資源簡介

1.3 解直角三角形 同步分層練習講義
知識點1．解直角三角形
（1）解直角三角形的定義
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的關系
①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B＝90°；
②三邊之間的關系：a2+b2＝c2；
③邊角之間的關系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）
知識點2．解直角三角形的應用
（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問．
如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．
（2）解直角三角形的一般過程是：
①將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．
②根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．
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知識點3．解直角三角形的應用-坡度坡角問題
（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．
（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i＝h/l＝tanα．
（3）在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題．
應用領域：①測量領域；②航空領域 ③航海領域：④工程領域等．
知識點4．解直角三角形的應用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決．
知識點5．解直角三角形的應用-方向角問題
（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數．
（2）在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角．
題型強化
題型一．解直角三角形
1．（2024 余姚市校級四模）如圖所示，格點三角形放置在的正方形網格中，則的值為　　
A． B． C． D．
2．（2024 寧波模擬）如圖，在△中，已知，．若，則
　　．
3．（2024 海寧市校級模擬）在中，，分別是，的中點，于點，于點，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）當，，時，求的長．
題型二．解直角三角形的應用
4．（2024 鹿城區校級三模）使用可調節雙層鞋托架能大大提高鞋柜空間利用率，一種可調節雙層鞋托架示意圖如圖所示，當打開最大時，，，，則此時點到的距離為　　
A． B．
C． D．
5．（2024 鄞州區模擬）如圖，一把梯子斜靠在墻上，端點離地面的高度長為時，，當梯子底端點水平向左移動到點，端點沿墻豎直向上移動到點，設，則的長可以表示為 　　．
6．（2024 紹興一模）圖1是一款用于汽車抬升的螺旋式千斤頂，旋轉螺桿能起到升降千斤頂頂部高度的作用．圖2是該螺旋式千斤頂的平面示意圖，已知四條支撐桿，，，的長度均為，螺桿與水平地面平行．
（1）當時，求千斤頂頂部到水平地面的距離的長．
（2）當由變為時，千斤頂頂部到水平地面的距離的長將增加多少？
（結果精確到．參考數據：，，，
題型三．解直角三角形的應用-坡度坡角問題
7．（2024 浙江模擬）如圖，一根長的木頭斜靠在垂直于地面的墻上，當端點離地面的高度為時，木頭的傾斜角的余弦的值為　　
A． B． C． D．
8．（2024 西湖區校級三模）如圖，一座水庫大壩的橫斷面為梯形，斜坡，現將坡度為的斜坡改為坡度為的斜坡．則新坡面　　．（結果保留根號）
9．（2024 仙居縣二模）如圖，斜面上的小正方體木塊的重力大小和方向可以用從點到點的有向線段的表示，由于斜邊的支撐，重力會分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木塊對斜面的正壓力），分別用從到的有向線段和從到的有向線段表示．線段的長表示正方體的重力大小，線段和的長分別表示兩個分力的大小．根據科學原理，四邊形是平行四邊形．如果斜面的坡角，小正方體木塊的重力為10牛．求：該正方體木塊對斜面的正壓力（垂直于斜面的分力）的大小．
（溫馨提示：，，，結果精確到0.1牛）
題型四．解直角三角形的應用-仰角俯角問題
10．（2024 拱墅區二模）如圖，某數學實踐小組測量操場的旗桿的高度，操作如下：
（1）在點處放置測角儀，量得測角儀的高度為；
（2）測得仰角；
（3）量得測角儀到旗桿的水平距離為．
則旗桿的高度可表示為　　
A． B． C． D．
11．（2024 海寧市三模）某防空部隊進行射擊訓練時，在地面，兩個觀察點測得空中固定目標的仰角為和，測得，，，則目標距離地面的高度為 　　．
12．（2024春 瑞安市月考）如圖，測得兩幢樓之間的距離為，從樓頂觀測點的俯視角為，點的俯視角為，求這兩幢樓的高度．（精確到，參考數據：，，
題型五．解直角三角形的應用-方向角問題
13．（2021春 永嘉縣校級期中）如圖，從漁船處測得燈塔在北偏東方向上，這艘漁船以的速度向正東方向航行，半小時后到達處，在處測得燈塔在北偏東方向上，此時燈塔與漁船的距離是　　
A． B． C． D．
14．（2022 麗水二模）如圖，從點測得村在北偏東方向，小明從點沿北偏東方向步行800米達到處，測得村位于點的北偏西方向，若在上找點，使得最短，的長是 　　米．
15．（2023 仙桃校級一模）如圖，海岸線上有兩座燈塔，，燈塔位于燈塔的正東方向，與燈塔相距．海上有甲、乙兩艘貨船，甲船位于燈塔的北偏東方向，與燈塔相距的處；乙船位于燈塔的北偏東方向，與燈塔相距的處．求：
（1）甲船與燈塔之間的距離；
（2）兩艘貨船之間的距離．
分層練習
一、單選題
1．已知一菱形的邊長為1，銳角為α，則菱形的面積為（　　）
A．sinα B．cosα C．tanα D．2sinα
2．若一個正九邊形的邊長為，則這個正九邊形的半徑是( )
A． B． C． D．
3．在中，，為邊上的高，，，則的長為（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．
4．水庫堤壩的橫斷面是梯形（如圖）．測得斜坡長為米，斜坡的坡比為，則此堤壩橫斷面的高為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如圖，正六邊形內接于，交于點G，若，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
6．已知：如圖，，分別是半圓和半圓的直徑，半圓的弦交半圓于．若，則等于（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在軸上，，，點， 分別是邊，上的點．將沿折疊，使點的對應點落在邊上，若，則點F的坐標為（　　）
A． B． C． D．，
8．如圖，在中，，，，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線交于M，交于N，連接．G為上一動點，過G作，垂足為F，連接，則的最小值為（　　）

