資源簡介

第一講 中考選擇題難點突破1：《圖形變換與二次函數中的多結論問題》自主學習單
知識技能梳理
模塊一：圖形變換——軸對稱
圖形的軸對稱是初中三大圖形變換中的一種，在中考中常常會以折疊的形式出現。折疊的載體有各種各樣的圖形，考查的問題有求線段長度（或線段最值、線段比值）、角度、圖形周長、面積、三角函數等等。雖然有紛繁復雜的情形，但解決問題的突破口始終是軸對稱的性質和背景圖形的性質。
軸對稱的性質：1、全等性：全等圖形、對應邊相等、對應角相等。2、對稱性：對應點所連線段被對稱軸垂直平分。
解題步驟：1、明確軸對稱性質（全等性、對稱性），關注背景圖性質和已知條件。2、結合背景圖性質、軸對稱性質和已知條件，找條件之間的聯系，進行等量轉化。3、利用基本方法：構造方程（勾股定理、全等三角形、相似三角形、等面積），進行求解，進而解決問題。
模塊二：圖形變換——旋轉
圖形的旋轉是初中三大圖形變換中的一種，在中考中常常以綜合題的形式出現。圖形的旋轉常見的類型有兩種，一種是題目已有明顯的較為完整的共頂點的旋轉圖形，這類型的題目難度不大。第二種類型是題目沒有明顯旋轉圖形，需要根據題目中的條件構造旋轉模型，使問題巧妙解決。本模塊重點學習第二種類型。若題目中出現共頂點等線段，如等腰直角三角形或等邊三角形，則可以作輔助線構造旋型全等三角形；若題目中無共頂點等線段，但有共點等角，則可以做輔助線構造旋轉相似三角形。構造旋轉圖形的共同特點是尋找全等三角形或相似三角形，利用它們的性質解題，此類旋轉問題，有時也會結合動點問題求最值。
模塊三：二次函數中的多結論問題
二次函數中的多結論問題通常是選擇題常考的壓軸題。考點如下：
，考符號
， , ，，考特殊點
，考對稱軸
，，考對稱軸與特殊點結合
，考最值（頂點）
，考最值（頂點縱坐標）
，考圖象與x軸交點個數
在拋物線上，則，考增減性和對稱性
方程有兩個不相等的實數根，考函數與方程的關系，平移
學習過程
模塊一：圖形變換——軸對稱
例1．如圖，點為矩形的邊上一點，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，交于點．在上取點，使．若，，則（ 　　）
A． B．12 C．15 D．
小結：1、折疊有兩大性質：全等性和對稱性，要根據具體情況選擇合適的條件。
2、題目中出現三角函數時，有兩個思考方向：一是直接構造直角三角形，另一種是把角通過等量代換轉化到已有的直角三角形中。
3、引入參數時，可利用勾股定理、相似三角形等構造方程進行求解。
例2．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D在斜邊AB上運動，點E在邊BC上運動，把△BDE沿DE折疊得到△B'DE，B'D交邊BC于點F，BC＝3CF，∠CEB'＝30°，則BE的長為（　　）
A． B． C． D．
練習1
1．如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在邊AD上，沿著BE折疊使點A落在邊CD上點F處，過點F作FP∥AD交BE于點P．若tan∠ABE＝，AD＝3cm，則PF的長為（　　）cm．
A． B．2 C． D．
2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，將矩形ABCD沿MN折疊使點C恰好落在AB的中點F處，點D落在點E處，若AM＝4DM，則DM的長為（　　）
A．2.5cm B．cm C．cm D．3cm
3．如圖，矩形紙片ABCD，AB＝8，BC＝6，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE、DE分別交AB于點O、F，且OP＝OF，則sin∠ADF的值為（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC邊上一點，將△ABD為直線AD翻折得到△AB′D，AB′與BC邊交于點E，若AB＝3BD，點E為CD中點，BC＝6，則AB的長為（　　）
A． B．6 C． D．
5．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝3，CD＝4，點E是CD邊上的中點，將△BCE沿BE翻折得△BGE，連接AE，A、G、E在同一直線上，則點G到AB的距離為（　　）
A． B． C． D．
6．如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點P在AB上，AP＝1．將矩形ABCD沿CP折疊，點B落在點B'處．B'P、B′C分別與AD交于點E、F，則EF＝（ ）．
A．3 B． C． D．
模塊二：圖形變換——旋轉
例3．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝，則CD的長為（　　）
A．4 B．2 C．5 D．
小結：1、共頂點等線段可以構造旋轉型全等三角形解決問題。
三角形中，已知兩邊和一個特殊角，求第三邊：可通過作垂線構造特殊直角三角形解決問題。
例4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是對角線AC上的動點，連接DP，將直線DP繞點P順時針旋轉使∠DPG＝∠DAC，且過D作DG⊥PG，連接CG，則CG最小值為( )．
A． B． C． D．
方法一：轉化CG邊。
方法二：尋找G點運動軌跡。
小結：未知運動軌跡的動點線段求最值問題：1、通過相似或全等轉化為已知運動軌跡的動點線段的最值問題，一般是構造旋轉圖形。2、求出該動點的軌跡，結合圖象進行分析。
練習2
1．若點D為等邊△ABC內一點，且DA＝4，DB＝3，DC＝5，則此等邊三角形ABC的面積為（　　）
A． B． C． D．
2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tanB＝，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A'B'C的位置，且點B′在AB上，A′B′交AC于點D，則△A′DC的面積為（　　）
A． B． C． D．4
