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專題7.1相交線八大題型（一課一講）
（內容:相交線、垂線、三線八角）
【人教版】
題型一：利用對頂角、鄰補角的定義判斷
【經典例題1-1】下面四個圖形中，與互為對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了對頂角的定義，如果兩個角有公共頂點，且角的兩邊互為反向延長線，那么這兩個角互為對頂角，據此求解即可．
【詳解】解；根據對頂角的定義可知，四個選項中只有C選項中的與互為對頂角，
故選：C．
【經典例題1-2】下列說法中正確的是（　　）
A．相等的兩個角是對頂角
B．有公共頂點，且相等的兩個角是對頂角
C．兩條直線相交，構成的角是對頂角
D．角的兩邊互為反向延長線的兩個角是對頂角
【答案】D
【分析】本題主要考查對頂角的定義，解決本題的關鍵是要熟練掌握對頂角的定義． 如果一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，且這兩個角有公共頂點，那么這兩個角是對頂角，根據對頂角的定義進行求解．
【詳解】解：因為一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，且這兩個角有公共頂點，那么這兩個角是對頂角，
A選項， 相等的兩個角是對頂角，與對頂角定義不符，不符合題意；
B選項，有公共頂點，且又相等的角是對頂角，與對頂角定義不符，不符合題意；
C選項，兩條直線相交所成的角是對頂角，與對頂角定義不符，不符合題意；
D選項，角的兩邊互為反向延長線的兩個角是對頂角，符合定義，符合題意；
故選D．
【變式訓練1-1】下列各圖中，與是對頂角的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了對頂角的識別，理解并掌握對頂角的定義是解題關鍵．如果一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，且這兩個角有公共頂點，那么這兩個角是對頂角．根據對頂角的定義逐項分析判斷即可．
【詳解】解：A. 不是對頂角，本選項不符合題意；
B. 是對頂角，本選項符合題意；
C. 不是對頂角，本選項不符合題意；
D. 不是對頂角，本選項不符合題意．
故選：B．
【變式訓練1-2】下列各圖中，和是對頂角的是（ ）．
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了對頂角的定義，正確理解對頂角的定義是解題的關鍵．對頂角定義：有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角．根據對頂角的定義判斷即可．
【詳解】A、和沒有公共頂點，所以不是對頂角，不符合題意；
B、和有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線，所以是對頂角，符合題意；
C、和有公共頂點，但是兩條邊不互為反向延長線，所以不是對頂角，不符合題意；
D、和沒有公共頂點，所以不是對頂角，不符合題意．
故選B．
【變式訓練1-3】下列說法正確的是（ ）
A．如果，則和是對頂角
B．如果和有公共的頂點，則和是對頂角
C．對頂角都是銳角
D．銳角的對頂角也是銳角
【答案】D
【分析】此題考查了對頂角的定義，有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角．
根據對頂角的定義進行分析即可．
【詳解】解：A．如果，則和不一定是對頂角， 故本選項錯誤；
B．如果和有公共的頂點，則和不一定是對頂角， 故本選項錯誤；
C．對頂角不一定都是銳角，故本選項錯誤；
D．銳角的對頂角也是銳角，故本選項正確．
故選：D．
【變式訓練1-4】下列說法中，正確的是（ ）
A．角是立體圖形
B．相等的角是對頂角
C．經過一個已知點可以畫無數條直線
D．在所有連接兩點的線中，線段未必最短
【答案】C
【分析】本題考查了平面圖形和立體圖形的定義，對頂角的定義，過一點可以確定無數條直線，兩點之間線段最短，根據相關定義逐個判斷即可．
【詳解】解：A、角是平面圖形，故A不正確，不符合題意；
B、相等的角不一定是對頂角，故B不正確，不符合題意；
C、經過一個已知點可以畫無數條直線，故C正確，符合題意；
D、在所有連接兩點的線中，線段最短，故D不正確，不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-5】下列各圖中，∠1和∠2是鄰補角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查鄰補角的定義，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．根據鄰補角的定義進行解答即可．
【詳解】解：A、不是兩條直線相交組成的角，本選項不符合題意；
B、是對頂角，本選項不符合題意；
C、不是兩條直線相交組成的角，本選項不符合題意；
D、符合鄰補角的定義，本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-6】下列各圖中，與互為鄰補角的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了對頂角．根據對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角，進行判定即可得出答案．
【詳解】解：選項A和C中的圖形都沒有公共頂點，選項B中雖然有公共頂點，但一個角的兩邊不是另一個角的兩邊的反向延長線，故選項A、B和C中的∠1與∠2不互為鄰補角；