A．3 B． C．6 D．
9．如圖，第一象限內的點A在反比例函數的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數的圖象上，且，，則k的值為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點，點的對應點為點，連接、、與交于點，與交于點，若點為中點，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．在中，，，，則的面積是 .
12．生活經驗表明，靠墻擺放的梯子，當時（為梯子與地面所成的角），能夠使人安全攀爬．現在有一長為米的梯子，試求能夠使人安全攀爬時，梯子的頂端能達到的高度 ．（結果精確到米．參考數據：，，）
13．如圖1，在三角形紙板中，，，，點是邊上的一個點（不與
點重合），沿折疊紙板，點的對應點是點．
（1）如圖2，當點在射線上時， °．
（2）若，且點不在直線右側，則點到的距離是 ．
14．如圖，點E，F分別在正方形的邊上，，點M是的中點，過點M的直線與正方形的一組對邊交于點P，Q（與點E，F不重合），點P在或上．若則的長為 ．
15．如圖，已知在中，，垂足為點分別在邊和上，將分割成兩個小三角形，將割成兩個小三角形，如果分割成的兩個小三角形與分割成的兩個小三角形分別相似，那么的值是 ．

16．如圖，在矩形ABCD中，AD=25，AB=12，點E、F分別是AD、BC上的點，且DE=CF=9，連接EF、DF、AF．取AF的中點為G，連接BG，將△BFG沿BC方向平移，當點F到達點C時停止平移，然后將△GFB繞C點順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到△B1CG1（點G的對應點為G1，點B的對應點為B1），在旋轉過程中，直線B1G1與直線EF、FD分別相交M、N，當△FMN是等腰三角形，且FM=FN時，線段DN的長為 ．
三、解答題
17．在中，，，，是斜邊上的中線，是斜邊上的高．
(1)求的長；
(2)求的值．
18．北庭故城建于唐代，見證了新疆自古以來就是祖國不可分割的一部分，廢墟最高處如圖所示是故城地標建筑之一，當初是為了防御外敵所建的瞭望角樓．此樓底部距離地平線高度為米，小明在地面A點處測得殘樓低N的仰角是，由A往前走30米至點B處，測得的殘頂P的仰角是，請求出瞭望角樓的高度（精確到1米）．（，，）
19．如圖1，圖2分別是某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑竿、箱長、拉桿的長度都相等，即，點B、F在線段上，點C在上，支桿．
(1)若時，B，D相距，試判定與的位置關系，并說明理由；
(2)當，時，求的長．
20．問題發現：
（1）如圖1，已知正方形和正方形，直接寫出與之間的數量關系：___________．
拓展探究：
（2）將正方形繞點A順時針旋轉到圖2所示的位置，連接，試猜想與之間的數量關系，并說明理由．
類比遷移：
（3）如圖3，已知菱形和菱形，將菱形繞點A順時針旋轉，連接，請在備用圖中畫出草圖，判定與之間的數量關系是否隨著的變化而變化，并說明理由．
21．讀懂一座城，從博物館開始．2021年9月16日上午，江蘇鹽城市博物館正式開館．鹽城市博物館新館坐落于先鋒島西側，是一座研究反映鹽城地方歷史和城市發展的綜合性博物館．博物館集收藏、展示、研究、教育、服務、交流于一體，整體建筑風格雅致，主館建筑為傳統寶塔造型，風格既有現代時尚氣息，又充滿中國皇家宮廷風韻．學校數學興趣小組利用無人機測量該寶塔的高度，無人機的起飛點與寶塔（）的水平距離為，無人機垂直升到A處測得塔的頂部處的俯角為，測得塔的底部處的俯角為．
(1)求寶塔的高度；
(2)若計算結果與實際高度稍有出入，請你提出一條減少誤差的建議．（結果精確到，參考數據：，，）
22．如圖，臺風中心位于點O 處，并沿東北方向（北偏東），以40千米/小時的速度勻速移動，在距離臺風中心50千米的區域內會受到臺風的影響，在點O 的正東方向，距離 千米的地方有一城市A．

