資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題7.2.2平行線（二）八大題型（一課一講）
（內容:平行線的性質）
【人教版】
題型一：根據平行線的判定和性質求角度
【經典例題1】如圖，已知，，則的度數（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】如圖所示，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】如圖，已知， 則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】如圖，與互余，與的余角互補， 則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】如圖，已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
題型二：平行線的性質在三角板中的應用
【經典例題2】將一把直尺和一塊含有的直角三角板按如圖所示的位置擺放，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】已知直線，將一塊直角三角板按如圖所示方式放置，其中三角板的兩個頂點分別落在直線、上，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】將含角的直角三角板按如圖所示擺放，直角頂點在直線m上，銳角頂點在直線n上，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】如圖，三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練2-4】將一副三角板和（其中）按如圖所示的方式擺放，一直角頂點D落在上．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】如圖，將直尺與含角的直角三角板疊放在一起，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-6】如圖，把一副三角板中的每個三角板的直角頂點都放置在另一個三角板的斜邊上，并使兩三角板的斜邊互相平行，圖中的度數為（ ）
A． B． C． D．
題型三：平行線的性質在生活中的應用
【經典例題3】一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么這兩次轉彎的角度可以是（ ）
A．先右轉，再左轉 B．先左轉，再右轉
C．先左轉，再右轉 D．先右轉，再右轉
【變式訓練3-1】光從空氣斜射入水中，傳播方向會發生變化．如圖，表示水面的直線與表示水底的直線平行，光線從空氣射入水中，改變方向后射到水底處，是的延長線，若，，則的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從空氣射向水時，要發生折射．由于折射率相同，所以在空氣中平行的光線， 在水中也是平行的．如圖，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-3】在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發明了木桿秤，學名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態，已知，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-4】如圖，在一條公路的兩側鋪設了兩條平行管道和，如果管道與縱向聯通管道的夾角，那么管道與縱向聯通管道的夾角的度數等于 ．
【變式訓練3-5】如圖①是一盞可以伸縮的臺燈，它的優點是可以變化伸縮，找到合適的照明角度．圖②是這盞臺燈的示意圖．已知臺燈水平放置，當燈頭與支架平行時可達到最佳照明角度，此時支架與水平線的夾角，兩支架和的夾角．
(1)求此時支架與底座的夾角的度數；
(2)求此時燈頭與水平線的夾角的度數．
題型四：根據平行線的判定和性質證明
【經典例題4】如圖，在 ABC中，是高，點，，分別在，，上，且，．
(1)試判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若，平分，求的度數．
【變式訓練4-1】如圖，已知，．
(1)求證：；
(2)若，射線平分，求的度數．
【變式訓練4-2】如圖，已知點在直線上，射線平分，過點作，是射線上一點，連接，滿足.
(1)求證：；
(2)若，求證：.
【變式訓練4-3】如圖，在四邊形中，為上一點，為上一點，連接，，若，．
(1)求證：；
(2)若平分，，，求的度數．
【變式訓練4-4】如圖，點D，E分別是三角形的邊，上的點，連接，，點F是線段上一點，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【變式訓練4-5】如圖，已知，，點E在線段延長線上，平分．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
題型五：根據平行線的判定和性質填空
【經典例題5】如圖，已知，，，求．
解：∵
∴（ ）
又∵
∴（ ）
∴______（ ）
∴（ ）
∵
∴
【變式訓練5-1】如圖，在四邊形中，，于點D，于點F，試說明．請補全證明過程，即在橫線處填上結論或理由．
解：∵（已知），
∴______，（_____________________），
∴______，（_____________________），
∵，（已知），
∴______，
∴______，（_____________________），
∴______
【變式訓練5-2】已知：如圖 ， ．求證： ．（請把以下證明過程補充完整）
證明： ∵ （已知）
又∵（ ）
∴ （等量代換）
∴（同位角相等， 兩直線平行）
∴（ ）
∵ （已知）
∴ （等量代換）
∴ （ ）
∴．（ ）
【變式訓練5-3】補全下列解題過程．
如圖，在 ABC中，點E、F分別在上，點M、N均在上，連接交于點O，已知，試說明．
解：，
（①___________），
（②___________），
（③___________），
（④___________）．
，
，
（⑤___________）．
【變式訓練5-4】幾何說理填空：如圖，是上一點，于點，是上一點，于點，，求證：．
證明：連接
∵，
∴，（________）
∴
∴________//________（________）
∴________（________）
又∵
∴
即
∴（________）
【變式訓練5-5】如圖，于點B，于點F，，試說明．請補充完整下面的說理過程：
解：，理由如下：因為，
所以（ ① ）
所以，
所以（ ② ）
所以（ ③ ）
又因為（已知）所以 ④ （等量代換）
所以（ ⑤ ）
題型六：求平行線之間的距離
【經典例題6】如圖所示，四邊形中，，連接，點在邊上，點在邊上，且．