3．如圖，如圖，將矩形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉一定角度后，BC的對應邊B′C交CD邊于點G，如果當AB′＝B′G時量得AD＝7，CG＝4，連接BB′、CC′，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點，D是直線BC上一動點，線段ED繞點E逆時針旋轉90°，得到線段EF，當點D運動時，則AF的最小值為（　　）
A．2 B． C． D．
5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點H為BC中點，點E繞著點C旋轉，且CE＝4，在DC的右側作正方形DEFG，則線段FH的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是AB邊的中點，點E是BC邊上的一個動點，以DE為邊作等邊三角形DEF，連接AF，則AF的最小值為（　　）
A．2 B． C． D．
模塊三：二次函數中的多結論問題
常規(guī)的二次函數的多結論問題，大部分結論的特征比較明顯，比較容易判斷。當判斷某個系數取值范圍時，考查的是對稱軸和特殊點，以下舉例說明這種情況如何求解。
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標為（1，m），與y軸的交點在（0，﹣4），（0，﹣3）之間（包含端點），則結論1≤a≤是否正確？
以下兩道例題是含有參數的二次函數多結論問題。
例5．如圖，函數y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0）和（m，0），請思考下列判斷：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝其中，正確結論的個數是（　　）個．
A．5 B．4 C．3 D．2
例6．已知二次函數y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2的圖象與x軸有兩個交點（x1，0），（x2，0），下列說法中：①m≠﹣1；②該函數圖象過定點（1，﹣1）；③若該函數圖象開口向下，則m的取值范圍為﹣2＜m＜﹣1；④當m＞0，且﹣2≤x≤﹣1時，y的最大值為：9m+3；⑤當m＞﹣1，且該函數圖象與x軸兩交點的橫坐標x1，x2滿足﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2時，m的取值范圍為：﹣＜m＜．正確的是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
練習3
1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點（，0），有下列結論：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正確的結論是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結論：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1沒有實數根．其中正確的結論個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．二次函數y＝ax2+bx+c大致圖象如圖所示，其中頂點為（﹣2，﹣9a）下列結論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩根為x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為﹣8，其中正確的結論是（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
4．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a＜0）經過點（﹣2，0），其對稱軸為直線x＝1，有下列結論：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；④拋物線與直線y＝x交于P、Q兩點，若PQ＝，則a＝﹣1；
其中，正確結論的個數是（　　）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸負半軸交于（﹣，0），對稱軸為直線x＝1．有以下結論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若點（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函數圖象上，則y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的兩根為x1，x2且x1＜x2，則x1＜﹣＜＜x2；⑤點M，N是拋物線與x軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P，使得PM⊥PN，則a的范圍為a≥﹣4．其中結論正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
6．二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝，以下五個結論中：①abc＜0：②a﹣＝0；③b2﹣4ac＞0；④a+c﹣b＞0；⑤b＜c；正確的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個第一講 中考選擇題難點突破1：《圖形變換與二次函數中的多結論問題》
------林翠鳳
模塊一：圖形變換——軸對稱
例1．如圖，點為矩形的邊上一點，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，交于點．在上取點，使．若，，則（ 　　）
A． B．12 C．15 D．
【解答】解：方法一，如圖，連接，過點作于點，
∵，，，，
∵四邊形是矩形，，，
由翻折可知：，，，
在和中，，，，
∵F是的中點，，
，，
由翻折可知：垂直平分，，
，，，
．．
故答案為：選A．
方法二：連接BG，證明(SAS)，由F是BE中點，所以EF=FG=6。因為是等腰和等腰的公共底角，所以頂角。設BG=4k，則AB=5k，AG=3k，GE=2k，在Rt中，有，解得k=，所以AB=.