根據對頂角的定義即可判斷D選項中，∠1與∠2互為鄰補角．
故選：D．
題型二：根據對頂、鄰補角的性質求角度數
【經典例題2】如圖，直線相交于點．
(1)若，則的余角有__________．
(2)若，求和的度數．
【答案】(1)，
(2)，．
【分析】此題主要考查了垂直的定義，對頂角的性質和鄰補角的定義計算，要注意領會由垂直得直角這一要點．
（1）由垂線的性質求得，然后根據等量代換及余角的定義解答；
（2）根據垂直的定義求得，再由求得，然后根據鄰補角定義和對頂角的性質即可求解．
【詳解】（1）解：，，
，即，
∵，
的余角有：，；
故答案為：，；
（2）解：，
，
，，
∴，
，
∴．
【變式訓練2-1】如圖，直線相交于點O，，平分，平分．
(1)求的度數；
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了角的和差計算，對頂角的性質，角平分線的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．
（1）由對頂角相等得，然后利用角平分線的定義即可求解；
（2）由鄰補角的定義得，由角平分線的定義得，，進而可求出的度數．
【詳解】（1）解：因為，，
所以．
因為平分，
所以．
（2）解：因為，
所以．
因為平分，平分，
所以，，
所以．
【變式訓練2-2】如圖，O是直線上一點，過點O作、、三條射線，平分，．
(1)若，則的度數為___________；
(2)若，求的度數；
(3)在（2）的條件下，若過點O作射線使得，求的度數．
【答案】(1)；
(2)的度數為；
(3)的度數為或．
【分析】本題考查了角平分線的定義和角的計算，熟練掌握角平分線的定義，并能夠根據題目已知條件找到角度之間的等量關系列出等式是解題的關鍵．
（1）由條件平分可得，再由條件可得，通過等量代換即可得到的度數；
（2）由條件，并結合（1）的結論，可得，再利用為平角找出等量關系列出等式，即可求解的度數；
（3）分射線在的內部及外部兩種情況討論，作出示意圖并結合圖形先計算的度數，再根據與互補的關系即可得解．
【詳解】（1）平分，
．
，
同理，，
，
．
（2）由題可知，，
．
，
，
由題可知為平角，
，
即，
，
的度數為．
（3）當在內部時，如圖①，
則．
；
當在外部時，如圖②，
則，
．
綜上所述，的度數為或．
【變式訓練2-3】如圖，直線和相交于點O，把分成兩部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了對頂角、鄰補角，（1）利用了對頂角相等，鄰補角互補，（2）利用了角平分線的定義，鄰補角互補的性質，角的和差．
（1）根據對頂角相等，可得的度數，根據，可得，根據鄰補角，可得答案；
（2）根據角平分線的定義，可得，根據鄰補角的關系，可得關于的方程，求出的度數，可得答案．
【詳解】（1）由對頂角相等，得，
由把分成兩部分且，得，
由鄰補角，得；
（2）平分，
．
由鄰補角，得，
即，
解得．
∴，，
∴．
【變式訓練2-4】如圖，直線，相交于點，平分．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據角平分線定義得到，然后根據對頂角相等得到；
（2）根據題意列式計算即可．
此題主要考查了角平分線的定義，對頂角、鄰補角，正確得出度數是解題關鍵．
【詳解】（1）解： 平分，，
，
又與是對頂角，
，
（2）解：和是鄰補角，
，
又，
，
，
．
【變式訓練2-5】如圖，直線、相交于點，，把分成兩個角，且．
(1)求的度數；
(2)若平分，求證：平分．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念和性質、角平分線的定義，掌握對頂角相等、鄰補角之和等于是解題的關鍵．
（1）根據對頂角相等求出的度數，設，根據題意列出方程，解方程即可；
（2）根據（1）可求出，再根據鄰補角求出，然后根據角平分線的定義求出的度數即可．
【詳解】（1）解：，
設，則，
，
，
解得：，
；
（2）證明：，
，
平分，
，
，
平分．
題型三：垂線段最短
【經典例題3】在數學課上，同學們在練習過點B作線段所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數一數，錯誤的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】此題考查了垂線段的畫法的判斷，根據垂線段的畫法依次判斷即可．
【詳解】解：四個圖形中，只有第一個圖形是過點B作線段所在直線的垂線段，其余均錯誤，
故選：C．
【變式訓練3-1】如圖，點P是直線外的一點，點在直線上，且，垂足是點，則下列判斷不正確的是（ ）
A．線段的長是點P到直線的距離 B．三條線段中，最短
C．線段的長是點A到直線的距離 D．線段的長是點C到直線的距離
【答案】C
【分析】本題主要考查了點到直線的距離的定義，垂線段最短，點到一直線的垂線段的長度叫做點到該直線的距離，據此可判斷A、C、D，根據垂線段最短可判斷B．
【詳解】解：A、∵，
∴線段的長是點P到直線的距離，原說法正確，不符合題意；
B、∵，
∴由垂線段最短可知，三條線段中，最短，原說法正確，不符合題意；
C、∵，
∴線段的長是點A到直線的距離，原說法錯誤，符合題意；
D、∵，
∴線段的長是點C到直線的距離，原說法正確，不符合題意；
故選：C．
【變式訓練3-2】如圖，，，垂足為，則下面的結論中，不正確的是（ ）

A．點到的垂線段是線段 B．與互相垂直
C．與互相垂直 D．線段的長度是點到的距離
【答案】A
