資源簡介

2024-2025學年六年級上冊數學舉一反三變式拓展（北師大版）
第二講 分數混合運算
（導圖+知識精講+高頻易錯點六大考點講練+難度分層練）
教學目標：
梳理本單元知識點，整理有關分數混合運算順序，運算定律以及分數在日常實際應用中的問題，幫助學生建立完整的知識體系。
通過不同形式的練習，分層次檢驗學生知識掌握情況，在練習中鞏固強化，查漏補缺。
在解題過程中培養學生讀題能力，提高學生分析、解決問題的能力。
教學重點：分數混合運算
教學難點：分數在日常實際應用中的問題，幫助學生建立完整的知識體系
考點一：分數乘除混合運算 6
考點二：分數的四則混合運算 9
考點三：分數的簡便計算（運算定律的分數應用） 11
考點四：分數四則復合應用題 16
考點五：四則混合運算中的巧算（拓展題） 19
考點六：工程問題（拓展題—典型應用題） 24
中檔題真題專練 29
培優題真題專練 36
第一部分
知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序：與整數混合運算的運算順序相同，都是先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里的。
轉換方法：當遇到分數乘除混合運算時，要先把除法轉換成乘法（即除以一個數等于乘上這個數的倒數）。
約分與計算：在轉換成乘法后，可以根據需要進行約分，再進行計算。
知識點02：分數的連乘運算
運算順序：從左到右依次計算。
約分：如果是分數連乘，可先進行約分（交叉約分），再進行計算。
知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
解題思路：首先確定單位“1”的量，然后根據題目描述，確定需要求解的未知數是單位“1”的幾分之幾。
解題方法：
方法一：先求出多或少的具體量，再用單位“1”的量加或減去多或少的部分，求出要求的問題。
方法二：用單位“1”加或減去多或少的幾分之幾，求出未知數占單位“1”的幾分之幾，再用單位“1”的量乘這個分數。
知識點04：分數的連除運算
轉換方法：分數連除可以轉化為乘法運算，即除以一個數等于乘上這個數的倒數。
計算方法：
方法一：可以先分步轉化為乘法，再約分計算。
方法二：可以一次都轉化成乘法，再約分計算。
第二部分
知識點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的理解。假設我們有一個數A，要求比A多或少幾分之幾（例如）的數，我們可以按照以下步驟進行計算：
確定基數A。確定增減的分數（例如）。
如果要求比A多的數，則計算 A + A ÷；如果要求比A少的數，則計算 A - A ÷。
知識點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
:整數乘法的運算定律（如交換律、結合律、分配律）在分數乘法中同樣適用。這些定律的推廣使得分數乘法的計算更加簡便和靈活。
交換律：a ÷ b = b ÷ a（其中a和b都是分數）。
結合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c)（其中a、b、c都是分數）。
分配律：a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c（其中a、b、c都是分數）。
知識點03：分數除法相關的簡便計算
分數除法的簡便計算主要依賴于將除法轉換為乘法的逆運算。即，除以一個數等于乘以這個數的倒數。例如，a ÷ b = a ÷（其中a和b都是分數，且b不為0）。
此外，當遇到多個分數連續相除時，可以一次性地將所有除數轉換為它們的倒數，然后進行乘法運算。例如，a ÷ b ÷ c = a ÷ ÷ 。
知識點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
:這個知識點主要考察的是對分數應用題的理解。假設我們知道總量為T，其中一部分的分率為p（以分數形式表示），那么這一部分的量就是 T ÷ p。要求另一部分的量，我們可以用總量T減去已知部分的量，即 T - T ÷ p。
第三部分
知識點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的逆向應用。題目通常會給出某個數比另一個數多或少幾分之幾，然后給出具體的結果，要求求出原來的數。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”以及具體的結果。
設立未知數：設原來的數為x。
建立方程：根據題目描述，建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
這個知識點主要考察的是對分數比例的應用。題目會給出總量中的一部分量所占的比例以及另一部分量的具體數值，要求求出總量。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的比例和具體數值。
設立未知數：設總量為x。
建立方程：根據題目描述，利用比例關系建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點03：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
在解決稍復雜的分數應用題時，轉化法和倒推法是非常有效的解題技巧。
轉化法：
轉化法是將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。例如，可以將分數轉化為小數，或將復雜的比例關系轉化為簡單的等式。
倒推法：
倒推法是從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。這種方法在解決逆向思維問題時特別有效。
易錯知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序的混淆：學生可能會忘記先乘除后加減的原則，或者在有括號的情況下，沒有先計算括號內的內容。
易錯提示：確保遵循運算的優先級，即先乘除后加減，有括號先算括號內的內容。
分數除法的轉換：學生可能忘記將分數除法轉換為分數乘法，即除以一個數等于乘以這個數的倒數。
易錯提示：在進行分數除法運算時，始終記得將除法轉換為乘法。
約分與計算的混淆：學生可能在乘除運算過程中忘記約分，或者在約分后忘記繼續完成計算。
易錯提示：在乘除運算中，先進行約分，然后再進行計算。
易錯知識點02：分數的連乘運算
運算順序的錯誤：學生可能會從左到右依次計算時出錯，或者忘記乘法的結合律和交換律。
易錯提示：從左到右依次計算，并充分利用乘法的結合律和交換律進行簡化。
約分的錯誤：在連乘運算中，學生可能會忘記約分，或者約分錯誤。
易錯提示：在連乘運算中，注意尋找公共因子進行約分。
易錯知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
單位“1”的確定：學生可能會在確定單位“1”的量時出錯，導致后續計算錯誤。
易錯提示：仔細理解題目，確定正確的單位“1”的量。
計算方法的錯誤：學生可能會在計算過程中出錯，如忘記先求多或少的部分，或者忘記用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯提示：按照題目要求，先求出多或少的部分，再用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯知識點04：分數的連除運算
轉換方法的錯誤：學生可能會忘記將連除運算轉換為連乘運算，即將除法轉換為乘法。
易錯提示：在連除運算中，始終記得將除法轉換為乘法。
計算方法的錯誤：在連除運算轉換為連乘運算后，學生可能會在計算過程中出錯。
易錯提示：確保在轉換為連乘運算后，按照乘法運算的規則進行計算。
易錯知識點05：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
理解錯誤：學生可能不理解“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算增加或減少的部分時，學生可能會忘記乘以基數，或者計算錯誤。