小結：1、折疊有兩大性質：全等性和對稱性，要根據具體情況選擇合適的條件。
2、題目中出現三角函數時，有兩個思考方向：一是直接構造直角三角形，另一種是把角通過等量代換轉化到已有的直角三角形中。
3、引入參數時，可利用勾股定理、相似三角形等構造方程進行求解。
例2．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D在斜邊AB上運動，點E在邊BC上運動，把△BDE沿DE折疊得到△B'DE，B'D交邊BC于點F，BC＝3CF，∠CEB'＝30°，則BE的長為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：方法一：如圖，過點E作EK⊥BD于點K，
設BE的長為x，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，
∵BC＝3CF＝3，∴CF＝1，BF＝2，EF＝2﹣x、
∵△B′DE由△BDE折疊而來，∴∠B′＝∠B＝45°，B'E＝BE＝x，∠B'ED＝∠BED，
∵∠CEB＝30°，∴∠DEB+DEB′＝∠FEB+∠B′EF＝180°+30°＝210°，
∴∠BED＝∠B′ED＝105°，
∴∠EDB＝180°﹣∠BED﹣∠B＝180°﹣105﹣45°＝30°，
∵∠BDE＝∠B'EF＝30°，∠B＝∠B′＝45°，∴△BDE∽△B′EF，∴＝，
在Rt△BEK中，∠B＝45，BE＝x，∴EK＝BK＝x，
在Rt△DEK中，∠EDK＝30°，EK＝x，∴DE＝x，DK＝x，
∴DB＝BK+DK＝x+x＝x，∴＝，
解得x＝，經檢驗：x＝是原分式方程的解，∴BE的長為．
故答案為：選A．
方法二：過點F作FH垂直于B′E于H。∵∠CEB＝30°，∠B＝∠B′＝45°
∴設FH=k，則B′H=k，HE= k，EF=2 k，EB=2-2 k。∵B′E=EB∴k+ k=2- 2k
∴，∴BE的長為．
小結：三角形中有特殊角，可通過作垂線作出特殊角的直角三角形。
練習1
1．如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在邊AD上，沿著BE折疊使點A落在邊CD上點F處，過點F作FP∥AD交BE于點P．若tan∠ABE＝，AD＝3cm，則PF的長為（　　）cm．
A． B．2 C． D．
【解答】解：∵沿著BE折疊使點A落在邊CD上點F處，∴F點與A點關于BE對稱．
∴AE＝FE，∠AEB＝∠FEB．
又∵FP∥AD，∴∠AEB＝∠FPE．∴∠FEB＝∠FPE．∴EF＝FP．
由折疊可知，∠ABE＝∠FBE，∴tan∠ABE＝tan∠FBE＝，∴＝，
∵∠EFB＝∠C＝∠D＝90°．∴∠DFE+∠DEF＝90°，∠DFE+∠BFC＝90°．
∴∠DEF＝∠BFC．∴△DEF∽△CFB．∴＝＝．
∵BC＝AD＝3cm，∴DF＝1cm，
∵DF2+DE2＝EF2，∴12+（3﹣AE）2＝AE2，解得AE＝，
∴PF＝cm，
故選：A．
2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10cm，將矩形ABCD沿MN折疊使點C恰好落在AB的中點F處，點D落在點E處，若AM＝4DM，則DM的長為（　　）
A．2.5cm B．cm C．cm D．3cm
【解答】解：如圖，連接MF，MC，
∵AM＝4DM，∴設DM＝xcm，則AM＝4xcm，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝10cm，∴DC＝AB＝10cm，∠A＝∠D＝90°，
由折疊可知：四邊形CDMN和四邊形FEMN關于MN對稱，
∴EM＝DM＝xcm，∠D＝∠E＝90°，MC＝MF，DC＝EF＝10cm，
∵F是AB的中點，∴AF＝AB＝5cm，
在Rt△AFM和Rt△CDM中，根據勾股定理得：
FM2＝AF2+AM2，CM2＝CD2+DM2，∴AF2+AM2＝CD2+DM2，∴52+（4x）2＝102+x2，
解得x＝（負值舍去），∴DM＝cm．
故選：B．
3．如圖，矩形紙片ABCD，AB＝8，BC＝6，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE、DE分別交AB于點O、F，且OP＝OF，則sin∠ADF的值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根據折疊，可知：△DCP≌△DEP，∴DC＝DE＝8，CP＝EP．
在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE＝OB，EF＝BP．
設EF＝x，則BP＝x，DF＝DE﹣EF＝8﹣x，
又∵BF＝OB+OF＝OE+OP＝PE＝PC，PC＝BC﹣BP＝6﹣x，
∴AF＝AB﹣BF＝2+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2＝DF2，即（2+x）2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，
∴DF＝8﹣x＝，AF＝2+x＝，∴sin∠ADF＝＝×＝，
故選：C．
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC邊上一點，將△ABD為直線AD翻折得到△AB′D，AB′與BC邊交于點E，若AB＝3BD，點E為CD中點，BC＝6，則AB的長為（　　）
A． B．6 C． D．
