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第一章 集合與常用邏輯用語
考點清單
學習目標整合
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集合 （1）了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系，能用符號語言刻畫集合 （2）了解全集與空集的含義，理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集. （3）理解并集與交集的含義，能求集合的并集與交集，理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集，掌握集合間的混合運算. （4）能使用Venn圖表達集合的基本關系與基本運算.
常用邏輯用語 （1）理解必要條件、充分條件、充要條件的意義，掌握性質定理與必要條件的關系，判定定理與充分條件的關系，理解數學定義與充要條件的關系. （2）理解全稱量詞與存在量詞的意義，能正確對全稱量詞與存在量詞進行否定.
思維導圖回顧知識
重難知識易混易錯
重難知識易混易錯
重難知識點講解
1.集合中元素的三個特征：
（1）確定性：對于給定的集合，元素必須是確定的.
（2）互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的，相同的對象歸入同一個集合時，只能算作集合的一個元素.
（3）無序性：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的.
2.元素與集合的關系：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作.
3.子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作：或.讀作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
4.集合的相等：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作.
也就是說，若，且，則.
5.空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫作空集，記為，并規定：空集是任何集合的子集.
6.并集的運算性質：
（1），即任何集合與其本身的并集等于這個集合本身；
（2），即任何集合與空集的并集等于這個集合本身.
7.交集的運算性質：
（1），即任何集合與其本身的交集等于這個集合本身；
（2），即任何集合與空集的交集等于空集.
8.充分條件與必要條件的定義：
一般地，“若p，則q”為真命題，就是指由p通過推理可以得到q．由p可以推出q，記作．并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件．如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結論q，記作p q．此時，p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．
9.充要條件的定義：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有，又有，就記作.如果，那么p與q互為充要條件.
10.全稱量詞命題的真假判斷：全真為真，一假為假.
存在量詞命題的真假判斷：一真為真，全假為假.
11.全稱量詞的否定：，的否定：，.也就是說，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.
12.存在量詞的否定：，的否定：，.也就是說，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.
易混易錯例題
1.若集合，集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知命題，，則p的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知集合，且，則( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
5.（多選）對于集合M，N，我們把屬于集合M但不屬于集合N的元素組成的集合叫作集合M與N的“差集”，記作，即，且；把集合M與N中所有不屬于的元素組成的集合叫作集合M與N的“對稱差集”，記作，即，且.下列選項正確的有( )
A.若，則 B.若，則
C. D.
6.已知命題p：，；命題q：，.若p，q都是假命題，則實數m的取值范圍是______.
7.已知集合，集合其中是的充分不必要條件，則m的取值范圍是________________．
答案以及解析
1.答案：C
解析：，.故選C.
2.答案：A
解析：命題，的否定為，.故選A.
3.答案：A
解析：若，則，所以，所以，若，當，時，滿足，但此時.所以是的充分不必要條件.故選A.
4.答案：D
解析：由題意：，得：或兩種情況，若，則，此時，不滿足互異性；若，則解得或，顯然，符合題意，而當時，，不滿足互異性.綜上所述：.故選D.
5.答案：ACD
解析：若，則，故A正確.若，則，故B錯誤.，且，故C正確.和均表示如圖所示的陰影部分，故D正確.
6.答案：
解析：命題p的否定，為真命題，當時恒成立，當時，可得，故.命題q的否命題，為真命題，所以，解得或，故范圍是.
7.答案：
解析：因為是的充分不必要條件，所以，因為不等式的解集為，所以，所以，所以，
所以m的取值范圍是.
核心素養對接高考
核心素養對接高考
核心素養
數學抽象、邏輯推理
真題對接
1．[2023年 新課標Ⅰ卷]已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2．[2023年 新課標Ⅱ卷]設集合，，若，則( )
A.2 B.1 C. D.-1
3．[2024年 新課標Ⅰ卷]已知集合，，則( )
A. B. C. D.
4．[2024年 新課標Ⅱ卷]已知命題，，命題，.則( )
A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題
C.p和都是真命題 D.和都是真命題
參考答案
1．答案：C
解析：因為或，所以，故選C.
2．答案：B
解析：依題意，有或.當時，解得，此時，，不滿足；當時，解得，此時，，滿足.所以，故選B.
3．答案：A
解析：方法一：因為，，所以，故選A.
方法二：因為，，，，，所以，，，，，所以，故選A.
4．答案：B
解析：法一：因為，，所以命題p為假命題，所以為真命題.因為，所以，所以，即，解得或或，所以，使得，所以命題q為真命題，所以為假命題，所以和q都是真命題，故選B.
法二：在命題p中，當時，，所以命題p為假命題，為真命題.在命題q中，因為立方根等于本身的實數有，0，1，所以，使得，所以命題q為真命題，為假命題，所以和q都是真命題，故選B.

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