資源簡介

專題13 導數的應用--函數的極值問題5題型分類
1、函數的極值
函數在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極小值，記作．極大值與極小值統稱為極值，稱為極值點．
求可導函數極值的一般步驟
（1）先確定函數的定義域；
（2）求導數；
（3）求方程的根；
（4）檢驗在方程的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數在這個根處取得極小值．
注：①可導函數在點處取得極值的充要條件是：是導函數的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號．
②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數的極值點；但為的極值點．
（一） 函數極值、極值點的辨識 解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數還是導函數的，對于導函數的圖象，重點考查在哪個區間上為正，哪個區間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導數值是如何變化的，若是由正值變為負值，則在該點處取得極大值；若是由負值變為正值，則在該點處取得極小值．
題型1：函數極值、極值點的辨識 1-1．（2024·遼寧）設函數滿足則時， A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值 【答案】D 【詳解】函數滿足， ，令， 則， 由，得，令， 則 在上單調遞減，在上單調遞增， 的最小值為. 又在單調遞增， 既無極大值也無極小值，故選D. 考點：1、利用導數研究函數的單調性；2、利用導數研究函數的極值及函數的求導法則. 【方法點睛】本題主要考查抽象函數的單調性以及函數的求導法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結論進行類比、聯想、抽象、概括，準確構造出符合題意的函數是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數.本題通過觀察導函數的“形狀”，聯想到函數，再結合條件判斷出其單調性，進而得出正確結論. 1-2．（2024高三·全國·專題練習）已知e為自然對數的底數,設函數,則． A．當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值 B．當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值 C．當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值 D．當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值 【答案】C 【詳解】 當k=1時，函數f(x)=(ex 1)(x 1). 求導函數可得f′(x)=ex(x 1)+(ex 1)=(xex 1) f′(1)=e 1≠0，f′(2)=2e2 1≠0， 則f(x)在x=1處與在x=2處均取不到極值， 當k=2時，函數f(x)=(ex 1)(x 1)2. 求導函數可得f′(x)=ex(x 1)2+2(ex 1)(x 1)=(x 1)(xex+ex 2) ∴當x=1，f′(x)=0，且當x>1時，f′(x)>0，當x0題型2：函數(導函數)的圖象與極值(點)關系 2-1．（2024·重慶）設函數在R上可導，其導函數為 ，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是 A．函數有極大值 和極小值 B．函數有極大值 和極小值 C．函數有極大值 和極小值 D．函數有極大值 和極小值 【答案】D 【詳解】則函數增； 則函數減； 則函數減； 則函數增；選D. 【考點定位】判斷函數的單調性一般利用導函數的符號，當導函數大于0則函數遞增，當導函數小于0則函數遞減 2-2．（2024高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數的定義域為，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在內極小值點的個數是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】A 【分析】根據極值點的定義，結合導函數的圖象，即可判斷選項. 【詳解】，函數單調遞增，，函數單調遞減， 由導函數的圖象知：函數在內，與x軸有四個交點：從左向右看， 第一個點處導數左正右負，是極大值點， 第二個點處導數左負右正，是極小值點， 第三個點處導數左正右正，沒有變號，所以不是極值點， 第四個點處導數左正右負，是極大值點， 所以函數在開區間內的極小值點有1個， 故選：A 2-3．（2024高二上·陜西漢中·期末）定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ） A．函數在區間上單調遞增 B．函數在區間上單調遞減 C．函數在處取得極大值 D．函數在處取得極大值 【答案】A 【分析】根據函數的單調性和導數值的正負的關系，可判斷A、B；根據函數的極值點和導數的關系可判斷C、D的結論． 【詳解】在區間上，故函數在區間上單調遞增，故A正確； 在區間上，故函數在區間上單調遞增，故B錯誤； 當時，，可知函數在上單調遞增，故不是函數的極值點，故C錯誤； 當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故函數在處取得極小值，故D錯誤， 故選：A. 2-4．（2024高三上·四川自貢·階段練習）已知函數的定義域為，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在內的極小值有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】A 【分析】根據導函數得到函數單調性，進而得到和為極大值，為極小值，從而得到答案. 【詳解】在內的圖像如下， 當時，單調遞增，時，單調遞減，故為函數極大值點，為極大值， 當時，單調遞增，故為函數極小值點，為極小值， 當時，單調遞減，故為函數極大值點，為極大值， 故函數在內的極小值有1個. 故選：A
（二） 求已知函數的極值、極值點 1、因此，在求函數極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾． 2、原函數出現極值時，導函數正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大． 注：（1）可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側與右側f ′(x)的符號不同； （2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．
題型3：求已知函數的極值、極值點 3-1．（2024·重慶）設函數，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函數極值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）極小值 【分析】（Ⅰ）因 ，故 由于曲線 在點 處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即 ，從而 ，解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令，解得（因 不在定義域內，舍去）當 時， 故 在上為減函數；當 時， 故 在上為增函數，故在 處取得極小值 本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力 3-2．（2024高二下·重慶巫溪·期中）已知函數． (1)若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值； (2)求函數的極值． 【答案】(1) (2)當時，函數無極值； 當時，，； 當時，， 【分析】（1）先由所給函數的表達式，求導數，再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等列方程求的值即可； （2）對參數進行分類，先研究的單調性，再利用導數求解在上的極值即可． 【詳解】（1）． 因為曲線在點處的切線與x軸平行， 所以，即， 所以 ． （2）． 令，則或． ①當，即時，， 所以函數在上為增函數，函數無極值點； ②當，即時． +0-0+↗極大值↘極小值↗
所以當時，函數有極大值是， 當時，函數有極小值是； ③當，即時． +0-0+↗極大值↘極小值↗
所以當時，函數有極大值是， 當時，函數有極小值是． 綜上所述，當時，函數無極值； 當時，，； 當時，，． 3-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.求的極值； 【答案】，沒有極小值. 【分析】 首先對函數求導解得，然后結合的單調性，判斷函數的單調性，從而求得函數的極值； 【詳解】因為函數， 所以， 設，， 所以在上單調遞增. 又， 所以當時，； 當時，. 又因為對恒成立， 所以當時，，即在區間上單調遞增， 當時，，即在區間上單調遞減， 故，沒有極小值. 3-4．（2024·廣西南寧·一模）設函數，，為的導函數． (1)當時，過點作曲線的切線，求切點坐標； (2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值． 【答案】(1)切點坐標為，； (2). 【分析】（1）把代入，求出并設出切點坐標，利用導數的幾何意義列式求解作答. （2）根據給定條件，求出和的零點，分類探討求出，再利用導數求出極小值作答. 【詳解】（1）當時，，求導得， 設過點作曲線的切線的切點為，則， 于是切線方程為，即，因為切線過點， 即有，解得或，所以切點坐標為，. （2）當，時，， 求導得，令，得或， 依題意，，都在集合中，且，， 當時，，且，則，，， 當時，，且，則，，不符合題意， 因此，，，， 當或時，，當時，， 于是函數在，上單調遞增，在上單調遞減， 所以當時，函數取得極小值為. 3-5．（2024·河北·模擬預測）已知函數． (1)證明：當時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值； (2)當時，討論極值點的個數． 【答案】(1)證明見解析， (2)答案見解析 【分析】（1）當，時，求得，得出函數單調區間及有唯一的極值點為，由，令，設，求得，得出取得最大值，即可求解； （2）當時，求得，當時，由，得到極值點的個數為個；當時，設，分和，兩種情況，結合二次函數的性質，求得函數的單調性和極值點的概念，即可求解. 【詳解】（1）證明：當，時，，可得的定義域為， 且，令，解得， 當時，，單調遞減； 當時，，單調遞增， 所以當時，有唯一的極小值，即有唯一的極值點為， 由， 令，設，可得， 由，解得， 當時，，單調遞增；當時，，單調遞減， 所以當，即時，有唯一的極大值，即取得最大值， 所以當的最大值時，. （2）解：當時，的定義域為，且， ①當時，時恒成立，此時單調遞增， 所以極值點的個數為個； ②當時，設，即 （i）當，即時，可得，即對恒成立，即在上無變號零點，所以此時極值點的個數為個； （ii）當，即時， 設的兩零點為，且，，，可得 即在上有個變號零點，所以此時極值點的個數為個； 綜上所述，當時，的極值點的個數為； 當時，的極值點的個數為.
