資源簡介

“隱圓問題”自主學習單
知識技能梳理
隱形圓問題常見的有以下幾種形式：一是定點定長，軌跡是圓；二是定弦定角，點在圓上；三是四點共圓判定隱形圓。
題目具體表現為折疊問題、旋轉問題、角度不變問題等。
學習過程
模塊一：定點定長模型（利用圓的定義，找定點、尋定長，得到圓）
例1. 如圖，正方形ABCD的邊長為3，將長為2的線段QF的兩端放
在正方形相鄰的兩邊上同時滑動．如果點Q從點A出發，在AB上滑動，同時點F在BC上滑動，當點F到達點C時，運動停止，那么在這個過程中，線段QF的中點M所經過的路線長為　 　．
例2. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB邊的中點，F
是線段BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，
連接B′D，則B′D的最小值是　 　．
練習一：
1． 在△ABC中，AB＝3，AC＝，當∠B最大時，BC的長是 　．
2．在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，0），點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內一點，且AC＝2．設tan∠BOC＝m，則m的取值范圍是 　．
3．在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，則BD長為多少　 ．
4．如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，點E在邊AB上，且BE=2，點F為邊BC上的動點，將△BEF沿直線EF翻折，點B落在點G處，連接GA,GC,則四邊形GADC面積的最小值
是　 ．
5．在等邊△ABC的外側作直線AM，若點B關于直線AM的對稱點為D，連接BD、CD，直線AM與線段CD所在直線交于點E
（1）依題意，在圖1中完成作圖，并求出∠BDC的度數；
（2）如果直線AM的位置如圖2所示，求∠BEC的度數；
（3）當直線AM與線段AB的夾角發生改變時，若DE＝EC，請直接寫出線段DC與線段BC之間的數量關系．
6．問題背景：如圖1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．
[問題初探]請寫出任意一對滿足條件的AB與AC的值：AB＝　 　，AC＝　 　．
[問題再探]如圖2，在AC右側作∠CAD＝∠B，交BC的延長線于點D，求CD的長．
[問題解決]求△ABC的面積的最大值．
模塊二：定邊對定角模型（若弦的長度固定，它所對的圓周角都相等，則圓周角頂點的軌跡為圓）
例3. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，點D為線段
AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H，連接AH，則AH的最
小值為 　 　．
例4：在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（﹣6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA＝45°時，點C的坐標為　 ．
練習二：
7．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點P是正方形ABCD內一點，連接AC，AP，PC，若，則面積的大值為 　 　．
8．直線y＝x+4分別與x軸、y軸交于點M、N，邊長為2的正方形OABC一個頂點O在坐標原點，直線AN與MC相交于點P，若正方形OABC繞著點O旋轉一周，點P的位置也發生變化，則點P到點（0，2）距離的最小值為　 　．
9．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，點D，E分別是BC，AC上
兩個動點，且滿足AE＝CD，連接BE、AD相交于點P，則線段CP的最
小值為　 　．
10．如圖，以正方形ABCD的一邊BC為邊向四邊形內作等腰△BCE，BE＝BC，過E作EH⊥BC于點H，點P是Rt△BEH的內心，連接AP，若AB＝2，則AP的最小值為 　 ．
11．如圖1，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC與PB交于點D，且PB＝4，PD＝3，則AD DC等于　 ．
12．如圖，點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內的一個動點．
（1）使∠APB＝30°的點有 　 　個；
（2）若點P在y軸上，且∠APB＝30°，求滿足條件的點P的坐標；
（3）當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大值的理由；若沒有，也請說明理由．
模塊三：四點共圓模型（四邊形對角互補；或兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，則四點共圓）
例5. 如圖，等邊△ABC中，AB＝6，P為AB上一動點，PD⊥BC，PE⊥AC，則DE的最小值為 　 　．
例6. 如圖，△ABC和△ABD均為直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，連接CD，若∠CAB＝35°，求∠CDB的度數．
練習三
13．如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點C在∠DAB內部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值 　．