(1)A市是否會受到此臺風的影響，為什么？
(2)在點O的北偏東方向，距離80千米的地方還有一城市B，B市是否會受到此臺風的影響？為什么？
(3)若A 市或B 市受到影響，請求出受影響的時間．
23．在數學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區的一、二號樓進行測高實踐．如圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面的中點垂直起飛到達點處，測得一號樓頂部的俯角為，測得二號樓頂部的俯角為，此時航拍無人機的高度為60米，已知一號樓的高為20米，求二號樓的高.（結果精確到米）
（參考數據：，，，，，.）
24．圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，托板長，支撐板長，且，托板可繞點C轉動，且．（參考數據： ，）
(1)求點C到直線的距離（計算結果保留根號）；
(2)若時，求點A到直線的距離（計算結果精確到個位）；
(3)為了觀看舒適，把（1）中調整為，再將繞點D逆時針旋轉，使點B落在上，則旋轉的度數為 　 　．（直接寫出結果）1.3 解直角三角形 同步分層練習講義
知識點1．解直角三角形
（1）解直角三角形的定義
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的關系
①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B＝90°；
②三邊之間的關系：a2+b2＝c2；
③邊角之間的關系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）
知識點2．解直角三角形的應用
（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問．
如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．
（2）解直角三角形的一般過程是：
①將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．
②根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．
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知識點3．解直角三角形的應用-坡度坡角問題
（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．
（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i＝h/l＝tanα．
（3）在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題．
應用領域：①測量領域；②航空領域 ③航海領域：④工程領域等．
知識點4．解直角三角形的應用-仰角俯角問題
（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．
（2）解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決．
知識點5．解直角三角形的應用-方向角問題
（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數．
（2）在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角．
題型強化
題型一．解直角三角形
1．（2024 余姚市校級四模）如圖所示，格點三角形放置在的正方形網格中，則的值為　　
A． B． C． D．
【分析】過點作，垂足為，先利用勾股定理求出，再利用直角三角形的邊角關系得結論．
【解答】解：過點作，垂足為．
，，
．
．
故選：．
【點評】本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的邊角間關系是解決本題的關鍵．
2．（2024 寧波模擬）如圖，在△中，已知，．若，則　　．
【分析】過點作于，則，設，，則，由可得，，利用勾股定理求出、，根據正弦的定義即可求解．
【解答】解：過點作于，則，
，
設，，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了三角函數，勾股定理，正確作出輔助線，構造出直角三角形是解題的關鍵．
3．（2024 海寧市校級模擬）在中，，分別是，的中點，于點，于點，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）當，，時，求的長．
【分析】（1）先證，再證和全等得，由此可得出結論；
（2）過點作于點，證為的中位線得，，再證為等腰直角三角形得，則，再由得，進而可得，則，然后在中由勾股定理即可求出的長．
【解答】（1）證明：于點，于點，
，，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
點，分別是，的中點，
，，
，
在和中，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形；
（2）過點作于點，如圖所示：
于點，
，
又點為的中點，
為的中位線，，
，，
，
為等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數，勾股定理等，理解平行四邊形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質，靈活銳角三角函數和勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．
題型二．解直角三角形的應用
4．（2024 鹿城區校級三模）使用可調節雙層鞋托架能大大提高鞋柜空間利用率，一種可調節雙層鞋托架示意圖如圖所示，當打開最大時，，，，則此時點到的距離為　　
A． B．
C． D．
【分析】過點作于點，過點作于點，在中，根據三角函數求出，根據，即可作答．
【解答】解：過點作于點，過點作于點，
四邊形為矩形，
，
，
，
在中，
，
，
故選：．
【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是構造直角三角形．
5．（2024 鄞州區模擬）如圖，一把梯子斜靠在墻上，端點離地面的高度長為時，，當梯子底端點水平向左移動到點，端點沿墻豎直向上移動到點，設，則的長可以表示為 　　．
【分析】根據題意可得：，，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出，從而可得，再在△中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，
在中，，，
，
，
在△中，，
，
，
的長可以表示為，
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
6．（2024 紹興一模）圖1是一款用于汽車抬升的螺旋式千斤頂，旋轉螺桿能起到升降千斤頂頂部高度的作用．圖2是該螺旋式千斤頂的平面示意圖，已知四條支撐桿，，，的長度均為，螺桿與水平地面平行．
（1）當時，求千斤頂頂部到水平地面的距離的長．
（2）當由變為時，千斤頂頂部到水平地面的距離的長將增加多少？
（結果精確到．參考數據：，，，
【分析】（1）連接，易證四邊形為菱形，，為等邊三角形，，進而作答即可；
（2）連接交于點，根據菱形，為直角三角形，且，根據三角函數作答即可．
【解答】解：（1）連接，如圖，
，
四邊形為菱形，
，
又，
為等邊三角形，
，
當時，的長為；
（2）連接交于點，如圖，
，
四邊形為菱形，
，為菱形的對角線，
為直角三角形，，
在中，，
，
，
，
當由變為時，千斤頂頂部到水平地面的距離的長將增加．
【點評】本題考查菱形的性質和解直角三角形的應用，解題的關鍵是作輔助線．
題型三．解直角三角形的應用-坡度坡角問題
7．（2024 浙江模擬）如圖，一根長的木頭斜靠在垂直于地面的墻上，當端點離地面的高度為時，木頭的傾斜角的余弦的值為　　
A． B． C． D．
【分析】根據題意可以求得的長度，從而可得的值．
【解答】解：由題意可知，在△中，，，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是將題目中的條件進行轉化，得到所求問題需要的條件即的長．
8．（2024 西湖區校級三模）如圖，一座水庫大壩的橫斷面為梯形，斜坡，現將坡度為的斜坡改為坡度為的斜坡．則新坡面　　．（結果保留根號）
