資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題7.2.1平行線（一）九大題型（一課一講）
（內容:平行線的定義、平行線的判定）
【人教版】
題型一：平面內兩直線的位置關系
【經典例題1】在同一平面內有三條不同的直線，若，則a與b的位置關系為（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定
【變式訓練1-1】下面語句中，正確的是（ ）
A．永不相交的兩條直線叫做平行線．
B．在同一平面內的兩條直線叫做互相平行．
C．在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行．
D．直線A是平行線，直線B是平行線，直線A和直線B互相平行．
【變式訓練1-2】下面說法正確的個數為（ ）
（1）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
（2）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
（3）兩角之和為，這兩個角一定鄰補角；
（4）同一平面內不平行的兩條直線一定相交．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練1-3】下列說法：
①已知直線a，b，c，若a與c相交，則a與b相交；
②若直線，直線，那么直線；
③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
④在同一平面內，兩條直線的位置關系有平行、相交、垂直三種．
其中錯誤的有（ ）
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【變式訓練1-4】下列說法：①在同一平面內，若直線，，則；②在同一平面內，若直線，直線與相交，則直線與相交；③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線相交；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中說法正確的是 ．（填序號）
【變式訓練1-5】如圖所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填圖形序號）
題型二：用直尺、三角板畫平行線
【經典例題2】如圖，F是直線上一點，按要求畫圖：
(1)過點F作直線的垂線段，垂足為E；
(2)過點W作直線的平行線，交線段于點M．
(3)過點A作線段的垂線，垂足為N；
【變式訓練2-1】如圖，已知．
(1)過點畫，垂足為；
(2)過點畫，交于點．
【變式訓練2-2】如圖，用三角尺或量角器畫圖：
(1)經過點A畫直線的平行線；
(2)經過點C畫直線的垂線；
(3)畫點C到直線的垂線段．
【變式訓練2-3】如圖，在正方形網格中有四個格點O、A、B、C，按要求進行下列作圖，并標出相應的字母（要求畫圖時用2B鉛筆加黑加粗）．
(1)畫射線，畫直線；
(2)過點A畫射線的垂線，垂足為點D；
(3)過點O畫直線的平行線．
【變式訓練2-4】如圖所示的正方形網格，所有小正方形的邊長都為1，都在格點上．
(1)利用網格作圖：
①過點作直線的平行線；
②過點作直線的垂線，垂足為．
(2)線段的長度是點___________到點__________的距離．
(3)比較大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________．
【變式訓練2-5】如圖，已知直線l和直線外三點A，B，C，按下列要求畫圖：
(1)畫射線，畫直線；（只畫圖，不寫作法不寫結論）
(2)畫點A到l的垂線段，垂足為D；（只畫圖，不寫作法不寫結論）
(3)過點B作直線l的平行直線m；（只畫圖，不寫作法不寫結論）
(4)在直線l上確定出點，使得最小，理由是＿＿＿＿
題型三：平行線公理的應用
【經典例題3】已知同一平面內的三條直線a，b，c，下列命題中錯誤的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式訓練3-1】已知在同一平面內的三條直線a，b，c，下列命題中錯誤的是（　　）
A．，，那么 B．如果，，那么
C．如果，，那么 D．如果，，那么
【變式訓練3-2】已知直線及其外一點B，過B點作，過B點作，點A，C分別為直線，上任意一點，那么A，B，C三點一定在同一條直線上，依據是 ．
【變式訓練3-3】如圖是一個可折疊的衣架，是地平線，當時，；時，，就可確定點N、P、M在同一條直線上的依據是
【變式訓練3-4】如圖，已知直線，則A，B，C三點在同一直線上，理由是 ．
【變式訓練3-5】下列說法：①兩條不相交的直線叫平行線；②兩條不相交的線段，在同一平面內必平行③經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；④若直線，那么，⑤過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．其中錯誤的是 （只填序號）
【變式訓練3-6】如圖，在直線 的同側有 ，， 三點，若，，那么 ，， 三點 （填“是”或“不是”）在同一條直線上，理由是 ．
題型四：根據平行線的判定判斷正誤
【經典例題4】如圖，點E在的延長線上，下列條件不能判斷的是（ ）
A．∠5=∠B B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，直線a、b被直線c所截， ，下列條件中可以判定的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，在四邊形中，下列推論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練4-3】如圖，給出四個條件：①；②；③；④，其中能判定的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【變式訓練4-4】如圖，，能判定的條件是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練4-5】如圖，點D，E，F分別在的三邊上，連接，能判定的條件是（ ）
A． B．
C． D．
題型五：添加一個條件使兩直線平行
【經典例題5】如圖，直線a，b被直線c所截，請添加一個條件 ，使得．（只添一種情況即可）

【變式訓練5-1】如圖，E是線段的延長線上一點，添加一個條件，使，則可添加的條件為 （寫出一種情況即可）．
【變式訓練5-2】如圖，點E在的延長線上，請添加一個恰當的條件 ，使．
【變式訓練5-3】如圖，直線，被直線所截．請添加一個條件使直線，則該條件可以是 ．（用圖中已標注的角或字母表示）
【變式訓練5-4】如圖，請你添加一個條件，使，這個條件是 ，你的依據是 ．
【變式訓練5-5】如圖，要使“直線”，需要添加的條件是 （只填一個即可）
題型六：利用平行線的判定證明
【經典例題6】如圖，點O在直線上，平分平分是上一點，連接．
(1)判斷與是否垂直，并說明理由；
(2)若與互余，判斷與是否平行，并說明理由．
【變式訓練6-1】如圖，已知點在上，平分，平分．
(1)試說明：；
(2)若，，則與平行嗎？為什么？
【變式訓練6-2】如圖，點在上，點在上，連接，過點作交于點，過點作平分交于點，且．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
【變式訓練6-3】如圖，直線交于點O，分別平分和，已知．

