資源簡介

1.1 銳角三角函數 同步分層練習講義
知識點1．銳角三角函數的定義
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
即sinA＝∠A的對邊除以斜邊＝．
（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．
即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．
（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊＝．
（4）三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．
知識點2．同角三角函數的關系
（1）平方關系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA cosA．
知識點3．互余兩角三角函數的關系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時，正余弦之間的關系為：
①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
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知識點4．特殊角的三角函數值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）應用中要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記．
（3）特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用較多．
題型強化
題型一．銳角三角函數的定義
1．（2024 麗水一模）如圖，在中，，，，則的值是　　
A． B． C． D．
【分析】根據銳角三角函數的定義判斷即可．
【解答】解：在中，，，，
，
故選：．
【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握銳角三角函數的正弦、余弦、正切是解題的關鍵．
2．（2024 南湖區校級一模）在中，，，則的值為 　　．
【分析】根據勾股定理，可得，根據銳角三角函數的正弦等于對邊比斜邊，可得答案．
【解答】解：設，，由勾股定理，得
，
由三角函數的正弦等于對邊比斜邊，得
．
故答案為：．
【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
3．（2022 湖州）如圖，已知在中，，，．求的長和的值．
【分析】根據勾股定理求的長，根據正弦的定義求的值．
【解答】解：，，，
，
．
答：的長為4，的值為．
【點評】本題考查了勾股定理，銳角三角函數的定義，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．
題型二．同角三角函數的關系
4．（2024 寧波模擬）在中，已知，設，則　　
A． B． C． D．
【分析】根據銳角三角函數的定義得，，可得，根據三角形三邊的關系得，所以，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了銳角三角函數的定義和三角形三邊的關系，熟練掌握銳角三角函數的定義和三角形三邊的關系是關鍵．
5．（2024 寧波模擬）已知，則　　．
【分析】在直角三角形中，根據銳角三角函數的意義，設輔助未知數可求出答案．
【解答】解：如圖，在中，
由于，
設，則，
由勾股定理得，
，
所以，
故答案為：．
【點評】本題考查勾股定理，銳角三角函數，掌握銳角三角函數的意義以及勾股定理是正確計算的前提．
6．（杭州模擬）下列關系式是否成立，請說明理由．
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用三角函數的定義和三角形的三邊關系得到該結論不成立；
（2）舉出反例進行論證．
【解答】解：（1）該不等式不成立，理由如下：
如圖，在中，，．
則，故不成立；
（2）該等式不成立，理由如下：
假設，則，，
，
，即不成立．
【點評】本題考查了同角三角函數的關系．解題的關鍵是掌握銳角三角函數的定義和特殊角的三角函數值．
題型三．互余兩角三角函數的關系
7．（2023 杭州一模）在中，，，則　　
A． B． C． D．
【分析】由銳角的正弦、正切定義即可計算．
【解答】解：，，
令，則，
，
．
故選：．
【點評】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角的正弦、正切定義．
8．（2022 西湖區校級二模）已知中，，，則　　．
【分析】根據三角函數值的定義以及勾股定理的定義解決此題．
【解答】解：如圖．
，，
設，則．
．
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角函數的定義、勾股定理，熟練掌握三角函數的定義以及勾股定理是解決本題的關鍵．
9．（吳興區校級二模）已知，求的值．
【分析】利用及，即可求解．
【解答】解：原式
．
【點評】本題考查了互余兩角三角函數的關系，解答本題需要掌握：，．
題型四．特殊角的三角函數值
10．（2023春 上城區校級月考）已知是銳角，，則的值為　　
A． B． C． D．無法確定
【分析】直接利用特殊角的三角函數值代入得出答案．
【解答】解：，
．
故選：．
【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．
11．（2024 西湖區校級開學）計算：　　．
【分析】直接利用特殊角的三角函數值分別代入得出答案．
【解答】解：．
故答案為：2．
【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．
12．（2023 紹興模擬）（1）計算：；
（2）．
【分析】（1）根據實數的混合運算法則，先計算特殊角的三角函數值，再計算乘方、乘法，最后計算加減．
（2）通過去分母、去括號、移項、合并同類項、的系數化為1解決此題．
【解答】解：（1）
．
（2），
去分母，得．
去括號，得．
移項，得．
合并同類項，得．
的系數化為1，得．
這個不等式的解為．
【點評】本題主要考查實數的混合運算、特殊角的三角函數值、解一元一次不等式，熟練掌握實數的混合運算法則、特殊角的三角函數值、一元一次不等式的解法是解決本題的關鍵．
分層練習
一、單選題
1．在中，，，，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】求角的正切值
【分析】本題主要考查正切值的計算方法，掌握直角三角形中正切函數的定義是解題的關鍵．
根據題意作圖，再根據正切值的計算方法即可求解．
【詳解】解：根據題意作圖如下，
∴，
故選：．
2．在中，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】求角的余弦值
