資源簡介

第五講 中考壓軸題難點突破 1
模塊一
典例精講答案：
例題 1. 已知：如圖，拋物線 y＝x2+4x+3 交 x 軸于 E、F
兩點，交 y 軸于 A 點，若 Q 為拋物線上一點，連接 QE，
QA，設點 Q 的橫坐標為 t（t＜﹣3），△QAE 的面積為
S，求 S 與 t 函數關系式；
【解答】解: 易得 A（0，3），E（-3，0），AE: y＝x+3．
作 QH//AE， 交 y 軸于點 H，
S S AEQ AEH
設 Q（t，t2+4t+3），設 HQ：y＝x+b
把 Q 點坐標代入 y＝x+b
2
可得 HQ: y=x t 3t 3
2 2
∴H（0 ， t 3t 3）， AH= t 3t ，
1
S AEQ S AEH AH OE
2
1
(t 2
3 9
3t) 3 t 2 t
2 2 2
第 1 頁（共 21 頁）
例題 2. 如圖，拋物線 y＝﹣x2+2x+3 交 x 軸于點 A，B，交 y 軸正半軸于點 C，連接 BC．如
圖，過點 A 作 AD∥BC，交拋物線于點 D，點 P 為直線 BC 上方拋物線
上任意一點，連接 DP，與 BC 交于點 E，連接 AE，AP，當△APE 面積
最大時，求點 P 的坐標及△APE 面積的最大值；
【解答】
解法 1：解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
作∵PQ∥AD，交 x 軸于點 Q
∴S△DAP＝S△QAD，S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△QAD﹣S△BAD= S△QBD，
設點 P（m，﹣m2+2m+3），
∵PQ∥AD
∴直線 PQ 的表達式為：y＝﹣x ﹣m2+3m+3，
∴Q（﹣m2+3m+3，0）
S△QBD= QB |yD|
5
= （﹣m2+3m+3）
2
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
故 S△APE 有最大值為 ，此時，點 P（ ， ）；
第 2 頁（共 21 頁）
解法 2： 解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
過點 D 作 DF∥AP 交 x 軸于點 F，連接 PF，
∵DF∥AP， ∴S△DAP＝S△FAP，
∵BC∥AD，∴S△EAD＝S△BAD，
∴S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△FAP﹣S△BAD，
設點 P（m，﹣m2+2m+3），
直線 AP 的表達式為：y＝（3﹣m）（x+1），
∵DF∥AP，則直線 FD 的表達式為：y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，
令 y＝（3﹣m）（x﹣4）﹣5，則 x＝ ，則 AF＝5+ ，
則 S△APE＝S△FAP﹣S△BAD＝ FA yP﹣ AB |yD|
＝ （5+ ）×（﹣m2+2m+3）﹣ 4×5
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
故 S△APE 有最大值為 ，此時，點 P（ ， ）；
解法 3：解：易得 A（-1,0），B（3, 0）D（4, -5）
設 P（t，﹣t 2+2 t +3），
直線 AD 的表達式為：y＝-x﹣1
∴Q（t，﹣t -1） ∴PQ=﹣t 2+3 t +4
S△APE＝S△DAP﹣S△EAD＝S△DAP﹣S△BAD
＝ PQ ( xD xA )﹣ AB |yD|
＝ 5×（﹣t 2+3 t +4）﹣ 4×5
＝﹣ （m﹣ ）2+ ≤ ，
故 S△APE 有最大值為 ，此時，點 P（ ， ）；
第 3 頁（共 21 頁）
跟進練習答案：
1. 如圖，已知二次函數 y＝﹣ x2+ x+4 的圖象與 y 軸交于點 A（0，4）．與 x 軸交于點
B，C，點 C 坐標為（8，0），連接 AB、AC．若點 N 在線段 BC 上運動（不與點 B，C 重
合），過點 N 作 NM∥AC，交 AB 于點 M，當△AMN 面積最大時，求此時點 N 的坐標；