【分析】根據的坡度為，，可得的長，再根據改為坡度為可以求出的長，根據勾股定理即可求出新坡面．
【解答】解：的坡度為，，
設，則，
，故，
在中，坡度為，
，故．
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，兩個直角三角形有公共的直角邊，先求出公共邊的解決此類題目的基本出發點．
9．（2024 仙居縣二模）如圖，斜面上的小正方體木塊的重力大小和方向可以用從點到點的有向線段的表示，由于斜邊的支撐，重力會分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木塊對斜面的正壓力），分別用從到的有向線段和從到的有向線段表示．線段的長表示正方體的重力大小，線段和的長分別表示兩個分力的大小．根據科學原理，四邊形是平行四邊形．如果斜面的坡角，小正方體木塊的重力為10牛．求：該正方體木塊對斜面的正壓力（垂直于斜面的分力）的大小．
（溫馨提示：，，，結果精確到0.1牛）
【分析】根據題意求出，再根據余弦的定義計算，得到答案．
【解答】解：，，
，
在中，，牛，
，
（牛，
答：該正方體木塊對斜面的正壓力約為9.4牛．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
題型四．解直角三角形的應用-仰角俯角問題
10．（2024 拱墅區二模）如圖，某數學實踐小組測量操場的旗桿的高度，操作如下：
（1）在點處放置測角儀，量得測角儀的高度為；
（2）測得仰角；
（3）量得測角儀到旗桿的水平距離為．
則旗桿的高度可表示為　　
A． B． C． D．
【分析】過點作于點，在直角三角形中用表示出，再利用線段的和求出旗桿的高度即可．
【解答】解：過點作于點，如圖
由題意，知四邊形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，構造直角三角形，合理利用三角函數定義是解題的關鍵．
11．（2024 海寧市三模）某防空部隊進行射擊訓練時，在地面，兩個觀察點測得空中固定目標的仰角為和，測得，，，則目標距離地面的高度為 　　．
【分析】過作于，解直角三角形即可得到結論．
【解答】解：過作于，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
答：目標距離地面的高度為．
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
12．（2024春 瑞安市月考）如圖，測得兩幢樓之間的距離為，從樓頂觀測點的俯視角為，點的俯視角為，求這兩幢樓的高度．（精確到，參考數據：，，
【分析】過點作于點，根據題意構造直角三角形；本題涉及兩個直角三角形，應利用三角函數進行計算，進而可求出答案．
【解答】解：過點作于點，
在△中，，
，
在△中，，，
，
．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
題型五．解直角三角形的應用-方向角問題
13．（2021春 永嘉縣校級期中）如圖，從漁船處測得燈塔在北偏東方向上，這艘漁船以的速度向正東方向航行，半小時后到達處，在處測得燈塔在北偏東方向上，此時燈塔與漁船的距離是　　
A． B． C． D．
【分析】根據題意證明是等腰三角形，即可得此時燈塔與漁船的距離．
【解答】解：根據題意可知：
，
，
，
，
．
所以此時燈塔與漁船的距離是．
故選：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，解決本題的關鍵是掌握方向角定義．
14．（2022 麗水二模）如圖，從點測得村在北偏東方向，小明從點沿北偏東方向步行800米達到處，測得村位于點的北偏西方向，若在上找點，使得最短，的長是 　　米．
【分析】過點作于點，依據題意可得，，，，進而可得，則，設，在中，可得，即可求出的值，進而可得出答案．
【解答】解：如圖，過點作于點，
依據題意，可得，，，米，
，
則，
設，則，
在中，
，
解得，
米．
故答案為：．
【點評】本題考查解直角三角形的應用方向角問題，熟練掌握解直角三角形的知識是解答本題的關鍵．注意數形結合思想與方程思想的應用
15．（2023 仙桃校級一模）如圖，海岸線上有兩座燈塔，，燈塔位于燈塔的正東方向，與燈塔相距．海上有甲、乙兩艘貨船，甲船位于燈塔的北偏東方向，與燈塔相距的處；乙船
位于燈塔的北偏東方向，與燈塔相距的處．求：
（1）甲船與燈塔之間的距離；
（2）兩艘貨船之間的距離．
【分析】（1）連接，由圖可得，是等邊三角形，進而可得的長度；
（2）過作于，根據角的余弦求出，再根據勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）連接，
，，
是等邊三角形，
，
答：甲船與燈塔之間的距離是；
（2）過作于，
由（1）得，，，，
中，，
，
，
，
答：兩艘貨船之間的距離是．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，解決本題的關鍵是掌握方向角定義．
分層練習
一、單選題
1．已知一菱形的邊長為1，銳角為α，則菱形的面積為（　　）
A．sinα B．cosα C．tanα D．2sinα
【答案】A
【知識點】解直角三角形的相關計算
【分析】利用三角函數求出菱形的高即可解決問題.
【詳解】如圖，作AH⊥BC于H．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=1，
在Rt△ABH中，AH=AB sinα，
∴S菱形ABCD=BC AH=sinα，
故選A．
【點睛】本題考查菱形的性質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，記住菱形的兩個面積公式．
2．若一個正九邊形的邊長為，則這個正九邊形的半徑是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】解直角三角形的相關計算、正多邊形和圓的綜合
【分析】先根據題意畫出圖形，經過圓心O作圓的內接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．接OA，則在直角△OAC中，∠AOB=．OC是邊心距，OA即半徑．根據三角函數即可求解．
【詳解】解答：如圖所示，過O作OC⊥AB于C，則OC即為正九邊形的邊心距，連接OA，
∵此多邊形是正九邊形，∴∠AOB==40°，OA=OB，
∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，
∵AB=a，∴AC=a，
∴OA===．
故選D．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓，關鍵是構造直角三角形，利用圓內接正多邊形的性質及直角三角形中三角函數的定義解答．
3．在中，，為邊上的高，，，則的長為（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．
【答案】C
【知識點】解直角三角形的相關計算、與三角形的高有關的計算問題
【分析】在中，根據，，求得，然后分情況討論即可求得的長．
【詳解】解：在中，，
如圖，當點C在點D右邊時
如圖，當點C在點D左邊時
故的長為5或7
故選：C
【點睛】本題考查解直角三角形以及分類討論，解題關鍵是正確畫出分類討論的三角形圖形求解．
4．水庫堤壩的橫斷面是梯形（如圖）．測得斜坡長為米，斜坡的坡比為，則此堤壩橫斷面的高為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知識點】解直角三角形的相關計算、仰角俯角問題(解直角三角形的應用)
【分析】根據坡比為1:2，設BE=x米，AE=2x米，在Rt△ABE中，利用勾股求出x的值即可．
【詳解】
解：過點B作BE⊥AC于點E.
∵坡比為1：2，
∴設BE=x米，AE=2x米，
∵斜坡AB長為60米，
∴x2+（2x）2=602，
∴x=12 ．
故選C
【點睛】本題考查解直角三角形的應用-坡度、坡角問題，解題關鍵是熟悉坡度、坡角的定義及勾股定理．
5．如圖，正六邊形內接于，交于點G，若，則的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】圓周角定理、正多邊形和圓的綜合、求弧長、解直角三角形的相關計算
【分析】連接，由圓及正多邊形的軸對稱性知，經過圓心O，得．可求，運用勾股定理，中，，，求得，運用弧長公式進一步求解．
【詳解】解：連接，由圓及正多邊形的軸對稱性知，經過圓心O，
∴．
，
．
∴
中，，
中，，
∴．
∴的長．

