資源簡(jiǎn)介

模塊一：函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（1）(詳解)
模塊一：典例精講
例題1．在﹣4、﹣2，1、2四個(gè)數(shù)中、隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別作為函數(shù)y＝ax2+bx+1中a，b的值，請(qǐng)列表或畫樹狀圖求該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限的概率．
【解答】解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，滿足a＞0，b＜0的結(jié)果數(shù)為4，但a＝1，b＝﹣2時(shí)，Δ＝0；a＝2，b＝﹣2時(shí)，Δ＜0，拋物線不過第四象限，所以滿足該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限的結(jié)果數(shù)為2，
所以該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限的概率．
例題2．已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b的解集；
（3）方程在﹣3≤x≤1范圍內(nèi)只有一個(gè)解，求n的取值范圍；
（4）把二次函數(shù)的圖象左右平移得到拋物線G：，直接寫出當(dāng)拋物線G與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．
（5）把二次函數(shù)的圖象的x軸下方部分沿著x軸翻折到x軸上方，得到新的函數(shù)圖象L，則函數(shù)圖象L的解析式為 ；
（6）將直線AB沿y軸平移n（n≥0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象L恰好有3個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)n的值．
（7）把二次函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L′則其解析式為 ，P為拋物線L′對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA＋PB的值最小時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　　　　　。
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的表達(dá)式即可；
（2）根據(jù)圖象直接得出不等式的解集即可；
（3）求得x＝﹣3時(shí)的函數(shù)值，結(jié)合A、B的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得n的取值；
（4）分三種情況求出m的值，再結(jié)合圖象求m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y（x+2）2﹣2的圖象過點(diǎn)A（1，m），B（﹣2，n），
∴m（1+2）2﹣2，n（﹣2+2）2﹣2＝﹣2；
∴A（1，），B（﹣2，﹣2），
∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象過A點(diǎn)和B點(diǎn)，
∴，解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為yx+1，
描點(diǎn)作圖如下：
（2）由（1）中的圖象可得，
不等式kx+b（x+2）2﹣2的解集為：x＜﹣2或x＞1；
（3）把x＝﹣3代入y（x+2）2﹣2得y
∵A（1，），B（﹣2，﹣2），
由圖象可知，當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)拋物線y（x+2）2﹣2與直線y＝n只有一個(gè)交點(diǎn)，則n的取值范圍是n或n＝﹣2；
（4）①當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，
即（1﹣m）2﹣2，解得m＝4或m＝﹣2，
當(dāng)m＝﹣2時(shí)，拋物線與元二次函數(shù)重合，與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，故舍去，
∴m＝4；
②當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，即（﹣2﹣m）2﹣2＝﹣2，
解得m1＝m2＝﹣2（舍去）；
③當(dāng)與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
令x+1，
整理得：x2﹣（2m+3）+m2﹣6＝0，
則Δ＝[﹣（2m+3）]2﹣4（m2﹣6）＝4m2+12m+9﹣4m2+24＝12m+33＝0，
解得：m，
綜上，m或﹣2＜m≤4．
（5）、（6）、（7）略（看視頻）
模塊一：跟進(jìn)練習(xí)解答：
1．函數(shù)y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）
①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；
④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y＝5有3個(gè)交點(diǎn)．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【解答】解：∵圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），
∴拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正確．
由圖象可得拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交點(diǎn)在x軸下方，
∴c＜0，②錯(cuò)誤．
由拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正確．
設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∵點(diǎn)（1，4）向上平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為（1，5），
∴將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y＝5有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；故選：D．
2．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于m的部分關(guān)于直線x＝m的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y，也可以寫成y＝|x|+1．
（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象．
（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．
（3）已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn) P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時(shí)，均滿足y1≥y2，直接寫出t的取值范圍 　 　．