(1)試說明的理由；
(2)若，求的度數．
【變式訓練6-4】如圖，直線交于點O，分別平分和，已知．

(1)若，求的度數．
(2)試判斷與的位置關系，并說明理由；
【變式訓練6-5】如圖，直線，交于點O，，分別平分和．
(1)若，求的度數．
(2)在（1）的條件下，若，嗎？請說明理由．
題型七：利用平行線的判定填空
【經典例題7】把下列的推理過程補充完整，并在括號里填上推理的依據：
如圖，已知直線a，b，c，d，e，且 ，，試說明：．
解：因為，
所以　　　 　　　　　　　（ ）
又因為，
所以　　　　　　　　　　　 （ ）
所以（ 　　　 ）
【變式訓練7-1】如圖與相交于點C，，且平分．求證：．
請完成下列推理過程：
證明：∵平分，
∴____________（____________）．
∵（____________）
∴（____________）
∵，
∴____________（等量代換）．
∴（____________）．
【變式訓練7-2】如圖，已知，請說明與平行的理由．
解：將的鄰補角記作，則
　　　　　°（ ）
因為（ ）
所以（ ）
因為　　　　　（ ）
所以（等量代換）
所以（ ）
【變式訓練7-3】把下面的證明過程補充完整：
如圖，已知直線，被直線所截，為與的交點，于點，，，求證：．
證明：∵（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），
∴，
∴（ ）（____________）．
又∵（已知），
∴，
∴（____________）．
【變式訓練7-4】如圖，，垂足為D，點E、F分別在線段上，．
(1)求證：；（補充）
證明：∵，
∴，（ ）
∵，
∴，（ ）
∴； （ ）
(2)若，求的度數．
【變式訓練7-5】如圖：，平分，平分，，試說明：．請完成下面的解題過程．
解：∵平分，平分（已知），
____________，_________（角平分線的定義），
又（已知）
________________．
又（已知）
________，
（________）．
【變式訓練7-6】如圖，已知點、、、在一條直線上，，平分，．
（1）與平行嗎？請說明理由；
（2）與的位置關系如何？請說明理由．
解：（1），理由如下：
（ ），
（已知），
．
（ ）．
（2）與的位置關系是：（ ）．
請完成說理過程：
題型八：利用平行線的判定解決動點問題
【經典例題8】如圖，直線上有兩點、，分別引兩條射線、，，與在直線異側．若，射線、分別繞點，點以度秒和度秒的速度同時順時針轉動，設時間為秒，在射線轉動一周的時間內，當時間的值為 時，與平行．
【變式訓練8-1】如圖，直線上有兩點A、C，分別引兩條射線、，，，射線、分別繞A點，C點以1度/秒和4度/秒的速度同時順時針轉動，在射線轉動一周的時間內，使得與平行所有滿足條件的時間＝ ．

【變式訓練8-2】如圖所示，直線上有兩點A，C，分別引兩條射線，，，射線別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t，在射線轉動一周的時間內，使得與平行所有滿足條件的時間 秒．

【變式訓練8-3】如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，，現將木棒a、b同時繞著自身與c相交的交點順時針旋轉一周，速度分別為12度/秒和2度/秒，兩根木棒都停止時運動結束，則從開始運動經過 秒時木棒a，b平行．
【變式訓練8-4】如圖，把一副三角板如圖擺放，點E在邊AC上，將圖中的△ABC繞點A按每秒5°速度沿順時針方向旋轉180°，在旋轉的過程中，在第 秒時，邊BC恰好與邊DE平行．

【變式訓練8-5】如圖①，直線與直線、分別交于點E、F，與互補．
(1)試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由：
(2)如圖②，，在內部有，且平分∠BEG，平分，求的度數；
(3)在（2）的條件下，當從的位置開始，繞著點E以每秒的速度順時針旋轉t秒，且始終在內部，若與其中一個角是另一個的兩倍，求t的值．
題型九：平行線中角平分線問題
【經典例題9】已知直線和被直線所截．
(1)如圖①，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？
(2)如圖②，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？
(3)如圖③，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？
【變式訓練9-1】如圖①，直線與直線、分別交于點E、F，與互補．
(1)試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由：
(2)如圖②，，在內部有，且平分∠BEG，平分，求的度數；
(3)在（2）的條件下，當從的位置開始，繞著點E以每秒的速度順時針旋轉t秒，且始終在內部，若與其中一個角是另一個的兩倍，求t的值．
【變式訓練9-2】如圖，直線和被直線所截．