【分析】根據勾股定理求出AB，根據余弦的定義計算，得到答案．
【詳解】解：由勾股定理得，AB=，
則cosA=，
故選：D．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關鍵．
3．如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上，則cosA的值是(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】求角的余弦值
【分析】根據勾股定理，可得AC的長，根據銳角三角函數的余弦等于鄰邊比斜邊，可得答案．
【詳解】如圖：
，
由勾股定理，得
AC===2，
由銳角三角函數的余弦等于鄰邊比斜邊，得cosA===，
故選D．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，先求斜邊，再求銳角三角函數的余弦．
4．如圖，為測學校旗桿的高度，在距旗桿米的處，測得旗桿頂部的仰角為，則旗桿的高度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】已知正切值求邊長
【分析】直接根據銳角三角函數的定義即可得出結論．
【詳解】∵BC⊥AC，∠A=α，AC=10米，
∴BC=AC tanα=10tanα．
故選A．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，熟記銳角三角函數的定義是解答此題的關鍵．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，則BC的長度為（　　）
A．2 B．8 C． D．
【答案】A
【知識點】已知正切值求邊長
【詳解】試題解析：∵在Rt△ABC中,
∴BC=2.
故選A.
6．如圖，在平面直角坐標系系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數在第一象限內的圖象交于點，連接．若，，則的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
【答案】C
【知識點】一次函數與反比例函數的交點問題、已知正切值求邊長
【分析】首先根據直線求得點C的坐標，然后根據△BOC的面積求得BD的長，然后利用正切函數的定義求得OD的長，從而求得點B的坐標，求得結論．
【詳解】解：如圖所示，過點B作BD⊥y軸于B，
∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴點C的坐標為（0，2），
∴OC＝2，
∵，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝4，
∴點B的坐標為（2，4），
∵反比例函數y在第一象限內的圖象交于點B，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點坐標，根據正切值求邊長，解題的關鍵是仔細審題，能夠求得點B的坐標．
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，則AC的長為 （　　）
A．1 B．2 C． D．2
【答案】B
【知識點】已知正切值求邊長
【分析】根據正切的定義得到BC=AC，根據勾股定理列式計算即可．
【詳解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，
∴=2，
∴BC=AC，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（）2=AC2+（AC）2，
解得，AC=2，
故選B．
【點睛】本題考查的是銳角三角函數的定義、勾股定理，掌握銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切是解題的關鍵．
8．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足為F，交BC于點E，BE=2EC，連接AE．則tan∠CAE的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】求角的正切值、相似三角形的判定與性質綜合、矩形性質理解
【分析】證明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，設EF=x，則DE=3x，再由三角函數定義即可得出答案．
【詳解】解： 設EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3x，AD∥EC，
∴△AFD∽△CFE，
∴ ，
，設CF=n，設EF=m，
∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n，
∵△ECD是直角三角形，，
∴△CFE∽△DFC，
∴，
∴，即，
∴，∵，
∴tan∠CAE=，
故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，三角函數等知識；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似是解題的關鍵．
9．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數的圖象上，第二象限的點B在反比例函數的圖象上，且OA⊥OB，tanA=2，則k的值為（ ）

A．4 B．8 C．-4 D．-8
【答案】D
【知識點】已知正切值求邊長、相似三角形的判定與性質綜合、根據圖形面積求比例系數（解析式）
【分析】過點A、B分別作AC⊥x軸、BD⊥x軸，垂足分別為點C、D，如圖，易證△AOC∽△OBD，則根據相似三角形的性質可得，再根據反比例函數系數k的幾何意義即可求出k的值．
【詳解】解：過點A、B分別作AC⊥x軸、BD⊥x軸，垂足分別為點C、D，如圖，則∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，

∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，
∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵k＜0，
∴k=﹣8．
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、相似三角形的判定和性質以及三角函數的定義等知識，熟練掌握所學知識、明確解答的方法是解題的關鍵．
10．如圖，半徑為的經過原點和點，點是軸左側優弧上一點，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】求角的正弦值、圓周角定理
【分析】本題考查了圓周角定理、銳角三角函數的定義，作直徑，根據勾股定理求出，根據余弦函數的定義求出，根據圓周角定理得到，等量代換即可．
【詳解】解：如圖所示：作直徑，
在中，，，
又（圓周角定理），
故選A.