【解答】解：（1）如圖，即為函數(shù)函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象，
（2）如圖，
對(duì)于y＝x2﹣2x+2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，
∴函數(shù)y＝x2﹣2x+2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
當(dāng)直線y＝﹣x+m經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，5）時(shí)，m＝4；
此時(shí)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線
y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)直線y＝﹣x+m與原拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
則有：﹣x+m＝x2﹣2x+2， 整理得，x2﹣x+2﹣m＝0，
此時(shí)，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，
解得，m，
y＝0時(shí)，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＞0， 綜上，m的值為4或；
（3）根據(jù)題意可知，該拋物線的“鏡面函數(shù)”為：y，
函數(shù)圖象如圖所示：
當(dāng)x2＝4時(shí)，如圖，點(diǎn)Q關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（0，y2），關(guān)于x＝0的對(duì)稱點(diǎn)為Q′′（﹣4，y2），
若 當(dāng)t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時(shí)，均滿足y1≥y2，
則需滿足， 解得﹣3≤t≤3． 故答案為：﹣3≤t≤3．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）此二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 　　 ．
（2）求此二次函數(shù)的關(guān)系式．
（3）當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，求二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）點(diǎn)P為二次函數(shù)y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ∥x軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2m﹣4．已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，且線段PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減小．直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2+bx+2
（﹣3＜x）的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍．
【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+2中，令x＝0得y＝2，
∴二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，故答案為：2；
（2）將A（﹣3，0）和B（1，0）
代入y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為yx2x+2；
（3）∵yx2x+2（x+1）2，
∴拋物線頂點(diǎn)為：（﹣1，），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∵﹣2＜﹣1＜3，且﹣1＜0，
∴當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)yx2x+2在x＝﹣1時(shí)取得最大值，最大值是，
而|﹣2﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，
∴x＝3時(shí)，二次函數(shù)yx2x+2在x＝3時(shí)取得最小值，最小值是﹣8，
∴當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)yx2x+2最大值是，最小值是﹣8，
（4）PQ＝|﹣2m﹣4﹣m|＝|﹣3m﹣4|，
當(dāng)﹣3m﹣4＞0時(shí)，PQ＝﹣3m﹣4，PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減小，
當(dāng)﹣3m﹣4＜0時(shí)，PQ＝3m+4，PQ的長(zhǎng)度隨m增大而增大，
∴﹣3m﹣4＞0滿足題意，解得m，
①P到對(duì)稱軸直線x＝﹣1的距離為﹣1﹣m，當(dāng)PQ＜2（﹣1﹣m）時(shí)，線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)，如圖：
∴﹣3m﹣4＜2（﹣1﹣m），
解得m＞﹣2，∴﹣2＜m，
②如圖：x時(shí)，yx2x+2，
在yx2x+2中，令y得x2x+2，
解得x或x，
∴當(dāng)﹣3＜m時(shí)，線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)，m的范圍是
﹣2＜m或﹣3＜m．
4．如圖，國(guó)家會(huì)展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成．矩形OABC的邊米，OC＝9米，以O(shè)C所在的直線為x軸，以O(shè)A所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）近期需對(duì)大門進(jìn)行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點(diǎn)M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON＝7.5米，點(diǎn)E是OM上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交OM于點(diǎn)F．
①求EF的最大值．
②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大門頂部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍．
【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入拋物線解析式得：
，
解得，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）①將x＝7.5代入中，得y＝3，
∴點(diǎn)，∴設(shè)直線OM的解析式為y＝kx（k≠0），
將點(diǎn)代入得，∴，
∴直線OM的解析式為，
∴，∵，
∴當(dāng)時(shí)，EF有最大值，為；
②∵師傅能刷到的最大垂直高度是米，∴當(dāng)時(shí)，他就不能刷到大門頂部，