14．如圖，已知在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC＝3，AD＝DE＝2．
（1）如圖①，當點D，E分別在邊AB，AC上時，求的值；
（2）如圖②，將△ADE繞點A順時針旋轉，連接CE，BD，猜想CE與BD的數量關系，并證明你猜想的結論；
（3）在△ADE旋轉的過程中，設CE與BD所在的直線交于點P，求△CBP面積的最大值．
15．如圖，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，取AC的中點E，△ABC繞E點旋轉任意角度得到△GMN，直線BN，GC相交于點H，△GMN繞點E旋轉的過程中，線段AH的最大值是　 　．
16．如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是線段BC上的一個動點（點D不與點B重合，且BD＜CD，連結AD，作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E“四點共圓”；
②若AB＝2，AD AF的值是否會發生變化，若不變化，求出其值：若變化，請說明理由．
17．如圖，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉到正方形APQR，連接CQ，延長BP與CQ交于點E．
（1）證明：E為線段CQ的中點；
（2）若CP⊥BE，求的值．《壓軸題難點突破3——隱圓問題》練習題答案
模塊一：定點定長模型
練習一：
1．在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，0），點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內一點，且AC＝2．設tan∠BOC＝m，則m的取值范圍是 　．
【解答】解：C在以A為圓心，以2為半徑作圓周上，只有當OC與圓A相切（即到C點）時，∠BOC最小，
AC＝2，OA＝3，由勾股定理得：OC＝，
∵∠BOA＝∠ACO＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠CAO+∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠OAC，
tan∠BOC＝tan∠OAC＝＝，
隨著C的移動，∠BOC越來越大，
∵C在第一象限，不在x軸上
∴∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，
故答案為：m≥．
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝，當∠B最大時，BC的長是　 　．
【解答】解：根據題意得點C的運動軌跡可以看成是以點A為圓心，以AC=長度為半徑的圓，由圖可知，當AC⊥BC時（即BC與⊙A相切時，∠B 最大）
此時BC＝＝＝．
故答案是：．
3．在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD
＝2，則BD長為多少　 ．
【解答】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．
∵AB＝AC＝AD＝2，
∴D，C在圓A上，
∵DC∥AB，
∴弧DF＝弧BC，
∴DF＝CB＝1，BF＝AB+AF＝2AB＝4，
∵FB是⊙A的直徑，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝
故答案為：．
4．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，點E在邊AB上，且BE＝2，點F為邊BC上的動點，將△BEF沿直線EF翻折，點B落在點G處，連接GA，GC，則四邊形GADC面積的最小值
是　 ．
【解答】解：當點F與點C重合時，點G的臨界點落
在處，如圖①所示，點G在以E為圓心EG為半徑
的圓弧上運動．
連接AC，當EG⊥AC時，△AGC面積最小，則四邊形
GADC面積最小．
如圖②，過點E作EH⊥AC于點H，
∵∠BAC＝∠BAC，∠B＝∠AHE，
∴△AEH∽△ACB，
則，
∴3.2
∴=1.2
∴
因此，四邊形GADC面積的最小值是30．
5．在等邊△ABC的外側作直線AM，若點B關于直線AM的對稱點為D，連接BD、CD，直線AM與線段CD所在直線交于點E
（1）依題意，在圖1中完成作圖，并求出∠BDC的度數；
（2）如果直線AM的位置如圖2所示，求∠BEC的度數；
（3）當直線AM與線段AB的夾角發生改變時，若DE＝EC，請直接寫出線段DC與線段BC之間的數量關系．
【解答】解：（1）如圖1中，連接AD．
∵B，D關于直線AM對稱，
∴AD＝AB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
以A為圓心AB為半徑畫圓，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BDC＝30°．
（2）如圖2中，連接AD，以A為圓心，AB為半徑作圓，
在優弧BC上取一點N，連接BN，CN．
∵∠N＝∠BAC＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BDE＝180°﹣150°＝30°，
∵BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