易錯知識點06：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
定律混淆：學生可能會混淆交換律、結合律和分配律，導致計算錯誤。
分數乘法計算錯誤：在進行分數乘法時，學生可能會忘記約分，或者計算錯誤。
易錯知識點07：分數除法相關的簡便計算
忘記轉換為乘法：學生可能會忘記將分數除法轉換為乘法進行計算。
計算錯誤：在轉換為乘法后，學生可能會忘記乘以除數的倒數，或者計算錯誤。
易錯知識點08：已知總量及一部分分率，求另一部分量
理解錯誤：學生可能不理解題目中的“總量”和“一部分分率”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算已知部分或未知部分時，學生可能會忘記乘以總量或分率，或者計算錯誤。
易錯知識點09：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
易錯點：
理解題意不清：學生可能沒有正確理解題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致解題方向錯誤。
設立方程錯誤：在設立未知數時，學生可能會將未知數設立在錯誤的位置，導致方程建立不正確。
計算錯誤：在解方程的過程中，學生可能會出現計算錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
仔細審題，明確題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”是指哪個數與哪個數之間的關系。
設立未知數，通常設要求的數為未知數。
根據題目描述，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值。
易錯知識點10：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量求總量
易錯點：
比例關系理解不清：學生可能沒有正確理解題目中給出的比例關系，導致解題方向錯誤。
計算錯誤：在根據比例關系計算總量時，學生可能會出現計算錯誤。
解題策略：
仔細審題，明確題目中給出的比例關系以及另一部分量的具體數值。
設立未知數，通常設總量為未知數。
根據比例關系，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值，即總量。
易錯知識點11：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
易錯點：
轉化方法不當：學生可能沒有找到合適的轉化方法，導致問題復雜化。
倒推步驟錯誤：在使用倒推法時，學生可能會出現步驟錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
轉化法：
仔細審題，找出題目中的關鍵信息。
嘗試將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。
轉化后，按照常規方法解題。
倒推法：
從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。
逐步倒推，每一步都要確保正確無誤。
得出最終答案后，檢查是否符合題目要求。
考點一：分數乘除混合運算
【精講題】（2023秋 徐州期末）一塊長方形地，長20米，寬是長的，求這塊地的面積，算式正確的是　　
A． B． C． D．
【精練題01】（2023秋 涼州區期末）直接寫出得數。
【精練題02】（2022秋 連云區期末）用你喜歡的方法計算。
（1） （2） （3） （4）
【精練題03】（2023秋 宛城區期中）看圖列式計算：
【精講題】（2024 禪城區模擬）列式并計算“加的和乘2.4”是　　
A． B．
C． D．
【精練題01】（2023秋 太子河區期末）言言在計算時，錯算成了，計算結果與正確得數相比　　
A．大了 B．小了 C．一樣 D．無法判斷
【精練題02】（2024 沾化區模擬）直接寫出得數。
【精練題03】（2024 新城區模擬）脫式計算。
（1） （2）
（3） （4）
考點三：分數的簡便計算（運算定律的分數應用）
【精講題】（2024 新寧縣校級模擬）脫式計算，能簡算的要簡算。
【精練題01】（2024 天門模擬）怎樣簡便怎樣算。
（1） （2）
（3） （4）
【精練題02】（2023秋 太子河區期末）脫式計算。（能簡算的要簡算）
【精練題03】（2023秋 咸寧期末）計算下面各題，怎樣簡便就怎樣計算。
① ② ③
④ ⑤
考點四：分數四則復合應用題
【精講題】（2024 南京模擬）自然界中有許多動物都需要冬眠。蛇的冬眠時間約是180天，熊的冬眠時間約是蛇的，又是青蛙冬眠時間的。青蛙的冬眠時間約是　　天。
A．96 B．216 C．180
【精練題01】（2024 雨城區校級模擬）某少年夏令營的學生來自四個直轄市，其中有的學生來自上海，有24名同學來自天津，來自北京的人數是來自上海和天津的人數之和的倍，有的學生來自重慶，夏令營的學生一共有 　人。
【精練題02】（2024春 中原區期末）周末，聰聰和爸爸一起去登山，登山路線如圖所示。從山腳出發到山頂，他們全程一共游覽了2個景點，景點位于全程的處，景點位于全程的處。
（1）景點到景點的路程占全程的幾分之幾？
（2）他們從山腳出發，攀登了全程的后停下休息，然后又繼續向山頂方向攀登了全程的。這時他們登山的位置大致在哪里？寫出你的判斷方法，并用“▲”在上圖中標出大致位置。
【精練題03】（2024 衛輝市）只列算式，不計算。
（1）4月23日是世界讀書日，小紅讀一本書，第一天讀了這本書的，第二天讀了這本書的，第二天比第一天少讀8頁，這本書一共多少頁？
（2）劉爺爺將90000元存入銀行，存期為2年，到期后計劃將利息捐給希望工程。劉爺爺能捐多少錢？
定期存款利率： 一年期 二年期 三年期
考點五：四則混合運算中的巧算（拓展題）
【精講題】（2023秋 正安縣期末）脫式計算。
【精練題01】（2022 錦江區）脫式計算。
【精練題02】（2021 岳麓區）計算
（1） （2）
【精練題03】（2021 渝北區）用你喜歡的方法算。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
考點六：工程問題（拓展題—典型應用題）
【精講題】（2024 天門模擬）有兩個同樣的倉庫，搬運完其中一個倉庫的貨物，甲需要6小時，乙需要7小時，丙需要14小時．甲、乙同時開始各搬運一個倉庫的貨物，開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最后兩個倉庫的貨物同時搬完．則丙幫甲 　　小時，幫乙 　　小時．
【精練題01】（2024 無錫模擬）有一個蓄水池，裝有甲乙兩根管子，其中甲為進水管，乙為出水管。單獨開甲管需要12分鐘注滿空水池，單獨開乙管需要18分鐘把滿池的水排完。現在池內的水占水池容積的，同時打開兩根水管，多少分鐘才能注滿水池？
【精練題02】（2023 渝中區）加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。現在由甲先做16天，然后由乙再做12天，正好完成這批零件的。已知甲每天比乙多加工5個零件。則這批零件一共有 　 　個。
【精練題03】（2023 東蘭縣）甲、乙兩人共同做一批零件12小時可以完成，若甲一人獨做完成所需時間為乙一人獨做所需時間的，則甲獨做需要　　小時才能完成．
中檔題真題專練
1．（2024六上·英山期末）水結成冰后體積增加了，冰再化成水后，體積減少了（　　）。
A． B． C． D．
2．（2024六上·涼州期末）王華家5月份用水20立方米，比4月份節約了，求4月份用水多少立方米的正確列式是（　　）。
A． B． C． D．
3．（2023六上·錢塘期末）要運送一噸貨物，甲車每次能運10噸，占總貨物的；乙車每次能運20噸，占總貨物的。如果兩輛車一起運送，多少次運完這批貨物？下列選項中，解決這個問題用不到的信息是（　　）。
A．10噸、20噸、 B．10噸、20噸、
C．10噸、20噸 D．、
4．（2023六上·柯城期中）下面說法正確的是（　　）
A．我國古代數學家祖沖之采用“割圓術”得出了較精確的圓周率的值。