令，即，
解得，
又∵EF是關(guān)于m的二次函數(shù)，且圖象開口向下，
∴他不能刷到大門頂部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的范圍是．
模塊二：函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（2）(詳解)
模塊二：典例精講
例題3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線l垂直于y軸．將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）若對(duì)于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）y1＞y2．
理由：當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)解析式是y＝x2，對(duì)稱軸為y軸；
所以圖形G上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x和y，滿足y隨x的增大而減小；
∵x1＜x2，∴y1＞y2．
（2）通過計(jì)算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸x＝m對(duì)稱的兩點(diǎn)，
下面討論當(dāng)m變化時(shí)，y軸于點(diǎn)P，Q的相對(duì)位置：
如圖2，當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)（含點(diǎn)P），經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)相同，y1＝y(tǒng)2，不符題意；
如圖3，當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)（含點(diǎn)Q），點(diǎn)M，N分別和點(diǎn)P，Q重合，y1＝y(tǒng)2，不符題意；
如圖4，當(dāng)y軸在點(diǎn)P，Q之間時(shí)（不含P，Q），經(jīng)翻折后，點(diǎn)N在l下方，點(diǎn)M，P重合，在l上方，y1＞y2，符合題意．
此時(shí)有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2．
綜上所述，m的取值范圍為﹣2＜m＜2．
例題4．已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P（m，n）在直線l上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，﹣3），且開口向下．
①求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線G與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)Q′也在G上時(shí)，求G在x1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）代入y＝kx+b，
∴，解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵點(diǎn)P（m，n）在直線l上，
∴n＝﹣m+7，
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，∴a0，
∴m＜10且m≠0；
②∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，
∴Q點(diǎn)與Q'關(guān)于x＝m對(duì)稱，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
聯(lián)立方程組，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P點(diǎn)和Q點(diǎn)是直線l與拋物線G的交點(diǎn)，
∴m+m2m，∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m，
當(dāng)m＝2時(shí)，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
圖象在x上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）；
當(dāng)m時(shí)，y＝﹣2（x）2，
此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線x，
圖象在﹣2≤x≤﹣1上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，9）；
綜上所述：G在x1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，9）或（2，5）．
模塊二：跟進(jìn)練習(xí)解答：
1．已知拋物線P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），將拋物線P繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線P′，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，在拋物線P′上任取一點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為t，若t≤3，求a的取值范圍是。
【解答】解：設(shè)拋物線P'上任意一點(diǎn)（x，y），
則點(diǎn)（x，y）原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴拋物線P'的解析式為y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
當(dāng)x＝2a時(shí)，y有最大值4a2+3，
∵1≤x≤3，①當(dāng)2a＜1時(shí)，即a，x＝1時(shí)y有最大值，
∴2+4a≤3，∴a，此時(shí)a；
②當(dāng)2a＞3時(shí)，即a，x＝3時(shí)y有最大值，∴﹣6+12a≤3，∴a，此時(shí)a不存在；
③當(dāng)1≤2a≤3時(shí)，即a，x＝2a時(shí)y有最大值，
∴4a2+3≤3∴a＝0，此時(shí)a不存在；綜上所述：0＜a，
2．平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）過點(diǎn)A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．頂點(diǎn)D不在第一象限，線段BC上有一點(diǎn)E，設(shè)△OBE的面積為S1，△OCE的面積為S2，S1＝S2．
（1）用含a的式子表示b；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)：
（3）若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6時(shí)的取值范圍（用含a的式子表示）．
【解答】解：（1）∵拋物線G：y＝ax2+bx+c
（0＜a＜12）過點(diǎn)A（1，c﹣5a），
∴c﹣5a＝a+b+c，∴b＝﹣6a；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊時(shí)，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，