二、填空題
11．在中，是的高線，若，，，則長為 .
【答案】5或3/3或5
【知識點】已知正切值求邊長、用勾股定理解三角形、與三角形的高有關的計算問題
【分析】分兩種情況：當高在內部時和當高在外部時，利用勾股定理和三角函數算出和的長，即可得到答案．
【詳解】解：當高在內部時，如圖所示：
在中，，
在中，，
，
；
當高在外部時，如圖所示：
在中，，
在中，，
，
，
綜上所述，或3，
故答案為：5或3．
【點睛】本題主要考查了勾股定理和正切的定義，正確運用勾股定理和正切進行計算求出邊長，分情況進行討論是解題的關鍵．
12．已知在中，，，，那么 .
【答案】6
【知識點】已知正切值求邊長
【分析】根據三角函數的定義即可求解．
【詳解】∵cotB=，
∴AC= =3BC=6．
故答案是：6．
【點睛】此題考查銳角三角函數的定義及運用，解題關鍵在于掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，余切為鄰邊比對邊．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若b=3a，則tanA= ．
【答案】
【分析】根據三角函數的定義進行解答．
【詳解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，b=3a，
∴tanA==.
14．在梯形中，，的平分線交于，連接，則 ．
【答案】
【知識點】求角的正切值、根據矩形的性質與判定求線段長、用勾股定理解三角形、全等的性質和SAS綜合（SAS）
【分析】根據題意，作出圖形，先由三角形全等的判定與性質得到，即是直角三角形，過點作交于，如圖所示，由矩形的判定與性質得到，在中及在中，有勾股定理得到的長，在中，由正切定義代值求解即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示：
是的角平分線，
，
在和中，
，
，即是直角三角形，
過點作交于，如圖所示：
，
，
，即四邊形是矩形，
，
在中，，，則由勾股定理可得，則，
設，則，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查求三角函數值，涉及角平分線定義、三角形全等的判定與性質、直角三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理及正切函數值定義等知識，熟練掌握相關幾何性質及判定是解決問題的關鍵．
15．如圖，在中，，點在上，，，則的值是 ．
【答案】/
【知識點】正切的概念辨析、求角的正切值、余弦的概念辨析、用勾股定理解三角形
【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值．
【詳解】解：，，
，
，
由勾股定理得：，
，
故答案為：．
【點睛】考查的是銳角三角函數的定義及勾股定理，熟記三角函數的定義及勾股定理是解題關鍵．
16．如圖，在中，，分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，作直線交于點，交于點．若，則的值為 ．
【答案】
【知識點】求角的正切值
【分析】連接AF，設AF=CF=5k，BF=3k，利用勾股定理求出AB，可得結論．
【詳解】解：連接AF．
由作圖可知，MN垂直平分線段AC，
∴FA=FC，
∵BF：FC=3：5，
∴設BF=3k，CF=AF=5k，
∵∠B=90°，
∴，
∴BC=BF+CF=8k，
∴tan∠ACB=，
故答案為：．
【點睛】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型．
三、解答題
17．計算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．
【答案】3
【知識點】特殊角的三角函數、負整數指數冪、零指數冪、實數的運算
【分析】按順序先分別進行負指數冪的運算、0指數冪的運算、二次根式的化簡、代入特殊角的三角函數值，然后再按運算順序進行計算即可得.