【分析】本題考查了點到直線的距離，根據點到直線的距離的定義對各個選項逐一分析即可得出答案，熟知直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離是解答此題的關鍵．
【詳解】解：A、∵，
∴點到的垂線段是線段，故原說法錯誤，符合題意；
B、∵，
∴，即與互相垂直，故原說法正確，不符合題意；
C、∵，
∴與互相垂直，故原說法正確，不符合題意；
D、∵，
∴，即線段的長度是點到的距離，故原說法正確，不符合題意；
故選：A．
【變式訓練3-3】如圖，點是的邊上的一點．
(1)過點畫的垂線，交于點；
(2)過點畫的垂線段，垂足為；
(3)點到直線的距離為___________，線段___________的長度是點到直線的距離；
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，
【分析】本題主題考查了垂線的作法、點到直線距離的定義等知識點，掌握垂線和垂線段的區別與聯系成為解題的關鍵．
（1）如圖取格點D,連接交于點，直線即為所求；
（2）直接根據方格作圖即可；
（2）根據點到直線距離解答即可．
【詳解】（1）解：如圖：直線即為所求；
（2）解：如圖：線段即為所求．
（3）解：點到直線的距離為，線段的長度是點到直線的距離．
故答案為：，．
【變式訓練3-4】按要求畫圖：
(1)如圖1，點M、N是平面上的兩個定點．①連按；②反向延長線段至D，使；
(2)如圖2，P是的邊上的一點．
①過點P畫的垂線，交于點C；②過點P畫的垂線，垂足為H
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
【分析】此題主要考查了基本作圖，作線段和作垂線，熟練掌握基本作圖方法是解題關鍵．
（1）根據線段的作法連接即可，再延長，截取即可
（2）根據過直線上一點作垂線的方法，得出即可．
【詳解】（1）解：，即為所求：
（2）和如圖2所求：
【變式訓練3-5】如圖，直線與直線相交于點，是平面內一點，請根據下列語句畫圖并解答問題：
(1)過點畫交于點；
(2)過點畫的垂線，垂足為點；
(3)比較線段與的長短_________（用“”連接），并說明依據________．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，兩點之間垂線段最短
【分析】本題考查了作圖復雜作圖、垂線、垂線段最短、平行線的性質．
（1）根據平行線的畫法作圖即可；
（2）利用直角三角板一條直角邊與重合，沿平移，直到另一直角邊過點，畫出垂線即可；
（3）根據垂線段最短即可判斷．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）如圖，即為所求；
（3），依據：兩點之間垂線段最短，
故答案為：，兩點之間垂線段最短．
題型四：根據垂線的定義求角度
【經典例題4】如圖，直線相交于點O，于O，，的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了對頂角相等，垂直的意義，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
根據垂直得到，根據對頂角相等得到，再利用角度和差計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
【變式訓練4-1】如圖，直線相交于點O，于點O，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了對頂角相等、垂直的定義等知識點，靈活運用相關性質成為解題的關鍵．
根據垂直的定義可得，進而可得，然后根據對頂角相等即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓練4-2】如圖所示，直線，交于點，，平分，則 ．
【答案】/135度
【分析】本題利用垂直的定義，鄰補角和角平分線的性質的性質計算，要注意領會由垂直得直角這一要點．
由垂直的定義得到，根據角平分線的定義得到，根據平角的定義即可得到結論．
【詳解】解：∵，
，
平分，
，
故答案為：．
【變式訓練4-3】如圖，直線與交于點O，是內的射線，且平分，過點O作．
(1)的對頂角是　　　　，的鄰補角是　　　　．
(2)若，求的度數
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據對頂角的定義（有一個公共頂點，且一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角就叫做對頂角）和鄰補角的定義（兩個角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角）即可得；
（2）先根據鄰補角的定義可得，再根據角平分線的定義可得，再根據平角的定義可得．
【詳解】（1）解：的對頂角是，的鄰補角是．
故答案為：，
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了對頂角和鄰補角的定義、與角平分線、垂直有關的計算，熟練掌握各定義和運算法則是解題關鍵．
【變式訓練4-4】如圖，兩直線、相交于點O，平分，如果，
(1)求
(2)若，，求
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的是鄰補角的性質、對頂角的性質和角平分線的定義，掌握鄰補角互補、對頂角相等和垂直的定義是解題的關鍵．
（1）根據鄰補角的性質和已知求出和的度數，根據對頂角相等求出和的度數，根據角平分線的定義求出的度數，可以得到的度數；
（2）根據垂直的定義得到，根據互余的性質求出的度數，計算得到答案．
【詳解】（1）解：，：：，
，，
，，
平分，