(1)如圖1，平分，平分（平分的是一對同旁內角），則與滿足______時， ，并說明平行的理由；
(2)如圖2，平分，平分（平分的是一對同位角），則與滿足______時，，并說明平行的理由；
(3)如圖3，平分，平分（平分的是一對內錯角），則與滿足______時，，并說明平行的理由．
【變式訓練9-3】如圖，直線與直線，分別相交于點M，O，，分別平分和，與交于點P，Q，已知．
(1)若，求的度數；
(2)對說明理由．
【變式訓練9-4】如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD，∠EDO與∠1互余．
(1)求證：；
(2)OF平分∠COD交DE于點F，若OFD=70，補全圖形，并求∠1的度數．
【變式訓練9-5】如圖，直線EF交直線AB、CD與點M、N，NP平分∠ENC交直線AB于點P．
已知∠EMB=112°，∠PNC=34°．
(1)求證：AB∥CD；
(2)若PQ將分∠APN成兩部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度數．
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專題7.2.1平行線（一）九大題型（一課一講）
（內容:平行線的定義、平行線的判定）
【人教版】
題型一：平面內兩直線的位置關系
【經典例題1】在同一平面內有三條不同的直線，若，則a與b的位置關系為（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定
【答案】C
【分析】本題主要考查垂直的定義，熟練掌握垂直的定義是解題關鍵．根據在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得出結果．
【詳解】在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行．
，
故選：C．
【變式訓練1-1】下面語句中，正確的是（ ）
A．永不相交的兩條直線叫做平行線．
B．在同一平面內的兩條直線叫做互相平行．
C．在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行．
D．直線A是平行線，直線B是平行線，直線A和直線B互相平行．
【答案】C
【分析】本題考查了兩條直線的位置關系、平行線的意義，熟練掌握相交線與平行線是解題關鍵．
根據兩條直線的位置關系、平行線的定義逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、在同一平面內，永不相交的兩條直線叫做平行線，則此項錯誤，不符合題意；
B、在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線，則此項錯誤，不符合題意；
C、在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行，則此項正確，符合題意；
D、平行是兩條直線之間的位置關系，故敘述不規范，則此項錯誤，不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-2】下面說法正確的個數為（ ）
（1）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
（2）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
（3）兩角之和為，這兩個角一定鄰補角；
（4）同一平面內不平行的兩條直線一定相交．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】本題考查了平行公里和推論，鄰補角，垂線，平行線等知識點．根據過直線外一點有一條直線和已知直線平行即可判斷（1），同一平面內，過一點且只有一條直線和已知直線垂直即可判斷（2），舉出反例即可判斷（3），根據在同一平面內，兩直線的位置關系式平行和相交即可判斷（4）．
【詳解】解：∵過直線外一點有一條直線和已知直線平行即可判斷（1）錯誤，
∵同一平面內，過一點且只有一條直線和已知直線垂直即可判斷（2）錯誤，
∵兩個角相加等于不一定為鄰補角，鄰補角必須相鄰且互補，
∴（3）不正確，
∵同一平面內不平行的兩條直線一定相交，故（4）正確．
即正確的個數是1個，
故選：A．
【變式訓練1-3】下列說法：
①已知直線a，b，c，若a與c相交，則a與b相交；
②若直線，直線，那么直線；
③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
④在同一平面內，兩條直線的位置關系有平行、相交、垂直三種．
其中錯誤的有（ ）
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質和判定、相交線等知識點．掌握平行線的性質和判定是解決本題的關鍵．
利用同一個平面內，兩條直線的位置關系解答即可．
【詳解】解：①已知直線a，b，c，若a與c相交，則a與b不一定相交，故原說法錯誤；
②若直線，直線，那么直線，故原說法正確；
③經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，故原說法錯誤；
④在同一平面內，兩條直線的位置關系有平行、相交兩種，故原說法錯誤．
錯誤的有3個，
故選：A．
【變式訓練1-4】下列說法：①在同一平面內，若直線，，則；②在同一平面內，若直線，直線與相交，則直線與相交；③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線相交；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中說法正確的是 ．（填序號）
【答案】①②/②①
【分析】本題考查平行線的性質和判定、相交線．利用同一個平面內，兩條直線的位置關系依次對各選項進行判斷即可．掌握平行線的性質和判定是解題的關鍵．
【詳解】解：①在同一平面內，若直線，，則；故此說法正確；
②在同一平面內，若直線，直線與相交，則直線與相交，故此說法正確；
③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線也有可能平行，故此說法錯誤；
④過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，故此說法錯誤．
∴說法正確的是①②．
故答案為：①②．
【變式訓練1-5】如圖所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填圖形序號）
【答案】 ③ ⑤
【分析】本題主要考查了相交線與平行線，熟知直線，射線，線段的特點，以及相交線和平行線的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：對于①，是由一條直線、一條射線組成，且射線只可向右無限延伸，與直線沒有交點，故不能相交；
對于②，是由一條直線、一條線段組成，當直線延伸時與線段沒有交點，故不能相交；
對于③，是由一條直線、一條線段組成，當直線線延時，與線段有交點，故可以相交；
對于④，是由兩條線段組成，沒有交點，故不能相交；
對于⑤，由兩條直線組成，且在同一平面內，故一定平行．
故答案為：③；⑤．
題型二：用直尺、三角板畫平行線
【經典例題2】如圖，F是直線上一點，按要求畫圖：
(1)過點F作直線的垂線段，垂足為E；
(2)過點W作直線的平行線，交線段于點M．
(3)過點A作線段的垂線，垂足為N；
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題主要考查過一點作已知線段的垂線段，和過一點作已知直線的平行線，掌握作圖方法是解題的關鍵．
（1）過直線外一點F作已知直線的垂線畫出即可；
（2）過直線外一點W作已知直線的平行線畫出即可；
（3）過直線外一點A作已知直線的垂線畫出即可；
【詳解】（1）
（2）
（3）
【變式訓練2-1】如圖，已知．
(1)過點畫，垂足為；
(2)過點畫，交于點．
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
【分析】本題主要考查了簡單的作圖和平行線的性質等知識點，
（1）由垂線的作圖方法進行作圖，即可求出圖形；
（2）由角的作圖方法和平行線的性質，即可求出圖形；
熟練掌握作圖步驟和平行線的性質是解決此題的關鍵．
【詳解】（1）如圖所示：
將三角板的一條直角邊與已知直線重合，沿著已知直線移動三角板，讓三角板的另一直角邊與直線外的已知點Q重合，沿著另一條直角邊畫經過已知點的直線交于點D，
∴即為所求；
（2）如圖所示：
用三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺緊靠三角板另一條直角邊，沿著直尺平移三角板，使與已知直線重合的直角邊通過已知點Q，沿著這條直角邊畫一條直線與已知射線交于點E，
∴即為所求．
【變式訓練2-2】如圖，用三角尺或量角器畫圖：
(1)經過點A畫直線的平行線；
(2)經過點C畫直線的垂線；
(3)畫點C到直線的垂線段．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題主要考查了用三角板和直尺作平行線的和垂線，解題的關鍵是熟練掌握過一點作平行線和垂線的方法．
（1）用直尺和三角板作直線的平行線即可；
（2）用三角板的直角作直線的垂線即可；
（3）用三角板的直角作直線的垂線段即可．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求作的平行線；
（2）解：如圖，直線即為所求作的垂線；
（3）解：如圖，線段即為所求作的垂線段．
【變式訓練2-3】如圖，在正方形網格中有四個格點O、A、B、C，按要求進行下列作圖，并標出相應的字母（要求畫圖時用2B鉛筆加黑加粗）．
(1)畫射線，畫直線；
(2)過點A畫射線的垂線，垂足為點D；
(3)過點O畫直線的平行線．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】本題考查了網格作圖；
（1）按要求作圖，即可求解；
（2）用直尺和三角板畫圖，即可求解；
（3）按要求作圖，即可求解；
掌握作法是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，
射線，直線為所求作；
（2）解：如圖，
垂線為所求作；
（3）解：如圖，
直線為所求作．
【變式訓練2-4】如圖所示的正方形網格，所有小正方形的邊長都為1，都在格點上．
(1)利用網格作圖：
①過點作直線的平行線；
②過點作直線的垂線，垂足為．
(2)線段的長度是點___________到點__________的距離．
(3)比較大小：_____________（填“”“”或“=”），理由：_____________．
【答案】(1)見解析
(2)C，
(3)，垂線段最短
【分析】本題主要考查作圖、平行線、垂線段最短、點到直線的距離等知識點，熟練掌握相關圖形的性質是解題的關鍵．
（1）①在A的右側取格點D，滿足，再畫直線即可，②如圖，取格點K，再畫直線交于E即可；
（2）根據點到直線的距離的定義即可解答；
（3）根據垂線段最短即可解答．