【詳解】（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°
=4-1+2
=3．
【點睛】本題考查了實數的運算，涉及了負指數冪、0指數冪、特殊角的三角函數值等知識，熟練掌握相關的運算的運算法則是解題的關鍵.
18．在中，，、、分別是、、的對邊，且，，求和的值．
【答案】，．
【知識點】求角的正弦值
【分析】本題主要考查了三角函數的比值關系，熟悉掌握正弦的比值關系是解題的關鍵．
根據正弦的比值關系列式比較即可．
【詳解】解：根據勾股定理可得：在中，，
又∵，，
∴，
∴b＝4，
∴，．
19．物體在太陽光照射下，影子的長度與時間變化直接相關，小明在某天的8點至16點之間，測量了一根2.7米長的直桿垂直于地面時的影子長度，發現影子長度y與時間之間近似二次函數關系，可滿足關系式．已知該天11點時影子長度為1.31米，12點時影子長度為1.08米．
(1)請確定a，c的值．
(2)如圖，太陽光線和與地面之間的夾角為，求14點時的值．
【答案】(1)
(2)
【知識點】求角的正切值、待定系數法求二次函數解析式
【分析】本題考查二次函數的應用，關鍵用待定系數法求出函數解析式.
（1）把 代入解析式，解方程組求出，的值;
（2）先根據（1）中，值求出函數解析式，再把代入解析式求出，再根據直角三角函數求出的值；
【詳解】（1）解：由題意可知 ，代入函數解析式得
得
解得 ，
；
（2）解：由（1）得函數解析式為
把代入，
解得
則；
20．如圖1，在中，，．如圖2，將向上翻折，使點落在上，記為點，折痕為．過點作平行線交延長線于點，連接．
（1）證明：四邊形是菱形．
（2）若，求的長度．
【答案】（1）見解析；（2）2
【知識點】求角的正切值、根據菱形的性質與判定求線段長、勾股定理與折疊問題
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性質得到AC=2AB，利用翻折的性質得到AE=AB，DE⊥AC，再證明△AEF△CED，EF=DE，根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可證得結論；
（2）利用（1）的結論結合三角函數的知識，即可求得DE的長，從而求得DF的長度．
【詳解】（1）在中，，．
∴AC=2AB，
由折疊的性質得：∠AED=∠B=90°，AE=AB，
∴AC⊥DF，
∵AC=2AB，
∴CE=AB=AE，
∵AF∥CD，
∴∠FAE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF△CED，
∴EF= ED，
又∵CE =AE，AC⊥DF，
∴四邊形是菱形；
（2）由（1）得：AC=2AB=2 AE，
∴AE=3，
由折疊的性質得：∠EAD=∠BAD=(90°-∠ACB)= 30°，
∵，即，
∴DE=，
∴DF= 2DE=2．
【點睛】本題考查了折疊的性質、三角函數的知識、含30度角的直角三角形的性質、菱形的判定等知識；熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
21．如圖，小明家居住的家屬樓前20米處有一土丘，經測量斜坡長為8米，坡角恰好為．一天小明站在斜坡頂端B處，手持1米的木棒（手臂長為0.6米，手臂與身子垂直，木棒與身子平行），發現眼睛A、木棒的頂端D、樓房的頂端M在一條直線上；眼睛A、木棒的底端E、樓房的底部N三點共線，請你計算小明家居住的這棟樓的高度．（參考數據：，，，結果精確到1米）
【答案】44米
【知識點】已知余弦求邊長、相似三角形的判定與性質綜合、根據矩形的性質與判定求線段長
【分析】如圖，作交于點G，交于點H，延長交于點F；通過三角函數計算求出線段，再根據矩形判定定理：有三個角是直角的四邊形是矩形，求出的長；根據相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，可知：；利用相似三角形性質：對應高的比等于相似比，從而求出最終結果．
【詳解】解：如圖，延長交于點F，作交于點G，交于點H，
∵斜坡米，坡角，
∴米；
∵米，
∴米，
∵根據題意，
∴四邊形是矩形，
∴米；
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
故這棟樓的高度為44米．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理、性質和矩形的判定定理及銳角三角函數的運用，熟練掌握相似三角形的判定定理及性質是解本題的關鍵．
22．如圖，在每個小正方形的邊長均為的網格中，其頂點稱為格點，點、．都在格點，上，只用無刻度的直尺，分別在網格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中，以為斜邊畫直角（點在格點上），使得
(2)在圖②中，以為一直角邊畫等腰直角（點在格點上）． 使得．
(3)在圖③中，以為一直角邊畫（點在格點上）， 在上取點， 使得
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【知識點】已知正切值求邊長、相似三角形的判定與性質綜合、勾股定理與網格問題
【分析】（1）找到的格點頂點，即可求解；
（2）根據勾股定理與網格的特點找到格點，使得；
（3）根據網格的特點找到點，使得，則，點即為所求；