（3）①當直線AM在△ABC的外側時，CD＝BC．
理由：如圖3﹣1中，在EC上取一點K，使得EK＝EB，連接BK．
∵DE＝EB＝EC，BE＝EK，
∴EK＝KC，
∵∠BEC＝∠D+∠EBD＝60°，
∴△EBK是等邊三角形，
∴∠EKB＝60°，
∵KB＝KC，
∴∠KBC＝∠KCB，
∵∠EKB＝∠KBC+∠KCB＝60°，
∴∠KBC＝∠KCB＝30°，∵∠D＝30°，
∴∠D＝∠KCB，
∴BD＝BC，
作BH⊥CD于H，則DH＝CH＝BC cos30°＝BC，
∴DC＝2DH＝BC．
②如圖3﹣2中，當直線AM與線段BC相交時，BC＝CD．
理由：作BK⊥CE交CE的延長線于K．
設CD＝DE＝BE＝m，
∵∠BEC＝120°，
∴∠BEK＝60°，
∴EK＝BE＝m，BK＝m，
∴BC＝＝＝m．
∴BC＝CD．
6．問題背景：如圖1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．
[問題初探]請寫出任意一對滿足條件的AB與AC的值：AB＝　 　，AC＝　 　．
[問題再探]如圖2，在AC右側作∠CAD＝∠B，交BC的延長線于點D，求CD的長．
[問題解決]求△ABC的面積的最大值．
【解答】解：[問題初探]設AC＝x，則AB＝2x，
∵BC＝4，
∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，
解得：＜x＜4，
取x＝3，則AC＝3，AB＝6，
故答案為：6，3；
[問題再探]∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DBA，
則＝＝，
設CD＝a，AD＝b，
∴，
解得：，
即CD＝；
[問題解決]由（2）可知， ，則點A在以點為圓心，以AD的長度為半徑的圓弧上運動．
過A作AH⊥BD于H，在Rt△ADH中，AH≤AD＝DH
當AH與AD重合時，AH取最大值為，此時
△ABC的面積取最大值，
所以當AH⊥BD時，S△ABC取得最大值．
模塊二：定邊對定角模型
練習二：
7．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，點P是正方形ABCD內一點，連接AC，AP，PC，若，則面積的大值為 　 　．
【解答】解：在菱形ABCD中，,
∴三角形ADC為等邊三角形
∴
∵
∴
∴
又∵
∴點P的運動軌跡是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，如圖，
過點O作OM⊥AC于點M，交圓弧AC于點N,
根據圓周角定理可得∠AOC＝120°，∠OAM＝30°，
在Rt△OMA中，AM＝1，
∴，，
∴
當點P與N重合時，△PAC的面積最大，
此時，最大值＝
8．直線y＝x+4分別與x軸、y軸交于點M、N，邊長為2的正方形OABC一個頂點O在坐標原點，直線AN與MC相交于點P，若正方形OABC繞著點O旋轉一周，點P的位置也發生變化，則點P到點（0，2）距離的最小值為　 　．
【解答】解：在△MOC和△NOA中，，
∴△MOC≌△NOA，
∴∠CMO＝∠ANO，
∵∠CMO+∠MCO＝90°，∠MCO＝∠NCP，
∴∠NCP+∠CNP＝90°，
∴∠MPN＝90°
∴MP⊥NP，
在正方形旋轉的過程中，同理可證，∴∠CMO＝∠ANO，可得∠MPN＝90°，MP⊥NP，
∴P在以MN為直徑的圓上，
∵M（﹣4，0），N（0，4），
∴圓心G為（﹣2，2），半徑為2，
∵PG﹣GC≤PC，
∴當圓心G，點P，C（0，2）三點共線時，PC最小，
∵GN＝GM，CN＝CO＝2，
∴GC＝OM＝2，
這個最小值為GP﹣GC＝2﹣2．
故答案為：2﹣2．
9．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，點D，E分別是BC，AC
上兩個動點，且滿足AE＝CD，連接BE、AD相交于點P，則線段
CP的最小值為　 　．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
∴點P的運動軌跡是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，如圖，
連接OC交⊙O于N，則OC⊥AB，
根據圓周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝＝，
∴OA＝＝2，
∴OC＝2OA＝4，
當點P與N重合時，CP的值最小，
最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，
故答案為：2．
10．如圖，以正方形ABCD的一邊BC為邊向四邊形內作等腰△BCE，BE＝BC，過E作EH⊥BC于點H，點P是Rt△BEH的內心，連接AP，若AB＝2，則AP的最小值為 　 ．
【解答】解：連接PE、PC、PB．
∵P是△EHB的內心，∠EHB＝90°，
∴∠EPB＝180°﹣（∠HEB+∠HBE）＝135°，
∵BC＝BE，∠PBC＝∠PBE，PB＝PB，
∴△PBC≌△PBE（SAS），
∴∠BPC＝∠BPE＝135°（定角），
∴點P的運動軌跡是圓弧，以BC為斜邊在BC的下方作等腰直角三角形BCO，連接OP、OA．
則以點O為圓心，OB為半徑的⊙O是點P的軌跡，
∵AP≤AO﹣OP，
∴當O、P、A共線時，PA的值最小，
作OM⊥AB于M．易知OB＝，OF＝BF＝1，OA＝＝，
∴PA的最小值為﹣，
故答案為：﹣，
11．如圖1，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC與PB交于點D，且PB＝4，PD＝3，則AD DC等于　 ．