【詳解】（1）解：①如圖，直線即為所求作；
②如圖，直線即為所求作．
（2）解：線段的長度是點C到直線的距離．
故答案為：C，．
（3）解：．理由：垂線段最短．
故答案為：，垂線段最短．
【變式訓練2-5】如圖，已知直線l和直線外三點A，B，C，按下列要求畫圖：
(1)畫射線，畫直線；（只畫圖，不寫作法不寫結論）
(2)畫點A到l的垂線段，垂足為D；（只畫圖，不寫作法不寫結論）
(3)過點B作直線l的平行直線m；（只畫圖，不寫作法不寫結論）
(4)在直線l上確定出點，使得最小，理由是＿＿＿＿
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】本題考查畫射線、直線、平行線、垂線、線段，兩點之間線段最短．
（1）以點C為端點作射線，過點B、C作直線即可；
（2）過點A作直線l的垂線，垂足為D，連接點A與垂足D即可；
（3）根據“一放、二靠、三推、四畫”的步驟作直線m即可；
（4）根據兩點之間線段最短，連接交直線l于E即可．
【詳解】（1）解 ∶如圖所示，射線，直線即為所求；
（2）解 ∶ 如圖所示，線段即為所求；
（3）解：如圖，直線m即為所求；
（4）解：如圖，點E即為所求．理由是，兩點之間線段最短．
題型三：平行線公理的應用
【經典例題3】已知同一平面內的三條直線a，b，c，下列命題中錯誤的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質和判定及平行公理，掌握平行線的性質和判定是解決本題的關鍵．
根據平行線的性質和判定及平行公理逐個判斷得結論．
【詳解】解：因為平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故選項A正確；
垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故選項B正確、D錯誤．
垂直于一條直線b的直線，必垂直于b的平行線a，故選項C正確；
故選：D．
【變式訓練3-1】已知在同一平面內的三條直線a，b，c，下列命題中錯誤的是（　　）
A．，，那么 B．如果，，那么
C．如果，，那么 D．如果，，那么
【答案】B
【分析】本題考查了平行公理推論的應用，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，熟記相關結論即可．
【詳解】解：∵如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，故A正確，不符合題意；
∵同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，故B錯誤，符合題意，C正確，不符合題意；
∵如果一條直線垂直于另一條直線，則該直線垂直于這條直線的平行直線，故D正確，不符合題意；
故選： B．
【變式訓練3-2】已知直線及其外一點B，過B點作，過B點作，點A，C分別為直線，上任意一點，那么A，B，C三點一定在同一條直線上，依據是 ．
【答案】過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】本題考查了平行公理及推論，牢記“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”是解題的關鍵．由“為直線外的一點，且，”，利用“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”，即可得出，，三點一定在同一條直線上．
【詳解】解：點為直線外的一點，且，，（已知）
，，三點一定在同一條直線上．（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）
故答案為：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
【變式訓練3-3】如圖是一個可折疊的衣架，是地平線，當時，；時，，就可確定點N、P、M在同一條直線上的依據是
【答案】過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】本題考查平行線的判定，平行公理，根據平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行進行判斷即可，掌握經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行是解題關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，
∴點N，P，M在同一條直線上，
故答案為：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．
【變式訓練3-4】如圖，已知直線，則A，B，C三點在同一直線上，理由是 ．
【答案】經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
【分析】該題主要考查了“經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”，正確理解題意即可解答；
根據“經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”，即可解答；
【詳解】解：∵直線，都過點A，且，
又∵經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，
∴A，B，C三點在同一直線上．
故答案為：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
【變式訓練3-5】下列說法：①兩條不相交的直線叫平行線；②兩條不相交的線段，在同一平面內必平行③經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；④若直線，那么，⑤過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．其中錯誤的是 （只填序號）
【答案】①②⑤
【分析】根據平行線的定義，平面內兩條直線的位置關系，平行公理，垂直的性質，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：①同一平面內，兩條不相交的直線叫平行線；故①錯誤；
②兩條不相交的直線，在同一平面內必平行，兩條不相交的線段延長后，有可能相交，故②錯誤；
③經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，故③正確；
④若直線，那么，故④正確；
⑤同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．故⑤錯誤；
綜上分析可知，錯誤的是①②⑤．
故答案為：①②⑤．
【點睛】本題考查平行線的定義，平面內兩條直線的位置關系，平行公理，垂直的性質．熟知相關知識點，是解題的關鍵．
【變式訓練3-6】如圖，在直線 的同側有 ，， 三點，若，，那么 ，， 三點 （填“是”或“不是”）在同一條直線上，理由是 ．
【答案】 是 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】依據過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，即可得到P，Q，R三點在同一條直線上．
【詳解】解：∵，，
∴P，Q，R三點在同一條直線上，（過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行）
故答案為：是；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
【點睛】本題主要考查了平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．要準確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．
題型四：根據平行線的判定判斷正誤
【經典例題4】如圖，點E在的延長線上，下列條件不能判斷的是（ ）
A．∠5=∠B B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的判定方法，內錯角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行，據此逐項分析判斷即可．
【詳解】A. 和是同位角，根據內錯角相等，兩直線平行可判定，故該選項不符合題意；
B. 和是內錯角，根據內錯角相等，兩直線平行可判定，故該選項不符合題意；
C. 和是同旁內角，根據同旁內角互補，兩直線平行可判定，故該選項不符合題意；
D.根據，可判定，不能判斷，故該選項符合題意，
故選：D．
【變式訓練4-1】如圖，直線a、b被直線c所截， ，下列條件中可以判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了平行線的判定，先標注，根據同位角相等，兩直線平行判斷即可．
【詳解】如圖所示．
根據題意可知，
∵，
∴．
故選：A．
【變式訓練4-2】如圖，在四邊形中，下列推論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法中“同旁內角互補，兩直線平行”是解題的關鍵．根據題目中的圖形位置，逐個分析選項中的同旁內角互補能否判定對應的兩條直線平行，可以得到只有正確，其余均錯誤，即可得出正確選項．
【詳解】解：，故A選項錯誤；
，故B選項錯誤；
，故C選項正確；
，無法推出或，故D選項錯誤．
故選：C．
【變式訓練4-3】如圖，給出四個條件：①；②；③；④，其中能判定的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】本題主要考查平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定定理．根據內錯角相等，兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，以及同旁內角互補兩直線平行，逐個分析即可．
【詳解】①，能判定，不能判定，不符合題意；
②，能判定，符合題意；
③，能判定，不能判定，不符合題意；
④，能判定，符合題意，故②④正確．
故選：D．
【變式訓練4-4】如圖，，能判定的條件是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的判定，同旁內角互補，兩直線平行；根據，即可判定；其它條件均不能判定．
【詳解】解：當時，，
則有；
而添加其它條件無法得到；
故選：C．
【變式訓練4-5】如圖，點D，E，F分別在的三邊上，連接，能判定的條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了平行線的判定．根據平行線的判定逐項進行判斷即可．
【詳解】解：A、∵，
∴，
故選項不合題意；
B、∵，
∴，
故選項不合題意；
C、無法證明兩直線平行，故選項不合題意；
D、∵，
∴，故選項符合題意．
故選：D．
題型五：添加一個條件使兩直線平行
【經典例題5】如圖，直線a，b被直線c所截，請添加一個條件 ，使得．（只添一種情況即可）