【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求；
（2）解：如圖所示，點即為所求；
（3）解：如圖所示，找到點，使得，則，點即為所求；
【點睛】本題考查了勾股定理與網格，求正切，相似三角形的性質與判定，熟練掌握三角函數的定義，勾股定理與網格，相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
23．桑梯是我國古代發明的一種采桑工具，圖①是明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了桑梯，已知如圖②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的長．（結果精確到0.1米，參考數據：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
【答案】（米）．
【知識點】已知余弦求邊長、三線合一
【分析】過作于，根據等腰三角形的性質得到，求得，得到（米，在中，根據三角函數的定義得到（米即可．
【詳解】解：過A作于，
，
，
，
，
，
（米），
在中，，
（米），
米，
∴CD=AD+AC=1.2+1.47=2.67≈2.7米．
（米）．
【點睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
24．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．是一元二次方程的一個根，且，點為的中點，為軸正半軸上一點，，直線與相交于點．
(1)求點及點的坐標；
(2)反比例函數經過點關于軸的對稱點，求的值；
(3)在直線上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點P的坐標為或或或．
【知識點】已知正切值求邊長、反比例函數與幾何綜合、一次函數與幾何綜合
【分析】（1）先解得到兩個根，取其正值，可得，再由可得，于是可知，進而可求得的中點．
（2）求出直線，直線的解析式，構建方程組確定交點F的坐標，再根據對稱性求出點F′的坐標即可．
（3）先運用待定系數法求出直線的解析式為，設點，分，和三種情況列式求出t的值即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵點D為的中點，
∴點D的坐標為，即．
（2）在中，由勾股定理得：
，
∴，
設直線的函數解析式為，
把，代入得：
，
解得：
∴直線的函數解析式為，
∵，
設直線的函數解析式為，
∴，解得，，
∴直線的函數解析式為，
當時，，
此時，
∴，
∴點F關于y軸的對稱點為，
∵反比例函數經過點，
∴．
（3）設直線的解析式為，
將點的坐標代入得，
，解得：
∴直線的解析式為
∵點P在直線上，
∴設點，
∴
下面分三種情況討論：
①當時,
解得：，
∴
∴點P的坐標為；
②當時,
解得：，
∴,此時點P不存在，
，
∴點P的坐標為；
③當時,
解得：，
∴點P的坐標為或；
綜上，點P的坐標為或或或．1.1 銳角三角函數 同步分層練習講義
知識點1．銳角三角函數的定義
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
即sinA＝∠A的對邊除以斜邊＝．
（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．
即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．
（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊＝．
（4）三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．
知識點2．同角三角函數的關系
（1）平方關系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA cosA．
知識點3．互余兩角三角函數的關系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時，正余弦之間的關系為：
①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
中小學教育資源及組卷應用平臺
知識點4．特殊角的三角函數值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）應用中要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記．
（3）特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用較多．
題型強化
題型一．銳角三角函數的定義
1．（2024 麗水一模）如圖，在中，，，，則的值是　　
A． B． C． D．
2．（2024 南湖區校級一模）在中，，，則的值為 　　．
3．（2022 湖州）如圖，已知在中，，，．求的長和的值．
題型二．同角三角函數的關系
4．（2024 寧波模擬）在中，已知，設，則　　
A． B． C． D．
5．（2024 寧波模擬）已知，則　　．