【點睛】本題考查正多邊形性質，圓的性質，圓周角定理，解直角三角形；由正多邊形性質求解角度是解題的關鍵．
6．已知：如圖，，分別是半圓和半圓的直徑，半圓的弦交半圓于．若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】解直角三角形的相關計算
【分析】利用直徑的性質可得△ABM、△BCN均為直角三角形，然后利用三角函數計算即可
【詳解】解：∵，分別是半圓和半圓的直徑，
∴∠AMC=∠BNC=90°，
∴，，
∴
∴，
即．
∵，
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查了直徑的性質以及解直角三角形，解題的關鍵是能夠利用三角函數表示相關線段長從而得結果．
7．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在軸上，，，點， 分別是邊，上的點．將沿折疊，使點的對應點落在邊上，若，則點F的坐標為（　　）
A． B． C． D．，
【答案】A
【知識點】解直角三角形的相關計算、折疊問題、利用菱形的性質求線段長、坐標與圖形
【分析】過作于，作于，根據四邊形是菱形，，可得，，，，又，故，由將沿折疊，使點的對應點落在邊上，有，從而，，即知，可得，．
【詳解】解：過作于，作于，如圖：
四邊形是菱形，，
，
，
，，
，，
，，
，
，，
，即，
，
，
，
將沿折疊，使點的對應點落在邊上，
，
，
，
解得，
，
，，軸，
∴點F的橫坐標為，
，，
故選：A．
【點睛】本題考查菱形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質，能熟練應用含角的直角三角形三邊的關系．
8．如圖，在中，，，，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線交于M，交于N，連接．G為上一動點，過G作，垂足為F，連接，則的最小值為（　　）

