資源簡(jiǎn)介

中考選擇題難點(diǎn)突破2：《幾何圖形軌跡（最值）問題》
---------鄧雪玲
知識(shí)梳理
幾何圖形軌跡最值問題是中考的熱點(diǎn)問題,題型豐富,變化靈活,綜合性強(qiáng),考查的知識(shí)點(diǎn)眾多,涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想,考查了學(xué)生的添加輔助線,依題畫圖,建構(gòu)知識(shí)體系等能力,一般都是各題型的壓軸題,發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀和推理能力的核心素養(yǎng)。
初中數(shù)學(xué)的幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題其實(shí)都來自兩個(gè)基本圖形：
定點(diǎn)到定點(diǎn)：兩點(diǎn)之間，線段最短
定點(diǎn)到定線：點(diǎn)線之間，垂線段最短
在此基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了以下基礎(chǔ)圖形和結(jié)論：
三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
平行線之間，垂線段最短
點(diǎn)圓最值：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長）
線圓最值：心垂線截距最短
解決幾何最值問題的主要方法是轉(zhuǎn)化，通過變化過程中不變特征的分析，利用幾何變換（比如等值變換：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱；比例變換：三角函數(shù)、相似圖形性質(zhì)）等手段把所求量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出符合幾何最值問題理論依據(jù)的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)而解決問題。
學(xué)習(xí)過程：
模塊一：動(dòng)點(diǎn)軌跡在直線上
【例題精講】
例1：如圖，已知在中，，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)。則線段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
例2：如圖，四邊形是菱形，AB=4，且，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________。
變式思考：（1）本題若求“的最小值，你會(huì)求嗎？
（2）本題若求“的最小值，你會(huì)求嗎？
(3) 若四邊形是菱形，，對(duì)角線的長為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，則的最小值__________.
小結(jié)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡明確是直線（或線段，射線）時(shí)，找到變化過程中的不變量是解決問題的關(guān)鍵，可以利用對(duì)稱，平移，三角函數(shù)等知識(shí)，化同為異，化折為直的思維方法解決。
模塊一：跟進(jìn)練習(xí)
1、如圖，在Rt中，，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)于點(diǎn)，連接，則的最小值為______。
2、如圖，中，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________.
3、如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A. B. C. D.10
4、如圖①,在矩形中,,為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn).
(1)畫出當(dāng)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;
(2)如圖②,連接求的最小值.
5、如圖，在中，，，,交于點(diǎn).點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.
6、如圖所示，在邊長為1的菱形中，，沿射線的方向平移得到，分別連接，則的最小值為_________
小結(jié)：求不在同一條直線上的兩條線段長的和的最小值，一般是通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為求一條直線上的兩條線段的長度和.
模塊二：動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓（弧）
【例題精講】
例3：如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）
A.3 B.4 C.5 D.6
例4：如圖，點(diǎn)在圓上，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且動(dòng)點(diǎn)在圓上，則的最小值_________。
變式思考：（1）本題若求“”的最小值，你會(huì)求嗎？
（2）本題若求“”的最小值，你會(huì)求嗎？
小結(jié)：相似轉(zhuǎn)化法求最值。當(dāng)明確動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)（阿氏圓問題），求“PA+kPB”型的最值問題，通過構(gòu)造共角共邊的相似三角形，轉(zhuǎn)化成兩線段和的最小值。
模塊二 跟蹤練習(xí)
1、如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作分別垂直于的兩邊，垂足為則的最大值__________
2、已知半圓直徑為8，點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最大值。
3、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2）點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段上的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
4、如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是_______
5、正方形邊長為4，為內(nèi)切圓周上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值_________.
6、菱形邊長為2，，圓的半徑為，與圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最小值_______。
模塊三：隱形軌跡問題
【例題精講】
例5：如圖，邊長為4的等邊三角形中，是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值是__________
分析：找到點(diǎn)的軌跡是本題的首要任務(wù)，直線型軌跡的常用尋找方法都是尋找定點(diǎn)定角，即找到過某一定點(diǎn)的定角，點(diǎn)的軌跡即可確。你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？
例6：如圖，在邊長為6的等邊三角形中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且,連接交于點(diǎn)，連接，則的最小值為___________.