6．（杭州模擬）下列關系式是否成立，請說明理由．
（1）；
（2）．
題型三．互余兩角三角函數的關系
7．（2023 杭州一模）在中，，，則　　
A． B． C． D．
8．（2022 西湖區校級二模）已知中，，，則　　．
9．（吳興區校級二模）已知，求的值．
題型四．特殊角的三角函數值
10．（2023春 上城區校級月考）已知是銳角，，則的值為　　
A． B． C． D．無法確定
11．（2024 西湖區校級開學）計算：　　．
12．（2023 紹興模擬）（1）計算：；
（2）．
分層練習
一、單選題
1．在中，，，，則的值是（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上，則cosA的值是(　　)

A． B． C． D．
4．如圖，為測學校旗桿的高度，在距旗桿米的處，測得旗桿頂部的仰角為，則旗桿的高度為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，則BC的長度為（　　）
A．2 B．8 C． D．
6．如圖，在平面直角坐標系系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數在第一象限內的圖象交于點，連接．若，，則的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，則AC的長為 （　　）
A．1 B．2 C． D．2
8．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足為F，交BC于點E，BE=2EC，連接AE．則tan∠CAE的值為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數的圖象上，第二象限的點B在反比例函數的圖象上，且OA⊥OB，tanA=2，則k的值為（ ）

A．4 B．8 C．-4 D．-8
10．如圖，半徑為的經過原點和點，點是軸左側優弧上一點，則為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．在中，是的高線，若，，，則長為 .
12．已知在中，，，，那么 .
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若b=3a，則tanA= ．
14．在梯形中，，的平分線交于，連接，則 ．
15．如圖，在中，，點在上，，，則的值是 ．
16．如圖，在中，，分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和，作直線交于點，交于點．若，則的值為 ．
三、解答題
17．計算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．
18．在中，，、、分別是、、的對邊，且，，求和的值．
19．物體在太陽光照射下，影子的長度與時間變化直接相關，小明在某天的8點至16點之間，測量了一根2.7米長的直桿垂直于地面時的影子長度，發現影子長度y與時間之間近似二次函數關系，可滿足關系式．已知該天11點時影子長度為1.31米，12點時影子長度為1.08米．
(1)請確定a，c的值．
(2)如圖，太陽光線和與地面之間的夾角為，求14點時的值．
20．如圖1，在中，，．如圖2，將向上翻折，使點落在上，記為點，折痕為．過點作平行線交延長線于點，連接．
（1）證明：四邊形是菱形．
（2）若，求的長度．
21．如圖，小明家居住的家屬樓前20米處有一土丘，經測量斜坡長為8米，坡角恰好為．一天小明站在斜坡頂端B處，手持1米的木棒（手臂長為0.6米，手臂與身子垂直，木棒與身子平行），發現眼睛A、木棒的頂端D、樓房的頂端M在一條直線上；眼睛A、木棒的底端E、樓房的底部N三點共線，請你計算小明家居住的這棟樓的高度．（參考數據：，，，結果精確到1米）
22．如圖，在每個小正方形的邊長均為的網格中，其頂點稱為格點，點、．都在格點，上，只用無刻度的直尺，分別在網格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
(1)在圖①中，以為斜邊畫直角（點在格點上），使得
(2)在圖②中，以為一直角邊畫等腰直角（點在格點上）． 使得．
(3)在圖③中，以為一直角邊畫（點在格點上）， 在上取點， 使得
23．桑梯是我國古代發明的一種采桑工具，圖①是明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了桑梯，已知如圖②所示，AB＝AC，BC＝1米，AD＝1.2米，∠CAB＝40°，求CD的長．（結果精確到0.1米，參考數據：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）
24．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．是一元二次方程的一個根，且
，點為的中點，為軸正半軸上一點，，直線與相交于點．
(1)求點及點的坐標；
(2)反比例函數經過點關于軸的對稱點，求的值；
(3)在直線上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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