∵B（x1，3），C（x2，3），線段BC上有一點(diǎn)E，
∴S1BE×3BE，S2CE×3CE，
∵S1＝S2．
∴CEBE，∴BE＝CE+1，
∵b＝﹣6a，
∴拋物線G：y＝ax2﹣6ax+c，
∴對(duì)稱軸為x3，∴BC的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，3），
∵BE＝BM+EM，CE＝CM﹣EM，BM＝CM，BE＝CE+1，
∴EM，∴點(diǎn)E（，3）
當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊時(shí)，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，
同理可求點(diǎn)E（，3），
綜上所述：點(diǎn)E（，3）或（，3）；
（3）∵直線DE與拋物線G：y＝ax2﹣6ax+c的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，
∴y＝a（）2﹣6a×（3）+c9a+c，
∴點(diǎn)F（3，9a+c），
∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，∴點(diǎn)D（3，﹣9a+c），
∴直線DF的解析式為：y＝6x﹣18+c﹣9a，
∵點(diǎn)E坐標(biāo)為（，3），
又∵點(diǎn)D（3，﹣9a+c），
∴直線DE解析式為：y＝（6+18a﹣2c）x+7c﹣63a﹣18，
∵直線DE與直線DF是同一直線，
∴6＝6+18a﹣2c，∴c＝9a，
∴拋物線解析式為：y＝ax2﹣6ax+9a，
∵1＜x＜6，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，ymin＝0，當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝9a，
∴0≤y＜9a．
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，其中x1＜x2．
（1）若拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，當(dāng)x1，x2為何值時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝c；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t，若對(duì)于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意y1＝y(tǒng)2＝c，∴x1＝0，
∵對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴M，N關(guān)于x＝1對(duì)稱，∴x2＝2，
∴x1＝0，x2＝2時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝c．
（2）①當(dāng)x1≥t時(shí)，恒成立．
②當(dāng)x1＜x2≤t時(shí)，恒不成立．
③當(dāng)x1＜t．x2＞t時(shí)，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝t，若對(duì)于x1+x2＞3，都有y1＜y2，
當(dāng)x1+x2＝3，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，對(duì)稱軸為直線x，
∴滿足條件的值為：t．
解法二：∵y1＜y2，
∴ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
∴a（x12﹣x22）＜﹣b（x1﹣x2），
∴x1+x22t，
當(dāng)x1+x2＞3時(shí)，都有x1+x2＞2t，
∴2t≤3，
∴t ∴滿足條件的值為：t．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)，例如：點(diǎn)（1，1），，），……都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)的圖象上 　　（填“是”或“否”）存在和諧點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）．
①求a、c的值；
②若1≤x≤m時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣1，最大值為3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）不存在和諧點(diǎn)，理由如下，
函數(shù)的和諧點(diǎn)為（x，x），可得x2＝﹣4，
∵任何數(shù)的平方大于等于0，
∴函數(shù)的圖象上不存在和諧點(diǎn)，
故答案為：否；
（2）①∵點(diǎn)（，）是二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的和諧點(diǎn)，
∴a+15+c，
∴ca，
∵二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一個(gè)根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3，
當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣1，
∵函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1；
當(dāng)3≤m≤5時(shí)，函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1．
模塊三：函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（3）(詳解)
模塊三：典例精講
例題5．【閱讀】
通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長(zhǎng)度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．
【理解】
（1）如圖1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C、D，E是AB的中點(diǎn)，連接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分別求線段CE、CD的長(zhǎng)（用含a、b的代數(shù)式表示）；
②比較大小：CE　 　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系．
【應(yīng)用】
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，橫坐標(biāo)分別為m、n．設(shè)p＝m+n，q，記lpq．
①當(dāng)m＝1，n＝2時(shí)，l＝　 　；當(dāng)m＝3，n＝3時(shí)，l＝　 　；
②通過歸納猜想，可得l的最小值是 　 　．請(qǐng)利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．
【解答】解：（1）①如圖1中，
∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△CDB，∴，
∴CD2＝AD DB，
∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，∴CD，
∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴ECAB（a+b），
②∵CD⊥AB，
∴根據(jù)垂線段最短可知，CD＜CE，即（a+b），
∴a+b＞2，故答案為：＞．
（2）①當(dāng)m＝1，n＝2時(shí)，l；當(dāng)m＝3，n＝3時(shí)，l＝1，故答案為：，1．
②猜想：l的最小值為1．故答案為：1．
理由：如圖2中，過點(diǎn)M作MA⊥x軸于A，ME⊥y軸于E，過點(diǎn)N作NB⊥x軸于B，NF⊥y軸于F，連接MN，取MN的中點(diǎn)J，過點(diǎn)J作JG⊥y軸于G，JC⊥x軸于C，則J（，），
∵當(dāng)m≠n時(shí)，點(diǎn)J在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴矩形JCOG的面積＞1，
當(dāng)m＝n時(shí)，點(diǎn)J落在反比例函數(shù)的圖象上，
矩形JCOG的面積＝1，
∴矩形JCOG的面積≥1，
∴ 1，即l≥1，
∴l(xiāng)的最小值為1．
例題6．學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個(gè)新的點(diǎn)P′，經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P′也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形．
試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)A的坐標(biāo)、角度α的大小來解決相關(guān)問題．
【初步感知】
如圖1，設(shè)A（1，1），α＝90°，點(diǎn)P是一次函數(shù)y＝kx+b圖象上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P1（﹣1，1）．
（1）點(diǎn)P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)P1′的坐標(biāo)為 　 　；
（2）若點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過點(diǎn)P2′（2，1），求原一次函數(shù)的表達(dá)式．
【深入感悟】
如圖2，設(shè)A（0，0），α＝45°，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P′作二、四象限角平分線的垂線，垂足為M，求△OMP′的面積．
圖1 圖2
【解答】解：【初步感知】
（1）如圖1，∵P1（﹣1，1），A（1，1），∴P1A∥x軸，P1A＝2，由旋轉(zhuǎn)可得：P1′A∥y軸，P1′A＝2，
∴P1′（1，3）；故答案為：（1，3）；
（2）∵P2′（2，1），由題意得P2（1，2），
∵P1（﹣1，1），P2（1，2）在原一次函數(shù)圖象上，
∴設(shè)原一次函數(shù)解析式為y＝kx+b，
則，解得：，
∴原一次函數(shù)解析式為yx；
【深入感悟】
設(shè)雙曲線與二、四象限角平分線交于N點(diǎn)，則：
，解得：，∴N（﹣1，1）．
①當(dāng)x≤﹣1時(shí)，
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，連接AP，過點(diǎn)P′作P′M⊥AN于點(diǎn)M，如圖2，
∵∠QAM＝∠POP′＝45°，∴∠PAQ＝∠P′AN，
∵P′M⊥AM，∴∠P′MA＝∠PQA＝90°，
∴在△PQA和△P′MA中，
，∴△PQA≌△P′MA（AAS），
∴S△P′MA＝S△PQA，即S△OMP′．
②當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，
過點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P′作P′M⊥AN于點(diǎn)M，如圖3，
∵∠POP′＝NOH＝45°，∴∠PON＝∠P′OH，
∴∠MP′O＝90°﹣∠MOH﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∵∠POH＝∠POP′﹣∠P′OH＝45°﹣∠P′OH，
∴∠POH＝∠MP′O，
在△POH和△OP′M中，，
∴△POH≌△OP′M（AAS），∴S△P′MO＝S△PHO，
綜上所述，△OMP′的面積為．
模塊三：跟進(jìn)練習(xí)解答
1．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+t2+t，將其圖象在直線x＝1左側(cè)部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．在圖形G上任取一點(diǎn)M，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y的取值滿足y≥m或y＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s的取值范圍。
【解答】解：二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+t2+t關(guān)于x軸對(duì)稱后的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，
∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y的取值滿足y≥m或y＜n，
∴t≥1，
∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，
∴m＝t，
∵y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣t2+t﹣1，
∴n＝﹣t2+t﹣1，
∴s＝m﹣n＝t2+1≥2，∴ s的取值范圍是s≥2
2．在“疫情”期間，某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進(jìn)行核酸抽樣檢測(cè)；防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入操場(chǎng)進(jìn)行核酸檢測(cè)情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進(jìn)入操場(chǎng)的累計(jì)人數(shù)y（單位：人）與時(shí)間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：數(shù)據(jù)如表．
時(shí)間x（分鐘） 0 1 2 3 … 8 x＞8
累計(jì)人數(shù)y（人） 0 150 280 390 … 640 640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果學(xué)生一進(jìn)入操場(chǎng)就開始排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，檢測(cè)點(diǎn)有4個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)5人，求排隊(duì)人數(shù)的最大值（排隊(duì)人數(shù)＝累計(jì)人數(shù)﹣已檢測(cè)人數(shù)）；