，
．
（2）解：，
，
平分，
，
，
．
【變式訓練4-5】如圖，直線相交于點O，平分，．
(1)證明：平分；
(2)如果，過點O作射線，請在備用圖中畫出射線，并求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)或
【分析】本題考查了角平分線的定義及證明、垂直的定義等知識點，掌握各個角之間的和差關系是解題關鍵．
（1）由可得、，結合即可求證；
（2）由題意得，可推出
，；進而得，從而得，分類討論在上方和下方兩種情況即可求解；
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵平分，
∴
∵
∴，
∴平分
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
如圖：
則；
如圖：
則；
綜上所述：的度數為或
【變式訓練4-6】如圖，直線與直線相交于點O，且平分．
(1)若比大，求的度數．
(2)證明：是的平分線．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了垂線的性質，角平分線的性質及角的計算，熟練掌握垂線的性質，角平分線的性質及角的計算的方法進行計算是解決本題的關鍵．
（1）根據垂線的性質可得，由，可得，即可算出的度數，再根據角平分線的性質可得的度數，再根據代入計算即可得出答案；
（2）根據角平分線的性質，可得，由垂線的性質可得，即可得出，即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴為平分線．
題型五：點到直線的距離
【經典例題5】點P為直線l外一點，點A、B在直線l上，若，，則點P到直線l的距離是（　　）
A． B．小于 C．不大于 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了垂線段最短，點到直線的距離，根據垂線段最短，得出點P到直線l的距離應小于等于的長度．
【詳解】解：∵點P到直線l的距離是點P到直線l所有點的連線中最短的線段的長度，
∴點P到直線l的距離應小于等于的長度，
即點P到直線l的距離是不大于．
故選：C．
【變式訓練5-1】如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且于點B，，若，，，，則點A到直線的距離是 ．
【答案】4
【分析】本題考查了點到直線的距離，點到直線的距離定義為從直線外一點到這條直線的垂線段長度，由點到直線的距離的定義即可得解．
【詳解】解：由題意可知，的長即為點A到直線的距離．
因為，
所以點A到直線的距離是4，
故答案為：．
【變式訓練5-2】如圖，，交于點，于，連接．
（1）若，則 ；
（2）若．，，那么點到直線的距離是 cm．
【答案】 /65度
【分析】本題考查了點到直線的距離，對頂角以及鄰補角，掌握對頂角以及鄰補角的性質是解題的關鍵．
（1）根據對頂角的性質得出，再由垂直的定義答案即可；
（2）根據點到直線的距離即可得出答案．
【詳解】解：（1），
，
，
，
；
（2），，
點到直線的距離是，
故答案為：，．
【變式訓練5-3】如圖所示的方格紙中，已知每個小正方形的邊長都為1，點、、為格點．請按下面要求回答問題：
(1)畫直線，射線；
(2)過點作，垂足為點；
(3)連結，若，求線段的長．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）根據圖形即可作出直線，射線；
（2）取格點，連接交于點D，即可；
（3）根據等面積法即可求出斜邊上的高．
【詳解】（1）解：如圖所示；
（2）解：如圖所示；取格點E，連接交于點D，
（3）解：的面積
．
【點睛】本題主要考查了作圖應用與設計作圖，直線、射線及三角形的面積、高的求解，解題的關鍵是熟知其定義．
題型六：同位角、同旁內角、內錯角的識別
【經典例題6】如圖，給出下列說法：①和是同位角；②和是對頂角；③和是內錯角；④和是同旁內角．其中說法錯誤的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查三線八角，根據同位角，同旁內角和內錯角的定義和特點，逐一進行判斷即可．
【詳解】和是同位角，①說法正確；
和不是對頂角，②說法錯誤；
和是內錯角，③說法正確；
和不是同旁內角，④說法錯誤．
故說法錯誤的有②，④，共2個．
故選B．
【變式訓練6-1】如圖，按各組角的位置，說法正確的是（ ）
A．與是同旁內角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同位角
【答案】B
【分析】本題主要考查了同位角，內錯角，對頂角，同旁內角的定義，兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角；兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角,據此求解即可．
【詳解】解：A、與不是同旁內角，原說法錯誤，不符合題意；
B、與是內錯角，原說法正確，符合題意；
C、與不是同旁內角，原說法錯誤，不符合題意；
D、與是內錯角，原說法錯誤，不符合題意；
故選：B．
【變式訓練6-2】如圖，按各組角的位置判斷錯誤的是（ ）
A．與是同旁內角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同位角
【答案】C
【分析】本題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．
根據同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角分別進行分析可得答案．