【解答】解：由折疊可知：∠AB′D＝∠B，BD′＝BD，AB′＝AB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AB′D＝∠ACE，∵∠B′ED＝∠CEA，∴△B′ED∽△CEA，
∴＝＝，∵點E為CD中點，∴DE＝CE，
設BD＝B′D＝x，AB＝AC＝AB′＝3x，
∴＝＝＝，∴B′E＝CE，
∴AE＝AB′﹣B′E＝3x﹣CE，
∴＝＝＝，∴CE＝x，
∴BC＝BD+DE+CE＝x+x+x＝6，∴x＝，
∴AB＝3x＝．
故選：A．
5．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝3，CD＝4，點E是CD邊上的中點，將△BCE沿BE翻折得△BGE，連接AE，A、G、E在同一直線上，則點G到AB的距離為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，GF⊥AB于點F，
∵點E是CD邊上的中點，∴CE＝DE＝2，
由折疊可知：∠BGE＝∠C，BC＝BG＝3，CE＝GE＝2，
∵在 ABCD中，BC＝AD＝3，BC∥AD，∴∠D+∠C＝180°，
∵∠BGE+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝∠D，∴BG＝AD，
∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠AED，∴△ABG≌△EAD（AAS），∴AG＝DE＝2，∴AB＝AE＝AG+GE＝4，
∵GF⊥AB于點F，∴∠AFG＝∠BFG＝90°，
在Rt△AFG和△BFG中，根據勾股定理，得
AG2﹣AF2＝BG2﹣BF2，即22﹣AF2＝32﹣（4﹣AF）2，解得AF＝，
∴GF2＝AG2﹣AF2＝4﹣＝，
∴GF＝．
故選：B．
6．如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點P在AB上，AP＝1．將矩形ABCD沿CP折疊，點B落在點B'處．B'P、B′C分別與AD交于點E、F，則EF＝（ ）．
A．3 B． C． D．
【解答】解：過P作PG⊥CD于G，交CB′于H，則四邊形ADGP和四邊形PBCG是矩形，
∴AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1，∴CG＝PB＝4，
∵將矩形ABCD沿CP折疊，點B落在點B'處，∴∠BCP＝∠PCH，
∵PG∥BC，∴∠HPC＝∠PCB，∴∠HPC＝∠PCH，∴HP＝CH，
設HG＝x，則CH＝PH＝8﹣x，∵HG2+CG2＝CH2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CH＝PH＝5，
∵HG∥DF，∴△CHG∽△CFD，∴＝＝，∴＝＝，
∴CF＝，DF＝，∴B′F＝，
∵∠B′＝∠D＝90°，∠EFB′＝∠DFC，
∴△B′EF∽△DCF，∴＝，∴＝，∴EF＝．
故答案為：B．
模塊二：圖形變換——旋轉
例3．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝，則CD的長為（　　）
A．4 B．2 C．5 D．
【解答】解：如圖，把△ABC繞點A逆時針旋轉90度，得到△ADE，連接CE，過點E作EF⊥CD延長線于點F，
根據旋轉可知：AE＝AC＝，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
根據四邊形ABCD的內角和＝360°，∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，
∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，∴∠ABC+∠ADC＝240°，∴∠ADE+∠ADC＝240°，
∴∠CDE＝120°，∴∠EDF＝60°，
在Rt△EDF中，DE＝2，∴DF＝1，EF＝，在Rt△AEC中，CE＝AC＝2
∴CF＝＝＝5，∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4．
故選：A．
小結：1、共頂點等線段可以構造旋轉型全等三角形解決問題。
三角形中，已知兩邊和一個特殊角，求第三邊：可通過作垂線構造特殊直角三角形解決問題。
例4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是對角線AC上的動點，連接DP，將直線DP繞點P順時針旋轉使∠DPG＝∠DAC，且過D作DG⊥PG，連接CG，則CG最小值為( )．
A． B． C． D．
【解答】方法一：尋找G點運動軌跡。
解：如圖，作DH⊥AC于H，連接HG延長HG交CD于F，作HE⊥CD于E．
∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，
∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，
∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，
∴點G在射線HF上運動，
∴當CG⊥HF時，CG的值最小，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1.5，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC＝＝5，DH＝，
∴CH＝＝，∴EH＝＝，
∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，