【解答】
解法 1：解：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
設 NC=m，連接 MC，作MH BC
∵ MNB∽ ACB
MH BN
∴
AO BC
MH 10 m
∴
4 10
2(10 m)
∴MH
5
∵NM∥AC
1
∴S△AMN＝S△CMN= NC MH
2
1 2(10 m) m(10 m)
= m
2 5 5
∴當 m＝5 時，△AMN 面積最大是 5，此時 N 點坐標為（3，0）
解法 2：解：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
設 N（m，0），連接 MC，作MH BC
1
∵ AC : y x 4
2
AB : y 2x 4
1 1
∴MN : y x m
2 2
第 4 頁（共 21 頁）
y 2x 4

1 1
聯立方程組：
y x m
2 2
2(10 m)
可得MH
5
∵NM∥AC
1 1 2(10 m) m(10 m)
∴S△AMN＝S△CMN= NC MH = m
2 2 5 5
∴當 m＝5 時，△AMN 面積最大是 5，此時 N 點坐標為（3，0）
2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y＝ x2+x﹣ 與 x 軸交于 A、B，與 y 軸交于點 C，
點 D（2，n）在拋物線上．過 B 作 BE∥AD 交拋物線于點 E，P 為直線 BE 下方拋物線上一
點，連接 PD 交直線 BE 于點 F，連接 AE、AF，求四邊形 AEPF 的面積最大值，并求出此
時點 P 的坐標．
【解答】解：易得 A（﹣3，0），B（1，0）
∵D 點在拋物線上，∴n＝ ， ∴D（2， ），
∴y＝ x+ ，
∵BE∥AD，∴ S AEF S DEF
∴ S S
四邊形AEPF PEF
S DEF S PED
∴直線 BE 的解析式為 y＝ x﹣ ，
令 x2+x﹣ ＝ x﹣ ，解得 x＝1 或 x＝﹣2，
∴E（﹣2，﹣ ），
作 PH x軸，交DE于點H ，設 P（t， t2+t﹣ ），
第 5 頁（共 21 頁）
∴DE：y＝x+
∴H （t， t+ ）
1 1 2 3 1
∴ PH (t+ ) ( t t ) t
2 2
2 2 2 2
S S PEF S 四邊形AEPF DEF S PED
1 1 1
(xD xE ) PH 4 ( t
2 2) t 2 4
2 2 2
∴當 t＝0 時，四邊形 AEPF 的面積最大，最大值為 4，此時 P（0，﹣ ）；
模塊二
典例精講答案：
1 2
例題 1. 如圖，在平面直角坐標系內拋物線 y= x x 4與 x 軸交于點 A，點 B，與 y 軸交
2
于點 C．過點 A 的直線 y＝x+2 與拋物線交于點 E．點 P 為第四象限內拋物線上的一個動
點．在點 P 的運動過程中，是否存在點 P 使得△AEP 的面積最大，若存在，請求出點 P
的坐標．
【解答】解：存在點 P 使得△AEP 的面積最大，理由如下：
聯立方程組 ，解得 或 ，∴E（6，8），
在直線 AE 的下方作 MN//AE，
當 MN 與拋物線有唯一交點 P 時，此時△AEP 的面積最大，P
為所求的點
設 MN： y=x b
第 6 頁（共 21 頁）
y x b

聯立方程組 1
y x2 x 4
2
1 2
可得 x 2x 4 b 0
2
1
4 4 ( 4 b) 0 解得b 6
2
y x 6

聯立方程組 1
y x2 3x 8
2
可得 P（2，﹣4）．此時 S△APE＝32，
例題 2. 如圖，拋物線 y＝﹣ x2+3x+8 與 x 軸交于點 A、B 點，與 y 軸交于點 C 點，P 是拋物
S 3
線上第一象限上的動點，連接 PB，PC，當 PBC 時，求點 P 的坐標．
S ABC 5
【解答】
解：易得 A（-2，0），B（8，0）， C（0，8）
作 AD//BC，交 y 軸于 D，
易求 BC：y＝﹣x+8
AD：y＝﹣x-2，
∴CD=10，
在 C 點上方截取 CE=6，過 E 作 EP//BC,交拋物線于點 P，
則 P 為所求的點
PQ：y＝﹣x+14，