【詳解】解：A、與是同旁內角，原說法正確，不符合題意；
B、與是內錯角，原說法正確，不符合題意；
C、與不是同旁內角，原說法錯誤，符合題意；
D、與是同位角，原說法正確，不符合題意；
故選：C．
【變式訓練6-3】如圖，與構成同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了同位角的定義，兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角，據此可得答案．
【詳解】解：與構成同位角的是，
故選：B．
【變式訓練6-4】如圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．與是同位角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同旁內角
【答案】D
【分析】此題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義，解答此類題確定三線八角是關鍵，可直接從截線入手．
根據同位角、內錯角及同旁內角的定義判斷即可．
【詳解】解：由圖可知：與是同位角，故A選項正確；
與是內錯角，故B選項正確；
與是同旁內角，故C選項正確；
與不是同旁內角，故D選項錯誤；
故選：D．
【變式訓練6-5】如圖，按各組角的位置，判斷錯誤的是（ ）
A．與是同旁內角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同位角
【答案】C
【分析】本題考查了同位角、同旁內角、內錯角的定義，根據同位角、同旁內角、內錯角的定義結合圖形，逐項判斷即可得出答案．
【詳解】解：A、與是同旁內角，故本選項正確，不符合題意；
B、與是內錯角，故本選項正確，不符合題意；
C、與不是同旁內角，故本選項錯誤，符合題意；
D、與是同位角，故本選項正確，不符合題意；
故選：C．
題型七：確定同位角、同旁內角、內錯角的對數及“三線八角”
【經典例題7】如圖，若兩條直線a、b被直線c、d所截，則圖中標號的角中共有內錯角的對數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本題考查內錯角，根據內錯角定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角可得答案．
【詳解】和，和，和，和均是內錯角，共有4對內錯角．
故選：B．
【變式訓練7-1】如圖，直線a截直線b、c所得的同位角有 ___________對，它們是 ___________；內錯角有 ___________對，它們是 ___________；同旁內角有 ___________對，它們是 ___________．
【答案】4；與，與，與，與；2；與，與；2；與，與
【分析】本題考查同位角定義，內錯角定義，同旁內角定義．根據題意利用觀察圖形同位角定義，內錯角定義，同旁內角定義即可得出本題答案．
【詳解】解：直線a截直線b、c所得的同位角有4對，它們是與，與，與，與；
內錯角有2對，它們是與，與；
同旁內角有2對，它們是與，與，
故答案為：4；與，與，與，與；2；與，與；2；與，與．
【變式訓練7-2】如圖，直線，被直線所截，交，于點，，是一條射線．圖中共有多少對同位角？多少對內錯角？多少對同旁內角？分別寫出這些角．
【答案】見解析
【詳解】解：共有6對同位角：與，與，與，與，與，與．
共有3對內錯角：與，與，與．
共有3對同旁內角：與，與，與．
【變式訓練7-3】（1）如圖1，兩條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有____對，內錯角有_____對，同旁內角有_____對；
（2）如圖2，三條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有____對，內錯角有___對，同旁內角有___對；
（3）根據以上探究的結果，n（n為大于1的整數）條水平直線被一條豎直直線所截，同位角有______對，內錯角有_______對，同旁內角有　　對．（用含n的式子表示）
【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3），，
【分析】（1）根據同位角、內錯角、同旁內角的概念進行計數即可；
（2）根據同位角、內錯角、同旁內角的概念進行計數即可；
（3）先發現再總結規律性的表達式，從而總結規律即可．
【詳解】解：（1）如圖1，兩條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有4對，內錯角有2對，同旁內角有2對．
（2）如圖2，三條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有12對，內錯角有6對，同旁內角有6對．
（3）根據以上探究的結果可得，同位角的數量關系可表示為：
兩條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有，
三條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有
∴n（n為大于1的整數）條水平直線被一條豎直直線所截，同位角有對，
∴內錯角有對，同旁內角有對．
【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，同時也考查了圖形類的規律探究，解答此類題確定三線八角是關鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義.