（3）在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測(cè)需要多少時(shí)間？如果要在不超過20分鐘讓全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？
【解答】解：（1）將（0，0），（1，150），（2，280）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解之得a＝﹣10，b＝160，c＝0；
（2）設(shè)排隊(duì)人數(shù)為w，由（1）知，
由題意可知，w＝y(tǒng)﹣20x，
當(dāng)0≤x≤8時(shí)，y＝﹣10x2+160x，w＝﹣10x2+160x﹣20x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴x＝7時(shí)，排隊(duì)人數(shù)w的最大值是490人，
當(dāng)x＞8時(shí)，y＝640，w＝640﹣20x，
∵﹣20＜0，w隨自變量x的增大而減小，
∴w＜640﹣20×8＝480，
由480＜490得，排隊(duì)人數(shù)最大值是490人；
（3）在（2）的條件下，全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)時(shí)間＝640÷（4×5）＝32（分鐘），
設(shè)從一開始增加n個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則，解得n≥2.4，
∵n為整數(shù)，
∴從一開始應(yīng)該至少增加3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)．
3．已知拋物線y＝ax2+2ax+a﹣4的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C
（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（2）如圖，若A、B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，且OA＝3OB，四邊形MNEF為正方形，其中頂點(diǎn)E、F在x軸上，M、N位于拋物線上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若線段AB＝2，點(diǎn)Q為反比例函數(shù)y與拋物線y＝ax2+2ax+a﹣4在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，設(shè)Q的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)1＜m＜3時(shí)，
求k的取值范圍．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+a﹣4＝a（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4）；
（2）設(shè)A（x1，0），B（x2，0），
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣2，
又OA＝3OB，
∴﹣x1＝3x2，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
將B（1，0）代入y＝ax2+2ax+a﹣4，
解得a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3，
設(shè)E（m，0），則EF＝2（m+1），
EN＝﹣（m2+2m﹣3），
根據(jù)題意，得 2（m+1）＝﹣（m2+2m﹣3），
解得m12，m22（舍去），
∴E（2，0）；
（3）∵線段AB＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，0），
∴a×0+2a×0+a﹣4＝0，
解得a＝4，
∴y＝4x2+8x，
當(dāng)1＜m＜3時(shí)，
對(duì)于拋物線y＝4x2+8x，y隨x的增大而增大，
對(duì)于反比例函數(shù)y，y隨x的增大而減小，
∴x＝1時(shí)，雙曲線在拋物線上方，
即，解得k＞12，
當(dāng)x＝3時(shí)，雙曲線在拋物線下方，
即，解得k＜180，
所以k的取值范圍12＜k＜180．羅湖區(qū)數(shù)學(xué)中考備考攻堅(jiān)課程壓軸題難點(diǎn)突破2
第六講 《函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用探究題》---崔景曉
《函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用探究題》自主學(xué)習(xí)單
一、知識(shí)梳理
縱觀近兩年各地區(qū)中考試卷，關(guān)于函數(shù)問題的考查已逐步回歸到考察函數(shù)的基本性質(zhì)和特征上來。根據(jù)新課標(biāo)的要求，函數(shù)的基本性質(zhì)的重點(diǎn)在于對(duì)稱性、增減性及最值；試題的熱點(diǎn)多圍繞一次函數(shù)與一次方程組、一次不等式（組）或二次函數(shù)與二次方程、二次不等式之間的一般與特殊的關(guān)系，適當(dāng)?shù)南蛑車鷶U(kuò)散來設(shè)問題。
重點(diǎn)考察學(xué)生幾何直觀、運(yùn)算能力、邏輯推理能力及數(shù)學(xué)化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運(yùn)用。對(duì)學(xué)生綜合分析問題的能力要求較高。由于這類題目信息量大且隱晦，學(xué)生往往讀題時(shí)畏難情緒嚴(yán)重，而且考試時(shí)心里緊張，時(shí)間緊，不能讀出或讀全有效信息，造成思維障礙。所以在這類專題的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要學(xué)會(huì)讀題，要有耐心，關(guān)鍵字眼要圈出。特別注意要能夠熟練畫出函數(shù)圖象，從“數(shù)”和“形”的角度解決問題。
二、學(xué)習(xí)過程
模塊一：函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（1）
模塊一：典例精講
例題1．在﹣4、﹣2，1、2四個(gè)數(shù)中、隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別作為函數(shù)y＝ax2+bx+1中a，b的值，利用列表或畫樹狀圖求該二次函數(shù)圖象恰好經(jīng)過第一、二、四象限的概率為．
例題2．已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（1，m）、B（﹣2，n）．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b的解集；
（3）方程在﹣3≤x≤1范圍內(nèi)只有一個(gè)解，求n的取值范圍；
（4）把二次函數(shù)的圖象左右平移得到拋物線G：，直接寫出當(dāng)拋物線G與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．
（5）把二次函數(shù)的圖象的x軸下方部分沿著x軸翻折到x軸上方，得到新的函數(shù)圖象L，則函數(shù)圖象L的解析式為 ；
（6）將直線AB沿y軸平移n（n≥0）個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)圖象L恰好有3個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)n的值．