B．甲數比乙數少，則甲數是乙數的
C．如果a>0，那么a÷定小于a
D．一個三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的50%。
5．（2024六上·蕭山月考）小雪過后是大雪，俗話說“小雪腌菜，大雪腌肉”。小明家也要腌肉，若讓爸爸一個人干需要4小時完成，若媽媽一個人干需要3小時，爸爸、媽媽工作效率的最簡整數比是　 　：　 　。兩人合作，需要　 　小時就能完成。
6．（2024六上·康巴什期末）鋪一段鐵軌，甲、乙兩工程隊合作需要15天完成，甲工程隊單獨做需要20天完成，乙工程隊單獨做需要　 　天完成。
7．（2023六上·惠州期末）周末，琪琪、楚楚和貝貝三人一共包了124個餃子，琪球包的正好是其他兩人包的餃子總數的，琪琪包了　 　個餃子。楚楚和貝貝包的餃子的個數比是4：3，楚楚包了　 　個餃子。
8．（2024六上·義烏期末）直接寫出得數。
2.5÷10%= 1-11%=
80÷50%=
6÷3.14= 15.07-5.7=
42÷42%=
9．（2024六上·金東期末）遞等式計算。（能簡算的要簡算）
1÷（-）
（2024六上·平湖期末）小亮小時步行了千米。照這樣計算，他走1千米需要多少時間
11．（2024六上·黔江期末） 根據1月6日網上消息顯示，2023年華為手機出貨量為9000萬臺，原計劃出貨量是3700萬臺，華為手機實際出貨量比原計劃出貨量多幾分之幾？
12．（2024六上·沐川期末）為美化校園環境，學校準備全面粉刷外墻，甲、乙、丙三個工程隊報送單獨完成粉刷任務所需天數（如圖），若粉刷任務由甲、乙兩隊合作，幾天能完成這項工程的？
（2024六上·淮濱月考）實驗小學足球社團有54人，是舞蹈社團人數的，比合唱社團的人數少，舞蹈社團和合唱社團各有多少人？
培優題真題專練
14．一個水池，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿，乙、丙兩管同時開，4小時灌滿。現在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿。乙單獨開（　　）小時可以灌滿。
A．24 B．20 C．18 D．30
15．（2022六上·杭州期中）某小學有男生270人，女生是男生的倍，男生比女生少（　　）
A． B． C． D．
16．（2022六上·深圳期中）媽媽給妙想制作生日蛋糕，現在要完成最后的裱花工序，她3分完成了裱花工序的，再過1分，就能完成裱花工序的（　　）。
A． B． C． D．
17．（2023六上·玉環期中）一本書，已讀了總數的 還多15頁，已讀的頁數與未讀的頁數比是2：3，全書共　 　頁．
18．（2023六上·臨漳月考）一項工程，甲隊單獨做17天完成這項工程的，乙隊單獨做17天完成這項工程的，甲乙兩隊1天一共可以完成這項工程的　 　。如果兩隊合作，　 　天就能完成任務。
19．（2023.3.16·北新巴蜀）搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時。有同樣的倉庫A和B，甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫同時搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運，最后同時搬完兩個倉庫的貨物，丙幫助乙搬運了　 　小時。
20．計算，能簡算的要簡算。
① ②
③ ④
⑤ ⑥
21．（2023六上·玉環期末）只列式，不計算。
（1）學校購進一批圖書，已知購進科技書105本，購進文藝書是科技書的，這兩種書是購進總數的，學校共購進圖書多少本
（2）服裝店購進一匹布，單獨做圍巾能做20條，單獨做手套能做30副，圍巾手套共能做幾套 （一條圍巾，一副手套為一套）
（3）疫情期間水果店中梨的價格持續上漲，每天都上漲20%，兩天后梨的價格上漲了百分之幾
22．（2024六上·天臺期末）實驗小學開展拓展課程，原來合唱班是書法班人數的，后來，8名合唱班的同學轉入書法班，這時，合唱班人數是書法班人數的，原來參加合唱班和書法班的一共有多少人
23．（2023六上·杭州期末）一段路，如果一隊單獨修，需要10天；如果二隊單獨修，平均每天可修290米。一、二兩隊合作，6天正好修完。這段路長多少米？
24．（2023六上·榆林月考）某工程隊修一段路，第一天修的比全長的多5米，第二天修的是剩下部分的，還剩920米沒有修，這段路全長多少米？
25．（2023六上·期末）甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向開往對方出發地。已知甲車和乙車速度的比是2∶3。
（1）經過2.5小時兩車相遇，相遇時甲車還剩全程的幾分之幾？
（2）兩車在相遇后繼續前行，當乙車行到全程的時，甲車距離B地還有210千米。AB兩地相距多少千米？
24．（2023六上·杭州期末）周末，李叔叔早上8點開車從甲城出發前往乙城，到上午11點時，已行的路程和剩下的路程比是3：5，繼續前行120千米后，已行的路程是剩下路程的，甲乙兩城相距多少千米？
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第二講 分數混合運算
（導圖+知識精講+高頻易錯點六大考點講練+難度分層練）
教學目標：
梳理本單元知識點，整理有關分數混合運算順序，運算定律以及分數在日常實際應用中的問題，幫助學生建立完整的知識體系。
通過不同形式的練習，分層次檢驗學生知識掌握情況，在練習中鞏固強化，查漏補缺。
在解題過程中培養學生讀題能力，提高學生分析、解決問題的能力。
教學重點：分數混合運算
教學難點：分數在日常實際應用中的問題，幫助學生建立完整的知識體系
考點一：分數乘除混合運算 6
考點二：分數的四則混合運算 9
考點三：分數的簡便計算（運算定律的分數應用） 11
考點四：分數四則復合應用題 16
考點五：四則混合運算中的巧算（拓展題） 19
考點六：工程問題（拓展題—典型應用題） 24
中檔題真題專練 29
培優題真題專練 36
第一部分
知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序：與整數混合運算的運算順序相同，都是先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里的。
轉換方法：當遇到分數乘除混合運算時，要先把除法轉換成乘法（即除以一個數等于乘上這個數的倒數）。
約分與計算：在轉換成乘法后，可以根據需要進行約分，再進行計算。
知識點02：分數的連乘運算
運算順序：從左到右依次計算。
約分：如果是分數連乘，可先進行約分（交叉約分），再進行計算。
知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
解題思路：首先確定單位“1”的量，然后根據題目描述，確定需要求解的未知數是單位“1”的幾分之幾。
解題方法：
方法一：先求出多或少的具體量，再用單位“1”的量加或減去多或少的部分，求出要求的問題。
方法二：用單位“1”加或減去多或少的幾分之幾，求出未知數占單位“1”的幾分之幾，再用單位“1”的量乘這個分數。
知識點04：分數的連除運算
轉換方法：分數連除可以轉化為乘法運算，即除以一個數等于乘上這個數的倒數。
計算方法：
方法一：可以先分步轉化為乘法，再約分計算。
方法二：可以一次都轉化成乘法，再約分計算。
第二部分
知識點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的理解。假設我們有一個數A，要求比A多或少幾分之幾（例如）的數，我們可以按照以下步驟進行計算：
確定基數A。確定增減的分數（例如）。
如果要求比A多的數，則計算 A + A ÷；如果要求比A少的數，則計算 A - A ÷。
知識點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
:整數乘法的運算定律（如交換律、結合律、分配律）在分數乘法中同樣適用。這些定律的推廣使得分數乘法的計算更加簡便和靈活。
交換律：a ÷ b = b ÷ a（其中a和b都是分數）。