A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【知識點】解直角三角形的相關計算、線段垂直平分線的性質、角平分線的性質定理、垂線段最短
【分析】過G作于H，先求出，由作圖得垂直平分，進而證明平分，從而得到，根據兩點之間線段最短和垂線段最短得線段是的最小值，在中，根據， ，即可求出，問題得解．
【詳解】解：過G作于H，

∵，，
∴，
由作圖得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∴，
∴當點B、G、H在同一直線上時，根據兩點之間線段最短和垂線段最短得線段是的最小值，
在中，，
，
即的最小值為．
故選：B
【點睛】本題考查了作線段的垂直平分線，角平分線的性質，垂線段最短，兩點之間線段最短，解直角三角形等知識，理解題意，熟知相關知識，正確添加輔助線是解題關鍵．
9．如圖，第一象限內的點A在反比例函數的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數的圖象上，且，，則k的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】解直角三角形的相關計算、相似三角形的判定與性質綜合、根據圖形面積求比例系數（解析式）
【分析】過點B作BE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F．由反比例函數的比例系數的幾何意義得△OAF的面積，再證明△OAF∽△BOE，由相似三角形的性質得△BOE的面積，進而得k的值；
【詳解】解：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F．
∵OA⊥OB，
∴∠BOE+∠AOF＝90°．
又∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE，
∴△OAF∽△BOE．
∴，
∵，
設OB=，AB=,
OA=，
∴，
∴，
∵點A在反比例函數的圖象上，
∴S△AOF＝，
∴S△BOE＝，
又點B在反比例函數y＝的圖象上，且點B在第二象限，
∴k＝﹣；
故選：A．
【點睛】本題考查了反比例函數中|k|的幾何意義以及相似三角形的判定與性質，解題關鍵是通過相似比求出面積比，利用幾何意義求解．
10．如圖，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點，點的對應點為點，連接、、與交于點，與交于點，若點為中點，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】解直角三角形的相關計算、矩形與折疊問題
【分析】連接DF、FG，過點H作HJ⊥BC于J，根據銳角三角函數設AG=3x，則EG=5x，利用，即可求出x的值，從而求出，然后設CF=y，根據折疊的性質可得FD=FG，利用勾股定理列出方程即可求出y，從而求出，利用銳角三角函數和勾股定理求出HJ和FJ，即可求出BJ，最后利用勾股定理即可求出結論．
【詳解】解：連接DF、FG，過點H作HJ⊥BC于J，如下圖所示
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠A=90°
∴
設AG=3x，則EG=5x，AE=
∵點為中點，
∴GB=AG=3x，AB=2AG=6x
由折疊的性質可得DE=EG=5x，EF⊥GD
∴AD=AE＋DE=9x，
∴
∵
∴
∴
即
解得：（不符合實際情況，舍去）
∴
設CF=y，則BF=BC－CF=18－y
由折疊的性質可得FD=FG
∴
解得：y=6
∴
∵
∴
∴
∴
∴BJ=BF－FJ=
∴
故選A．
【點睛】此題考查的是矩形與折疊問題和解直角三角形，掌握矩形的性質、折疊的性質、利用銳角三角函數和勾股定理解直角三角形是解題關鍵．
二、填空題
11．在中，，，，則的面積是 .
【答案】
【知識點】解直角三角形的應用
【分析】根據題意畫出圖形，根據解直角三角形的知識依次求出AD,BC的長度，再根據三角形的面積計算公式即可得到結果。
【詳解】解：如圖所示，過點A作AD⊥BC,
在Rt△ACD中，
AD=AC
=5=3.
CD==4
∵
∴∠B=45°，
∴BD=AD=3.
∴BC=BD+CD=4+3=7.
∴三角形ABC的面積= 7 3=.
【點睛】本題考查了三角函數的應用和三角形的面積計算公式，正確作出輔助線是解題的關鍵.
12．生活經驗表明，靠墻擺放的梯子，當時（為梯子與地面所成的角），能夠使人安全攀爬．現在有一長為米的梯子，試求能夠使人安全攀爬時，梯子的頂端能達到的高度 ．（結果精確到米．參考數據：，，）
【答案】米
【知識點】其他問題（解直角三角形的應用）
【分析】由于梯子、地面、墻恰好構成直角三角形，故根據銳角三角函數的定義即可得出結論．
【詳解】梯子、地面、墻恰好構成直角三角形，，，
（米），
故答案為：5.5米．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
13．如圖1，在三角形紙板中，，，，點是邊上的一個點（不與點重合），沿折疊紙板，點的對應點是點．
（1）如圖2，當點在射線上時， °．
（2）若，且點不在直線右側，則點到的距離是 ．
【答案】 60
【知識點】解直角三角形的相關計算、三角形折疊中的角度問題
【分析】（1）解直角三角形ABC求出∠BAC=60°，得出∠B=30°，由折疊得∠BMC=90°，可得∠BCM；
（2）由折疊得，∠NCM=∠ACM=45°，根據平角的性質可求得∠BMC=105°，過M作交BC于點N，得MN=NC，設，則，解Rt△BMN可得BN，根據可得結論
【詳解】（1）如圖1，
∵在Rt△ABC中，，，
∴
∴，
∵∠ACB=90°,
∴
當點在射線上時，點是的中點，
∴，即
∴；
故答案為:60；
（2）如圖2，
當時，由折疊得，
設，
∴
，
∴∠BMC=105°，
過M作交BC于點N，由折疊得，∠NCM=∠ACM=45°
∴MN=NC
設cm，則cm，
在Rt△BMN中，∠B=30°，
∴BN=
∴BC=+y=cm
解得，，即
∴點M到BC的距離是．
故答案為：
【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），解直角三角形等相關知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
14．如圖，點E，F分別在正方形的邊上，，點M是的中點，過點M的直線與正方形的一組對邊交于點P，Q（與點E，F不重合），點P在或上．若則的長為 ．
【答案】1或或
【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根據正方形的性質求線段長、解直角三角形的相關計算
【分析】分三種情況畫圖討論：①當點在上時，②當點在上時，③如圖3，過點作于點，點與點在上關于對稱，利用正方形的性質求解即可．
【詳解】解：①當點在上時，
如圖1，過點作于點，過點作于點，
四邊形是正方形，
，，
，
四邊形是矩形，
， ，
此時即為，點與點重合，
，
四邊形是矩形，
，
；
②當點在上時，
如圖2，過點作于點，過點作于點，交于點，交于點，

得矩形，矩形，矩形，
，，，，
，
，
是的中點，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是的中點，
，
，分別是，的中點，
，
；
③如圖3，過點作于點，
根據對稱性可知：點與點在上關于對稱，
，
．
綜上所述：的長為1或或．
故答案為：1或或．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角函數，軸對稱的性質，勾股定理，解直角三角形，關鍵是利用分類討論思想解決問題．
15．如圖，已知在中，，垂足為點分別在邊和上，將分割成兩個小三角形，將割成兩個小三角形，如果分割成的兩個小三角形與分割成的兩個小三角形分別相似，那么的值是 ．

【答案】或
【知識點】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質綜合、利用相似三角形的性質求解、解直角三角形的相關計算
【分析】根據題意，設，則，由勾股定理可得，由等腰直角三角形的性質可得，分割成兩個小三角形中都有一個角為，若相似，則中也必然有角，由此可得平分，設，則，分類討論：第一種情況，如圖所示，當時，，可證四邊形是平行四邊形，得，由相似三角形的性質可得，由此即可得的值；第二種情況，如圖所示，已知，當時，，根據相似的性質可得，，由此可得的值；由此即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，是等腰直角三角形，即，
∵，
∴設，則，
∴，
∵分割成的兩個小三角形與分割成的兩個小三角形分別相似，
∴分割成兩個小三角形中都有一個角為，
∴當平分時，在中，，
設，則，
∴第一種情況，如圖所示，當時，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得，，
檢驗，當時，原分式方程有意義，即，
∴；
第二種情況，如圖所示，已知，當時，，