∴CG的最小值為，
故答案為．選A
方法二：轉化CG邊。
如圖，連接BD，BP，∴△BDC∽△PDG，同理可證△BDP∽△CDG，且相似比為5:3，∴ ，
當時，BP取最小值，為 ，∴CG的最小值為。
小結：未知運動軌跡的動點線段求最值問題：1、通過相似或全等轉化為已知運動軌跡的動點線段的最值問題，一般是構造旋轉圖形。2、求出該動點的軌跡，結合圖象進行分析。
練習2
1．若點D為等邊△ABC內一點，且DA＝4，DB＝3，DC＝5，則此等邊三角形ABC的面積為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：將△ABD繞點B順時針旋轉60°得△CBE，連接DE，過C作CF⊥BE交BE延長線于F，如圖：
由旋轉性質可知：BD＝BE＝3，∠DBE＝60°，AD＝CE＝4，
∴△BDE是等邊三角形，
∴∠BED＝60°，DE＝BD＝3，
在△CDE中，DE＝3，CE＝4，CD＝5，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝∠BED+∠DEC＝150°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝2，EF＝CF＝2，
在Rt△BCF中，BC2＝CF2+BF2，
∴BC2＝22+（3+2）2＝25+12，
∵等邊△ABC面積是BC2，
∴等邊△ABC面積為×（25+12）＝+9，
故選：A．
2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tanB＝，將△ABC繞點C順時針旋轉至△A'B'C的位置，且點B′在AB上，A′B′交AC于點D，則△A′DC的面積為（　　）
A． B． C． D．4
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tanB＝，
設BC＝2x，AC＝7x，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（2x）2+（7x）2＝（）2，
∴x＝1（負值舍去）．
∴BC＝2，AC＝7．
由旋轉的性質可知，BC＝B′C，∠BCB′＝∠ACA′，∠A＝∠A′，A′C＝AC＝7．
∴tan∠A＝tan∠A′＝．
過點B′作B′F⊥BC于點F，過點C作CE⊥BB′于點E，過點D作DG⊥A′C于點G，
∴BE＝B′E，
∵tanB＝＝，BC＝2，
∴BE＝，CE＝，
∴BB′＝．
對于△BCB′，BB′ CE＝B′F BC，
∴××＝×B′F×2，
解得B′F＝，
由勾股定理可知，CF＝．
∴tan∠B′CF＝＝，
∴tan∠A′CD＝＝，
設DG＝2m，
∴A′G＝7m，CG＝m，
∴7m+m＝7，解得m＝．
∴△A′DC的面積＝ A′C DG＝ 2m 7＝7m＝．
故選：B．
3．如圖，如圖，將矩形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉一定角度后，BC的對應邊B′C交CD邊于點G，如果當AB′＝B′G時量得AD＝7，CG＝4，連接BB′、CC′，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如圖，連接AC，AG，AC'，
由旋轉可得，AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴＝，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴＝，
∵AB'＝B'G，∠AB'G＝∠ABC＝90°，
∴△AB'G是等腰直角三角形，
∴AG＝AB'，
設AB＝AB'＝x，則AG＝x，DG＝x﹣4，
∵Rt△ADG中，AD2+DG2＝AG2，
∴72+（x﹣4）2＝（x）2，
解得x1＝5，x2＝﹣13（舍去），
∴AB＝5，
∴Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∴＝＝，
故答案為：．選A
4．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點，D是直線BC上一動點，線段ED繞點E逆時針旋轉90°，得到線段EF，當點D運動時，則AF的最小值為（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如圖，設DM＝x，
在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，
而EM+x＝2，
∴EM＝﹣x+2，
∵線段ED繞點E逆時針旋轉90°，得到線段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，
易得△EDM≌△FEN，
當D在BC上時，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（﹣x+2）2+（2+x）2＝（x+）2+4+2，
此時AF2沒有最小值，
當D在BC的延長線上時，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2＝（x﹣）2+4+2，
當x＝時，AF2有最小值4+2，
∴AF的最小值為＝+1．
解法二：過點A作AJ⊥BC于J，過點F作FG⊥BC交BC的延長線于G，過點E作EM⊥BC于M，EN⊥FG于N，過點A作AH⊥FG于H．
證明△EMD≌△ENF，推出EN＝EM＝，推出點F的運動軌跡是直線FG，
當AF⊥FG時，AF的值最小，最小值＝AH＝JG＝1+．
