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第四章 指數函數與對數函數
考點清單
學習目標整合學習目標整合
指數函數、對數函數 （1）掌握指數冪的運算性質. （2）了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念. （3）會分辨指數函數的圖象，理解指數函數的單調性與特殊點. （4）理解對數的概念和運算性質，掌握換底公式. （5）了解對數函數的概念，會分辨對數函數的圖象，了解對數函數的單調性與特殊點.
函數的應用 （1）了解函數零點與方程解的關系. （2）會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.
思維導圖回顧知識
思維導圖回顧知識
重難知識易混易錯 重難知識易混易錯
重難知識點講解
1.指數冪的運算性質：
（1）；
（2）；
（3）.
2.指數函數的圖象和性質
圖象
性質 定義域 R
值域
過定點 ，即時，
單調性 減函數 增函數
奇偶性 非奇非偶
3.對數的運算性質：如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）.
4.對數換底公式：，且；；，且
5.對數函數的圖象和性質
圖象
定義域
值域 R
單調性 減函數 增函數
過定點 過定點，即時，
6.反函數：一般地，指數函數，且和對數函數，且互為反函數，它們的定義域和值域正好互換，圖象關于直線對稱.
7.函數零點存在定理：如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么，函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
8.二分法的概念：對于在區間上圖象連續不斷且的函數，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
易混易錯例題
1.函數的值域為( )
A. B. C. D.
2.已知，，，則( )
A. B. C. D.
3.已知函數的零點，其中k為整數，則k的值為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.地震的震級與震源所釋放的能量大小有關，可以用關系式表達，其中M為震級，E為地震能量.2022年11月21日云南紅河發生了3.6級地震，此前11月19日該地發生了5.0級地震，則第一次5.0級地震能量大約是第二次3.6級地震能量的（參考數據：，）( )
A.110倍 B.115倍 C.120倍 D.126倍
5.已知函數，則不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.函數（，，），若，則a的值為( )
A.4 B.4或 C.2或 D.2
7.已知函數，則不等式的解集是__________.
8.已知函數若函數有5個零點，則實數m的取值范圍為___________.
9.為了做好流感預防工作，某學校要求全校各班級每天利用室外課間操時間對各班教室進行藥熏消毒.現有一種備選藥物，根據測定，教室內每立方米空氣中的藥含量y（單位：mg）隨時間x（單位：h）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過程中y與x成正比，藥物釋放完畢后，y與x的函數關系為（a，b為常數），其圖象經過點，，根據圖中提供的信息，解決下面的問題.
（1）求從藥物釋放開始，y與x的函數關系式.
（2）據測定，當空氣中每立方米的藥物含量降低到以下時，才能保證對人身無害，若該校室外課間操時間為，據此判斷，學校能否選用這種藥物用于教室消毒？請說明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因為函數是增函數，所以當時，，所以，即該函數的值域為.
2.答案：C
解析：函數是減函數，所以.函數在上單調遞增，所以.函數是減函數，所以，所以，即.
3.答案：C
解析：因為函數在其定義域內為增函數，所以至多有一個零點.因為，，所以，即函數在內存在一個零點.又，k為整數，所以.
4.答案：D
解析：第一次，即①，第二次，即②，得，即，由題可知，故.故選D.
5.答案：A
解析：因為與在R上均為減函數，所以在R上為減函數.因為，所以為奇函數，所以等價于，所以，解得.所以不等式的解集為.
6.答案：C
解析：由題意得，，
令，則，則函數，，
即，.
當時，在上單調遞增，由可得，解得；
當時，在上單調遞減，由可得，解得.故a的值為2或，故選C.
7.答案：
解析：，即.由解得或畫出，的圖象如圖所示.由圖可知，不等式的解集是.
8.答案：
解析：若，則當時，可得，解得；當時，可得，則，解得.綜上，x的值為或1.令，可得或，即或.由題意可知的圖象與直線，共有5個交點.作出的圖象，如圖所示.
由圖可得或解得，所以實數m的取值范圍為.
9.答案：（1）
（2）學校可以選用這種藥物用于教室消毒
解析：（1）依題意，當時，設.
因為函數的圖象經過點A，所以，解得.
又當時，，所以.
又圖象過點B，則，因此，
所以
（2）由（1）知，當空氣中每立方米的藥物含量降低到以下時，
有，即，所以，解得.
因此至少需要后才能保證對人身無害，而室外課間操時間為，所以學校可以選用這種藥物用于教室消毒.
核心素養對接高考
核心素養對接高考
核心素養
數學抽象、數學運算、數學建模
真題對接
1．[2024年 新課標Ⅱ卷]設函數，若，則的最小值為( )
A. B. C. D.1
2．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3．[2023年 新課標Ⅰ卷]若為偶函數，則( )
A.-1 B.0 C. D.1
參考答案
1．答案：C
解析：由及，單調遞增，可得與同正、同負或同為零，所以當時，，即，所以，則
，故選C.
2．答案：B
解析：因為函數在R上單調遞增，且當時，，所以在上單調遞增，所以，即；當時，，所以函數在上單調遞增.若函數在R上單調遞增，則，即.綜上，實數a的取值范圍是.故選B.
3．答案：B
解析：法一：設，易知的定義域為，且，所以為奇函數.若為偶函數，則也應為奇函數，所以，故選B.
法二：因為為偶函數，，，所以，解得，故選B.

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