（三） 根據函數的極值、極值點求參數 根據函數的極值(點)求參數的兩個要領：①列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數值之后也需要進行驗證.
題型4：根據函數的極值求參數 4-1．（2024高三上·四川綿陽·階段練習）已知函數． (1)若在上存在單調減區間，求實數的取值范圍； (2)若在區間上有極小值，求實數的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函數的導數，利用在上有解，分離參數求解作答. （2）由（1）的信息，分析函數的極值情況，再建立不等式求解作答. 【詳解】（1）函數，求導得， 因為函數在上存在單調減區間，則不等式在上有解， 即在上成立，而函數在上遞減，顯然，于是， 所以實數的取值范圍是. （2）由（1）知，，即，解得， 當或時，，當時，， 即函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此函數在處取得極小值， 于是，即，當時，不等式成立，當時，解得，則， 所以實數的取值范圍是. 4-2．（2024·湖南·模擬預測）已知函數在處取得極大值4，則（ ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求函數的導數，把極值點代入導數則可等于0，再把極值點代入原函數則可得到極值，解方程組即可得到，從而算出的值. 【詳解】因為，所以， 所以，解得， 經檢驗，符合題意，所以. 故選：B 4-3．（2024高三下·貴州·階段練習）已知函數在處取得極小值，則實數的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函數的導函數，結合已知條件和導函數的零點即可判斷. 【詳解】因為函數， 則， 要使函數在處取得極小值，則， 故選：B. 4-4．（2024·陜西商洛·三模）若函數無極值，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接對函數求導，再利用極值的定義即可求出結果. 【詳解】因為，所以，因為無極值，所以，解得，所以a的取值范圍為． 故選：A. 4-5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習）函數在區間上存在極值，則的最大值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用導數討論函數的單調性和極值即可求解. 【詳解】函數的定義域為， ， 令，， 所以當時，，當時，， 所以在單調遞增，單調遞減， 所以， 又因為當時，則， ， 所以存在唯一，使得， 所以函數在時，時， 所以函數在單調遞增，單調遞減， 所以要使函數在區間上存在極值， 所以的最大值為3， 故選:B.
題型5：根據函數的極值點求參數 5-1．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習）已知函數為實數． (1)時，求的極小值點； (2)若是的極小值點，求的取值范圍． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）將代入求得的解析式，利用導數判斷出的單調性即可求得極小值點為0； （2）根據解析式求導，對參數的取值進行分情況討論，分別判斷出不同情況下的單調性，求出滿足題意的情況即可得出的取值范圍．. 【詳解】（1）時， 令，解得，所以在上單調遞增； 時，，所以在上單調遞減， 所以的極小值點為0（也可寫） （2）易知，且， 令，則，且， ①時，也即在上單調遞增， 所以當，單調遞減， 同理當，單調遞增 是的極小值點，符合題意 ②時，令，解得， 當時，單調遞增，且， 時，，即，所以單調遞減， ，即，所以單調遞增， 是的極小值點，符合題意 ③時，，，單調遞減， 單調遞減， 這與是的極小值點矛盾，舍去 ④時，， 令，則； 單調遞增， ，此時單調遞減， 所以在處取得極小值，也是最小值， 即當，可得在上單調遞增， 此時不是的極小值點，舍去 綜上可知，的取值范圍為 【點睛】關鍵點點睛：在求解的取值范圍時，關鍵是求得以后進行構造函數再重新求導，對參數的取值根據導函數的特點進行合理分類討論，解出符合題意的的取值范圍即可. 5-2．（2024高三上·河南洛陽·開學考試）已知函數 (1)若，求曲線在點處的切線方程； (2)若是的極大值點，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據導數幾何意義可求得切線斜率，結合可得切線方程； （2）將問題轉化為存在，使得當時，；當時，；令，可求得，分別討論、和的情況，結合的正負可得的單調性，結合可確定的正負，從而確定單調性，由此可得到符合題意的范圍. 【詳解】（1）當時，，則， ，又， 在點處的切線為：，即. （2）由題意知：，恒成立； 是的極大值點， 存在，使得當時，；當時，； 令， 則，.； ①若，即時，存在，使得當時，， 在上單調遞增，則當時，， 在上單調遞增，不合題意； ②若，即時，； 令，則， 當時，；當時，； 在上單調遞增；在上單調遞減；又， 當時，，在上單調遞減， ，當時，，當時，， 在上單調遞增，在上單調遞減，符合題意； ③若，即時，存在，使得當時，， 在上單調遞減， ，當時，；當時，； 在上單調遞增，在上單調遞減，符合題意； 綜上所述：實數的取值范圍為. 【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數幾何意義、根據極值點定義求解參數范圍的問題；本題求解參數范圍的關鍵是將問題轉化為對于函數在左右兩側的單調性的討論問題，進而再次轉化為關于在左右兩側的正負的討論問題. 5-3．（2024高三上·安徽阜陽·階段練習）已知函數． (1)若，求函數的單調區間； (2)若函數存在唯一的極值點，求實數a的取值范圍． 【答案】(1)的單調遞減區間是，單調遞增區間是 (2) 【分析】（1）根據導數與函數單調性的關系，利用分解因式整理導數，結合導數與零的大小關系，可得答案； （2）由函數存在為唯一極值點，可得導數等于存在唯一零解，根據分解因式的結果，討論各個因式與零的大小關系，可得答案. 【詳解】（1）的定義域是，， 當時，，令得或者， 令，，， 所以只有一個實根. 當時，，單調遞減；當時，，單調遞增. 綜上所述，的單調遞減區間是，單調遞增區間是. （2）函數有唯一的極值點時，導數有唯一的正實根， 且在兩邊取值正負號相反.所以或者在上恒成立． 顯然時，符合要求. 當時，，等價于，令，， 在上單調遞減，在單調遞增，時取最大值， 因此. 綜上所述，實數a的取值范圍是. 【點睛】本題的解題關鍵在于熟練應用導數與函數單調性關系這一知識點，對于導數的整理方法一般分為分解因式以及再次求導研究其單調性兩種方法. 5-4．（2024高二下·江蘇南通·期末）若x＝a是函數的極大值點，則a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求導后，得導函數的零點，比較兩數的大小，分別判斷在兩側的導數符號，確定函數單調性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍． 【詳解】解：， 令，得： 當 ，即 此時在區間單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，符合x＝a是函數的極大值點， 反之，當 ，即，此時在區間單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，x＝a是函數的極小值點，不符合題意； 當 ，即，恒成立，函數在上單調遞增，無極值點. 綜上得：. 故選：A. 5-5．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）已知函數有兩個極值點，則實數a的取值范圍（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多次求導的方法，列不等式來求得的取值范圍. 【詳解】的定義域是，， 令， 所以在區間遞減；在區間遞增. 要使有兩個極值點，則， 此時， 構造函數， 所以在上遞增，所以， 所以， 所以實數a的取值范圍. 故選：D 【點睛】利用導數研究函數的極值點，當一次求導無法求得函數的單調性時，可利用二次求導的方法來進行求解.在求解的過程中，要注意原函數和導函數間的對應關系.
一、單選題
1．（2024·全國）若是函數的極值點，則的極小值為．
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題可得，
因為，所以，，故，
令，解得或，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以的極小值為，故選A．
【名師點睛】（1）可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側與右側f ′(x)的符號不同；
（2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．