【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查平行線的判定，在圖中發現a、b被一直線c所截，故可按同位角相等，兩直線平行補充條件．
【詳解】解：，
（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓練5-1】如圖，E是線段的延長線上一點，添加一個條件，使，則可添加的條件為 （寫出一種情況即可）．
【答案】
【分析】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行．
同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行，據此進行解答（答案不唯一）．
【詳解】解：若，則；
若，則；
若，則；
若，則；
故答案為或或或．（答案不唯一）
【變式訓練5-2】如圖，點E在的延長線上，請添加一個恰當的條件 ，使．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】本題考查了平行線的判定．熟練掌握平行線的判定是解題的關鍵．
根據平行線的判定求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，∵，
∴，
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓練5-3】如圖，直線，被直線所截．請添加一個條件使直線，則該條件可以是 ．（用圖中已標注的角或字母表示）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關鍵．根據平行線的判定即可得．
【詳解】解：使直線，添加的一個條件可以是（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓練5-4】如圖，請你添加一個條件，使，這個條件是 ，你的依據是 ．
【答案】 內錯角相等兩直線平行（答案不唯一）
【分析】本題考查平行線的判定，根據平行線的判定方法，添加條件即可．
【詳解】解：根據內錯角相等，兩直線平行，可以添加的條件為：；
故答案為：，內錯角相等兩直線平行（答案不唯一）．
【變式訓練5-5】如圖，要使“直線”，需要添加的條件是 （只填一個即可）
【答案】（或或）
【分析】本題考查平行線的判定，關鍵是掌握平行線的判定方法．由平行線的判定，即可得到答案．
【詳解】解：要使直線，則需要添加的條件可以為，也可以為，也可以為，
故答案為：（或或）．
題型六：利用平行線的判定證明
【經典例題6】如圖，點O在直線上，平分平分是上一點，連接．
(1)判斷與是否垂直，并說明理由；
(2)若與互余，判斷與是否平行，并說明理由．
【答案】(1)，見解析；
(2)，見解析
【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，解題的關鍵是：
（1）利用角平分線的定義結合平角的性質即可證明；
（2）利用，結合已知求得，根據“內錯角相等，兩直線平行”即可證明．
【詳解】（1）解：，
證明：平分，平分，
，，
，
；
（2）證明：，
，
與互余，
，
，
．
【變式訓練6-1】如圖，已知點在上，平分，平分．
(1)試說明：；
(2)若，，則與平行嗎？為什么？
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析．
【分析】本題考查了平行線的判定，平行公理推論，角平分線的定義，掌握平行線的性質和角平分線定義是解題的關鍵．
（1）先利用角平分線的定義得到，，根據平角的定義得到，根據垂直的定義求解即可；
（2）根據平行線的判定及平行公理推論即可求解；
【詳解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（1）得，∠3＝∠4．
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
【變式訓練6-2】如圖，點在上，點在上，連接，過點作交于點，過點作平分交于點，且．
(1)求證：；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（）根據垂直的定義得到，推出，根據平行線的判定定理即可得到結論；
（）根據三角形的內角和列方程得到，根據角平分線的定義得到，于是得到結論；
本題考查了同角的余角相等，垂直的定義，平行線的判定和性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練6-3】如圖，直線交于點O，分別平分和，已知．