第 7 頁（共 21 頁）
y x 14

聯立方程組， 1 2
y x 3x 8
2
可得點 P 的坐標為（2，12）或 P（6，8）
跟進練習答案：
2
1．如圖，已知拋物線 y x 2x 3與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C．點 P 是第四
象限內拋物線上的一個動點，當四邊形 ABPC 的面積最大時，求點 P 的坐標．
【解答】解：A（﹣2，0），B（4，0）C（0，-4）
連接 BC，過點 P 作 MN∥BC，當 MN 與拋物線有唯一交點 P 時，△PBC 的面積最大，此
時四邊形 ABPC 的面積＝S△ABC+S△PBC 取得最大面積，P 為所求的點。
由點 B、C 的坐標得，直線 BC 的表達式為：y＝x﹣3，
設 MN： y x b
y x b
聯立方程組
y x2 2x 3
可得 x
2 3x 3 b 0
9 4 ( 3 b) 0
21
解得b
4
21
y x 3 15
聯立方程組 4 可得P（ ，- ）．
2 2 4
y x 2x 3
則四邊形 ABPC 的面積＝S△ABC+S△PBC=6
第 8 頁（共 21 頁）
3 15
故當P（ ，- ），四邊形 ABPC 的面積最大.
2 4
2．如圖，拋物線 y x2 2x 3的頂點坐標為點 C（1，4），交 x 軸于點 A（3，0），交
9
y 軸于點 B（0，3）. 拋物線上第一象限內是否存在一動點 P，使 S△PAB＝ △CAB ，若存在，
8
求出 P 點的坐標；若不存在，請說明理由。
【解答】解：易得 AB：y＝﹣x+3
作 CD//AB，交 y 軸于 D，可得 CD：y＝﹣x+5
9
∴BD=2，在 B 點上方截取 BG= ，
4
過 G 作 GH//AB，交拋物線于點 P1， P2 ，
則 P1，P2 ,即為所求的點
21
GH：y＝﹣x+ ，
4
21
y x
聯立方程組， 4

y x
2 2x 3
3 15
可得點 P 的坐標為 P（ ， ）
2 4
第 9 頁（共 21 頁）
3．如圖，拋物線 y＝﹣x2+2x+3 經過 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸
與拋物線相交于點 P、與 BC 相交于點 E，連接 PB．拋物線上是否存在一點 Q，使△QPB
與△EPB 的面積相等，若存在，請求出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由．
【解答】解：存在，理由：
由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
則頂點 P（1，4），對稱軸為直線 x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線 BC 解析式為 y＝﹣x+3，
∴點 E（1，2），
如圖，過點 E 作 EQ∥BC，交拋物線于 Q，此時△QPB 與△PEB 的面積相等，
由點 P、B 的坐標得，直線 PB 的表達式為：y＝﹣2（x﹣3），
則直線 QE 的表達式為：y＝﹣2（x﹣1）+2②，
聯立①②并整理得：x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2 ，
則點 Q 的坐標為（2﹣ ，2 ）或（2+ ，﹣2 ）；
對于直線 QE，設 QE 交 x 軸于點 R，
令 y＝﹣2（x﹣1）+2＝0，
解得：x＝2，即點 R（2，0），
則 BR＝3﹣2＝1，
取點 R′使 BR＝BR′，過點 R′作 PB 的平行線 l，如上圖，則點 R′（4，0），
則直線 l 的表達式為：y＝﹣2（x﹣4），
聯立 y＝﹣x2+2x+3 和 y＝﹣2（x﹣4）得：x2﹣4x+5＝0，
第 10 頁（共 21 頁）
則Δ＝16﹣20＜0，無解，
故在點 B 的右側不存在點 Q，
綜上，點 Q 的坐標為（2﹣ ，2 ）或（2+ ，﹣2 ）；
4．如圖所示拋物線 y＝ （x﹣3）2﹣6；與 x 軸交于 O，A 兩點，OA＝6，點 P 在拋物線上，
過點 P 的直線 y＝x+m 與拋物線的對稱軸交于點 Q．當△POQ 與△PAQ 的面積之比為 1：