2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設函數一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】對于A選項函數的極大值不一定是函數的最大值，所以錯；對于B中的是將的圖象關于y軸對稱，所以是其極大值點,錯誤；對于C中的是將的圖象關x軸對稱，所以才是其極小值點，錯誤；而對于D中的是將的圖象關原點對稱，故是其極小值點，正確.
故選D.
3．（2024高三上·全國·單元測試）設，若為函數的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先考慮函數的零點情況，注意零點左右附近函數值是否變號，結合極大值點的性質，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.
【詳解】若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，故.
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數的極大值點，在左右附近都是小于零的.
當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點睛】本小題主要考查三次函數的圖象與性質，利用數形結合的數學思想方法可以快速解答.
4．（2024高三·全國·課后作業）已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是(　　 )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
【答案】B
【詳解】函數f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，
等價于函數y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，
在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）
當a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，
由圖可知，當0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點．
則實數a的取值范圍是（0，）．
故選B．
5．（2024·吉林通化·模擬預測）已知函數在區間上的最大值為k，則函數在上（ ）
A．有極大值，無最小值 B．無極大值，有最小值
C．有極大值，有最大值 D．無極大值，無最大值
【答案】D
【分析】利用導函數研究單調性，結合區間最值求得，進而判斷在上的單調性，即可得答案.
【詳解】由，則時，時，
所以在上遞增，上遞減，
而，在上的最大值為k，
所以，即，此時在上遞減，且無極大值和最大值.
故選：D
6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數的導函數，若函數的圖象大致如圖所示，則極值點的個數為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據函數圖象得到的取值情況，即可得到的單調性，即可得到極值點數.
【詳解】由圖可知，當時，，即在上單調遞減；
當時，，即在上單調遞增；
當時，，即在上單調遞增；
當時，，即在上單調遞減.
所以在處取得極小值，在處取得極大值，
故極值點的個數為.
故選：B
7．（2024高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）
A．是函數的極小值點
B．是函數的極大值點
C．函數在上單調遞增
D．函數在處的切線斜率小于零
【答案】C
【分析】根據導函數圖象，求得函數單調性，結合極值點定義，即可容易判斷選擇.
【詳解】由圖象得時，，時，，
故在單調遞減，在單調遞增，
故是函數的極小值點，即選項A、B錯誤，C正確；
對選項D：顯然，故D錯誤.
故選：C．
8．（2024·陜西）對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結
論是錯誤的，則錯誤的結論是
A．是的零點 B．1是的極值點
C．3是的極值 D．點在曲線上
【答案】A
【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．
【考點定位】1、函數的零點；2、利用導數研究函數的極值．
9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習）已知函數，則的極小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用導數求出函數極小值作答.
【詳解】函數的定義域為，
求導得，
，，則由，得或，由，得，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，則當時，取得極小值，
所以函數的極小值為.
故選：A
10．（2024高三·全國·專題練習）函數的大致圖像如圖所示，，是函數的兩個極值點，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據圖象求出函數的解析式，再求得，將已知條件，是函數的兩個極值點轉化為，是的兩個根，再根據韋達定理求解即可．
【詳解】因為函數的圖像過原點，所以．
又，即，解得，
所以，則，
又，是函數的兩個極值點，
所以，是的兩個根，
所以，，
所以．
故選：C．
11．（2024高二下·吉林長春·階段練習）已知實數成等比數列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】根據實數成等比數列，可得．利用導數研究函數的單調性與極值，進而得出結論．
【詳解】因為實數成等比數列，所以，
由，得，
令，解得，
當或時，，當時，，
所以函數在上單調遞減；函數在上單調遞增；函數在上單調遞減．
所以時，函數取得極小值，時，函數取得極大值．
因為曲線的極大值點為，極大值為，
所以，，即．
所以，所以，
故選：A．
12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數的導函數的圖象，給出下列命題：
①x=-2是函數的極值點；
②x=1是函數的極值點；
③的圖象在處切線的斜率小于零；
④函數在區間上單調遞增．
則正確命題的序號是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】根據導數的幾何意義，與函數的單調性，極值點的關系，結合圖象即可作出判斷.
【詳解】對于①，根據導函數圖像可知，-2是導函數的零點，且-2的左右兩側導函數值符號異號，故-2是極值點，故①正確；
對于②，1不是極值點，因為1的左右兩側導函數符號一致，故②錯誤；
對于③，0處的導函數值即為此點的切線斜率顯然為正值，故③錯誤；
對于④，導函數在恒大等于零，故為函數的增區間，故④正確.
故選：D
【點睛】根據導函數和原函數的關系很容易分析單調性，然后要注意對極值點的理解，極值點除了是導函數得解還一定要保證在導函數值在此點兩側異號.
13．（2024高二下·全國·期中）已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．是的極小值點 B．是的極小值點
C．在區間上單調遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零
【答案】D
【分析】根據導函數圖像，求得函數單調性，結合極值點定義，即可判斷ABC選項，根據導數的定義和幾何意義即判斷D選項，從而得出答案.
【詳解】由圖像知，當或時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以在區間，內單調遞增，在區間內單調遞減，
是的極大值點，3是的極小值點，故ABC錯誤；
又因為，所以曲線在處切線斜率小于零，故D正確.
故選：D.
14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習）若函數存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（ ）個單調區間.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據單調性與極值之間的關系分析判斷.
【詳解】若函數存在一個極大值與一個極小值，則至少有3個單調區間，
若有3個單調區間，
不妨設的定義域為，若，其中可以為，可以為，
則在上單調遞增，在上單調遞減，（若定義域為內不連續不影響總體單調性），
故，不合題意，
若，則在上單調遞減，在上單調遞增，有，不合題意；
若有4個單調區間，
例如的定義域為，則，
令，解得或，
則在上單調遞增，在上單調遞減，
故函數存在一個極大值與一個極小值，且，滿足題意，此時有4個單調區間，
綜上所述：至少有4個單調區間.
故選：B.
15．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在R上的函數f（x），其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數的最小值為
【答案】C
【分析】根據導函數的圖象確定的單調性，從而比較函數值的大小及極值情況，對四個選項作出判斷.
【詳解】由題圖可知，當時，，所以函數在上單調遞增，
又a因為，，且當時，；當c當x>e時，．所以函數在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．
由題圖可知，當時，，所以函數在[d，e]上單調遞減，從而，所以D不正確．
故選：C．
16．（2024·全國·模擬預測）已知函數的導函數為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】結合充分、必要條件定義及極值點的概念即可可判斷.
【詳解】只有當在上有兩個變號零點時，在上才有兩個極值點，故充分性不成立；若在上有兩個極值點，則在上有兩個變號零點，則在上至少有兩個零點，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的既不充分也不必要條件，
故選：D.
二、多選題
17．（2024·全國·模擬預測）設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（ ）