結合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c)（其中a、b、c都是分數）。
分配律：a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c（其中a、b、c都是分數）。
知識點03：分數除法相關的簡便計算
分數除法的簡便計算主要依賴于將除法轉換為乘法的逆運算。即，除以一個數等于乘以這個數的倒數。例如，a ÷ b = a ÷（其中a和b都是分數，且b不為0）。
此外，當遇到多個分數連續相除時，可以一次性地將所有除數轉換為它們的倒數，然后進行乘法運算。例如，a ÷ b ÷ c = a ÷ ÷ 。
知識點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
:這個知識點主要考察的是對分數應用題的理解。假設我們知道總量為T，其中一部分的分率為p（以分數形式表示），那么這一部分的量就是 T ÷ p。要求另一部分的量，我們可以用總量T減去已知部分的量，即 T - T ÷ p。
第三部分
知識點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的逆向應用。題目通常會給出某個數比另一個數多或少幾分之幾，然后給出具體的結果，要求求出原來的數。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”以及具體的結果。
設立未知數：設原來的數為x。
建立方程：根據題目描述，建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
這個知識點主要考察的是對分數比例的應用。題目會給出總量中的一部分量所占的比例以及另一部分量的具體數值，要求求出總量。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的比例和具體數值。
設立未知數：設總量為x。
建立方程：根據題目描述，利用比例關系建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點03：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
在解決稍復雜的分數應用題時，轉化法和倒推法是非常有效的解題技巧。
轉化法：
轉化法是將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。例如，可以將分數轉化為小數，或將復雜的比例關系轉化為簡單的等式。
倒推法：
倒推法是從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。這種方法在解決逆向思維問題時特別有效。
易錯知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序的混淆：學生可能會忘記先乘除后加減的原則，或者在有括號的情況下，沒有先計算括號內的內容。
易錯提示：確保遵循運算的優先級，即先乘除后加減，有括號先算括號內的內容。
分數除法的轉換：學生可能忘記將分數除法轉換為分數乘法，即除以一個數等于乘以這個數的倒數。
易錯提示：在進行分數除法運算時，始終記得將除法轉換為乘法。
約分與計算的混淆：學生可能在乘除運算過程中忘記約分，或者在約分后忘記繼續完成計算。
易錯提示：在乘除運算中，先進行約分，然后再進行計算。
易錯知識點02：分數的連乘運算
運算順序的錯誤：學生可能會從左到右依次計算時出錯，或者忘記乘法的結合律和交換律。
易錯提示：從左到右依次計算，并充分利用乘法的結合律和交換律進行簡化。
約分的錯誤：在連乘運算中，學生可能會忘記約分，或者約分錯誤。
易錯提示：在連乘運算中，注意尋找公共因子進行約分。
易錯知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
單位“1”的確定：學生可能會在確定單位“1”的量時出錯，導致后續計算錯誤。
易錯提示：仔細理解題目，確定正確的單位“1”的量。
計算方法的錯誤：學生可能會在計算過程中出錯，如忘記先求多或少的部分，或者忘記用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯提示：按照題目要求，先求出多或少的部分，再用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯知識點04：分數的連除運算
轉換方法的錯誤：學生可能會忘記將連除運算轉換為連乘運算，即將除法轉換為乘法。
易錯提示：在連除運算中，始終記得將除法轉換為乘法。
計算方法的錯誤：在連除運算轉換為連乘運算后，學生可能會在計算過程中出錯。
易錯提示：確保在轉換為連乘運算后，按照乘法運算的規則進行計算。
易錯知識點05：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
理解錯誤：學生可能不理解“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算增加或減少的部分時，學生可能會忘記乘以基數，或者計算錯誤。
易錯知識點06：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
定律混淆：學生可能會混淆交換律、結合律和分配律，導致計算錯誤。
分數乘法計算錯誤：在進行分數乘法時，學生可能會忘記約分，或者計算錯誤。
易錯知識點07：分數除法相關的簡便計算
忘記轉換為乘法：學生可能會忘記將分數除法轉換為乘法進行計算。
計算錯誤：在轉換為乘法后，學生可能會忘記乘以除數的倒數，或者計算錯誤。
易錯知識點08：已知總量及一部分分率，求另一部分量
理解錯誤：學生可能不理解題目中的“總量”和“一部分分率”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算已知部分或未知部分時，學生可能會忘記乘以總量或分率，或者計算錯誤。
易錯知識點09：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
易錯點：
理解題意不清：學生可能沒有正確理解題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致解題方向錯誤。
設立方程錯誤：在設立未知數時，學生可能會將未知數設立在錯誤的位置，導致方程建立不正確。
計算錯誤：在解方程的過程中，學生可能會出現計算錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
仔細審題，明確題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”是指哪個數與哪個數之間的關系。
設立未知數，通常設要求的數為未知數。
根據題目描述，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值。
易錯知識點10：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量求總量
易錯點：
比例關系理解不清：學生可能沒有正確理解題目中給出的比例關系，導致解題方向錯誤。
計算錯誤：在根據比例關系計算總量時，學生可能會出現計算錯誤。
解題策略：
仔細審題，明確題目中給出的比例關系以及另一部分量的具體數值。
設立未知數，通常設總量為未知數。
根據比例關系，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值，即總量。
易錯知識點11：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
易錯點：
轉化方法不當：學生可能沒有找到合適的轉化方法，導致問題復雜化。
倒推步驟錯誤：在使用倒推法時，學生可能會出現步驟錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
轉化法：
仔細審題，找出題目中的關鍵信息。
嘗試將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。
轉化后，按照常規方法解題。
倒推法：