【解答】解：因為PA＝PB，可以將A,B看作以點P為圓心的圓上的兩點，∠APB為弧AB所對的圓心角，
∵∠APB＝2∠ACB
所以∠C可以看作是弧AB所對的圓周角，即點C也在圓P上
∴∠E＝∠C，
而∠ADE＝∠CDB，
∴△ADE∽△BDC，
∴＝，
∴AD CD＝BE＝BD ED＝（4+3） （4﹣3）＝7．
12．如圖，點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內的一個動點．
（1）使∠APB＝30°的點有 　 　個；
（2）若點P在y軸上，且∠APB＝30°，求滿足條件的點P的坐標；
（3）當點P在y軸上移動時，∠APB是否有最大值？若有，求點P的坐標，并說明此時∠APB最大值的理由；若沒有，也請說明理由．
【解答】解：（1）以AB為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC，
以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點P1、P2．
在優弧AP1B上任取一點P，如圖1，
則∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°．
∴使∠APB＝30°的點P有無數個．
故答案為：無數；
（2）①當點P在y軸的正半軸上時，
過點C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．
∵點A（1，0），點B（5，0），
∴OA＝1，OB＝5．
∴AB＝4．
∵點C為圓心，CG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝2．
∴OG＝OA+AG＝3．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4．
∴CG＝＝＝2，
∴點C的坐標為（3，2），
過點C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP2，如圖1，
∵點C的坐標為（3，2），
∴CD＝3，OD＝2，
∵P1、P2是⊙C與y軸的交點，
∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°，
∵CP2＝CA＝4，CD＝3，
∴DP2＝＝．
∵點C為圓心，CD⊥P1P2，
∴P1D＝P2D＝．
∴P2（0，2﹣），P1（0，2+），
②當點P在y軸的負半軸上時，
同理可得：P3（0，﹣2﹣），P4（0，﹣2+）．
綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．
（3）當過點A、B的⊙E與y軸相切于點P時，∠APB最大．
理由：可證：∠APB＝∠AEH，當∠APB最大時，∠AEH最大．由sin∠AEH＝得：當AE最小即PE最小時，∠AEH最大．所以當圓與y軸相切時，∠APB最大．
①當點P在y軸的正半軸上時，
連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．
∵⊙E與y軸相切于點P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．
∴四邊形OPEH是矩形．
∴OP＝EH，PE＝OH＝3．
∴EA＝3．
∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，
∴EH＝＝＝，
∴OP＝，
P（0，），
當點P在y軸的負半軸上時，
同理可得：P（0，﹣），
理由：①若點P在y軸的正半軸上，
在y軸的正半軸上任取一點M（不與點P重合），
連接MA，MB，交⊙E于點N，連接NA，如圖2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB＝∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若點P在y軸的負半軸上，
同理可證得：∠APB＞∠AMB．
綜上所述：當點P在y軸上移動時，∠APB有最大值，
此時點P的坐標為（0，）和（0，﹣）．
模塊三：四點共圓模型
練習三：
13．如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點C在∠DAB內部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值 　．
【解答】解：如圖，連接AC，BD，在AC上取點M使DM＝DC，
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D，四點共圓，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等邊三角形，
∴∠ADB＝∠ACD＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四邊形ABCD的周長為AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
且AD＝AB＝6，
∴當AC最大時，四邊形ABCD的周長最大，則CB+CD最大，
此時C點在的中點處，
∴∠CAB＝30°，
∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4，
∴CB+CD最大值為AC＝4，
14．如圖，已知在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC＝3，AD＝DE＝2．