A．有兩個極值點 B．為函數的極大值
C．有兩個極小值 D．為的極小值
【答案】BC
【分析】利用函數圖象判斷符號，從而判斷的單調性，進而根據極值點、極值的概念判斷即可.
【詳解】由題圖知，當時，，所以，當時，，所以，
當時，，所以，當時，，所以.
所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，
所以有三個極值點，為函數的極大值，和為的極小值.
故AD錯誤，BC正確.
故選：BC
18．（2024·全國）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
【答案】ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.
方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.
【詳解】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
19．（2024·全國）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函數的導數，由已知可得在上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.
【詳解】函數的定義域為，求導得，
因為函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，而，
因此方程有兩個不等的正根，
于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.
故選：BCD
20．（江西省豐城中學2024屆高三上學期入學考試數學試題）如圖所示是的導數的圖象，下列結論中正確的有（ ）

A．的單調遞增區間是
B．是的極小值點
C．在區間上是減函數，在區間上是增函數
D．是的極小值點
【答案】ABC
【分析】A.利用函數的單調性與導數的正負的關系判斷；B.利用極小值點的定義判斷；C. 利用函數的單調性與導數的正負的關系判斷；D.利用極小值點的定義判斷；
【詳解】解：根據圖象知當時，，函數在上單調遞增；
當時，，函數在上單調遞減．故A、C正確；
當時，取得極小值，是的極小值點，故B正確；
當時，取得是極大值，不是的極小值點，故D錯誤．
故選：ABC．
21．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知函數和的圖像都是上連續不斷的曲線，如果，當且僅當時，那么下列情形可能出現的是（ ）
A．1是的極大值，也是的極大值 B．1是的極大值，也是的極小值
C．1是的極小值，也是的極小值 D．1是的極小值，也是的極大值
【答案】ABC
【分析】由題意構造函數圖象滿足題干依次判定選項即可.
【詳解】對于A選項，構造如圖所示圖象，則A選項正確；

對于B選項，構造如圖所示圖象，則B選項正確；

對于C選項，構造如圖所示圖象，則C選項正確；

對于D選項，因為1是的極小值，則在1的附近存在，使得，
又1也是的極大值，則在1的附近存在，使得，
所以在1的附近存在與，使得，不合題意，故D錯誤.
故選：ABC.
22．（2024高二下·福建廈門·期末）函數的導函數的圖象如圖所示，則（ ）

A．在區間上單調遞減
B．在處取得極大值
C．在區間上有2個極大值點
D．在處取得最大值
【答案】AB
【分析】根據導函數的圖象可分析出的單調性，進而可判斷各選項.
【詳解】由導函數的圖象可知：
時，單調遞增；
時，單調遞減；
時，單調遞增.
故A，B正確，C，D錯誤.
故選：AB
23．（2024高三上·廣西百色·階段練習）函數的兩個極值點分別是，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據極值點個數，將問題轉化為方程在有兩個不等實根，由一元二次方程根的分布可構造不等式組求得A正確；利用韋達定理和的范圍可確定BC正確；構造函數，通過導數可求得，由此可確定D正確.
【詳解】對于A，的定義域為，，
有兩個極值點等價于方程在有兩個不等實根，
，解得：，A正確；
對于B，，，，
又，，即，B錯誤；
對于C，，，，C正確；
對于D，；
令，則，
令，則，
在上單調遞減，，
在上單調遞減，，
，，D正確.
故選：ACD.
【點睛】思路點睛：本題考查根據函數極值點個數求解參數范圍、利用導數證明不等式的問題；本題求解參數范圍的基本思路是將問題轉化為導函數變號零點個數問題的求解，根據方程根的分布來構造不等關系；本題證明不等式的關鍵是能夠將雙變量的問題轉化為單一變量的問題，從而構造關于單一變量的函數來求解.
24．（2024·全國）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數在上有一個零點，
當時，，即函數在上無零點，
綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；
令，該函數的定義域為，，
則是奇函數，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
25．（2024高三上·福建莆田·階段練習）已知函數，則下列說法中正確的是（ ）
A．在上有兩個極值點 B．在處取得最小值
C．在處取得極小值 D．函數在上有三個不同的零點
【答案】AC
【分析】利用導數可求得的單調性，結合極值可作出的圖象，結合圖象依次判斷各個選項即可.
【詳解】定義域為，，
當時，；當時，；
在，上單調遞增，在上單調遞減，
極大值為，極小值為，
當時，，，恒成立；
可作出圖象如下圖所示，

對于A，的極大值點為，極小值點為，A正確；
對于B，不是的最小值，B錯誤；
對于C，在處取得極小值，C正確；
對于D，由圖象可知，有且僅有兩個不同的零點，D錯誤.
故選：AC.
26．（2024高三上·福建福州·階段練習）函數的導函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．為函數的零點 B．為函數的極小值點
C．函數在上單調遞減 D．是函數的最大值
【答案】BC
【分析】由已知，根據題意給出的的圖像可判斷函數的單調區間以及其極大值和極小值點，故可選出正確選項B，C，而選項A不能判斷，選項D極小值一定不是最大值.
【詳解】由已知，根據函數的導函數的圖像可知，
在時，，所以函數在區間單調遞減；
在時，，所以函數在區間單調遞增；
在時，，所以函數在區間單調遞減；
在時，，所以函數在區間單調遞增；
所以和為函數的極小值點，為函數的極大值點，
所以，選項A，并不能確定為函數的零點；
選項B，正確；
選項C，正確；
選項D，是函數的極小值，一定不是最大值，故不正確.
故選：BC.
三、填空題
27．（2024高三·全國·專題練習）函數的極大值點和極大值分別為 ，
【答案】
【分析】運用導數研究函數的單調性進而求得函數的極大值點與極大值.
【詳解】函數的定義域為，
，
令，
則，，
所以當x變化時，與的變化情況如下表：
x （0，e） e （e，＋∞）
＋ 0 －
單調遞增 單調遞減
所以，函數的極大值點為，極大值為.
故答案為：；.
28．（2024·全國）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，構造函數，利用指數函數的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據幾何意義可得出答案.
【詳解】[方法一]：【最優解】轉化法，零點的問題轉為函數圖象的交點
因為，所以方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，
因為分別是函數的極小值點和極大值點，
所以函數在和上遞減，在上遞增，
所以當時，，即圖象在上方
當時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設過原點且與函數的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數與函數的圖象有兩個不同的交點，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構造新函數，二次求導
=0的兩個根為
因為分別是函數的極小值點和極大值點，
所以函數在和上遞減，在上遞增，
設函數，則，
若，則在上單調遞增，此時若，則在
上單調遞減，在上單調遞增，此時若有和分別是函數
且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；
若，則在上單調遞減，此時若，則在上單調遞增，在上單調遞減，令，則，此時若有和分別是函數且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點評】法一：利用函數的零點與兩函數圖象交點的關系，由數形結合解出，突出“小題小做”，是該題的最優解；
法二：通過構造新函數，多次求導判斷單調性，根據極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
29．（2024高三·全國·專題練習）函數 的極大值為 ；極小值為 .
【答案】
【分析】對函數求導，通過導數判定的單調性，進而可求出極值.
【詳解】由于函數的定義域為R，
，
令得或，列表：
1
0 0
單調遞減 極小值 單調遞增 極大值 單調遞減
由上表看出，當時，取得極小值，為；當時，取得極大值，為，
故答案為：；.
30．（2024高二下·陜西渭南·期末）已知函數，在時有極大值，則的極大值為
【答案】
【分析】先求導函數根據極大值點求參，再根據極大值舍去不合題意的參數，最后計算極大值即可.
【詳解】由得，
∵在處取得極大值，∴，即，解得或，
當時，，令，得或，令得，
∴在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，
∴在處取得極小值，故不滿足題意舍去，
當時，，令，得或，令，得，
∴在上是增函數，在上是減函數，∴在處取得取大值，符合題意．綜上， ．
則的極大值為
故答案為:.
31．（2024高三上·貴州遵義·階段練習）函數的極值點的個數為 .
【答案】2
【分析】求出導函數，對引入兩個函數與，由它們的圖象交點個數得出的解的個數，從而確定的正負，得極值點個數．
【詳解】依題意，得，
令，得，作出與的圖象，如圖所示，
由圖可知這兩個函數圖象有兩個交點，設交點的橫坐標為.
當時，，遞減；
當時，，遞增；
當時，，遞減．
所以有2個極值點.
故答案為：2.