3 時，求 m 的值．
【解答】解：設 PQ 與 y 軸交于點 H，作 OM//PQ，
作 AG//PQ,交 y 軸于點 G
易得 AG：y＝x-6 ，OM：y＝x
∴OG=6，OH m
∵△POQ 與△PAQ 的面積之比為 1：3，
OH m 1
如圖 1，
HG m 6 3
解得 m＝3
OH m 1
如圖 2，
HG 6 m 3
解得 m＝﹣ ∴m＝﹣ 或 m＝3．
第 11 頁（共 21 頁）
模塊三
典例精講答案：
例題 1．如圖，拋物線 y＝x2﹣4x 與 x 軸相交于另一點 A．在第一象限內與直線 y＝x 交于點
B，點 E 是點 B 關于拋物線對稱軸的對稱點，點 F 是直線 OB 下方的拋物線上的動點，EF
與直線 OB 交于點 G．設△BFG 和△BEG 的面積分別為 S1 和 S2，求 的最大值．
【解答】
解：如圖 2，過點 F 作 FW∥x 軸交直線 OB 于點 W，
設 F（t，t2﹣4t），則 W 的縱坐標為 t2﹣4t，
∵直線 OB 的解析式為 y＝x，
∴W（t2﹣4t，t2﹣4t），
∴WF＝t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t，
∵易得 B（5，5），點 E、B 關于拋物線對稱軸直線 x＝2 對稱，
∴BE∥x 軸，BE＝6，
∴BE∥WF，
∴△WFG∽△BEG，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ＝ ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴當 t＝ 時， 的最大值為 ．
第 12 頁（共 21 頁）
例題 2. 已知拋物線 y＝﹣x2+2x+3 經過 A、B 兩點．P 是拋物線上一點，且在直線 BC 的
上方．連結 AC、AP，AP 交 BC 于點 M，作 PH∥AC 交 BC 于點 H．記△PHM，△PMC，
△CAM 的面積分別為 S1，S2，S3．判斷 是否存在最大值．若存在，求出最大值；
若不存在，請說明理由．
【解答】
解法 1 解： 存在最大值，理由如下：
易得 A（﹣1，0），B（3，0）
作 AR∥y 軸交 BC 于 R，過 P 作作 PQ⊥BC 交 BC 于 Q，
由直線 BC 解析式為 y＝﹣x+3， A（﹣1，0），
∴R（﹣1，4），
∴AR＝4
設 P（t，﹣t2+2t+3），
則 Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵PH∥AC，易證△PMH∽△AMC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ， ，
∴ ，
第 13 頁（共 21 頁）
∵AR∥PQ，AC∥PH，
可得△ACR∽△PHQ，
PH PQ
∴ ＝ ，
AC AR
S S 2PH
∴ 1 2 ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
S2 S3 AC
∴當 t＝ 時， + 取最大值，最大值為 ．
解法 2 解： 存在最大值，理由如下：
易得 A（﹣1，0），B（3，0）
作 AR∥BC 交 y 軸于 R，過 P 作作 PQ⊥BC 交 BC 于 Q，
由直線 BC 解析式為 y＝﹣x+3，易得直線 AR 解析式為 y＝﹣x﹣1，
令 x＝0 得 y＝﹣1，∴R（0，﹣1），
∵C（0，3），∴CR＝4，
設 P（t，﹣t2+2t+3），則 Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∵PH∥AC，易證△PMH∽△AMC，∴ ＝ ＝ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵AR∥BC，PH∥AC， PQ∥CR，
可得△ACR∽△HPQ，
PH PQ
∴ ＝ ，
AC CR
S S 2PH
∴ 1 2 ＝ ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
S2 S3 AC
∴當 t＝ 時， + 取最大值，最大值為 ．