【變式訓練7-4】如圖所示，
(1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角．
(2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的內錯角．
(3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁內角．
(4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的內錯角．
【答案】(1)；；；同位
(2)；
(3)；
(4)；
【分析】本題考查了同位角，內錯角，同旁內角，熟練掌握同位角，內錯角，同旁內角的特征是解題的關鍵．
（1）根據同位角的特征，即可解答；
（2）根據內錯角的特征，即可解答；
（3）根據同旁內角的特征，即可解答；
（4）根據內錯角的特征，即可解答．
【詳解】（1）解：和是、被所截得的同位角，
故答案為：；；；同位；
（2）解：和是、被所截得的內錯角，
故答案為：；；
（3）解：和是、被所截而成的同旁內角，
故答案為：；；
（4）解：和是、被所截得的內錯角，
故答案為：；．
【變式訓練7-5】根據圖形填空：
(1)若直線被直線所截，則和　　是同位角；
(2)若直線被直線所截，則和　　是內錯角；
(3)和是直線被直線　　所截構成的內錯角．
(4)和是直線、　　被直線所截構成的　　角．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)；同位
【分析】（1）根據同位角的定義填空；
（2）根據內錯角的定義填空；
（3）根據內錯角的定義填空；
（4）根據同位角的定義填空．
【詳解】（1）解：如圖：若被所截，則與是同位角；
（2）解：若被所截，則與是內錯角；
（3）解：與是和被所截構成的內錯角；
（4）解：與是和被所截構成的同位角．
題型八：相交線綜合應用
【經典例題8】已知： 直線與直線交于點 O， 過點 O 作
(1)如圖 1， ，求 的度數；
(2)如圖 2， 在（1）的條件下， 過點 O 作 ，射線 平分 ，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有與 互余的角．
【答案】(1)
(2)，，，
【分析】本題主要考查了幾何圖中角度的計算，求角的余角，角平分線的有關計算等知識．
（1）先利用平角的定義以及即可得出，進而可求出，由垂直的定義即可求出，最后根據角的和差關系即可得出答案．
（2）根據互余兩角的和為90度一一計算即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）知，
∵，
∴和互余．
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，，，
則和互余，和互余，和互余，
綜上：與互余的角有，，，．
【變式訓練8-1】直線相交于點O，過點O作．
(1)如圖1，若∠BOD=27°44′，求的度數．
(2)如圖2，作射線使，則是的平分線．請說明理由．
(3)在圖1上作，寫出與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)，理由見解析
【分析】（1）根據垂直的定義進行計算即可；
（2）根據垂直的定義，對頂角相等以及等角的余角相等可得答案；
（3）根據垂直的定義，平角的定義以及對頂角相等、同角的余角相等進行計算即可．
【詳解】（1）解：∵．
∴，即，
∵，
∴；
（2）解：∵．
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即是的平分線；
（3）解：，理由如下：
如圖1﹣1，，
∵，
∴，即，
∵．
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
如圖1﹣2，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了垂線，角平分線，度分秒的計算以及對頂角、鄰補角、同角的余角相等，掌握垂直的定義，角平分線的定義，度分秒的計算以及對頂角、鄰補角、同角的余角相等是正確解答的關鍵．
【變式訓練8-2】如圖，直線交于點分別在內部，且平分．
(1)的對頂角是___________；
(2)若，則的度數為___________；
(3)若平分，求的度數；
(4)若，判斷是否平分，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)平分，理由見解析
【分析】本題主要考查了角平分線的定義，對頂角的性質，幾何中角度的計算，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握角平分線的定義．
（1）根據對頂角的定義即可解答；
（2）根據角平分線的定義得出，再根據，求出結果即可；
（3）由，得到，根據角平分線的定義得出，根據，求出，根據角平分線的定義得出，根據，求出結果即可；
（4）由，利用平角的定義得到，再根據，求出，結合得出結論．
【詳解】（1）解：根據題意：的對頂角是；
（2）解：平分，
，
；
（3）解：與為對頂角，
，
，即．
平分，
，
，
，
．
又平分，
，
；
（4）解：平分，理由如下：
，
．
，
，
，
，
平分．
【變式訓練8-3】如圖，直線與相交于O，，分別是，的平分線．
(1)寫出的補角；
(2)若，求和的度數；
(3)試問射線與之間有什么特殊的位置關系？為什么？
【答案】(1)
(2)，
(3)，理由見解析
【分析】本題主要考查了角平分線，熟練掌握角平分線定義，對頂角相等，補角定義，垂線的定義，是解決問題的關鍵．
（1）根據角平分線定義得，根據補角定義得，， 根據對頂角性質得，即得的補角；
（2）先根據角平分線的定義得出和的度數，再由鄰補角定義可得；先根據鄰補角定義可得，再由角平分線定義即得度數；
（3）運用角平分線的定義，得，根據平角的定義得，即得直線的位置關系．
【詳解】（1）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ 的補角有；
（2）∵平分，，
∴
∴，，
∴，
又∵平分，
∴；
（3）射線與互相垂直．理由如下：