32．（安徽省池州市貴池區2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題）已知函數在時有極值為0，則 .
【答案】11
【分析】由題意，代入解出，再檢驗即可.
【詳解】因為，所以，
所以，解得，或，
當時，，
則與題意在時有極值矛盾，舍去，
故，所以.
故答案為：11
33．（2024高三上·新疆伊犁·階段練習）已知函數有兩個極值點，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】求得，根據題意轉化為函數與的圖象有兩個不同的交點，結合函數的圖象，得到，即可求解.
【詳解】由函數，可得
令，即，
因為函數有兩個極值點，可得在內有兩個不等實根，
即函數與的圖象有兩個不同的交點，
作出的圖象，如圖所示，
可得當時，，
由圖象可知，解得，即實數的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題
34．（2024·北京）設函數，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數，求的單調區間；
(3)求的極值點個數．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)3個
【分析】（1）先對求導，利用導數的幾何意義得到，，從而得到關于的方程組，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數軸穿根法求得與的解，由此求得的單調區間；
（3）結合（2）中結論，利用零點存在定理，依次分類討論區間，，與上的零點的情況，從而利用導數與函數的極值點的關系求得的極值點個數.
【詳解】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，
即的單調遞減區間為和，單調遞增區間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調遞減，在，上單調遞增，
當時，，，即
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，在上單調遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；
所以在上有一個極大值點；
當時，在上單調遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設為，則，
此時，當時，，則單調遞減；當時，，則單調遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，，
所以，則單調遞增，
所以在上無極值點；
綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.
【點睛】關鍵點睛：本題第3小題的解題關鍵是判斷與的正負情況，充分利用的單調性，尋找特殊點判斷即可得解.
35．（2024高二下·福建龍巖·期中）設函數f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數
（1）求b、c的值．
（2）求g（x）的單調區間與極值．
【答案】（1）（2）見解析
【分析】（1）根據g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函數，且f'（x）=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值；
（2）對g（x）進行求導，g'（x）＞0時的x的取值區間為單調遞增區間，g'（x）＜0時的x的取值區間為單調遞減區間．g'（x）=0時的x函數g（x）取到極值．
【詳解】（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．
從而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c
是一個奇函數，所以g（0）=0得c=0，由奇函數定義得b=3；
（2）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，從而g'（x）=3x2﹣6，
當g'（x）＞0時，x＜﹣或x＞，
當g'（x）＜0時，﹣＜x＜，
由此可知，g（x）的單調遞增區間為（﹣），（，+∞）；單調遞減區間為（﹣，）；
g（x）在x=﹣時取得極大值，極大值為4，
g（x）在x=時取得極小值，極小值為4．
【點睛】求函數極值的步驟：(1) 確定函數的定義域；(2) 求導數；(3) 解方程求出函數定義域內的所有根；(4) 列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值. （5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值.
36．（2007·安徽）設函數，其中．將的最小值記為．
(1)求的表達式；
(2)討論在區間內的單調性并求極值．
【答案】(1)
(2)增區間是，主，減區間是．極大值為4，極小值為2．
【分析】（1）由二倍角公式降冪后，化函數為關于的二次函數，結合正弦函數，二次函數性質得；
（2）求出導函數，由得增區間，由得減區間，同時可得極值．
【詳解】（1）,
因為，所以時，；
（2），
或時，，時，，
所以的增區間是，，減區間是．
極大值為，極小值為．
37．（2024·山東）設函數，其中．證明：當時，函數沒有極值點；當時，函數有且只有一個極值點，并求出極值．
【答案】證明見解析；
當時，
若，有且僅有一個極小值點，極小值為，
若，有且僅有一個極大值點，極大值為.
【分析】利用導函數的幾何意義和極值點的定義求解即可.
【詳解】因為，，
所以的定義域為，.
當時，如果，則恒成立，在上單調遞增；
如果，則恒成立，在上單調遞減，
所以當時，函數沒有極值點.
當時，，
令得（舍去），，
當時，在上小于0，在上大于0，
故有且僅有一個極小值點，極小值為.
當時，在上大于0，在上小于0，
故有且僅有一個極大值點，極大值為.
綜上所述當時，函數沒有極值點，
當時，
若，有且僅有一個極小值點，極小值為，
若，有且僅有一個極大值點，極大值為.
38．（2024·福建）已知函數的圖象過點，且函數的圖象關于軸對稱.
(1)求的值及函數的單調區間；
(2)若，求函數在區間內的極值.
【答案】(1)，；的單調增區間為，的單調減區間為；
(2)詳見解析.
【分析】（1）利用條件可得兩個關于的方程，然后利用導數與函數單調性的關系即得；
（2）利用（1）的結論，分情況討論區間和單調區間的位置關系即得．
【詳解】（1）由函數的圖象過點，
∴，即，
又，則，
而的圖象關于軸對稱，所以，
解得，∴，
∴，
于是，
由得或，由，可得，
故的單調增區間為，的單調減區間為；
（2）由（1）得，令得或，
當變化時，的變化情況如下表：
0 2
＋ 0 － 0 ＋
增函數 極大值 減函數 極小值 增函數
由此可得：當時，函數在區間內有極大值，無極小值；
當時，函數在區間內無極值；
當時，函數在區間內有極小值，無極大值；
當時，函數在區間內無極值；
綜上得，當時，有極大值，無極小值；
當時，有極小值，無極大值；
當或時，無極值．
39．（2024高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數，.
(1)當時，求函數的圖象在點處的切線方程；
(2)求函數的極值.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）當時，求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；
（2）分、、時，利用導數分析函數的單調性，利用函數極值與單調性的關系可求出函數的極值.
【詳解】（1）解：當時，，則，
所以，，，
所以，函數的圖象在點處的切線方程為，空.
（2）解：因為，函數的定義域為，
，
因為，則，分以下幾種情況討論：
①當時，即當時，
由可得，由可得或，
此時，函數的增區間為、，減區間為，
函數的極大值為，
極小值為；
②當時，即當時，則對任意的恒成立，
所以，函數在上單調遞增，函數無極值；
③當時，即當時，
由可得，由可得或.
此時，函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為，
函數的極大值為，極小值為.
綜上所述，當時，函數的極大值為，
極小值為；
當時，函數無極值；
當時，函數的極大值為，極小值為.
【點睛】思路點睛：利用導數求函數極值的步驟如下：
（1）求函數的定義域；
（2）求導；
（3）解方程，當；
（4）列表，分析函數的單調性，求極值：
①如果在附近的左側，右側，那么是極小值；
②如果在附近的左側，右側，那么是極大值.
40．（2024高二下·湖南長沙·期中）設函數f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，
（1）求f(x)的單調區間；（2）求f(x)的極值．
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【分析】（1）由，解得．根據a≥1，分和 ，由求解；
（2）由（1）的結論，利用函數極值點與極值的定義求解．
【詳解】解：由已知得，
令，解得．
（1）當時，，在上單調遞增；
當時，，隨的變化情況如下表：
x 0
+ 0 0
極大值 極小值
從上表可知，函數在上單調遞增；在上單調遞減；在上單調遞增．
（2）由（1）知，當時，函數沒有極值；
當時，函數在處取得極大值1，在處取得極小值．
41．（2024·全國）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)存在滿足題意，理由見解析.
(3).
【分析】(1)由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；
(2)首先求得函數的定義域，由函數的定義域可確定實數的值，進一步結合函數的對稱性利用特殊值法可得關于實數的方程，解方程可得實數的值，最后檢驗所得的是否正確即可；
(3)原問題等價于導函數有變號的零點，據此構造新函數，然后對函數求導，利用切線放縮研究導函數的性質，分類討論，和三中情況即可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
則，
據此可得，
函數在處的切線方程為，
即.
（2）令，
函數的定義域滿足，即函數的定義域為，
定義域關于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經檢驗滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數的解析式可得，
由在區間存在極值點，則在區間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區間存在極值點，等價于在區間上存在變號零點，
當時，，在區間上單調遞減，
此時，在區間上無零點，不合題意;
當，時，由于，所以在區間上單調遞增，
所以，在區間上單調遞增，，
所以在區間上無零點，不符合題意；
當時，由可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數在定義域內單調遞增，，
據此可得恒成立，
則，
由一次函數與對數函數的性質可得，當時，
，
且注意到，
根據零點存在性定理可知:在區間上存在唯一零點.
當時，，單調減，
當時，，單調遞增，
所以.
令，則，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數在區間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數得取值范圍是.
【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
(2)根據函數的極值(點)求參數的兩個要領：①列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數值之后也需要進行驗證.
42．（2024·北京）設函數.
（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；
（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【詳解】分析：（1）求導，構建等量關系，解方程可得參數的值；（2）對分及兩種情況進行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進而可求參數的取值范圍.
詳解：
解：（Ⅰ）因為，
所以.
，
由題設知，即，解得.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.
若a>1，則當時，；
當時，.
所以在x=1處取得極小值.
若，則當時，，
所以.
所以1不是的極小值點.
綜上可知，a的取值范圍是.
方法二：.
（1）當a=0時，令得x=1.
隨x的變化情況如下表：
x 1
+ 0
↗ 極大值 ↘
∴在x=1處取得極大值，不合題意.
（2）當a>0時，令得.
①當，即a=1時，，
∴在上單調遞增，
∴無極值，不合題意.
②當，即0x 1
+ 0 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴在x=1處取得極大值，不合題意.
③當，即a>1時，隨x的變化情況如下表：
x
+ 0 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.
（3）當a<0時，令得.