(1)試說明的理由；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查平行線的判定，與角平分線有關的計算：
（1）由角平分線定義可得，則可求得，從而可求得，即可判定；
（2）由（1）可知，再根據對頂角性質求解即可．
【詳解】（1）∵分別平分和，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【變式訓練6-4】如圖，直線交于點O，分別平分和，已知．

(1)若，求的度數．
(2)試判斷與的位置關系，并說明理由；
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】本題考查與角平分線有關的計算，平行線的判定，找準角度之間的等量關系，是解題的關鍵．
（1）根據角平分線平分角，得到，結合平角的定義和，進行求解即可；
（2）角平分線平分角，結合平角的定義推出，推出，即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴設，則：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵分別平分和，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練6-5】如圖，直線，交于點O，，分別平分和．
(1)若，求的度數．
(2)在（1）的條件下，若，嗎？請說明理由．
【答案】(1)的度數為
(2)平行，理由見解析
【分析】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義，對頂角相等，熟記平行線的判定方法是解題的關鍵．
（1）先求出，進而求出，，然后求出，進而可求出的度數；
（2）先證明，然后根據內錯角相等兩直線平行即可得證．
【詳解】（1），，
．
，
，，
，
平分，
，
，
的度數為．
（2）平行．
理由：由（1）可知．
，
，
．
題型七：利用平行線的判定填空
【經典例題7】把下列的推理過程補充完整，并在括號里填上推理的依據：
如圖，已知直線a，b，c，d，e，且 ，，試說明：．
解：因為，
所以　　　 　　　　　　　（ ）
又因為，
所以　　　　　　　　　　　 （ ）
所以（ 　　　 ）
【答案】；內錯角相等，兩直線平行；；同旁內角互補，兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
【分析】本題考查平行線的判定和性質以及平行公理．根據平行線的性質得出，，即可推出答案．
【詳解】解：∵，
∴ (內錯角相等，兩直線平行)，
∵，
∴ (同旁內角互補，兩直線平行)，
∴ (如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，
故答案為：；內錯角相等，兩直線平行；；同旁內角互補，兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
【變式訓練7-1】如圖與相交于點C，，且平分．求證：．
請完成下列推理過程：
證明：∵平分，
∴____________（____________）．
∵（____________）
∴（____________）
∵，
∴____________（等量代換）．
∴（____________）．
【答案】；角平分線定義；對頂角相等；等量代換；；等量代換；同位角相等，兩直線平行
【分析】本題考查了平行線的判定，角平分線定義，對頂角性質．首先根據角平分線定義，對頂角相等證明，再證明，然后根據同位角相等，兩直線平行推出．
【詳解】∵平分，
∴（角平分線定義），
∵（對頂角相等），
∴（等量代換），
∵，
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：；角平分線定義；對頂角相等；等量代換；；等量代換；同位角相等，兩直線平行．
【變式訓練7-2】如圖，已知，請說明與平行的理由．
解：將的鄰補角記作，則
　　　　　°（ ）
因為（ ）
所以（ ）
因為　　　　　（ ）
所以（等量代換）
所以（ ）
【答案】，鄰補角的定義，已知，同角的補角相等，，已知，同位角相等，兩直線平行
【分析】此題考查了平行線的判定，根據同角的補角相等得到，等量代換得到，則．
【詳解】解：將的鄰補角記作，則
（鄰補角的定義）
因為（已知）
所以（同角的補角相等）
因為（已知）
所以（等量代換）
所以（同位角相等，兩直線平行）
故答案為：，鄰補角的定義，已知，同角的補角相等，，已知，同位角相等，兩直線平行
【變式訓練7-3】把下面的證明過程補充完整：
如圖，已知直線，被直線所截，為與的交點，于點，，，求證：．
證明：∵（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），
∴，
∴（ ）（____________）．
又∵（已知），
∴，
∴（____________）．
【答案】垂直的定義；，對頂角相等；同位角相等，兩直線平行．
【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，對頂角相等，由，得，從而有，通過等量代換求出即可求證，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】證明：∵（已知），
∴（垂直的定義），
又∵（已知），
∴，
∴（對頂角相等）．
又∵（已知），
∴，
∴（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：垂直的定義；，對頂角相等；同位角相等，兩直線平行．
【變式訓練7-4】如圖，，垂足為D，點E、F分別在線段上，．
(1)求證：；（補充）
證明：∵，
∴，（ ）
∵，
∴，（ ）
∴； （ ）
(2)若，求的度數．
【答案】(1)直角三角形兩銳角互余；等量代換；內錯角相等，兩直線平行
(2)
【分析】本題考查平行線的判定和性質，關鍵是根據平行線的判定和性質解答．
（1）根據平行線的判定證明即可；
（2）根據平行線的判定和性質解答即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，（直角三角形兩銳角互余）
∵，
∴，（等量代換）
∴； （內錯角相等，兩直線平行）
故答案為：直角三角形兩銳角互余；等量代換；內錯角相等，兩直線平行；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練7-5】如圖：，平分，平分，，試說明：．請完成下面的解題過程．
解：∵平分，平分（已知），
____________，_________（角平分線的定義），
又（已知）
________________．
又（已知）
________，
（________）．
【答案】；；；；；同位角相等，兩直線平行
【分析】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵．
根據角平分線的定義結合題意推出，即可判定．
【詳解】解：∵平分，平分（已知），
，（角平分線的定義）.
又（已知），
，
又（已知），
，
（同位角相等，兩直線平行）．
故答案為：；；；；；同位角相等，兩直線平行．
【變式訓練7-6】如圖，已知點、、、在一條直線上，，平分，．
（1）與平行嗎？請說明理由；
（2）與的位置關系如何？請說明理由．
解：（1），理由如下：
（ ），
（已知），
．
（ ）．
（2）與的位置關系是：（ ）．
請完成說理過程：
【答案】（1）平角定義；；同位角相等，兩直線平行；（2）平行，理由見解析
【分析】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義，解題的關鍵是掌握平行線的判定．
（1）根據平角定義可得，從而利用同角的補角相等可得，然后根據同位角相等，兩直線平行可得；
（2）根據角平分線的定義可得，從而可得，然后利用內錯角相等，兩直線平行可得，即可解答．
【詳解】解：（1），理由如下：
（平角定義），
（已知），
，
（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：平角定義；；同位角相等，兩直線平行；
（2）與的位置關系是：（平行），理由如下：
平分，
，
，
，
，
故答案為：平行．
題型八：利用平行線的判定解決動點問題
【經典例題8】如圖，直線上有兩點、，分別引兩條射線、，，與在直線異側．若，射線、分別繞點，點以度秒和度秒的速度同時順時針轉動，設時間為秒，在射線轉動一周的時間內，當時間的值為 時，與平行．
【答案】秒或秒
【分析】本題考查平行線的判定，分三種情況：
①與在的兩側，分別表示出與，然后根據內錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；
②旋轉到與都在的右側，分別表示出與，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；
③旋轉到與都在的左側，分別表示出與，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；
讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵，要注意分情況討論．
【詳解】解：分三種情況：
如圖①，與在的兩側時，
∵，，射線、分別繞點，點以度秒和度秒的速度同時順時針轉動，設時間為秒，
∴，，
要使，則需，
即，
解得：，
此時，
∴；
②旋轉到與都在的右側時，
∵，，
∴，，
要使，則需，
即，
解得：，
此時，
∴；
③旋轉到與都在的左側時，
∵，，
∴，，
要使，則需，
即，
解得：，
此時，
∵，
∴此情況不存在；
綜上所述，當時間的值為秒或秒時，與平行．
故答案為：秒或秒．
【變式訓練8-1】如圖，直線上有兩點A、C，分別引兩條射線、，，，射線、分別繞A點，C點以1度/秒和4度/秒的速度同時順時針轉動，在射線轉動一周的時間內，使得與平行所有滿足條件的時間＝ ．