從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。
逐步倒推，每一步都要確保正確無誤。
得出最終答案后，檢查是否符合題目要求。
考點一：分數乘除混合運算
【精講題】（2023秋 徐州期末）一塊長方形地，長20米，寬是長的，求這塊地的面積，算式正確的是　　
A． B． C． D．
【思路點撥】先用20乘，求出長方形的寬；再根據長方形的面積長寬計算出面積即可。
【規范解答】解：
（平方米）
答：這塊地的面積是300平方米。
故選：。
【考點評析】解答本題需明確求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，熟練掌握長方形的面積公式。
【精練題01】（2023秋 涼州區期末）直接寫出得數。
【思路點撥】根據分數四則運算的運算法則計算即可，有百分數的先把百分數化成小數或分數，對于，根據乘法交換律簡算，對于，根據乘法分配律簡算。
【規范解答】解：
【考點評析】本題主要考查分數四則運算的運算法則以及運算律的靈活應用。
【精練題02】（2022秋 連云區期末）用你喜歡的方法計算。
（1） （2） （3） （4）
【思路點撥】（1）將除法化成乘法計算。
（2）利用乘法分配律計算。
（3）利用乘法分配律計算。
（4）先算括號里的乘法，再算括號里的減法，最后算括號外的除法。
【規范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考點評析】本題考查了分數的四則混合運算，需熟練使用法則，靈活使用運算律。
【精練題03】（2023秋 宛城區期中）看圖列式計算：
【思路點撥】根據題意，把雪松的棵數看作單位“1”，刺柏的棵數是雪松的，那么這兩種樹的棵數和是270棵，是雪松棵數的，再用270除以，求出雪松的棵數，再乘即可。
【規范解答】解：
（棵
答：刺柏有120棵。
【考點評析】本題關鍵弄清圖意，找準數量關系，然后再列式解答。
考點二：分數的四則混合運算
【精講題】（2024 禪城區模擬）列式并計算“加的和乘2.4”是　　
A． B．
C． D．
【思路點撥】先算加的和，再用所得的和乘2.4即可。
【規范解答】解：
故選：。
【考點評析】根據題意，先弄清運算順序，然后再列式進行解答。
【精練題01】（2023秋 太子河區期末）言言在計算時，錯算成了，計算結果與正確得數相比　　
A．大了 B．小了 C．一樣 D．無法判斷
【思路點撥】分別計算這兩個算式的結果，再對比即可。
【規范解答】解：
因為，所以，即
答：言言在計算時，錯算成了，計算結果與正確得數相比大了。
故選：。
【考點評析】本題考查了分數的四則混合運算順序在分數中同樣適用。
【精練題02】（2024 沾化區模擬）直接寫出得數。
【思路點撥】根據分數、小數的乘除法和加減法的計算法則計算即可。
【規范解答】解：
【考點評析】解答此題要運用分數、小數的乘除法和加減法的計算法則。
【精練題03】（2024 新城區模擬）脫式計算。
（1） （2）
（3） （4）
【思路點撥】（1）根據加法交換律、結合律和連減的性質計算。
（2）把分數化成小數0.008，再通過積不變的規律，進行變式得到有相同因數的算式，再根據乘法分配律計算。
（3）根據乘法分配律計算。
（4）把小數0.360變成分數，先算后面小括號里面的算式，再算前面的小括號里面的算式，最后算乘法。
【規范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考點評析】本題考查了混合運算的運算順序和利用運算定律進行簡便運算的能力。
考點三：分數的簡便計算（運算定律的分數應用）
【精講題】（2024 新寧縣校級模擬）脫式計算，能簡算的要簡算。
【思路點撥】（1）根據乘法結合律和乘法分配律進行計算；
（2）（3）（6）根據乘法分配律進行計算；
（4）根據分數的拆項公式進行計算；
（5）根據乘法交換律和結合律進行計算。
【規范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【考點評析】考查了運算定律與簡便運算，四則混合運算。注意運算順序和運算法則，靈活運用所學的運算定律進行簡便計算。
【精練題01】（2024 天門模擬）怎樣簡便怎樣算。
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路點撥】（1）根據乘法交換律和結合律進行計算；
（2）根據乘法分配律進行計算；
（3）先算除法，再根據減法的性質進行計算；
（4）先算小括號里面的加法，再算中括號里面的減法，最后算中括號外面的除法。
【規范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考點評析】考查了運算定律與簡便運算，四則混合運算。注意運算順序和運算法則，靈活運用所學的運算定律進行簡便計算。
【精練題02】（2023秋 太子河區期末）脫式計算。（能簡算的要簡算）
【思路點撥】（1）根據乘法分配律逆運算進行簡算；
（2）先把化成，然后根據乘法分配律逆運算進行簡算；
（3）根據乘法分配律進行簡算。
【規范解答】解：
【考點評析】本題考查了整數簡便運算方法在分數四則混合運算中的應用，結合題意分析解答即可。
【精練題03】（2023秋 咸寧期末）計算下面各題，怎樣簡便就怎樣計算。
① ② ③
④ ⑤
【思路點撥】①先做除法，再做加法；
②運用乘法分配律解答；
③運用乘法分配律解答；
④先做乘法，再做除法；
⑤先做小括號里的減法，再做中括號里的除法，最后做乘法。
【規范解答】解：①
②
③
④
⑤
【考點評析】掌握運算定律和簡算方法是解題關鍵。
考點四：分數四則復合應用題
【精講題】（2024 南京模擬）自然界中有許多動物都需要冬眠。蛇的冬眠時間約是180天，熊的冬眠時間約是蛇的，又是青蛙冬眠時間的。青蛙的冬眠時間約是　　天。
A．96 B．216 C．180
【思路點撥】把蛇的冬眠時間看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用蛇的冬眠時間天）乘就是熊的冬眠時間；再把熊的冬眠時間看作單位“1”，根據分數除法的意義，用熊的冬眠時間除以就是青蛙的冬眠時間。
【規范解答】解：
（天
（天
答：青蛙的冬眠時間約是180天。
故選：。
【考點評析】此題是考查分數乘、除法的意義及應用。求一個數的幾分之幾是多少，用這個數乘分率；已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，用已知數除以它所對應的分率。
【精練題01】（2024 雨城區校級模擬）某少年夏令營的學生來自四個直轄市，其中有的學生來自上海，有24名同學來自天津，來自北京的人數是來自上海和天津的人數之和的倍，有的學生來自重慶，夏令營的學生一共有 　180　人。
【思路點撥】把夏令營的學生總人數看作單位“1”，來自上海的占，來自天津的有24人，來自北京的有多人，來自重慶的占。則人占總人數的。根據分數除法的意義，用就是夏令營的學生總人數。
【規范解答】解：
（人
答：夏令營的學生一共有180人。
故答案為：180。
【考點評析】來自北京的人數看作兩部分，一部分是總人數的，一部分是24人的。關鍵是弄清來自天津的24人、來自北京的人之和占總人數的幾分之幾（也是本題的難點），再根據分數除法的意義解答。
【精練題02】（2024春 中原區期末）周末，聰聰和爸爸一起去登山，登山路線如圖所示。從山腳出發到山頂，他們全程一共游覽了2個景點，景點位于全程的處，景點位于全程的處。
（1）景點到景點的路程占全程的幾分之幾？
（2）他們從山腳出發，攀登了全程的后停下休息，然后又繼續向山頂方向攀登了全程的。這時他們登山的位置大致在哪里？寫出你的判斷方法，并用“▲”在上圖中標出大致位置。
【思路點撥】（1）景點位于全程的處，景點位于全程的處，所以景點到景點的路程占全程的。
（2）他們從山腳出發，攀登了全程的后停下休息，然后又繼續向山頂方向攀登了全程的。一共攀登了全程的，而，據此找出這時他們登山的位置。
【規范解答】解：（1）
答：景點到景點的路程占全程的。
（2）如圖：
因為
所以▲在和之間。
【考點評析】本題考查了分數加減法的應用，解決本題的關鍵是異分母分數加減，要通分。
【精練題03】（2024 衛輝市）只列算式，不計算。
