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第三章 函數的概念與性質
考點清單
習目標整合
學習目標整合
函數的概念及其表示 （1）建立完整的函數概念，了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域. （2）掌握分段函數的簡單應用.
函數的基本性質 （1）理解函數的單調性、最大值、最小值的作用和實際意義. （2）掌握奇偶性和周期性的概念及其應用.
二次函數與冪函數 （1）理解并掌握二次函數的定義、圖象和性質；會求二次函數在閉區間上的最值 （2）了解冪函數及其應用.
函數的應用 （1）會運用函數圖象理解和研究函數的性質. （2）會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.
思維導圖回顧知識
思維導圖回顧知識
重難知識易混易錯 重難知識易混易錯
重難知識點講解
1.函數的單調性：一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間：如果，當時，都有，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增.如果，當時，都有，那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減.
2.函數的最大（小）值：一般地，設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：，都有；，使得.那么，我們稱M是函數的最大值.
一般地，設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：，都有；，使得.那么，我們稱M是函數的最小值.
3.冪函數的性質
冪函數
定義域 R R R
值域 R R
單調性 增 在上 單調遞增， 在上 單調遞減 增 增 在上 單調遞增， 在上 單調遞減
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共點 都經過點
4.幾類常見的函數模型：
（1）一次函數模型：.
（2）反比例函數模型：.
（3）二次函數模型：.
（4）冪函數模型：(是常數).
（5）分段函數模型：以上兩種或多種模型的組合.
易混易錯例題
1.設函數，，則( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.下列函數的定義域與值域相同的是( )
A. B. C. D.
3.若函數為偶函數，則下列結論正確的是( )
A. B.
C. D.
4.已知冪函數的圖象不過原點，則實數m的取值為( )
A.-2 B.0 C.2 D.2或-2
5.已知函數，則該函數的單調遞增區間為( )
A. B. C. D.
6.（多選）已知函數的定義域為R，為奇函數，且，有，則下列說法正確的有( )
A. B.
C. D.為偶函數
7.已知函數在定義域上是單調函數，若對任意，都有，則的值是__________.
8.已知冪函數，若，則a的取值范圍是______________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由題知，即，所以.
2.答案：A
解析：函數的定義域和值域都為R，A正確；由，得的定義域為，值域為，B錯誤；的定義域為R，值域為，C錯誤；的定義域為R，值域為，D錯誤.
3.答案：C
解析：因為是偶函數，所以，即，所以.當時，單調遞增.又，所以.
4.答案：A
解析：因為為冪函數，所以，解得.
當時，，圖象過原點，不合題意，舍去；當時，，圖象不過原點，符合題意.綜上所述，.故選A.
5.答案：B
解析：設，由，即，得或，所以函數的定義域為.因為函數的圖象的對稱軸為直線，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，由復合函數的單調性知函數的單調遞增區間為.
6.答案：BCD
解析：由，得.由為奇函數，得，即，所以，即，所以，故A錯誤；由，得，所以，由，得，所以，故B，C正確；由，，得，所以為偶函數，故D正確.
7.答案：2024
解析：因為函數在定義域上是單調函數，若對任意，
都有，則可設（c為常數），故，
且，解得，所以，則.
8.答案：
解析：由冪函數，可得函數的定義域為，且是遞減函數，因為，可得，解得，即實數a的取值范圍為.
核心素養對接高考
核心素養對接高考
核心素養
數學抽象、邏輯推理
真題對接
1．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知函數的定義域為R，，且當時，，則下列結論中一定正確的是( )
A. B. C. D.
2．[2024年 新課標Ⅱ卷]設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則( )
A.-1 B. C.1 D.2
參考答案
1．答案：B
解析：因為當時，，所以，.對于，令，得；令，得；依次類推，得；；；；；；；；；；；….顯然，所以，故選B.
2．答案：D
解析：法一：令，即，可得，令，，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，注意到，均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得，因為，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.
法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數，根據偶函數的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，，又因為，當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選D.

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