【答案】或
【分析】運用分類思想，結合平行線的判定，計算即可．
【詳解】解：設運動x秒后，使得與平行，
此時轉過了，轉過了，
當與在的兩側，

此時，
∵，
∴，
∴
解得；
當與在的同側，

此時，
∵，
∴，
∴
解得；
當轉了一圈，與在的同側，

此時，
∵，
∴，
∴
解得（舍去）；
故答案為：或．
【點睛】本題考查了平行線的判定，一元一次方程的應用，熟練掌握性質，靈活解方程是解題的關鍵．
【變式訓練8-2】如圖所示，直線上有兩點A，C，分別引兩條射線，，，射線別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t，在射線轉動一周的時間內，使得與平行所有滿足條件的時間 秒．

【答案】5或/或5
【分析】分①與在的兩側時，分別表示出與，然后根據內錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；②旋轉到與都在的右側，分別表示出與，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；③旋轉到與都在的左側，分別表示出與，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解．
【詳解】∵，
∴，
分三種情況：
如圖①，與在的兩側時，，，

要使，則，
即，
解得；
如圖②，旋轉到與都在的右側時，
，，
要使，則，
即，
解得；
如圖③，旋轉到與都在的左側時，
，，
要使，則，
即，
解得，
此時，
∴此情況不存在．
綜上所述，當時間t的值為5秒或秒時，與平行．
故答案為：5或．
【點睛】本題考查了平行線的判定、一元一次方程的應用，讀懂題意并熟練掌握根據平行線的判定方法列方程是解題的關鍵，要注意分情況討論．
【變式訓練8-3】如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，，現將木棒a、b同時繞著自身與c相交的交點順時針旋轉一周，速度分別為12度/秒和2度/秒，兩根木棒都停止時運動結束，則從開始運動經過 秒時木棒a，b平行．
【答案】3或21或75或165
【分析】設經過t秒時木棒a，b平行，分情況討論：當秒時；當秒時；當時；當時，利用同位角相等兩直線平行，列方程求解即可得到答案
【詳解】解：設經過t秒時木棒a，b平行，根據題意得：
當秒時，，解得：；
當秒時，，解得：；
當秒時，木棒a停止運動，
當時，，解得：，不符合題意；
當時，，解得：；
，解得：，
當時，木棒b停止運動，
綜上所述，經過3或21或75或165秒時木棒a，b平行，
故答案為：3或21或75或165．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應用，利用分類討論的思想，準確找出角度之間的數量關系是解題關鍵．
【變式訓練8-4】如圖，把一副三角板如圖擺放，點E在邊AC上，將圖中的△ABC繞點A按每秒5°速度沿順時針方向旋轉180°，在旋轉的過程中，在第 秒時，邊BC恰好與邊DE平行．