故選：D．
5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點H為BC中點，點E繞著點C旋轉，且CE＝4，在DC的右側作正方形DEFG，則線段FH的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：延長BC至M，使CM＝BC＝6，連接DM、FM、DF，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，CM＝BC，
∴CD＝CM，∠DCM＝90°，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴∠CDM＝45°，DM＝CD，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DF＝DE，∠EDF＝45°，
∴∠CDE＝∠FDM，＝＝，
∴△DEC∽△DFM，
∴＝＝，
∵CE＝4，
∴FM＝4，
∴F的軌跡是以M為圓心，以4為半徑的⊙M，
∴線段FH最小時，F為⊙M與線段BC的交點，如圖：
此時HM＝HC+CM＝3+6＝9，FM＝4，
∴FH＝9﹣4，
故選：A．
6．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點D是AB邊的中點，點E是BC邊上的一個動點，以DE為邊作等邊三角形DEF，連接AF，則AF的最小值為（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系，過A作AH⊥BC于H，過F作FM⊥BC于M，過E作EN⊥AB于N，如圖：
∵等邊三角形ABC的邊長為4，點D是AB邊的中點，
∴∠NBE＝60°，BD＝AB＝2，BH＝2，AH＝2，
∴A（2，2），H（2，0），
設BE＝m，則BN＝m，NE＝m，DN＝2﹣m，
∵△ABC、△DEF是等邊三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°＝∠DBE，
∴∠FEM+∠DEB＝120°＝∠DEB+∠BDE，
∴∠FEM＝∠BDE，
又∠END＝∠FME＝90°，
∴△DEN≌△EFM（AAS），
∴DN＝EM＝2﹣m，NE＝FM＝m，
∴BM＝BE+EM＝m+2﹣m＝2+m，
∴F（2+m，m），
令x＝2+m，y＝m，消去m可得y＝x﹣2，
即F點在直線y＝x﹣2上運動，
而直線y＝x﹣2與x軸交點為（2，0），即直線y＝x﹣2與x軸交點為H，
∴HM＝BM﹣BH＝m，
∴tan∠FHM＝＝＝，
∴∠FHM＝60°，
∴∠AHF＝30°，
過A作AK⊥直線HF與K，則AF的最小值即為AK，
在Rt△AHK中，AK＝AH＝×2＝，
∴AF的最小值為，
故選：B．
模塊三：二次函數中的多結論問題
常規(guī)的二次函數的多結論問題，大部分結論的特征比較明顯，比較容易判斷。當判斷某個系數取值范圍時，考查的是對稱軸和特殊點，以下舉例說明這種情況如何求解。
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），頂點坐標為（1，m），與y軸的交點在（0，﹣4），（0，﹣3）之間（包含端點），則結論1≤a≤是否正確？
以下兩道例題是含有參數的二次函數多結論問題。
例5．如圖，函數y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0）和（m，0），請思考下列判斷：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝其中，正確結論的個數是（　　）個．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵拋物線交y軸于正半軸，∴c＞0，
∵﹣＞0，∴b＞0，
∴abc＜0，故①正確，
∵x＝﹣2時，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正確，
∵y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0）和（m，0），∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，∴＝1﹣，故③正確，
∵﹣1+m＝﹣，∴﹣a+am＝﹣b，∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，故④正確，
∵m+1＝|﹣|，∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正確，
故選：B．
例6．已知二次函數y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2的圖象與x軸有兩個交點（x1，0），（x2，0），下列說法中：①m≠﹣1；②該函數圖象過定點（1，﹣1）；③若該函數圖象開口向下，則m的取值范圍為﹣2＜m＜﹣1；④當m＞0，且﹣2≤x≤﹣1時，y的最大值為：9m+3；⑤當m＞﹣1，且該函數圖象與x軸兩交點的橫坐標x1，x2滿足﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2時，m的取值范圍為：﹣＜m＜．正確的是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：①函數為二次函數，故m+1≠0，故m≠﹣1，正確；
②當x＝1時，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝﹣1，正確；