隨x的變化情況如下表：
x
0 + 0
↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
∴在x=1處取得極大值，不合題意.
綜上所述，a的取值范圍為.
點睛：導數類問題是高考數學中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式有以下四個：①考查導數的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；②利用導數證明函數單調性或求單調區間問題；③利用導數求函數的極值最值問題；④關于不等式的恒成立問題.
解題時需要注意的有以下兩個方面：①在求切線方程問題時，注意區別在某一點和過某一點解題步驟的不同；②在研究單調性及極值最值問題時常常會涉及到分類討論的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立問題屬于高考中的難點，要注意問題轉換的等價性.
43．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數，.
(1)當時，求在上的值域；
(2)若的極大值為4，求實數的值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）求導函數，從而可確定函數在閉區間上的單調性，通過比較端點處函數值與極值，從而可得函數的最值，即可得函數值域；
（2）根據極值的概念對函數求導之后，確定函數單調性及極值情況，即可求得實數的值.
【詳解】（1）時，，，令，得或，
∴在單調遞增，單調遞減，單調遞增
又，，，
∴的值域為.
（2），令，解得：或，
當時，，單調遞增，無極值，舍；
當時，或，在和單調遞增，在單調遞減，
在時取得極大值，又，不符合題意，舍去；
當時，或，在和單調遞增，在單調遞減，
在時取得極大值，故，解得.
綜上得，.
44．（2024·北京）設函數=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【詳解】分析：（1）先求導數，再根據得a；（2）先求導數的零點：，2；再分類討論，根據是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．
詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由題設知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此時f (1)=3e≠0．
所以a的值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，則當x∈(，2)時，f ′(x)<0；
當x∈(2，+∞)時，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2處取得極小值．
若a≤，則當x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的極小值點．
綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．
點睛：利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數聯系起來求解.
45．（2024高三上·湖南·開學考試）已知函數，．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若存在極值點，且，求的值，并分析是極大值點還是極小值點．
【答案】(1)
(2)，是的極小值點
【分析】（1）利用導數幾何意義可求得切線斜率，結合可得切線方程；
（2）根據和可推導得到，構造函數，利用導數可求得的最小值，知方程有唯一解，進而求得的值；將代入函數解析式，利用導數可求得的單調性，根據極值點定義可得結論.
【詳解】（1）當時，，，
，又，
在處的切線方程為：，即.
（2），，即①；
，，
，，又，，即，
，，代入①式得：，
令，，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，，
有唯一解，此時；
當時，，，
令，則，令，解得：，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，
當時，，即；當時，，即；
在上單調遞減，在上單調遞增，
是的極小值點.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數幾何意義求解切線方程、利用導數解決函數極值點的問題；本題根據函數極值點求解參數的關鍵是能夠利用極值點處導函數值為零，結合原函數的函數值可構造關于極值點的方程，從而采用構造函數的方式確定方程的根.
46．（2024·廣東）設，集合
（1）求集合D（用區間表示）
（2）求函數在D內的極值點.
【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析
【分析】（1）根據題意先求不等式的解集，通過討論，Δ＜0分別進行求解；
（2）對函數求導，由，可得x＝a或x＝1，結合（1）中的a的范圍的討論可分別求D，然后由導數的符號判定函數f（x）的單調性，進而可求極值
【詳解】（1）令，
則
①當時，，
方程的兩個根分別為，，
所以的解集為
因為，則，
；
②當時，Δ＜0，恒成立，
綜上所述：
當時，，
當時，；
（2），
令，得x＝a或x＝1，
①當時，由（1）知，
因為
所以，
所以隨的變化情況如下表
極大值
所以的極大值點為，沒有極小值點；
②當時，由（1）知，
所以隨的變化情況如下表
極大值 極小值
所以的極大值點為，極小值點為
綜上所述：當時，有一個極大值點，沒有極小值點；
當時，有一個極大值點，一個極小值點.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是通過分類討論確定區間上的單調性，單調性確定才能求出極值點.
47．（2024·湖北）設函數在處取得極值，試用表示和，并求的單調區間．
【答案】答案見解析
【分析】求出函數的導函數，依題意，，即可得到方程從而可用表示和，再解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間.
【詳解】解：因為，所以，
依題意有，，而，
故，解得，
從而．
令，解得或．
由于在處取得極值，故，即．
若，即，
則當時，；
當時，；
當時，；
從而的單調增區間為，，單調減區間為；
若，即，
同上可得，的單調增區間為，，單調減區間為；
綜上可得：當時單調增區間為，，單調減區間為，
當時單調增區間為，，單調減區間為.
48．（2024·重慶）已知函數在處取得極值．
確定a的值；
若，討論的單調性．
【答案】（1）
（2）在和內為減函數，在和內為增函數．
【詳解】（1）對求導得，
因為在處取得極值，所以，
即，解得；
（2）由（1）得，，
故
，
令，解得或，
當時，，故為減函數，
當時，，故為增函數，
當時， ，故為減函數，
當時，，故為增函數，
綜上所知：和是函數單調減區間，
和是函數的單調增區間.
49．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習）函數，，已知和分別是函數的極大值點和極小值點.
(1)求實數的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）三次函數有極值轉化為二次方程有兩不等實根，利用判別式即可求范圍；
（2）整理變形為的形式，利用韋達定理轉化為關于的函數值域問題即可.
【詳解】（1）由已知和分別是函數的極大值點和極小值點，
則有兩個不等實根.
因為，令，方程，
所以，解得或.
即的取值范圍是或.
（2）由題意知，是方程的兩個不等實根，且，
由韋達定理知，，
所以
其中或.
令，則，因為在單調遞增，
所以的取值范圍是.
50．（2024高二下·重慶長壽·期中）已知函數.
(1)設為偶函數，當時，，求曲線在點處的切線方程；
(2)設，求函數的極值.
【答案】(1)
(2)的最大值是；無極小值
【分析】（1）根據題意，由函數的奇偶性可得，然后求導，由導數的幾何意義，即可得到結果.
（2）根據題意，求導得，然后分與談論，即可得到結果.
【詳解】（1）時，，是偶函數，
故，
，故，
故切線方程是：，
即；
（2），
，
時，，在遞增，函數無極值，
時，令，解得：，令，解得：，
故在遞增，在遞減，
故的最大值是；無極小值；
51．（2024高二下·甘肅白銀·階段練習）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，求函數的單調區間和極值；
【答案】(1).
(2)詳見解析.
【分析】（1）利用導數的計算公式以及導數的幾何意義、直線的點斜式方程計算.
（2）根據已知，利用導數與函數的單調性關系、極值計算求解.
【詳解】（1）當時，，
所以，
所以，又，
所以曲線在點處的切線方程為，
即.
（2）因為，所以，
當時，，由有：，由有：或，
所以函數在，上單調遞減；在單調遞增；
所以函數有極小值，有極大值，
綜上，當時，函數的單調增區間為：，單調減區間為：，；
函數的極小值為，極大值為0.
52．（2024高三上·江蘇南京·開學考試）已知函數，其中．
(1)若，證明：；
(2)設函數，若為的極大值點，求a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求導確定函數的單調性即可得最值，從而證得結論；
（2）求導，分類討論確定函數的單調性從而驗證極值，即可得a的取值范圍．
【詳解】（1）證明：若，則，且，則，
令，得．
在上，，單調遞減；
在上，，單調遞增；
故．
（2），．
當時，易得，所以由（1）可得，
若，則，
所以在上單調遞增，
這與為函數的極大值點相矛盾．
若，令，則，
又令，則對恒成立，
所以在上單調遞增．
又，，
因為，所以，
因此存在唯一，使得，
所以，在上，，單調遞減．
又，所以
在上，，故單調遞增；
在上，，故單調遞減．
所以為函數的極大值點，滿足題意．
綜上，a的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：函數由極值、極值點求參數的取值范圍的常用方法與策略：
（1）分類參數法：一般命題情境為給出區間，求滿足函數極值或極值點個數的參數范圍，通常解法為從中分離參數，然后利用求導的方法求出由參數構造的新函數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取值范圍；
（2）分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區間，求滿足函數極值或極值點個數的參數范圍，通常解法為結合函數的單調性，先確定參數分類標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數的各個小范圍并在一起，即可為所求參數的范圍.
53．（2024高三上·重慶·階段練習）已知函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若是的極大值點，求的取值范圍．
【答案】(1)的單調遞減區間為，單調遞增區間為
(2)．
【分析】（1）根據函數導數與單調性關系求解，即可得單調區間；
（2）根據函數極值點的概念確定單調性驗證極值，即可得實數的取值范圍．
【詳解】（1）當時，，， 則．
令函數，則，可得單調遞增．
又，所以當時，，當時，．
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
（2）若，則，此時是的極小值點，故．
，令函數，則．
令函數，可知在區間上單調遞增．
①當且，即且時，，
此時在區間上單調遞增，則，此時不可能是的極大值點．
②當，即或時，由在區間上單調遞增，
可知存在，使得當時，，
則在上單調遞減，從而，即，在上單調遞減．
由，可得為偶函數，
的圖象關于軸對稱，此時是的極大值點．
綜上，的取值范圍為．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數幾何意義、根據極值點定義求解參數范圍的問題；本題求解參數范圍的關鍵是將問題轉化為對于函數在左右兩側的單調性的討論問題，進而再次轉化為關于在左右兩側的正負的討論問題.
54．（2024高三上·貴州·開學考試）定義函數，其中．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：在區間上，有且只有兩個不同的極值點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出當的導數的值，根據導數的幾何意義求解；
（2）有2個不同的極值點，即意味著在時有2個零點，據此分類討論求解.
【詳解】（1）當時，，則，
所以，
故所求切線方程為．即；
（2）由題意得，
當時，．
函數，，
所以在R上單調遞增，并且當 趨于時趨于，當x趨于時y趨于，
所以存在唯一實數，使得，
又當時，，
所以當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故是在區間上唯一的一個極值點；
同理可證，存在唯一的，使得，此時，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故是函數在上唯一的一個極值點；
又，不是函數的極值點，
所以在區間上，有且只有兩個不同的極值點．
綜上，所求的切線方程為.
55．（2024高三上·北京西城·開學考試）已知函數，．
(1) ， ；
(2)的極小值點為 ，極小值為 ；
(3)的極大值點為 ，極大值為 ；
(4)畫出函數的圖象草圖：

