2B = 1 +得：
，
或．
（2）法1：為銳角
由已知得：，角為銳角
可得：由正弦定理得：．
法2：由得：，由余弦定理知：
即：
．
15. 解:設每周需用谷物飼料x kg,動物飼料y kg,每周總的飼料費用為z元,那么 ,而z=0.28x+0.9y
如右圖所示,作出以上不等式組
所表示的平面區域,即可行域.
作一組平行直線0.28x+0.9y =t,
其中經過可行域內的點且和原點最近的直線,經過直線x+y=35000和直線的交點,即,時,飼料費用最低.
所以,谷物飼料和動物飼料應按5:1的比例混合,此時成本最低.

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