∴，即，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得，，
檢驗，當時，原分式方程有意義，即，
∴；
故答案為：或 ．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，正切值的計算，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質，分類討論思想是解題的關鍵．
16．如圖，在矩形ABCD中，AD=25，AB=12，點E、F分別是AD、BC上的點，且DE=CF=9，連接EF、DF、AF．取AF的中點為G，連接BG，將△BFG沿BC方向平移，當點F到達點C時停止平移，然后將△GFB繞C點順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到△B1CG1（點G的對應點為G1，點B的對應點為B1），在旋轉過程中，直線B1G1與直線EF、FD分別相交M、N，當△FMN是等腰三角形，且FM=FN時，線段DN的長為 ．
【答案】．
【知識點】解直角三角形的相關計算、相似三角形的判定與性質綜合、根據旋轉的性質求解
【詳解】試題解析：如圖，作FL⊥BG于L，FH⊥MN于H，CK⊥MN于K，CR⊥FH于R．FH交ED于T，作TQ⊥DF于Q．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD=12，AD=CF=25，
∵DE=CF=9，又∵DE∥CF，
∴四邊形DEFC是平行四邊形，
∵∠EDC=90°，
∴四邊形DEFC是矩形，同理四邊形AEFB是矩形，
∴DF==15，AF==20，
∵AG=GF，
∴S△BGF=S△ABF=96= BG LF，
∴FL=，
∵CK=FL，
∴CK=，
∵FM=FN，FH⊥MN，CK⊥MN，CR⊥FH，
∴∠RHK=∠HKC=∠KCR=90°，
∴四邊形RHKC是矩形，
∴RH=CK=，
∴∠MFH=∠NFH，
∴TE=TQ，設TE=TQ=x，
在RT△TQD中，∵TQ2+QD2=TD2，
∴x2+32=（9-x）2，
∴x=4，
∴FT=，
∵∠EFT+∠CFR=90°，∠CFR+∠FCR=90°，
∴∠EFT=∠FCR，∵∠FET=∠CFR=90°，
∴△FET∽△CFR，
∴，
∴，
∴RF=，
∴FH=FR+RH=，
∵∠HFN=∠HFM，
∴cos∠HFN=，
∴，
∴FN=3，
∴DN=FN-DF=．
考點：幾何變換綜合題．
三、解答題
17．在中，，，，是斜邊上的中線，是斜邊上的高．
(1)求的長；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【知識點】解直角三角形的相關計算、斜邊的中線等于斜邊的一半、用勾股定理解三角形
【分析】（1）先求出BE的長，再根據勾股定理得出AC的長，根據三角形的面積得出CD的長，進而可以得出的長；
（2）先求出∠ACE=∠A，再根據銳角三角函數的定義求解即可．
【詳解】（1）∵是斜邊上的中線，
∴CE=BE=AB=5，
中，，
∴AC=8，
∵三角形面積，
∴CD=，
在Rt△BCD中，BD=，
∵BE=5，
∴．
（2）在中，CE是斜邊AB上的中線，
∴，
∴∠ACE=∠A，
∴．
【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的中線的定義，銳角三角函數的定義，三角形的面積，難度適中，準確理解題意是解題的關鍵．
18．北庭故城建于唐代，見證了新疆自古以來就是祖國不可分割的一部分，廢墟最高處如圖所示是故城地標建筑之一，當初是為了防御外敵所建的瞭望角樓．此樓底部距離地平線高度為米，小明在地面A點處測得殘樓低N的仰角是，由A往前走30米至點B處，測得的殘頂P的仰角是，請求出瞭望角樓的高度（精確到1米）．（，，）
【答案】
【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應用)
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，由正切函數得，可求，由等腰三角形的性質得，即可求解；掌握直角三角形的解法是解題的關鍵．
【詳解】解：在中，
，，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
答：角樓的高度為．
19．如圖1，圖2分別是某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑竿、箱長、拉桿的長度都相等，即，點B、F在線段上，點C在上，支桿．
(1)若時，B，D相距，試判定與的位置關系，并說明理由；
(2)當，時，求的長．
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【知識點】勾股定理逆定理的實際應用、已知正弦值求邊長、已知余弦求邊長、其他問題（解直角三角形的應用）
【分析】本題考查了解直角三角形的應用：
（1）連接，根據題意可得，然后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可解答；
（2）過點F作，垂足為H，根據題意可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用勾股定理求出的長，進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：，
理由：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：過點F作，垂足為H，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的長為．
20．問題發現：
（1）如圖1，已知正方形和正方形，直接寫出與之間的數量關系：___________．
拓展探究：
（2）將正方形繞點A順時針旋轉到圖2所示的位置，連接，試猜想與之間的數量關系，并說明理由．
類比遷移：
（3）如圖3，已知菱形和菱形，將菱形繞點A順時針旋轉，連接，請在備用圖中畫出草圖，判定與之間的數量關系是否隨著的變化而變化，并說明理由．
【答案】（1）；（2），見解析；（3）與之間的數量關系不變 ，理由見解析
【知識點】根據正方形的性質求角度、根據旋轉的性質求解、相似三角形的判定與性質綜合、解直角三角形的相關計算
【分析】（1）根據正方形的性質，三角函數證明即可；
（2）根據正方形的性質，三角函數證明出，進而可得結論；
（3）把繞著點D逆時針旋轉得到，連接，作于N，由菱形的性質和等腰三角形的性質可得，再由含的直角三角形的性質和三角函數可得，再證明四邊形是平行四邊形，即可推出，進而可得結論；
【詳解】解：（1）四邊形是正方形，
，
，，
，
，
故答案為：；
（2），
連接，如圖：
四邊形、四邊形是正方形，
，
，，，
，
，
，
；
（3）畫出圖形如下，隨著的變化，與之間的數量關系不變化，理由如下：
把繞著點D逆時針旋轉得到，連接，作于N，如圖：
由旋轉可得，
四邊形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
隨著的變化，與之間的數量關系不變．
【點睛】本題考查了正方形的性質，三角函數，相似三角形的性質和判定，菱形的性質，平行四邊形的判定，等腰三角形的性質，含的直角三角形的性質，解題的關鍵是正確的作出輔助線，綜合運用以上知識解決問題；
21．讀懂一座城，從博物館開始．2021年9月16日上午，江蘇鹽城市博物館正式開館．鹽城市博物館新館坐落于先鋒島西側，是一座研究反映鹽城地方歷史和城市發展的綜合性博物館．博物館集收藏、展示、研究、教育、服務、交流于一體，整體建筑風格雅致，主館建筑為傳統寶塔造型，風格既有現代時尚氣息，又充滿中國皇家宮廷風韻．學校數學興趣小組利用無人機測量該寶塔的高度，無人機的起飛點與寶塔（）的水平距離為，無人機垂直升到A處測得塔的頂部處的俯角為，測得塔的底部處的俯角為．
(1)求寶塔的高度；
(2)若計算結果與實際高度稍有出入，請你提出一條減少誤差的建議．（結果精確到，參考數據：，，）
【答案】(1)
(2)多次測量求平均值，可以減小誤差（答案不唯一）
【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應用)
【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，
（1）延長交于點，根據題意可得：，，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出和的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可詳解；
（2）根據多次測量求平均值，可以減小誤差，即可詳解．
【詳解】（1）解：如圖：延長交于點，
由題意得：，，
在中，，
，
在中，，
，
，
寶塔的高度約為；
（2）一條減少誤差的建議：多次測量求平均值，可以減小誤差（答案不唯一）．
22．如圖，臺風中心位于點O 處，并沿東北方向（北偏東），以40千米/小時的速度勻速移動，在距離臺風中心50千米的區域內會受到臺風的影響，在點O 的正東方向，距離 千米的地方有一城市A．