∵，分別是，的平分線，
∴，
∴，
∴．
即射線的位置關系是互相垂直．
【變式訓練8-4】如圖，直線，相交于點O，，且平分．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數（用含α的代數式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查與角平分線相關的角的計算，垂直的定義，掌握角的和差運算、角平分線定義和垂超拔定義是解題的關鍵．
（1）先求出，根據角平分線定義求出，根據對頂角相等求出，求出，即可得出答案；
（2）先求出，根據角平分線定義求出，根據對頂角相等求出，求出，即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵直線，相交于點O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（對頂角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直線，相交于點O，
∴，
∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴（對頂角相等）；
∵，
∴，
∴，
∴；
【變式訓練8-5】已知：點為直線上一點，過點作射線，．
(1)如圖1，求的度數；
(2)如圖2，過點作射線，使，作的平分線，求的度數；
(3)如圖3，在（2）的條件下，作射線，若與互余，求的度數．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，數形結合根據射線的位置分類討論是解題關鍵．
（1）根據平角的定義計算求值即可；
（2）根據余角的定義可得，根據角平分線的定義可得，再計算角度和即可；
（3）由余角的定義可得，分射線在內部、射線在外部兩種情況，分別計算角的差、和即可．
【詳解】（1）解：∵
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∵與互余，
∴，
∴，
①當射線在內部時，如圖，
；
②當射線在外部時，如圖，
．
綜上所述，的度數為或．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題7.1相交線八大題型（一課一講）
（內容:相交線、垂線、三線八角）
【人教版】
題型一：利用對頂角、鄰補角的定義判斷
【經典例題1-1】下面四個圖形中，與互為對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
【經典例題1-2】下列說法中正確的是（　　）
A．相等的兩個角是對頂角
B．有公共頂點，且相等的兩個角是對頂角
C．兩條直線相交，構成的角是對頂角
D．角的兩邊互為反向延長線的兩個角是對頂角
【變式訓練1-1】下列各圖中，與是對頂角的是（ ）
A．B．C． D．
【變式訓練1-2】下列各圖中，和是對頂角的是（ ）．
A．B． C． D．
【變式訓練1-3】下列說法正確的是（ ）
A．如果，則和是對頂角
B．如果和有公共的頂點，則和是對頂角
C．對頂角都是銳角
D．銳角的對頂角也是銳角
【變式訓練1-4】下列說法中，正確的是（ ）
A．角是立體圖形
B．相等的角是對頂角
C．經過一個已知點可以畫無數條直線
D．在所有連接兩點的線中，線段未必最短
【變式訓練1-5】下列各圖中，∠1和∠2是鄰補角的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-6】下列各圖中，與互為鄰補角的是（ ）
A．B． C． D．
題型二：根據對頂、鄰補角的性質求角度數
【經典例題2】如圖，直線相交于點．
(1)若，則的余角有__________．
(2)若，求和的度數．
【變式訓練2-1】如圖，直線相交于點O，，平分，平分．
(1)求的度數；
(2)求的度數．
【變式訓練2-2】如圖，O是直線上一點，過點O作、、三條射線，平分，．
(1)若，則的度數為___________；
(2)若，求的度數；
(3)在（2）的條件下，若過點O作射線使得，求的度數．
【變式訓練2-3】如圖，直線和相交于點O，把分成兩部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【變式訓練2-4】如圖，直線，相交于點，平分．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
【變式訓練2-5】如圖，直線、相交于點，，把分成兩個角，且．
(1)求的度數；
(2)若平分，求證：平分．
題型三：垂線段最短
【經典例題3】在數學課上，同學們在練習過點B作線段所在直線的垂線段時，有一部分同學畫出下列四種圖形，請你數一數，錯誤的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練3-1】如圖，點P是直線外的一點，點在直線上，且，垂足是點，則下列判斷不正確的是（ ）
A．線段的長是點P到直線的距離 B．三條線段中，最短
C．線段的長是點A到直線的距離 D．線段的長是點C到直線的距離
【變式訓練3-2】如圖，，，垂足為，則下面的結論中，不正確的是（ ）

A．點到的垂線段是線段 B．與互相垂直
C．與互相垂直 D．線段的長度是點到的距離
【變式訓練3-3】如圖，點是的邊上的一點．
(1)過點畫的垂線，交于點；
(2)過點畫的垂線段，垂足為；
(3)點到直線的距離為___________，線段___________的長度是點到直線的距離；
【變式訓練3-4】按要求畫圖：
(1)如圖1，點M、N是平面上的兩個定點．①連按；②反向延長線段至D，使；
(2)如圖2，P是的邊上的一點．
①過點P畫的垂線，交于點C；②過點P畫的垂線，垂足為H
【變式訓練3-5】如圖，直線與直線相交于點，是平面內一點，請根據下列語句畫圖并解答問題：
(1)過點畫交于點；
(2)過點畫的垂線，垂足為點；
(3)比較線段與的長短_________（用“”連接），并說明依據________．
題型四：根據垂線的定義求角度