第 14 頁（共 21 頁）
跟進練習答案：
1. 拋物線 y＝﹣ ，與 x 軸分別交于 A，B 兩點（點 A 在點 B 的左側），與 y 軸
交于點 C（0，3），拋物線對稱軸為 x＝1，點 P 是第一象限拋物線上動點，連接 BC，PB．如
圖 1，連接 PA，交 BC 于點 M，設△ABM 的面積為 S1，△PBM 的面積為 S2，求 的最
小值及此時點 P 的坐標；
【解答】解：如圖,作 PQ∥AB，交 BC 于 Q，
∴△PMQ∽△AMB， ∴ ，
設 P（m，﹣ ），
由﹣ 得，
x＝ ，
∴PQ＝m﹣（ ）＝﹣ +2m，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴ ＝ ＝ ，
∴當 m＝2 時，﹣ 的最大值為 2，
∴ 的最小值為 3，
當 m＝2 時，y＝3， ∴P（2，3）；
第 15 頁（共 21 頁）
2. 拋物線 y＝﹣ x2+ x+3 與 y 軸交于點 C，與 x 軸交于 A、B 兩點（點 A 在點 B 的左側），
其中 A（﹣ ，0），點 D 為直線 BC 上方拋物線上一點，連接 AD、BC 交于點 E，連接
BD，記△BDE 的面積為 S1，△ABE 的面積為 S2，求 的最大值．
【解答】解： 過點 D 作 DG⊥x 軸于點 G，交 BC 于點 F，過點 A 作 AK⊥x 軸交 BC 的延長
線于點 K，
∴△DEF∽△AEK，
∴ ＝ ，
∵C（0，3），B（3 ，0），
∴直線 BC 的解析式為：y＝﹣ x+3；
設點 D 的橫坐標為 t，∴D（t，﹣ t2+ t+3），
∴F（t，﹣ t+3），K（﹣ ，4），
∴AF＝4，DF＝﹣ t2+ t+3﹣（﹣ t+3）＝﹣ t2+ t；
∴ ＝ ＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴當 t＝ 時， 的最大值為 ．
第 16 頁（共 21 頁）
3 2 9
3. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y x x 3與 x 軸交于點 A（4，0），C（﹣
4 4
1，0）與 y 軸交于點 B， 點 Q 為直線 AB 上方拋物線上一點，OQ 交 AB 于點 D，QE∥BO
交 AB 于點 E．記△QDE，△QDB，△BDO 的面積分別為 S1，S2，S3．求 的最大值．
【解答】解：設直線 AB 的解析式為 ．
∵4E∥BO，易證△DQE∽△DOB，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
設 Q 點坐標為 ，則點 E 坐標為
，
∴ ，
∴當 x＝2 時，QE 最大為 3，即 的最大值為 2．
第 17 頁（共 21 頁）
4. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 y x2 6x 5的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點，
與 y 軸交于點 C，其頂點為 P，連接 PA、 AC 、CP，過點 C 作 y 軸的垂線 l．直線 l上
是否存在點 Q，使△PBQ 的面積等于△PAC 的面積的 2 倍？若存在，求出點 Q 的坐標；
若不存在，請說明理由．
【解答】解：設 PC 與 x 軸交于 E 點，PQ 與坐標軸交于 F 點
1
AE PH
S
∵ MNB 2
AE

S 1 PBQ BFBF PH
2
根據解析式，可得 A（1，0）,P（3，4）,C（0，-5） B（5，0）
5
∴PC 解析式為： y=3x 5 可得 E（ ，0）
3
2
∴AE=
3
4 11 19
∴BF= ∴F（ ，0）或 F（ ，0）
3 3 3
6 38
∴PF 解析式為： y=-6x 22或 y=- x
5 5
27 21
當 y=-5 時，可求得 Q（ ，-5）或 F（ ，-5）
6 2
第 18 頁（共 21 頁）
5．如圖 1，二次函數 y＝x2﹣3x﹣4 的圖象與 x 軸交于點 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C，直線