(1)A市是否會受到此臺風的影響，為什么？
(2)在點O的北偏東方向，距離80千米的地方還有一城市B，B市是否會受到此臺風的影響？為什么？
(3)若A 市或B 市受到影響，請求出受影響的時間．
【答案】(1)A市不會受到此臺風的影響，原因見解析
(2)B市會受到此臺風的影響，原因見解析
(3)1.5小時
【知識點】三線合一、解決航海問題(勾股定理的應用)、方位角問題(解直角三角形的應用)
【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，勾股定理，等腰三角形的性質：
（1）作，利用三角函數求出的長度即可判斷；
（2）作，利用三角函數求出的長度即可判斷；
（3）令，則臺風從E點開始影響B城市到F點影響結束，利用勾股定理及等腰三角開的性質求出的長度，除以風速即為影響時間．
【詳解】（1）解：A市不會受到此臺風的影響，原因如下：
作，易知臺風中心O與A市的最近距離為的長度，

由題意得：，，
，
A市不會受到此臺風的影響；
（2）解：如圖，作于G，

由題意得：，，
，
B市會受到此臺風的影響；
（3）解：如圖，令，則臺風從E點開始影響B城市到F點影響結束，

在中，由勾股定理得，
，，
，
臺風速度為40千米/小時，
影響時間為（小時）．
23．在數學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區的一、二號樓進行測高實踐．如圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面的中點垂直起飛到達點處，測得一號樓頂部的俯角為，測得二號樓頂部的俯角為，此時航拍無人機的高度為60米，已知一號樓的高為20米，求二號樓的高.（結果精確到米）
（參考數據：，，，，，.）
【答案】二號樓的高度約為39米．
【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應用)
【分析】通過作輔助線，構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系，分別求出EM，AN，進而計算出二號樓的高度DF即可．
【詳解】解：過點、分別作，，垂足分別為、，
由題意得，，，
，，，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
答：二號樓的高度約為39米．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，構造直角三角形是常用的方法，掌握邊角關系是正確解答的關鍵．
24．圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，托板長，支撐板長，且，托板可繞點C轉動，且．（參考數據： ，）
(1)求點C到直線的距離（計算結果保留根號）；
(2)若時，求點A到直線的距離（計算結果精確到個位）；
(3)為了觀看舒適，把（1）中調整為，再將繞點D逆時針旋轉，使點B落在上，則旋轉的度數為 　 　．（直接寫出結果）
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】其他問題（解直角三角形的應用）
【分析】（1）作，在中，由直角三角形的邊角關系可得答案；
（2）過點A作，垂足為N，過點C作，垂足為P，則，
在中，由邊角關系求出即可；
（3）連接，由直角三角形的邊角關系求出的度數，進而求出的度數即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點C作，垂足為M，
在中，，
∵，
∴，
∴，
即：點C到直線DE的距離為；
（2）解：如圖，過點A作，垂足為N，過點C作，垂足為P，則，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∵，即
∴，
∴，
答：點A到直線DE的距離約為；
（3）解：如圖③，連接，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．

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