③該函數圖象開口向下，且與x軸有兩個交點，故m+1＜0，△＝（﹣2m）2﹣4（m+1）（m﹣2）＞0，解得：﹣2＜m＜﹣1，故③正確；
④函數的對稱軸為﹣＝，當m＞0時，﹣＞0，故函數在x＝﹣2時，取得最大值，當x＝﹣2時，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝9m+2，故④錯誤；
⑤由﹣2＜x1＜﹣1知，當x＝﹣2和x＝﹣1函數值異號，當x＝﹣2時，y＝9m+2，當x＝﹣1時，y＝4m﹣1，故（9m+2）（4m﹣1）＜0，故m的取值范圍為：﹣＜m＜，正確．
故選：B．解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/5/17 12:21:32；用戶：林翠鳳；郵箱：luohu83@；學號：31689425
練習3
1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，且過點（，0），有下列結論：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正確的結論是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①觀察圖象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①正確；
②當x＝時，y＝0，即a+b+c＝0，∴a+2b+4c＝0，∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，所以②正確；
③因為對稱軸x＝﹣1，拋物線與x軸的交點（，0），所以與x軸的另一個交點為（﹣，0），
當x＝﹣時，a﹣b+c＝0，∴25a﹣10b+4c＝0．所以③正確；
④當x＝時，a+2b+4c＝0，又對稱軸：﹣＝﹣1，∴b＝2a，a＝b，b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，∴3b+2c＜0．所以④錯誤．
或者∵當x＝1時，a+b+c＜0，∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，∴a＝b，∴c＜﹣b，∴2c＜﹣3b，∴2c+3b＜0，∴結論④錯誤
故選：C．
2．如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結論：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1沒有實數根．其中正確的結論個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：∵拋物線頂點坐標為（1，n），∴拋物線對稱軸為直線x＝1，
∵圖象與x軸的一個交點在（3，0），（4，0）之間，
∴圖象與x軸另一交點在（﹣1，0），（﹣2，0）之間，
∴x＝﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正確，符合題意．
∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1時，y＝3a+c＞0，故②正確，符合題意．
∵拋物線頂點坐標為（1，n），∴ax2+bx+c＝n有兩個相等實數根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正確，符合題意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函數值為y＝n，∴ax2+bx+c＝n+1沒有實數根，故④正確，符合題意．
故選：D．
3．二次函數y＝ax2+bx+c大致圖象如圖所示，其中頂點為（﹣2，﹣9a）下列結論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有兩根為x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為﹣8，其中正確的結論是（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵頂點為（﹣2，﹣9a），設二次函數表達式為：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①拋物線對稱軸在y軸左側，則ab同號，而c＜0，則abc＜0，故①正確；
②函數在y軸右側與x軸的交點（1，0），當x＝2時，y＝4a+2b+c＞0，故②正確；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故③錯誤；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相當于由原拋物線y＝ax2+bx+c向上平移了1個單位，故有兩個根x1和x2，且x1＜x2，則﹣5＜x1＜x2＜1，④正確；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，當ax2+bx+c﹣1＝0時，
根據一元二次方程根與系數的關系得：其兩個根的和為＝﹣4，
同理當ax2+bx+c+1＝0時，其兩個根的和也為＝﹣4，則這四個根的和為﹣8，故⑤正確．
故選：D．
4．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a＜0）經過點（﹣2，0），其對稱軸為直線x＝1，有下列結論：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；④拋物線與直線y＝x交于P、Q兩點，若PQ＝，則a＝﹣1；