(5)若方程恰好有2個解，則實數 ；
(6)若在上單調，則實數的取值范圍是 ；
(7)若函數存在極值，則極值點的個數可能為 個．
【答案】(1)，
(2)極小值點為；極小值為
(3)極大值點為，極大值為
(4)圖象詳見解析
(5)
(6)
(7)或
【分析】（1）根據導數運算求得.
（2）到（5）：利用導數求得的單調區間、極值，畫出的大致圖象，結合圖象，根據的解的個數求得的值.
（6）根據，結合的圖象以及的單調性求得的取值范圍.
（7）由，結合的圖象判斷出極值點的個數.
【詳解】（1），.
，.
（2），
所以在區間上單調遞減；
在區間上單調遞增.
所以的極小值點為，極小值為.
（3）由（2）得的極大值點為，極大值為.
（4）當時，，
由（2）、（3），畫出的大致圖象如下圖所示：

（5）若方程恰好有2個解，
由（4）的圖象可知，的值為.
（6）由上述分析可知，
結合的圖象可知，當時，恒成立，單調遞增，符合題意；
當時，的圖象向下移動個單位，不恒成立，
也不恒成立，所以不單調.
綜上所述，的取值范圍是.
（7）若函數存在極值，由（6）可知，
的圖象是由的圖象向下移動個單位所得，
由圖象可知，當時，有個極值點，
當時，有個極值點.
綜上所述，極值點的個數可能為或個.專題13 導數的應用--函數的極值問題5題型分類
1、函數的極值
函數在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數的一個極小值，記作．極大值與極小值統稱為極值，稱為極值點．
求可導函數極值的一般步驟
（1）先確定函數的定義域；
（2）求導數；
（3）求方程的根；
（4）檢驗在方程的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數在這個根處取得極小值．
注：①可導函數在點處取得極值的充要條件是：是導函數的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號．
②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數的極值點；但為的極值點．
（一） 函數極值、極值點的辨識 解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數還是導函數的，對于導函數的圖象，重點考查在哪個區間上為正，哪個區間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導數值是如何變化的，若是由正值變為負值，則在該點處取得極大值；若是由負值變為正值，則在該點處取得極小值．
題型1：函數極值、極值點的辨識 1-1．（2024·遼寧）設函數滿足則時， A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值 1-2．（2024高三·全國·專題練習）已知e為自然對數的底數,設函數,則． A．當k=1時,f(x)在x=1處取到極小值 B．當k=1時,f(x)在x=1處取到極大值 C．當k=2時,f(x)在x=1處取到極小值 D．當k=2時,f(x)在x=1處取到極大值 1-3．（2024·陜西）設函數f（x）=+lnx ，則 （ ） A．x=為f(x)的極大值點 B．x=為f(x)的極小值點 C．x=2為 f(x)的極大值點 D．x=2為 f(x)的極小值點
題型2：函數(導函數)的圖象與極值(點)關系 2-1．（2024·重慶）設函數在R上可導，其導函數為 ，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是 A．函數有極大值 和極小值 B．函數有極大值 和極小值 C．函數有極大值 和極小值 D．函數有極大值 和極小值 2-2．（2024高二下·黑龍江鶴崗·期中）函數的定義域為，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在內極小值點的個數是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2-3．（2024高二上·陜西漢中·期末）定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ） A．函數在區間上單調遞增 B．函數在區間上單調遞減 C．函數在處取得極大值 D．函數在處取得極大值 2-4．（2024高三上·四川自貢·階段練習）已知函數的定義域為，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在內的極小值有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
（二） 求已知函數的極值、極值點 1、因此，在求函數極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾． 2、原函數出現極值時，導函數正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大． 注：（1）可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側與右側f ′(x)的符號不同； （2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．
題型3：求已知函數的極值、極值點 3-1．（2024·重慶）設函數，其中在，曲線在點處的切線垂直于軸 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函數極值． 3-2．（2024高二下·重慶巫溪·期中）已知函數． (1)若曲線在點處的切線與x軸平行，求a的值； (2)求函數的極值． 3-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.求的極值； 3-4．（2024·廣西南寧·一模）設函數，，為的導函數． (1)當時，過點作曲線的切線，求切點坐標； (2)若，，且和的零點均在集合中，求的極小值． 3-5．（2024·河北·模擬預測）已知函數． (1)證明：當時，有唯一的極值點為，并求取最大值時的值； (2)當時，討論極值點的個數．
（三） 根據函數的極值、極值點求參數 根據函數的極值(點)求參數的兩個要領：①列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數值之后也需要進行驗證.
題型4：根據函數的極值求參數 4-1．（2024高三上·四川綿陽·階段練習）已知函數． (1)若在上存在單調減區間，求實數的取值范圍； (2)若在區間上有極小值，求實數的取值范圍． 4-2．（2024·湖南·模擬預測）已知函數在處取得極大值4，則（ ） A．8 B． C．2 D． 4-3．（2024高三下·貴州·階段練習）已知函數在處取得極小值，則實數的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 4-4．（2024·陜西商洛·三模）若函數無極值，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 4-5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習）函數在區間上存在極值，則的最大值為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
題型5：根據函數的極值點求參數 5-1．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習）已知函數為實數． (1)時，求的極小值點； (2)若是的極小值點，求的取值范圍． 5-2．（2024高三上·河南洛陽·開學考試）已知函數 (1)若，求曲線在點處的切線方程； (2)若是的極大值點，求的取值范圍. 5-3．（2024高三上·安徽阜陽·階段練習）已知函數． (1)若，求函數的單調區間； (2)若函數存在唯一的極值點，求實數a的取值范圍． 5-4．（2024高二下·江蘇南通·期末）若x＝a是函數的極大值點，則a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 5-5．（2024高三下·江蘇南京·開學考試）已知函數有兩個極值點，則實數a的取值范圍（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·全國）若是函數的極值點，則的極小值為．
A． B． C． D．
2．（2024高二下·安徽亳州·期末）設函數一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三上·全國·單元測試）設，若為函數的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全國·課后作業）已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是(　　 )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
5．（2024·吉林通化·模擬預測）已知函數在區間上的最大值為k，則函數在上（ ）
A．有極大值，無最小值 B．無極大值，有最小值
C．有極大值，有最大值 D．無極大值，無最大值
6．（2024高二下·河北秦皇島·期末）已知是函數的導函數，若函數的圖象大致如圖所示，則極值點的個數為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）
A．是函數的極小值點
B．是函數的極大值點
C．函數在上單調遞增
D．函數在處的切線斜率小于零
8．（2024·陜西）對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結
論是錯誤的，則錯誤的結論是
A．是的零點 B．1是的極值點
C．3是的極值 D．點在曲線上
9．（2024高三上·陜西漢中·階段練習）已知函數，則的極小值為（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三·全國·專題練習）函數的大致圖像如圖所示，，是函數的兩個極值點，則等于（ ）