（1）如圖①，當點D，E分別在邊AB，AC上時，求的值；
（2）如圖②，將△ADE繞點A順時針旋轉，連接CE，BD，猜想CE與BD的數量關系，并證明你猜想的結論；
（3）在△ADE旋轉的過程中，設CE與BD所在的直線交于點P，求△CBP面積的最大值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC＝3，AD＝DE＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣2＝1，AE＝，AC＝，
∴CE＝AC﹣AE＝，
∴＝；
（2）CE＝BD，理由：
由題可得，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AB，AE＝AD，
∴∠BAD＝∠CAE，＝，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，
∴CE＝BD；
（3）如圖所示，過P作PH⊥BC于H，作△CPB的外接圓⊙O，過O作OM⊥BC于M，連接OB，OP，
由（2）可知，△CAE∽△BAD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠BPC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BPC＝90°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴OM＝BC＝，OC＝＝OP，
∵PH≤OP+OM，
∴當M，O，P三點共線時，PH取得最大值，且最大值＝OM+OP＝．
∴PH的最大值＝．
∴△BCP的面積的最大值＝PH的最大值＝＝．
15．如圖，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，取AC的中點E，△ABC繞E點旋轉任意角度得到△GMN，直線BN，GC相交于點H，△GMN繞點E旋轉的過程中，線段AH的最大值是　 　．
【解答】解：如圖：連接EN，EB，MB，CN，MC
∵△ABC是等邊三角形，E是AC中點
∴AE＝CE＝2，BE⊥AC即∠BEC＝90°
∵AB＝4
∴BE＝2
∵旋轉
∴BC＝MN＝4，GE＝EM＝2且△GMN是等邊三角形
∴EN⊥GM即∠NEC＝90°
∴∠CEN＝∠BEM，且EM＝EC，BE＝EN
∴△EBM≌△ECN
∴BM＝CN
∵BM＝CN，BN＝BN，BC＝MN
∴△MNB≌△BCN
∴∠BNM＝∠CBN
∵BM＝CN，且MN＝BC，MC＝MC
∴△MCB≌△MCN
∴∠MCB＝∠CMN
∵∠BNM+∠CBN＝∠MCB+∠CMN
∴∠MCB＝∠CBN
∴MC∥BN
∵ME＝EG＝EC
∴△GCM為直角三角形即∠GCM＝90°
∵MC∥BN
∴∠BHG＝∠GCM＝90°
∴H在以BC為直徑的圓上
∴當AH過以BC為直徑的圓的圓心時，線段AH長度最大
∴AH最大值為2+2
16．如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是線段BC上的一個動點（點D不與點B重合，且BD＜CD，連結AD，作點C關于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．
①求證：A，D，B，E“四點共圓”；
②若AB＝2，AD AF的值是否會發生變化，若不變化，求出其值：若變化，請說明理由．
①證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵點E與點C關于AD的對稱，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四點共圓；
②解：AD AF的值不會發生變化，
理由如下：如圖4，連接CF，
∵點E與點C關于AD的對稱，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四點共圓，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F，C四點共圓，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD AF＝AB2＝8．
17．如圖，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉到正方形APQR，連接CQ，延長BP與CQ交于點E．
（1）證明：E為線段CQ的中點；
（2）若CP⊥BE，求的值．
【解答】（1）證明：連接AQ、AC、CP、AE，
∵正方形ABCD繞點A逆時針旋轉到正方形APQR，
∴AB＝AP，AC＝AQ，∠BAC＝∠QAP＝45°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABP＝∠ACQ，
∴∠ABE＝∠ACE，
∴A、B、C、E四點共圓，
∴∠AEC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝90°，
而AC＝AQ，
∴E為線段CQ的中點；
（2）解：∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵AB＝AP，AC＝AQ，
∴＝，
∴△PAB∽△QAC，
∴＝＝，
設PB＝m，則QC＝m，
∴EC＝QE＝m，
∵A．B．C．E四點共圓，
∴∠CEP＝∠CAB＝45°，
∵PC⊥BE，
∴PE＝PC＝m，
∴＝＝2．

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