（1）4月23日是世界讀書日，小紅讀一本書，第一天讀了這本書的，第二天讀了這本書的，第二天比第一天少讀8頁，這本書一共多少頁？
（2）劉爺爺將90000元存入銀行，存期為2年，到期后計劃將利息捐給希望工程。劉爺爺能捐多少錢？
定期存款利率： 一年期 二年期 三年期
【思路點撥】（1）小紅讀一本書，第一天讀了這本書的，第二天讀了這本書的，第一天比第二天多讀了這本書的，第一天比第二天多讀8頁。所以這本書的頁數第一天比第二天多讀8頁第一天比第二天多讀了這本書的幾分之幾，據此解答。
（2）利息本金利率時間，代入數據計算即可。
【規范解答】解：（1）
（頁
答：這本書一共480頁。
（2）（元
答：劉爺爺能捐2520元。
【考點評析】本題考查了分數百分數的應用，解決本題的關鍵是“求單位‘1’的量用除法”。
考點五：四則混合運算中的巧算（拓展題）
【精講題】（2023秋 正安縣期末）脫式計算。
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路點撥】（1）（2）（4）用乘法分配律計算，（3）用拆項湊整法計算。
【規范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【考點評析】此題重點考查了乘法分配律和拆項湊整法的靈活應用。
【精練題01】（2022 錦江區）脫式計算。
【思路點撥】第1題，中括號內的減數部分可以使用乘法分配律進行簡算，其余按四則混合運算順序進行計算即可；
第2題，將中括號內的除以改寫成乘，再靈活運用乘法分配律、加法結合律、乘法結合律等進行簡算；
第3題，按運算順序進行計算，注意相同的數相減差是0，0與任何數的積為0，一個數加上0，和就是本身，相同的數除外）相除商是1；
第4題，先把除以2.5改寫為乘，0.4改寫為，2除以5寫出分數商，再運用乘法分配律進行簡算；
第5題，按四則混合運算順序進行計算即可；
第6題，各加數的分母分別是2與3的積、3與4的積、4與5的積、5與6的積與50的積、50與51的積，共49個加數，每個加數的分子比分母小1，據此先把每個分數改寫為1減一個分子為1的真分數，再用49個1的和減，因為分子為1，分母為相鄰兩個正整數的積的分數等于這兩個正整數的倒數的差，所以。
【規范解答】解：
【考點評析】解答分數四則混合運算，首先要掌握分數四則計算的方法，并能細心計算，其次要掌握四則混合運算的順序，第三要能靈活運用運算定律和性質進行簡便運算，使計算快捷、準確。
【精練題02】（2021 岳麓區）計算
（1） （2）
（3）
【思路點撥】（1）將除法寫成乘法，然后運用乘法分配律；
（2）將除法寫成乘法，然后運用乘法分配律；
（3）帶分數的整數部分一起計算，分數部分一起計算，分數部分每個分數的分母寫成連續整數的乘積，然后裂項計算。
【規范解答】解：（1）
（2）
（3）
【考點評析】本題主要考查了分數的巧算，合理運用運算定律以及分數的裂項是本題解題的關鍵。
【精練題03】（2021 渝北區）用你喜歡的方法算。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【思路點撥】（1）把除法化成乘法，再運用乘法分配律進行簡算；
（2）先算小括號里的減法，再算中括號里的除法，最后算乘法；
（3）先算乘法，再運用減法性質進行簡算；
（4）運用乘法分配律、結合律進行簡算；
（5）先算小括號里的加法，再算中括號里的乘法，然后再算中括號里的減法；最后算括號外的除法；
（6）原式化成，再運用拆分、抵消的方法進行簡算。
【規范解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【考點評析】考查了運算定律與簡便運算，四則混合運算。注意運算順序和運算法則，靈活運用所學的運算定律簡便計算。
考點六：工程問題（拓展題—典型應用題）
【精講題】（2024 天門模擬）有兩個同樣的倉庫，搬運完其中一個倉庫的貨物，甲需要6小時，乙需要7小時，丙需要14小時．甲、乙同時開始各搬運一個倉庫的貨物，開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最后兩個倉庫的貨物同時搬完．則丙幫甲 　　小時，幫乙 　　小時．
【思路點撥】把每個倉庫的貨物看作單位“1”，搬運完一個倉庫的貨物，甲需6小時，乙需7小時，丙需14小時，由此可知：甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，三個人一共完成了兩個倉庫的任務，那么因為三人自始至終都在工作，那么用的時間是（小時），在這個時間甲完成了一個倉庫的，那么丙完成了這個倉庫是，然后根據工作時間工作量工作效率，據此列式解答。
【規范解答】解：三個人搬運完倉庫用的時間：
（小時），
甲完成了一個倉庫的，
丙完成了這個倉庫是，
丙幫甲的時間為：
（小時）
丙幫乙的時間為：（小時）
答：則丙幫甲小時，幫乙小時。
故答案為：；。
【考點評析】將兩個倉庫的任務看作是由三個人共同完成，然后求出完成任務的時間是解決本題的關鍵。
【精練題01】（2024 無錫模擬）有一個蓄水池，裝有甲乙兩根管子，其中甲為進水管，乙為出水管。單獨開甲管需要12分鐘注滿空水池，單獨開乙管需要18分鐘把滿池的水排完。現在池內的水占水池容積的，同時打開兩根水管，多少分鐘才能注滿水池？
【思路點撥】把蓄水池的容積看作單位“1”，那么甲管每分鐘注水，乙管每分鐘排水，兩根水管同時打開，每分鐘進水；現在注水的總量是，因此用除法即可求解。
【規范解答】解：
（分鐘）
答：同時打開兩根水管，27分鐘才能注滿水池。
【考點評析】本題主要考查了簡單的工程問題，關鍵是得出兩管同時打開每分鐘的進水量。
【精練題02】（2023 渝中區）加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。現在由甲先做16天，然后由乙再做12天，正好完成這批零件的。已知甲每天比乙多加工5個零件。則這批零件一共有 　900　個。
【思路點撥】把這批零件看作單位“1”，甲乙合作24天可以完成。那么甲乙兩人每天的工作效率和就是，現在有甲先做16天，然后再有乙做12天，正好完成這批零件的。相當于甲乙合作12天后再有甲單獨做（天即可完成這批零件，由此可以求出甲單獨做多少天可以完成這批零件，那么乙單獨做這批零件需要的天數即可求解，又知甲每天比乙多加工5個零件，據此可以求出5個占這批零件的幾分之幾，然后根據已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，用除法解決。
【規范解答】解：
甲1天完成這批零件的：
乙1天完成這批零件的：
這批零件共有：
（個
答：這批零件一共有900個。
故答案為：900。
【考點評析】解答此題的關鍵是，把先由甲做16天，然后再由乙做12天，正好完成這批零件的，轉化為甲乙合作12天，甲單獨做天，完成這批零件的。在此基礎上可以求出甲乙的工作效率，進而求出甲每天比乙多加工5個占這批零件的幾分之幾。
【精練題03】（2023 東蘭縣）甲、乙兩人共同做一批零件12小時可以完成，若甲一人獨做完成所需時間為乙一人獨做所需時間的，則甲獨做需要　21　小時才能完成．
【思路點撥】甲一人獨做完成所需時間為乙一人獨做所需時間的，甲乙的工作時間比是，由此可知甲乙的工作效率的比就是，兩人的工作效率和是，那么甲占他們的工作效率和的，甲的工作效率就是，然后再把工作總量看作單位“1”，用1除以甲的工作效率即可求出工作時間．
【規范解答】解：甲乙的工作時間比是，由此可知甲乙的工作效率的比就是；
（小時）
答：甲獨做需要21小時才能完成．
故答案為：21．
【考點評析】本題是一道稍復雜的工效問題，利用工作時間的比得出工作效率的比是解題的關鍵
中檔題真題專練
1．（2024六上·英山期末）水結成冰后體積增加了，冰再化成水后，體積減少了（　　）。
A． B． C． D．
【答案】A
【規范解答】解：設水的體積為“1”，則冰的體積為1+=，
（-1）÷
=÷
=
。
【思路點撥】此題主要考查了分數除法的應用，解題的關鍵是找準單位“1”，設水的體積為“1”，則冰的體積為1+=，要求冰化成水，體積減少了幾分之幾，（冰的體積-水的體積）÷冰的體積=減少的分率。