你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？
小結(jié)：如果題目中并未直接給出動(dòng)點(diǎn)軌跡，這時(shí)需要我們?nèi)シ治龊蛯ふ覄?dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定軌跡后，再根據(jù)軌跡確定屬于哪種最值問題，進(jìn)行分析和計(jì)算。
主從聯(lián)動(dòng)問題---其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等或相似，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。
隱圓問題---利用定點(diǎn)定長，定邊對(duì)定角，定角動(dòng)弦，四點(diǎn)共圓，找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，從而尋找圓心與半徑，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)圓，線圓最值問題。
模塊三 跟蹤練習(xí)
1、如圖，在Rt中，，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為_______.
.
2、如圖①，在正方形中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段.
（1）畫出求的運(yùn)動(dòng)軌跡。
（2）如圖②，連接，求的最大值
3、如圖，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)若，則運(yùn)動(dòng)過程中線段長度的最小值為_________.
4、是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線與直線交于點(diǎn)，如圖，若點(diǎn)在內(nèi)，，則_______；現(xiàn)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段長運(yùn)動(dòng)度的最小值是________.
5、如圖，在Rt中，點(diǎn)是以為圓心，4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則線段的長度的最大值為______.
6、如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，交軸于點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則的最小值為_______.中考選擇題難點(diǎn)突破2：《幾何圖形軌跡（最值）問題》
答 案
【設(shè)計(jì)意圖】通過嘗試解決例1、例2，使學(xué)生體會(huì)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡明確是直線（或線段，射線）時(shí)，動(dòng)中求靜，找到變化過程中的不變量是解決問題的關(guān)鍵，可以利用對(duì)稱，平移，三角函數(shù)等知識(shí)，化同為異，化折為直的思維方法解決，可以回顧將軍飲馬，建橋選址，胡不歸等常見模型。
【例題精講】
例1：如圖，已知在中，，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)。則線段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解答】B
如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長交的延長線于，連接，
.
.
當(dāng)三點(diǎn)共線且與垂直時(shí)，線段的值最小，即作于.在Rt中，.
例2：如圖，四邊形是菱形，AB=4，且，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________。
變式思考：（1）本題若求“的最小值，你會(huì)求嗎？
（2）本題若求“的最小值，你會(huì)求嗎？
(3) 若四邊形是菱形，，對(duì)角線的長為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，則的最小值__________.
【解答】
如何將轉(zhuǎn)化為其他線段呢？
本題值為，可轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值，即轉(zhuǎn)化為角的正弦值.
思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作垂直于點(diǎn)，則，即最小轉(zhuǎn)化為最小，本題得解.
如圖，作，垂足為交于點(diǎn)，
四邊形是菱形且，
.
，
即的最小值為的長.
在Rt中，.
的最小值為.
【變式思考答案】（1）（2） （3）4
模塊一：跟進(jìn)練習(xí)解答
1、如圖，在Rt中，，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)于點(diǎn)，連接，則的最小值為______。
【解答】2.4
中，，
連接CP
于點(diǎn)與點(diǎn)E
四邊形是矩形
當(dāng)DE最小時(shí)，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知時(shí)，最小
2、如圖，中，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________.
【解答】
如圖，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，
在Rt中，易得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，即的最小值為，
3、如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A. B. C. D.10
【解答】B
如圖，作于點(diǎn)于點(diǎn).
.
，
∴在中，.
（負(fù)值舍去）.
.
.
.
.故選B.
4、如圖①,在矩形中,,為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn).
(1)畫出當(dāng)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;
(2)如圖②,連接求的最小值.
【解答】
取的中點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，連接點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，為的中位線，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)始終在的中位線上運(yùn)動(dòng).當(dāng)時(shí)，取得最小值.
在矩形中，為的中點(diǎn)，
均為等腰直角三角形，，即的最小值即為的長，在Rt中，的最小值是
5、如圖，在中，，，,交于點(diǎn).點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.
【解答】.
過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先得出，根據(jù)，得，則的最小值為的最小值，即求的長，再通過等積法即可解決問題.
過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
,
，
，，，
由勾股定理得,
，
，
.
即點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，的最小值為的長，
，
，
的最小值為.
故答案為：.
6、如圖所示，在邊長為1的菱形中，，沿射線的方向平移得到，分別連接，則的最小值為_________
【解答】
作直線AA'，并作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EA，.
四邊形為菱形，，由平移得，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小.
，
，，
即的最小值為.
模塊二：動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓（弧）
例3：如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】B
在線段上截取，使得4，連接，
易得，
，即.
，
在Rt中，由勾股定理得的最小值為.