【答案】21
【分析】根據題意結合BC與DE在A點同側畫出圖形．利用平行線的性質得出即可．
【詳解】解：如圖1所示：當B′C′∥DE時，

由題意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°， 則∠FAD=75°， 故∠CAF=15°，
則∠BAF=105°， 故邊BC恰好與邊DE平行時，旋轉的時間為：（秒），
故答案為：21．
【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質，根據題意畫出圖形是解題關鍵．
【變式訓練8-5】如圖①，直線與直線、分別交于點E、F，與互補．
(1)試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由：
(2)如圖②，，在內部有，且平分∠BEG，平分，求的度數；
(3)在（2）的條件下，當從的位置開始，繞著點E以每秒的速度順時針旋轉t秒，且始終在內部，若與其中一個角是另一個的兩倍，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)t的值為秒或秒
【分析】本題主要考查主要了平行線的判定以及角平分線的相關計算，利用角平分線把角表示出來是解題的關鍵．
（1）由已知條件可得，由平角的定義可得出，等量代換可得，即可得出．
（2）設，由平分可得出，再根據角的和差關系可得出，再由平分可得出，最后根據角的和差關系即可得出答案．
（3）分兩種情況討論：當時，當時，畫出圖形，設，再利用角平分線，把表示出來，再計算即可．
【詳解】（1）解：
理由如下∶
∵與互補，
∴
∵，
∴，
∴．
（2）設
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（3）當時，如圖：設是旋轉的角．
設，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴（秒）
當2時，如圖：設是旋轉的角．
設，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴(秒)，
綜上所述，t的值為秒或秒．
題型九：平行線中角平分線問題
【經典例題9】已知直線和被直線所截．
(1)如圖①，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？
(2)如圖②，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？
(3)如圖③，若平分，平分，則與滿足什么條件時，？為什么？
【答案】(1)，理由見解析
(2)，理由見解析
(3)，理由見解析
【分析】本題考查了平行線的判定，角平分線定義的應用，注意：平行線的判定是：①同位角相等，兩直線平行；②內錯角相等，兩直線平行；③同旁內角互補，兩直線平行．
（1）根據角平分線定義得出，，時，求出，根據平行線的判定推出即可．
（2）根據角平分線定義得出，，求出，根據平行線的判定推出即可．
（3）根據角平分線定義得出，，求出，根據平行線的判定推出即可．
【詳解】（1）解：當時，．理由如下：
平分，平分
．
，
，
．
（2）解：當時，．理由如下：
平分，平分，
．
，
，
．
（3）解：當時，．理由如下：
平分，平分，
．
，
，
．
【變式訓練9-1】如圖①，直線與直線、分別交于點E、F，與互補．
(1)試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由：
(2)如圖②，，在內部有，且平分∠BEG，平分，求的度數；
(3)在（2）的條件下，當從的位置開始，繞著點E以每秒的速度順時針旋轉t秒，且始終在內部，若與其中一個角是另一個的兩倍，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)t的值為秒或秒
【分析】本題主要考查主要了平行線的判定以及角平分線的相關計算，利用角平分線把角表示出來是解題的關鍵．
（1）由已知條件可得，由平角的定義可得出，等量代換可得，即可得出．
（2）設，由平分可得出，再根據角的和差關系可得出，再由平分可得出，最后根據角的和差關系即可得出答案．
（3）分兩種情況討論：當時，當時，畫出圖形，設，再利用角平分線，把表示出來，再計算即可．
【詳解】（1）解：
理由如下∶
∵與互補，
∴
∵，
∴，
∴．
（2）設
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（3）當時，如圖：設是旋轉的角．
設，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴（秒）
當2時，如圖：設是旋轉的角．
設，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴(秒)，
綜上所述，t的值為秒或秒．
【變式訓練9-2】如圖，直線和被直線所截．

(1)如圖1，平分，平分（平分的是一對同旁內角），則與滿足______時， ，并說明平行的理由；
(2)如圖2，平分，平分（平分的是一對同位角），則與滿足______時，，并說明平行的理由；
(3)如圖3，平分，平分（平分的是一對內錯角），則與滿足______時，，并說明平行的理由．
【答案】(1)，見解析
(2)，見解析
(3)，見解析
【分析】（1）根據角平分線的定義可得，，故與滿足，即可得出，即可判斷；
（2）根據角平分線的定義可得，，故與滿足，即可得，即可判斷；
（3）同（2）的分析即得結論．
【詳解】（1）當與滿足時， ，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）當與滿足時，，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；

（3）當與滿足時，，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了角平分線的定義和平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵，常見的判定兩直線平行的方法有：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行．
【變式訓練9-3】如圖，直線與直線，分別相交于點M，O，，分別平分和，與交于點P，Q，已知．
(1)若，求的度數；
(2)對說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據角平分線的定義得出，設，則，根據題意得出，求出x的值，即可得出答案；
（2）根據，分別平分和，得出，根據，得出，根據平行線的判斷即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴設，則，
∴，
解得：，
∴；
（2）證明：∵，分別平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定，角平分線的定義，余角的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判斷方法．
【變式訓練9-4】如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD，∠EDO與∠1互余．
(1)求證：；
(2)OF平分∠COD交DE于點F，若OFD=70，補全圖形，并求∠1的度數．
【答案】(1)見解析
(2)補全圖形見解析，∠1=25°
【分析】（1）根據與互余，，得，根據同旁內角互補，兩直線平行，即可證明；
（2）根據平分交于點，得，又根據，求出的角度，再根據與互余，即可求出．
【詳解】（1）證明：
∵與互余
∴
又∵
∴
∵
又∵
∴．
（2）∵平分交于點
∴
∵
∴在中，
∴
∴
又∵與互余
∴
∴
∴．
【點睛】本題考查平行線的判定，余角的性質等知識，解題的關鍵是掌握平行線的判定，角平分線的定義．
【變式訓練9-5】如圖，直線EF交直線AB、CD與點M、N，NP平分∠ENC交直線AB于點P．
已知∠EMB=112°，∠PNC=34°．
(1)求證：AB∥CD；
(2)若PQ將分∠APN成兩部分，且∠APQ：∠QPN=1：3，求∠PQD的度數．
【答案】(1)見詳解
(2)36.5°
【分析】（1）根據角平分線的性質，可得∠MNQ=2∠PNC=68°，再根據對頂角的定義∠PMN=∠EMN=112°，繼而根據平行線的判定定理即可求證結論；
（2）根據∠APQ：∠QPN=1：3，可得∠QPN=3∠APQ，根據AB∥CD，可得∠MPN=∠PNC=34°，再根據平角定義可得∠APQ=32°，進而可得∠PQD的度數．
【詳解】（1）∵NP平分∠ENC，∠PNC=34°
∴∠MNQ=2∠PNC=68°，
又∠PMN=∠EMN=112°（對頂角相等），
∴∠PMN+∠MNQ=180°，
∴AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）
（2）∵∠APQ：∠QPN=1：3，
∴∠QPN=3∠APQ，
∵AB∥CD，
∴∠MPN=∠PNC=34°，
∴∠APN=180°﹣∠MPN=146°，
∴∠APQ+∠QPN=146°，
∴4∠APQ=146°，
∴∠APQ=36.5°，
∴∠PQD=∠APQ=36.5°．
則∠PQD的度數為36.5°．
【點睛】本題考查了平行線的判定及其性質和角平分線的性質以及平角的定義，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質．
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