BC 的函數表達式為 y＝x﹣4，直線 x＝1 與 x 軸交于點 D，P 為直線 x＝1 上一動點，連接
PB，將 PB 繞 P 順時針旋轉一定角度得到 PQ．若點 Q 恰好落在拋物線位于第四象限的圖
象上，連接 AQ 交 BC 于點 E，連接 AC，CQ，當△CEQ 與△ACE 的面積之比最大時，求點
P 的坐標；
【解答】解： 如圖 1，作 AM⊥x 軸交直線 BC 于點 M，作 QN⊥x 軸交直線 BC 于點 N，
則 AM∥QN，
∴△QEN∽△AEM，
∴ ＝ ＝ ，
直線 y＝x﹣4，當 x＝﹣1 時，y＝﹣5，
∴M（﹣1，﹣5），
∴AM＝5，
設 Q（m，m2﹣3m﹣4），則 N（m，m﹣4），
∴QN＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m，
∴ ＝ ＝﹣ （m﹣2）2+ ，
∴當 m＝2 時，△CEQ 與△ACE 的面積之比最大，此時 Q（2，﹣6），
設 P（1，n），
由旋轉得 PQ＝PB，
∴（1﹣2）2+（n+6）2＝（4﹣1）2+（0﹣n）2，
解得 n＝﹣ ，∴P（1，﹣ ）．
第 19 頁（共 21 頁）
6．在平面直角坐標系中 xOy 中，二次函數 y＝﹣x2+x+2 的圖象與 x 軸交于點 A、B，與 y 軸
交于點 C．若點 P 是二次函數圖象上位于線段 BC 上方的一個動點．如圖，連接 AC，CP，
AP，AP交 BC于點 E，過點 P作AC的平行線交 BC于點Q，將△PEQ與△PCE的面積比
記為 a，將△PCE 與△ACE 的面積比 記為 b，當 a+ b 有最大值時，求點 P 的坐
標；
【解答】解：）①令 x＝0，則 y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2．
∵A（﹣1，0）、B（2，0），
∴OA＝1，OB＝2，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
過點 P 作 PF⊥x 軸于點 F，交 BC 于點 G，過點 Q 作 QH
⊥PF 于點 H，如圖，
設 P（m，﹣m2+m+2），則 OF＝m，PF＝﹣m2+m+2，
∴BF＝OB﹣OF＝2﹣m，
∵△GFB 為等腰直角三角形，
∴GF＝BF＝2﹣m，
∴PG＝PF﹣GF＝﹣m2+2m．
∵OA＝1，OC＝2，∴AC＝ ＝ ．
∵AC∥PQ，PF∥OC，
第 20 頁（共 21 頁）
∴∠ACO＝∠FPQ．
∵∠OAC＝∠QHP＝90°，
∴△OAC∽△HQP，
∴ ．
設 QH＝n，
∴ ，
∴PH＝2n，PQ＝ n．
∵QH∥OB，
∴∠HQB＝∠OBC＝45°，
∴△QHG 為等腰直角三角形，
∴GH＝QH＝n，
∴PG＝PH+HG＝3n，
∴ ，
∴PQ＝ （﹣m2+2m）．
∵PQ∥AC，∴△PQE∽△ACE，
∴ ．
∵等高的三角形的面積比等于底的比，
∴ ＝a＝ ， ＝b＝ ，
∴a＝b＝ ＝ （﹣m2+2m）＝﹣ + m．
∴a+ b＝（1+ ）a＝﹣（ ）（m﹣1）2+ ，
∵﹣（ ）＜0，
∴當 m＝1 時，a+ b 有最大值，
∴點 P 的坐標（1，1）；
第 21 頁（共 21 頁）第五講 中考壓軸題難點突破 1
《利用平行線解決二次函數中的面積問題》---郭愛玲
一、考點和知識技能梳理：
二次函數中的面積問題常常出現在中考的壓軸題中，是中考壓軸題的難點之一。這類題
型一般綜合性較強，主要考查學生的綜合分析問題、解決問題能力，考察學生數形結合思想，
分類討論思想、轉化思想等。熱點考題是：面積最值問題，用代數式表示面積問題，面積之
間的和、差、比值等問題。常見的解題方法有：1、設關鍵點坐標，利用三角形面積公式解
決問題；2、利用鉛垂高、水平寬解決問題；3、利用割補法解決問題；4、利用三角形相似
解決問題； 5、 利用平行線解決問題等。其中，利用平行線解決二次函數中的面積問題的
方法常?？梢宰龅胶喕瘑栴}，簡便運算的作用。本節課主要學習： 利用平行線解決面積最
值問題；利用平行線轉移三角形面積；利用平行線把面積比轉化為線段比。
二、學習過程：
模塊一
（一）知識鋪墊：任何兩條夾在平行線間的垂線段長度相等；