A． B． C． D．
11．（2024高二下·吉林長春·階段練習）已知實數成等比數列，且曲線的極大值點為，極大值為，則等于（ ）
A．2 B． C． D．1
12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如圖是函數的導函數的圖象，給出下列命題：
①x=-2是函數的極值點；
②x=1是函數的極值點；
③的圖象在處切線的斜率小于零；
④函數在區間上單調遞增．
則正確命題的序號是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
13．（2024高二下·全國·期中）已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．是的極小值點 B．是的極小值點
C．在區間上單調遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零
14．（2024高三上·湖北武漢·階段練習）若函數存在一個極大值與一個極小值滿足，則至少有（ ）個單調區間.
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（2024高三·全國·專題練習）已知定義在R上的函數f（x），其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數的最小值為
16．（2024·全國·模擬預測）已知函數的導函數為，則“在上有兩個零點”是“在上有兩個極值點”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
17．（2024·全國·模擬預測）設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（ ）

A．有兩個極值點 B．為函數的極大值
C．有兩個極小值 D．為的極小值
18．（2024·全國）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
19．（2024·全國）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
20．（江西省豐城中學2024屆高三上學期入學考試數學試題）如圖所示是的導數的圖象，下列結論中正確的有（ ）

A．的單調遞增區間是
B．是的極小值點
C．在區間上是減函數，在區間上是增函數
D．是的極小值點
21．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知函數和的圖像都是上連續不斷的曲線，如果，當且僅當時，那么下列情形可能出現的是（ ）
A．1是的極大值，也是的極大值 B．1是的極大值，也是的極小值
C．1是的極小值，也是的極小值 D．1是的極小值，也是的極大值
22．（2024高二下·福建廈門·期末）函數的導函數的圖象如圖所示，則（ ）

A．在區間上單調遞減
B．在處取得極大值
C．在區間上有2個極大值點
D．在處取得最大值
23．（2024高三上·廣西百色·階段練習）函數的兩個極值點分別是，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024·全國）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
25．（2024高三上·福建莆田·階段練習）已知函數，則下列說法中正確的是（ ）
A．在上有兩個極值點 B．在處取得最小值
C．在處取得極小值 D．函數在上有三個不同的零點
26．（2024高三上·福建福州·階段練習）函數的導函數的圖像如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．為函數的零點 B．為函數的極小值點
C．函數在上單調遞減 D．是函數的最大值
三、填空題
27．（2024高三·全國·專題練習）函數的極大值點和極大值分別為 ，
28．（2024·全國）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
29．（2024高三·全國·專題練習）函數 的極大值為 ；極小值為 .
30．（2024高二下·陜西渭南·期末）已知函數，在時有極大值，則的極大值為
31．（2024高三上·貴州遵義·階段練習）函數的極值點的個數為 .
32．（安徽省池州市貴池區2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題）已知函數在時有極值為0，則 .
33．（2024高三上·新疆伊犁·階段練習）已知函數有兩個極值點，則的取值范圍為 .
四、解答題
34．（2024·北京）設函數，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設函數，求的單調區間；
(3)求的極值點個數．
35．（2024高二下·福建龍巖·期中）設函數f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數
（1）求b、c的值．
（2）求g（x）的單調區間與極值．
36．（2007·安徽）設函數，其中．將的最小值記為．
(1)求的表達式；
(2)討論在區間內的單調性并求極值．
37．（2024·山東）設函數，其中．證明：當時，函數沒有極值點；當時，函數有且只有一個極值點，并求出極值．
38．（2024·福建）已知函數的圖象過點，且函數的圖象關于軸對稱.
(1)求的值及函數的單調區間；
(2)若，求函數在區間內的極值.
39．（2024高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數，.
(1)當時，求函數的圖象在點處的切線方程；
(2)求函數的極值.
40．（2024高二下·湖南長沙·期中）設函數f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，
（1）求f(x)的單調區間；（2）求f(x)的極值．
41．（2024·全國）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
42．（2024·北京）設函數.
（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；
（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.
43．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數，.
(1)當時，求在上的值域；
(2)若的極大值為4，求實數的值.
44．（2024·北京）設函數=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
45．（2024高三上·湖南·開學考試）已知函數，．
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若存在極值點，且，求的值，并分析是極大值點還是極小值點．
46．（2024·廣東）設，集合
（1）求集合D（用區間表示）
（2）求函數在D內的極值點.
47．（2024·湖北）設函數在處取得極值，試用表示和，并求的單調區間．
48．（2024·重慶）已知函數在處取得極值．
確定a的值；
若，討論的單調性．
49．（2024高三上·遼寧沈陽·階段練習）函數，，已知和分別是函數的極大值點和極小值點.
(1)求實數的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
50．（2024高二下·重慶長壽·期中）已知函數.
(1)設為偶函數，當時，，求曲線在點處的切線方程；
(2)設，求函數的極值.
51．（2024高二下·甘肅白銀·階段練習）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，求函數的單調區間和極值；
52．（2024高三上·江蘇南京·開學考試）已知函數，其中．
(1)若，證明：；
(2)設函數，若為的極大值點，求a的取值范圍．
53．（2024高三上·重慶·階段練習）已知函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若是的極大值點，求的取值范圍．
54．（2024高三上·貴州·開學考試）定義函數，其中．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)證明：在區間上，有且只有兩個不同的極值點．
55．（2024高三上·北京西城·開學考試）已知函數，．
(1) ， ；
(2)的極小值點為 ，極小值為 ；
(3)的極大值點為 ，極大值為 ；
(4)畫出函數的圖象草圖：

(5)若方程恰好有2個解，則實數 ；
(6)若在上單調，則實數的取值范圍是 ；
(7)若函數存在極值，則極值點的個數可能為 個．

展開更多......

收起↑