例4：如圖，點(diǎn)在圓上，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且動(dòng)點(diǎn)在圓上，則的最小值_________。
變式思考：（1）本題若求“”的最小值，你會(huì)求嗎？
（2）本題若求“”的最小值，你會(huì)求嗎？
【解答】
如何將轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn)，即2倍關(guān)系，套用“阿氏圓”模型：構(gòu)造共邊共角相似.
連接，在射線上截取，連接交于點(diǎn)，此時(shí)的值最小.易知.
即三點(diǎn)共線時(shí)，最小.
在Rt中，.
即的最小值為.
【答案】（1）
模塊二 跟蹤練習(xí)解答
1、如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作分別垂直于的兩邊，垂足為則的最大值__________
【解答】
作于，作于，如圖所示：
當(dāng)與 切時(shí)，取得最大和最小，
①連接，如圖1所示：
可得：四邊形為正方形，
在中，，
在Rt中，，
2、已知半圓直徑為8，點(diǎn)是圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最大值。
【解答】
3、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2）點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段上的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【解答】B
點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓上.如圖，在軸上取，連接，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，的最大值為.因此本題選B.
4、如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是_______
【解答】5
如圖，在上截取，連接
正方形的邊長為的半徑為2，
.
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，即的值最小.
的最小值為.故答案為5.
5、正方形邊長為4，為內(nèi)切圓周上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值_________.
【解答】 如解圖，連接，
設(shè)的半徑為，則，取的中點(diǎn)，連接是公共角，當(dāng)在一條直線上時(shí)，最小，最小值為的長，過點(diǎn)作于點(diǎn)最小值為的最小值是.
6、菱形邊長為2，，圓的半徑為，與圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最小值_______。
【解答】
模塊三：隱形軌跡問題
例5：如圖，邊長為4的等邊三角形中，是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值是__________
你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？
【解答】1
找到點(diǎn)的軌跡是本題的首要任務(wù)，直線型軌跡的常用尋找方法都是尋找定點(diǎn)定角，即找到過某一定點(diǎn)的定角，點(diǎn)的軌跡即可確定.如圖
本題中易得，則不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡為直線.再根據(jù)垂線段最短，可得的最小值為1.
例6如圖，在邊長為6的等邊三角形中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且,連接交于點(diǎn)，連接，則的最小值為___________.
你能畫出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？
【解答】
易證.
如圖3-3-13，過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)作，連接
點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng).
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值，的最小值.
模塊三 跟蹤練習(xí)解答
1、如圖，在Rt中，，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為_______.
【解答】 軌跡描述：點(diǎn)在以為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)
（利用同角的余角相等得到定角，再根據(jù)模型解題就清晰明了了）點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，長為直徑的弧上運(yùn)動(dòng)（直徑所對(duì)的圓周角為，連接當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的值..
2、如圖①，在正方形中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段.
（1）畫出求的運(yùn)動(dòng)軌跡。
（2）如圖②，連接，求的最大值
【解答】
（1）如解圖①，虛線即為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；
（2）如解圖②，連接.
將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，
點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，3為半徑的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，
的最大值為.
3、如圖，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)若，則運(yùn)動(dòng)過程中線段長度的最小值為_________.
【解答】4
取的中點(diǎn)，連接，如圖.
在中，是斜邊上的中線，.當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí).（可考慮以為直徑的圓與直線的交點(diǎn)情況，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，圓的半徑最短.）
4、是邊長為5的等邊三角形，是邊長為3的等邊三角形，直線與直線交于點(diǎn)，如圖，若點(diǎn)在內(nèi)，，則_______；現(xiàn)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段長運(yùn)動(dòng)度的最小值是________.
【解答】80°；
都是等邊三角形，.
如圖，設(shè)交于點(diǎn).
同法可證..點(diǎn)在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，
5、如圖，在Rt中，點(diǎn)是以為圓心，4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則線段的長度的最大值為______.
【解答】7
如圖，取的中點(diǎn)，連接.
在Rt中，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.在中，，即.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，或.所以線段長度的最大值為7.
6、如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，交軸于點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則的最小值為_______.
【解答】
本題的實(shí)質(zhì)為有一直角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)所形成的軌跡是什么的問題.由點(diǎn)坐標(biāo)可構(gòu)造一系列直角三角形，
發(fā)現(xiàn)所有三角形中（四點(diǎn)共圓），故所有滿足題意的三角形相似，故確定的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線的一部分.當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)在射線上.設(shè)直線的解析式為，
的解析式為.
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí).
故答案為.

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