（1）如圖 1，若直線 a∥b，則有 MN＝PQ
（2）如圖 2，直線 a∥b，則 S△ABC= S△BCD
（二）典例精講：
例題 1. 已知：如圖，拋物線 y＝x2+4x+3 交 x 軸于 E、F 兩點，交 y 軸于 A 點，若 Q 為拋
物線上一點，連接 QE，QA，設點 Q 的橫坐標為 t（t＜﹣3），△QAE 的面積為 S，求 S
與 t 函數關系式；
第 1 頁（共 10 頁）
例題 2. 如圖，拋物線 y＝﹣x2+2x+3 交 x 軸于點 A，B，交 y 軸正半軸于點 C，連接 BC．如
圖，過點 A 作 AD∥BC，交拋物線于點 D，點 P 為直線 BC 上方拋物線上任意一點，連接
DP，與 BC 交于點 E，連接 AE，AP，當△APE 面積最大時，求點 P 的坐標及△APE 面積的
最大值；
（三） 跟進練習：
1. 如圖，已知二次函數 y＝﹣ x2+ x+4 的圖象與 y 軸交于點 A（0，4）．與 x 軸交于點
B，C，點 C 坐標為（8，0），連接 AB、AC．若點 N 在線段 BC 上運動（不與點 B，C 重
合），過點 N 作 NM∥AC，交 AB 于點 M，當△AMN 面積最大時，求此時點 N 的坐標；
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2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y＝ x2+x﹣ 與 x 軸交于 A、B，與 y 軸交于點 C，
點 D（2，n）在拋物線上．過 B 作 BE∥AD 交拋物線于點 E，P 為直線 BE 下方拋物線上一
點，連接 PD 交直線 BE 于點 F，連接 AE、AF，求四邊形 AEPF 的面積最大值，并求出此
時點 P 的坐標．
模塊二
（一）典例精講：
1 2
例題 1. 如圖，在平面直角坐標系內拋物線 y= x x 4與 x 軸交于點 A，點 B，與 y 軸交
2
于點 C．過點 A 的直線 y＝x+2 與拋物線交于點 E．點 P 為第四象限內拋物線上的一個動
點．在點 P 的運動過程中，是否存在點 P 使得△AEP 的面積最大，若存在，請求出點 P
的坐標．
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例題 2. 如圖，拋物線 y＝﹣ x2+3x+8 與 x 軸交于點 A、B 點，與 y 軸交于點 C 點，P 是拋物
S 3
線上第一象限上的動點，連接 PB，PC，當 PBC 時，求點 P 的坐標．
S ABC 5
（二） 跟進練習
2
1．如圖，已知拋物線 y x 2x 3與 x 軸交于 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C．點 P 是第四
象限內拋物線上的一個動點，當四邊形 ABPC 的面積最大時，求點 P 的坐標．
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2．如圖，拋物線 y x2 2x 3的頂點坐標為點 C（1，4），交 x 軸于點 A（3，0），交
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y 軸于點 B（0，3）. 拋物線上第一象限內是否存在一動點 P，使 S△PAB＝ △CAB ，若存在，
8
求出 P 點的坐標；若不存在，請說明理由。
3．如圖，拋物線 y＝﹣x2+2x+3 經過 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸
與拋物線相交于點 P、與 BC 相交于點 E，連接 PB．拋物線上是否存在一點 Q，使△QPB
與△EPB 的面積相等，若存在，請求出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由．
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4．如圖所示拋物線 y＝ （x﹣3）2﹣6；與 x 軸交于 O，A 兩點，OA＝6，點 P 在拋物線上，