2．（2024六上·涼州期末）王華家5月份用水20立方米，比4月份節約了，求4月份用水多少立方米的正確列式是（　　）。
A． B． C． D．
【答案】A
【規范解答】解：列式正確的是：20÷（1-）。
。
【思路點撥】4月份的用水量=5月份的用水量÷（1-5月份比4月份結果幾分之幾），據此列式作答即可。
3．（2023六上·錢塘期末）要運送一噸貨物，甲車每次能運10噸，占總貨物的；乙車每次能運20噸，占總貨物的。如果兩輛車一起運送，多少次運完這批貨物？下列選項中，解決這個問題用不到的信息是（　　）。
A．10噸、20噸、 B．10噸、20噸、
C．10噸、20噸 D．、
【答案】A
【規范解答】解：如果兩輛車一起運送，運完這批貨物需要的次數列式為：1÷（-）
所以用不到的信息是10噸、20噸。
。
【思路點撥】如果兩輛車一起運送這批貨物，運完需要的次數=工作總量÷工作效率的和。
4．（2023六上·柯城期中）下面說法正確的是（　　）
A．我國古代數學家祖沖之采用“割圓術”得出了較精確的圓周率的值。
B．甲數比乙數少，則甲數是乙數的
C．如果a>0，那么a÷定小于a
D．一個三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的50%。
【答案】C
【規范解答】解：A項：我國魏晉時期杰出數學家劉徽采用“割圓術”得出了較精確的圓周率的值，原題干說法錯誤；
B項：（1-）÷1=÷1=，原題干說法錯誤；
C項：a>0，＞1，那么a÷＞a，原題干說法錯誤；
D項：三角形的面積=底÷高÷2，平行四邊形的面積=底÷高，一個三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的50%，原題干說法正確。
。
【思路點撥】A項：我國魏晉時期杰出數學家劉徽采用“割圓術”得出了較精確的圓周率的值；
B項：把乙數看作單位“1”，甲數=1-=，甲數是乙數的分率=甲數÷乙數；
C項：一個數（0和負數除外）乘小于1的數，所得的積小于原來的數，反之，積小于原來的數；
D項：等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的一半，即50%。
5．（2024六上·蕭山月考）小雪過后是大雪，俗話說“小雪腌菜，大雪腌肉”。小明家也要腌肉，若讓爸爸一個人干需要4小時完成，若媽媽一個人干需要3小時，爸爸、媽媽工作效率的最簡整數比是　 　：　 　。兩人合作，需要　 　小時就能完成。
【答案】3；4；
【規范解答】解：爸爸、媽媽工作效率的最簡整數比是3：4；
1÷（+）
=1÷
=（小時）
故答案為：3：4；。
【思路點撥】工作總量一定，工作效率和工作時間成反比；
把這項工作看成單位“1”，兩人合作需要的時間=1÷（爸爸每小時完成幾分之幾+媽媽每小時完成幾分之幾）。
6．（2024六上·康巴什期末）鋪一段鐵軌，甲、乙兩工程隊合作需要15天完成，甲工程隊單獨做需要20天完成，乙工程隊單獨做需要　 　天完成。
【答案】90
【規范解答】解：1÷（-）
=1÷
=90（天）
故答案為：90。
【思路點撥】把這段工程看作單位“1”，分別表示出兩人的工作效率和與甲隊的工作效率，用兩人的工作效率和減去甲隊的工作效率求出乙隊的工作效率，用1除以乙隊的工作效率即可求出乙隊單獨完成需要的天數。
7．（2023六上·惠州期末）周末，琪琪、楚楚和貝貝三人一共包了124個餃子，琪球包的正好是其他兩人包的餃子總數的，琪琪包了　 　個餃子。楚楚和貝貝包的餃子的個數比是4：3，楚楚包了　 　個餃子。
【答案】42；48
【規范解答】解：124÷（1+）
=124÷
=84（個）
84÷=42（個）
84÷（4+3）÷4
=84÷7÷4
=12÷4
=48（個）
故答案為：42；48。
【思路點撥】把楚楚和貝貝包餃子的總數看成單位“1”，那么琪琪包餃子的總數就是，所以楚楚和貝貝一共包餃子的個數=三人一共包餃子的個數÷（1+），那么琪琪包餃子的個數=楚楚和貝貝一共包餃子的個數÷；
楚楚包餃子的個數=楚楚和貝貝一共包餃子的個數÷楚楚和貝貝一共包餃子的個數占的份數和÷楚楚包餃子的個數占的份數。
8．（2024六上·義烏期末）直接寫出得數。
2.5÷10%= 1-11%=
80÷50%=
6÷3.14= 15.07-5.7=
42÷42%=
【答案】
2.5÷10%=25 1-11%=0.89
1.4 80÷50%=44
6÷3.14=18.84 15.07-5.7=9.37 0.6
42÷42%=200 50.24 25
【思路點撥】含有百分數的計算，把百分數化成分數或小數，然后再計算；一個非0的數除以一個分數，等于這個數乘它的倒數；分數乘分數，能約分的先約分，然后分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
9．（2024六上·金東期末）遞等式計算。（能簡算的要簡算）
1÷（-）
【答案】解：1÷（-）
=1÷
=20
=+-
=-
=
=÷（12+15）
=÷27
=15
=（+0.360）+（90%+）
=3+2
=5
=0.60÷（3.3+-20%）
=0.60÷4
=3
【思路點撥】觀察算式可知，算式中有小括號，先算小括號里面的，再計算小括號外面的；
觀察算式可知，先通分，再按從左往右的順序計算；
觀察數據可知，此題應用乘法分配律簡算；
觀察數據可知，先將與0.360相加，90%與相加，再把它們的和相加，據此計算簡便；
觀察數據可知，此題應用乘法分配律簡算。
10．（2024六上·平湖期末）小亮小時步行了千米。照這樣計算，他走1千米需要多少時間
【答案】解：1÷(÷ )
=1÷
=(小時)
答：他走1千米需要小時。
【思路點撥】速度=路程÷時間，據此先求出他的速度，再根據路程÷速度=時間即可求出他走1千米需要的時間。
11．（2024六上·黔江期末） 根據1月6日網上消息顯示，2023年華為手機出貨量為9000萬臺，原計劃出貨量是3700萬臺，華為手機實際出貨量比原計劃出貨量多幾分之幾？
【答案】解：（9000－3700）÷3700
＝300÷3700
＝
答：華為手機實際出貨量比原計劃出貨量多。
【思路點撥】求實際出貨量比原計劃多幾分之幾，是把原計劃出貨量看作單位“1”，用實際比原計劃多的量除以原計劃的量即可解答。
12．（2024六上·沐川期末）為美化校園環境，學校準備全面粉刷外墻，甲、乙、丙三個工程隊報送單獨完成粉刷任務所需天數（如圖），若粉刷任務由甲、乙兩隊合作，幾天能完成這項工程的？
【答案】解：÷（-）
＝÷
＝5（天）
答：5天能完成這項工程的。
【思路點撥】完成這項工程的需要的天數=÷甲乙兩隊每天一共完成幾分之幾，據此代入數值作答即可。
13．（2024六上·淮濱月考）實驗小學足球社團有54人，是舞蹈社團人數的，比合唱社團的人數少，舞蹈社團和合唱社團各有多少人？
【答案】解：54÷=45（人）
54÷（1－）
=54÷
=63（人）
答：舞蹈社團有45人，合唱社團63人。
【思路點撥】足球社團人數÷足球社團是舞蹈社團人數的分率=舞蹈社團人數；1－足球社團比合唱社團少的分率=足球社團占合唱社團的分率，足球社團人數÷足球社團占合唱社團的分率=合唱社團人數。
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14．一個水池，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿，乙、丙兩管同時開，4小時灌滿。現在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿。乙單獨開（　　）小時可以灌滿。
A．24 B．20 C．18 D．30
【答案】D
【規范解答】解：1-÷2-÷2
=-
=
÷（6-2-2）
=÷2
=
1÷=20（小時）。
。
【思路點撥】依據“ 現在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿 ”，我們可以把乙管的6小時分成3個2小時，第一個2小時和甲同時開，第二個2小時和丙同時開，第三個2小時乙管單獨開，這樣就變成了甲、乙同時開2小時，乙、丙同時開2小時，乙單獨開2小時，正好灌滿一池水。