【經典例題4】如圖，直線相交于點O，于O，，的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，直線相交于點O，于點O，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖所示，直線，交于點，，平分，則 ．
【變式訓練4-3】如圖，直線與交于點O，是內的射線，且平分，過點O作．
(1)的對頂角是　　　　，的鄰補角是　　　　．
(2)若，求的度數
【變式訓練4-4】如圖，兩直線、相交于點O，平分，如果，
(1)求
(2)若，，求
【變式訓練4-5】如圖，直線相交于點O，平分，．
(1)證明：平分；
(2)如果，過點O作射線，請在備用圖中畫出射線，并求的度數．
【變式訓練4-6】如圖，直線與直線相交于點O，且平分．
(1)若比大，求的度數．
(2)證明：是的平分線．
題型五：點到直線的距離
【經典例題5】點P為直線l外一點，點A、B在直線l上，若，，則點P到直線l的距離是（　　）
A． B．小于 C．不大于 D．
【變式訓練5-1】如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且于點B，，若，，，，則點A到直線的距離是 ．
【變式訓練5-2】如圖，，交于點，于，連接．
（1）若，則 ；
（2）若．，，那么點到直線的距離是 cm．
【變式訓練5-3】如圖所示的方格紙中，已知每個小正方形的邊長都為1，點、、為格點．請按下面要求回答問題：
(1)畫直線，射線；
(2)過點作，垂足為點；
(3)連結，若，求線段的長．
題型六：同位角、同旁內角、內錯角的識別
【經典例題6】如圖，給出下列說法：①和是同位角；②和是對頂角；③和是內錯角；④和是同旁內角．其中說法錯誤的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練6-1】如圖，按各組角的位置，說法正確的是（ ）
A．與是同旁內角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同位角
【變式訓練6-2】如圖，按各組角的位置判斷錯誤的是（ ）
A．與是同旁內角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同位角
【變式訓練6-3】如圖，與構成同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-4】如圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．與是同位角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同旁內角
【變式訓練6-5】如圖，按各組角的位置，判斷錯誤的是（ ）
A．與是同旁內角 B．與是內錯角
C．與是同旁內角 D．與是同位角
題型七：確定同位角、同旁內角、內錯角的對數及“三線八角”
【經典例題7】如圖，若兩條直線a、b被直線c、d所截，則圖中標號的角中共有內錯角的對數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式訓練7-1】如圖，直線a截直線b、c所得的同位角有 ___________對，它們是 ___________；內錯角有 ___________對，它們是 ___________；同旁內角有 ___________對，它們是 ___________．
【變式訓練7-2】如圖，直線，被直線所截，交，于點，，是一條射線．圖中共有多少對同位角？多少對內錯角？多少對同旁內角？分別寫出這些角．
【變式訓練7-3】（1）如圖1，兩條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有____對，內錯角有_____對，同旁內角有_____對；
（2）如圖2，三條水平的直線被一條豎直的直線所截，同位角有____對，內錯角有___對，同旁內角有___對；
（3）根據以上探究的結果，n（n為大于1的整數）條水平直線被一條豎直直線所截，同位角有______對，內錯角有_______對，同旁內角有　　對．（用含n的式子表示）
【變式訓練7-4】如圖所示，
(1)和是 　 　、 　 　被 　 　所截得的 　 　角．
(2)和∠ 　 　是、被　 　所截得的內錯角．
(3)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截而成的同旁內角．
(4)∠ 　 　和∠ 　 　是、被所截得的內錯角．
【變式訓練7-5】根據圖形填空：
(1)若直線被直線所截，則和　　是同位角；
(2)若直線被直線所截，則和　　是內錯角；
(3)和是直線被直線　　所截構成的內錯角．
(4)和是直線、　　被直線所截構成的　　角．
題型八：相交線綜合應用
【經典例題8】已知： 直線與直線交于點 O， 過點 O 作
(1)如圖 1， ，求 的度數；
(2)如圖 2， 在（1）的條件下， 過點 O 作 ，射線 平分 ，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有與 互余的角．
【變式訓練8-1】直線相交于點O，過點O作．
(1)如圖1，若∠BOD=27°44′，求的度數．
(2)如圖2，作射線使，則是的平分線．請說明理由．
(3)在圖1上作，寫出與的數量關系，并說明理由．
【變式訓練8-2】如圖，直線交于點分別在內部，且平分．
(1)的對頂角是___________；
(2)若，則的度數為___________；
(3)若平分，求的度數；
(4)若，判斷是否平分，并說明理由．
【變式訓練8-3】如圖，直線與相交于O，，分別是，的平分線．
(1)寫出的補角；
(2)若，求和的度數；
(3)試問射線與之間有什么特殊的位置關系？為什么？
【變式訓練8-4】如圖，直線，相交于點O，，且平分．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數（用含α的代數式表示）．
【變式訓練8-5】已知：點為直線上一點，過點作射線，．
(1)如圖1，求的度數；
(2)如圖2，過點作射線，使，作的平分線，求的度數；
(3)如圖3，在（2）的條件下，作射線，若與互余，求的度數．

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