（7）把二次函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L′則其解析式為 ，P為拋物線L′對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA＋PB的值最小時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　　。
模塊一：跟進(jìn)練習(xí)
1．函數(shù)y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（　　）
①2a+b＝0； ②c＝3； ③abc＞0； ④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y＝5有3個(gè)交點(diǎn)．
A．①② B．①③
C．②③④ D．①③④
2．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于m的部分關(guān)于直線x＝m的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y，也可以寫成y＝|x|+1．
（1）在圖③中畫出函數(shù)y＝﹣2x+1關(guān)于直線x＝1的“鏡面函數(shù)”的圖象．
（2）函數(shù)y＝x2﹣2x+2關(guān)于直線x＝﹣1的“鏡面函數(shù)”與直線y＝﹣x+m有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的值．
（3）已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2（a＜0），關(guān)于直線x＝0的“鏡面函數(shù)”圖象上的兩點(diǎn) P（x1，y1），Q（x2，y2），當(dāng)t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4時(shí)，均滿足y1≥y2，直接寫出t的取值范圍 　　．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）．
（1）此二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 　 　．
（2）求此二次函數(shù)的關(guān)系式．
（3）當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，求二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）點(diǎn)P為二次函數(shù)y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ∥x軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2m﹣4．已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，且線段PQ的長(zhǎng)度隨m的增大而減小．直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y＝ax2+bx+2（﹣3＜x）的圖象只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍．
4．如圖，國(guó)家會(huì)展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成．矩形OABC的邊米，OC＝9米，以O(shè)C所在的直線為x軸，以O(shè)A所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）近期需對(duì)大門進(jìn)行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點(diǎn)M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON＝7.5米，點(diǎn)E是OM上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交OM于點(diǎn)F．
①求EF的最大值．
②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大門頂部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍．
模塊二：函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（2）
模塊二：典例精講
例題3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線l垂直于y軸．將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）若對(duì)于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范圍．
例題4．已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P（m，n）在直線l上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，﹣3），且開口向下．
①求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線G與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)Q′也在G上時(shí)，求G在x1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
模塊二：跟進(jìn)練習(xí)
1．已知拋物線P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），將拋物線P繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線P′，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，在拋物線P′上任取一點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為t，若t≤3，求a的取值范圍。
2．平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）過點(diǎn)A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．頂點(diǎn)D不在第一象限，線段BC上有一點(diǎn)E，設(shè)△OBE的面積為S1，△OCE的面積為S2，S1＝S2．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)：
（3）若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6時(shí)的取值范圍（用含a的式子表示）．
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，其中x1＜x2．