其中，正確結論的個數是（　　）個．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵a＜0，∴拋物線y＝ax2+bx+c的開口方向向下．
∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣2，0），其對稱軸為直線x＝1，
∴由拋物線的對稱性可得拋物線經過點（4，0）．
綜上拋物線y＝ax2+bx+c的大致圖象如下：
由圖象可知：拋物線與y軸交于正半軸（0，c），∴c＞0．∴①的結論正確；
由圖象可知：當﹣2＜x＜4時，函數值y＞0，∴當x＝3時，y＝9a+3b+c＞0．∴②的結論正確．
作直線y＝﹣1，交拋物線于兩點，它們的橫坐標分別為x1，x2，如圖，
則x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的兩根，即方程ax2+bx+c+1＝0的解為x1、x2，
由圖象可知：滿足x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4，∴③的結論正確；
如圖，分別過點P，Q作坐標軸的平行線，它們交于點H，
則△PHQ為等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ＝HQ．∴．∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
設點P，Q的橫坐標分別為m，n，∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的兩根，
∴m+n＝，mn＝．
∴HQ＝|m﹣n|＝＝．
∵拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣2，0），其對稱軸為直線x＝1，
∴．∴．∴HQ＝．∵PQ＝，
∴ ＝．解得：a＝﹣1或．∴④的結論不正確；
綜上所述，正確結論有：①②③，
故選：B．
5．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸負半軸交于（﹣，0），對稱軸為直線x＝1．有以下結論：①abc＞0；②3a+c＞0；③若點（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函數圖象上，則y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的兩根為x1，x2且x1＜x2，則x1＜﹣＜＜x2；⑤點M，N是拋物線與x軸的兩個交點，若在x軸下方的拋物線上存在一點P，使得PM⊥PN，則a的范圍為a≥﹣4．其中結論正確的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【解答】解：∵對稱軸為直線x＝1，函數圖象與x軸負半軸交于（﹣，0），
∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，由圖象可知a＞0，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正確；
由圖可知，當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正確；
拋物線開口向上，離對稱軸水平距離越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，∴y1＞y2＞y3；故③錯誤；
由拋物線對稱性可知，拋物線與x軸另一個交點為（，0），
∴拋物線解析式為：y＝a（x+）（x﹣），
令a（x+）（x﹣）＝，則a（2x+1）（2x﹣5）＝1，如圖，作y＝，
由圖形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正確；
由題意可知：M，N到對稱軸的距離為，
當拋物線的頂點到x軸的距離不小于時，
在x軸下方的拋物線上存在點P，使得PM⊥PN，即≤﹣，
∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，∴c＝﹣a，b＝﹣2a，
∴≤﹣，解得：a≥，故⑤錯誤；
故選：B．
6．二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝，以下五個結論中：①abc＜0：②a﹣＝0；③b2﹣4ac＞0；④a+c﹣b＞0；⑤b＜c；正確的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【解答】解：由拋物線開口向下，因此a＜0，對稱軸在y軸的右側，因此a、b異號，a＜0，則b＞0，拋物線與y軸交在正半軸，因此c＞0，于是abc＜0，因此①是正確的；
由對稱軸為x＝，即﹣＝，化簡得，4a＝﹣3b，或4a+3b＝0，即a+b＝0，故②不正確；
拋物線與x軸有兩個不同的交點，因此b2﹣4ac＞0；故③是正確的；
拋物線過（﹣1，a﹣b+c），通過圖象可知，當x＝﹣1時，相應的y的值為負數，即a﹣b+c＜0，故④不正確；
由圖象可知當x＝2時，y＝4a+2b+c＞0，而4a＝﹣3b，∴﹣3b+2b+c＞0，即c＞b，故⑤是正確的；
綜上所述，正確的結論有①③⑤，共3個，
故選：B．

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