過點 P 的直線 y＝x+m 與拋物線的對稱軸交于點 Q．當△POQ 與△PAQ 的面積之比為 1：
3 時，求 m 的值．
模塊三
（一）典例精講：
例題 1．如圖，拋物線 y＝x2﹣4x 與 x 軸相交于另一點 A．在第一象限內與直線 y＝x 交于點
B，點 E 是點 B 關于拋物線對稱軸的對稱點，點 F 是直線 OB 下方的拋物線上的動點，EF
與直線 OB 交于點 G．設△BFG 和△BEG 的面積分別為 S1 和 S2，求 的最大值．
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例題 2. 已知拋物線 y＝﹣x2+2x+3 經過 A、B 兩點．P 是拋物線上一點，且在直線 BC 的
上方．連結 AC、AP，AP 交 BC 于點 M，作 PH∥AC 交 BC 于點 H．記△PHM，△PMC，
△CAM 的面積分別為 S1，S2，S3．判斷 是否存在最大值．若存在，求出最大值；
若不存在，請說明理由．
（二）跟進練習：
1. 拋物線 y＝﹣ ，與 x 軸分別交于 A，B 兩點（點 A 在點 B 的左側），與 y 軸
交于點 C（0，3），拋物線對稱軸為 x＝1，點 P 是第一象限拋物線上動點，連接 BC，PB．如
圖 1，連接 PA，交 BC 于點 M，設△ABM 的面積為 S1，△PBM 的面積為 S2，求 的最
小值及此時點 P 的坐標；
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2. 拋物線 y＝﹣ x2+ x+3 與 y 軸交于點 C，與 x 軸交于 A、B 兩點（點 A 在點 B 的左側），
其中 A（﹣ ，0），點 D 為直線 BC 上方拋物線上一點，連接 AD、BC 交于點 E，連接
BD，記△BDE 的面積為 S1，△ABE 的面積為 S2，求 的最大值．
3 2 9
3. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y x x 3與 x 軸交于點 A（4，0），C（﹣
4 4
1，0）與 y 軸交于點 B， 點 Q 為直線 AB 上方拋物線上一點，OQ 交 AB 于點 D，QE∥BO
交 AB 于點 E．記△QDE，△QDB，△BDO 的面積分別為 S1，S2，S3．求 的最大值．
第 8 頁（共 10 頁）
2
4. 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 y x 6x 5的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點，
與 y 軸交于點 C，其頂點為 P，連接 PA、 AC 、CP，過點 C 作 y 軸的垂線 l．直線 l上
是否存在點 Q，使△PBQ 的面積等于△PAC 的面積的 2 倍？若存在，求出點 Q 的坐標；
若不存在，請說明理由．
5．如圖 1，二次函數 y＝x2﹣3x﹣4 的圖象與 x 軸交于點 A、B 兩點，與 y 軸交于點 C，直線
BC 的函數表達式為 y＝x﹣4，直線 x＝1 與 x 軸交于點 D，P 為直線 x＝1 上一動點，連接
PB，將 PB 繞 P 順時針旋轉一定角度得到 PQ．若點 Q 恰好落在拋物線位于第四象限的圖
象上，連接 AQ 交 BC 于點 E，連接 AC，CQ，當△CEQ 與△ACE 的面積之比最大時，求點
P 的坐標；
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6．在平面直角坐標系中 xOy 中，二次函數 y＝﹣x2+x+2 的圖象與 x 軸交于點 A、B，與 y 軸
交于點 C．若點 P 是二次函數圖象上位于線段 BC 上方的一個動點．如圖，連接 AC，CP，
AP，AP交 BC于點 E，過點 P作AC的平行線交 BC于點Q，將△PEQ與△PCE的面積比
記為 a，將△PCE 與△ACE 的面積比 記為 b，當 a+ b 有最大值時，求點 P 的坐
標；
第 10 頁（共 10 頁）

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