15．（2022六上·杭州期中）某小學有男生270人，女生是男生的倍，男生比女生少（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【規范解答】解：270÷=300（人）
（300-270）÷300
=30÷300
=。
。
【思路點撥】男生比女生少的分率=（女生人數-男生人數）÷女生人數；其中，女生人數=男生人數÷。
16．（2022六上·深圳期中）媽媽給妙想制作生日蛋糕，現在要完成最后的裱花工序，她3分完成了裱花工序的，再過1分，就能完成裱花工序的（　　）。
A． B． C． D．
【答案】A
【規范解答】解：3÷=12（分鐘）
（3-1）÷12
=4÷12
=。
。
【思路點撥】再過1分，就能完成裱花工序的分率=（3分鐘-1分鐘） ÷總時間；其中，總時間=3分鐘÷完成裱花工序的分率。
17．（2023六上·玉環期中）一本書，已讀了總數的 還多15頁，已讀的頁數與未讀的頁數比是2：3，全書共　 　頁．
【答案】225
【規范解答】15÷（-）=225（頁）
故答案為：225。
【思路點撥】根據題意先表示出已讀頁數占這本書的幾分之幾，然后用減法求出15對應的分率，用除法即可解答。
18．（2023六上·臨漳月考）一項工程，甲隊單獨做17天完成這項工程的，乙隊單獨做17天完成這項工程的，甲乙兩隊1天一共可以完成這項工程的　 　。如果兩隊合作，　 　天就能完成任務。
【答案】；12
【規范解答】解：甲隊1天完成這項工程的分率是：÷17=÷=，
乙隊1天完成這項工程的分率是：÷17=÷=，
甲乙兩隊1天一共可以完成這項工程的分率是：+==，
兩隊合作完成任務需要的天數是：1÷=12（天）。
故答案為：；12。
【思路點撥】甲隊做17天完成這項工程的分率÷17=甲隊做1天完成這項工程的分率；乙隊做17天完成這項工程的分率÷17=乙隊做1天完成這項工程的分率；甲隊做1天完成這項工程的分率+乙隊做1天完成這項工程的分率=甲乙兩隊1天一共可以完成這項工程的分率；總工作量÷甲乙兩隊1天一共可以完成這項工程的分率=兩隊合作完成任務需要的天數。
19．（2023.3.16·北新巴蜀）搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時。有同樣的倉庫A和B，甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫同時搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運，最后同時搬完兩個倉庫的貨物，丙幫助乙搬運了　 　小時。
【答案】5
【規范解答】解：甲、乙丙一共需要的時間=2÷（++）
=2÷（++）
=2÷
=8（小時），
（1-÷8）÷
=÷
=5（小時）
所以丙幫乙搬運了5小時。
故答案為：5。
【思路點撥】根據題意可得兩個倉庫搬運完一共需要的時間=2÷（甲的工作效率+乙的工作效率+丙的工作效率）；丙幫乙搬運的時間=（1-乙的工作效率÷乙一共搬運的時間）÷丙的工作效率，注意工作效率=工作總量÷工作時間，代入數值計算即可。
20．計算，能簡算的要簡算。
①
②
③
④
⑤
⑥
【答案】解：①
=÷18
=10
②
=÷
=
③
=
=÷1
=
④
=
=÷
=
⑤
=2÷（）÷（）
=2
⑥
=
=
=5÷2
=2.5
【思路點撥】①先算小括號里面的除法，再算括號外面的乘法；
②同級運算，按從左到右的順序計算；
③先按乘法分配律去掉中括號里面的小括號，再按運算順序計算；
④運算順序：先算乘除，再算加減，如果有括號，就先算括號里面的；
⑤觀察算式可以發現，第一個括號里面數的和是第二個括號里面數的和的2倍，運用乘法分配律解答；
⑥兩個括號內，分母是一樣的，分子一個提取公因數5，一個提取公因數2，約分后是5÷2，據此解答。
21．（2023六上·玉環期末）只列式，不計算。
（1）學校購進一批圖書，已知購進科技書105本，購進文藝書是科技書的，這兩種書是購進總數的，學校共購進圖書多少本
（2）服裝店購進一匹布，單獨做圍巾能做20條，單獨做手套能做30副，圍巾手套共能做幾套 （一條圍巾，一副手套為一套）
（3）疫情期間水果店中梨的價格持續上漲，每天都上漲20%，兩天后梨的價格上漲了百分之幾
【答案】（1）解：（105-105÷）÷
（2）解：1÷（）
（3）解：[1÷（1-20%）÷（1-20%）－1]÷1÷200%
【思路點撥】（1）科技書的本數÷=文藝書的本數，科技書的本數-科技書的本數÷=兩種書的總本數，（科技書的本數-科技書的本數÷）÷=購進圖書的總本數；
（2）把這匹布總長看作單位“1”，1÷20=（一條圍巾需要多少布），1÷30=（一副手套需要多少布），布匹總長÷（一條圍巾需要的布-一副手套需要的布）=共能做幾套；
（3）把梨的原價看作單位“1”，梨的原價÷（1-20%）=第一天漲價后梨的價格，梨的原價÷（1-20%）÷（1-20%）=兩天后梨的價格，梨的原價÷（1-20%）÷（1-20%）－梨的原價=兩天后漲了多少錢，[梨的原價÷（1-20%）÷（1-20%）－梨的原價]÷梨的原價÷200%=兩天后梨的價格上漲的百分比。
22．（2024六上·天臺期末）實驗小學開展拓展課程，原來合唱班是書法班人數的，后來，8名合唱班的同學轉入書法班，這時，合唱班人數是書法班人數的，原來參加合唱班和書法班的一共有多少人
【答案】解：8÷（-）
=8÷
=50（人）
答： 原來參加合唱班和書法班的一共有50人。
【思路點撥】原來參加合唱班和書法班一共的人數=轉走的人數÷（原來合唱班的人數是總人數的幾分之幾-現在合唱班的人數是總人數的幾分之幾），據此代入數值作答即可。
23．（2023六上·杭州期末）一段路，如果一隊單獨修，需要10天；如果二隊單獨修，平均每天可修290米。一、二兩隊合作，6天正好修完。這段路長多少米？
【答案】解：1÷(-)
=1÷
=15(天)
15÷290=9200(米)
答：這段路長9200米。
【思路點撥】這段路的長度=二隊平均每天可修的長度÷修的天數；其中，二隊修的天數=工作總量÷（兩隊合作的工作效率的和-第一隊的工作效率）。
24．（2023六上·榆林月考）某工程隊修一段路，第一天修的比全長的多5米，第二天修的是剩下部分的，還剩920米沒有修，這段路全長多少米？
【答案】解：920÷（1）
＝920
＝650（米）
（650+5）÷（1）
＝650
＝917（米）
答：這段路全長917米。
【思路點撥】沒有修的占第一天修后剩下長度的（1-），根據分數除法的意義求出第一天修后剩下的長度。第一天修后剩下的長度再加上5米就剛好占總長度的（1-），由此根據分數除法的意義，用第一天修后剩下的長度加5米除以（1-）即可求出這段路的總長度。
25．（2023六上·期末）甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向開往對方出發地。已知甲車和乙車速度的比是2∶3。
（1）經過2.5小時兩車相遇，相遇時甲車還剩全程的幾分之幾？
（2）兩車在相遇后繼續前行，當乙車行到全程的時，甲車距離B地還有210千米。AB兩地相距多少千米？
【答案】（1）解：2-3=5
1-=
答：相遇時甲車還剩全程的。
（2）解：210÷（1-÷）
=210÷（1-）
=210÷
=450（千米）
答：AB兩地相距450千米。
【思路點撥】（1）相同時間內所行的路程比等于速度比，所以相遇時甲車還剩全程的分率=1-；
（2）乙車行駛到全程的時，則甲車行駛全程的1-÷，AB兩地的距離=甲車距離B地還有的路程÷（1-甲車行駛全程的分率） 。
24．（2023六上·杭州期末）周末，李叔叔早上8點開車從甲城出發前往乙城，到上午11點時，已行的路程和剩下的路程比是3：5，繼續前行120千米后，已行的路程是剩下路程的，甲乙兩城相距多少千米？
【答案】解：已行的路程和剩下的路程比是3：5，據此可知已行的路程是全程的；
繼續前行120千米后，已行的路程是剩下路程的，據此可知已行的路程是全程的；
120÷(-)
=120÷
=1608 (千米)
答：甲乙兩城相距1608千米。
【思路點撥】根據已行的路程和剩下的路程比可以知道已行路程占全程的分率；還可以求出繼續前行120千米后，已行路程占全程的分率。120千米÷兩次占全程分率的差=甲乙兩城的距離。
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