（1）若拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，當(dāng)x1，x2為何值時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝c；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t，若對(duì)于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為和諧點(diǎn)，例如：點(diǎn)（1，1），，），……都是和諧點(diǎn)．
（1）判斷函數(shù)的圖象上 　　（填“是”或“否”）存在和諧點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（，）．
①求a、c的值；
②若1≤x≤m時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣1，最大值為3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
模塊三：函數(shù)圖象及性質(zhì)應(yīng)用（3）
模塊三：典例精講
例題5．【閱讀】
通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長(zhǎng)度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．
【理解】
（1）如圖1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C、D，E是AB的中點(diǎn)，連接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．
①分別求線段CE、CD的長(zhǎng)（用含a、b的代數(shù)式表示）；
②比較大小：CE　 　CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系．
【應(yīng)用】
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，橫坐標(biāo)分別為m、n．設(shè)p＝m+n，q，記lpq．
①當(dāng)m＝1，n＝2時(shí)，l＝　 　；當(dāng)m＝3，n＝3時(shí)，l＝　 　；
②通過歸納猜想，可得l的最小值是 　 　．請(qǐng)利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．
例題6．學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)P繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α，能得到一個(gè)新的點(diǎn)P′，經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P′也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形．
試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)A的坐標(biāo)、角度α的大小來解決相關(guān)問題．
【初步感知】
如圖1，設(shè)A（1，1），α＝90°，點(diǎn)P是一次函數(shù)y＝kx+b圖象上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P1（﹣1，1）．
（1）點(diǎn)P1旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)P1′的坐標(biāo)為 　 　；
（2）若點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過點(diǎn)P2′（2，1），求原一次函數(shù)的表達(dá)式．
圖1
【深入感悟】
（3）如圖2，設(shè)A（0，0），α＝45°，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P′作二、四象限角平分線的垂線，垂足為M，求△OMP′的面積．
圖2
模塊三：跟進(jìn)練習(xí)
1．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+t2+t，將其圖象在直線x＝1左側(cè)部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．在圖形G上任取一點(diǎn)M，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y的取值滿足y≥m或y＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s的取值范圍。
2．在“疫情”期間，某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進(jìn)行核酸抽樣檢測(cè)；防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入操場(chǎng)進(jìn)行核酸檢測(cè)情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進(jìn)入操場(chǎng)的累計(jì)人數(shù)y（單位：人）與時(shí)間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：數(shù)據(jù)如表．
時(shí)間x（分鐘） 0 1 2 3 … 8 x＞8
累計(jì)人數(shù)y（人） 0 150 280 390 … 640 640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果學(xué)生一進(jìn)入操場(chǎng)就開始排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，檢測(cè)點(diǎn)有4個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)5人，求排隊(duì)人數(shù)的最大值（排隊(duì)人數(shù)＝累計(jì)人數(shù)﹣已檢測(cè)人數(shù)）；
（3）在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測(cè)需要多少時(shí)間？如果要在不超過20分鐘讓全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？
3．已知拋物線y＝ax2+2ax+a﹣4的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C
（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（2）如圖，若A、B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，
且OA＝3OB，四邊形MNEF為正方形，
其中頂點(diǎn)E、F在x軸上，M、N位于拋物線上，
求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若線段AB＝2，點(diǎn)Q為反比例函數(shù)
y與拋物線
y＝ax2+2ax+a﹣4在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，設(shè)Q的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)1＜m＜3時(shí)，求k的取值范圍．

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