(1)求證：．
(2)若，且．求與之間的距離．
(3)若．試求點到直線的距離的取值范圍．
【變式訓練6-1】如圖，，平分，平分，．
(1)問：與平行嗎？試說明理由．
(2)過點作于點，如圖若，，，求，所在的直線之間的距離．
【變式訓練6-2】如圖所示，四邊形中，，連接，點在邊上，點在邊上，且．

(1)求證：
(2)若 ，且，，．求與之間的距離．
(3)若，，．試求點到直線的距離的取值范圍．
【變式訓練6-3】如圖，直線，與，分別交于點，，且，交直線于點．
(1)若，求的度數；
(2)若，，求直線與的距離．
【變式訓練6-4】如圖，直線與分別相交于點，且交直線于點．

（1）若，求的度數；
（2）若，求直線與的距離．
【變式訓練6-5】如圖，直線a∥b，AB與a，b分別相交于點A，B，且AC⊥AB，AC交直線b于點C．

（1）若∠1＝60°，求∠2的度數；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直線a與b的距離．
題型七：利用平行線之間的距離解決問題
【經典例題7】如圖，在梯形中，，點為腰上的一點，交于點，與是否平行？請說明理由，分別測量出點到的距離，兩者有何關系．
【變式訓練7-1】如圖，在四邊形中，，對角線，交于點O，若的面積為8，求的面積．

【變式訓練7-2】如圖，直線，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點．
(1)如果A、B、C為三個定點，點P在直線m上移動，那么無論點P移動到何位置，總有________與 ABC的面積相等．理由是____________________；
(2)如果點P在如圖所示的位置，請寫出另外兩對面積相等的三角形：____________________．
【變式訓練7-3】如圖，正方形和正方形并排放置，和相交于點，已知厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

【變式訓練7-3】梯形中，平行于，對角線交于點，平行于，交腰于點，如果三角形的面積是平方厘米，那么三角形的面積是多少平方厘米．
【變式訓練7-4】已知：如圖，，且，E為的中點．
（1）求證： AED≌ EBC；
（2）在不添加輔助線的情況下，除外，請再寫出兩個與的面積相等的三角形．（直接寫出結果，不要求證明）
題型八：利用平行線的判定和性質進行探索
【經典例題8】已知，直線，點P為平面上一點，連接與．
(1)如圖1，點P在直線，之間，當，時，求的度數．
(2)如圖2，點P在直線，之間，與的角平分線相交于點K，寫出與之間的數量關系，并說明理由．
(3)如圖3，點P落在外．
①直接寫出、、的數量關系為______．
②與的角平分線相交于點K，請直接寫出與的數量關系為______．
【變式訓練8-1】綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學們開展了探究三角之間數量關系的數學活動．
(1)如圖1，，點，分別為直線，上的一點，點為平行線間一點且，，求度數；
問題遷移
(2)如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交，于點，，直線分別交，于點，，點在射線上運動．
①當點在，（不與，重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數量關系？請說明理由；
②若點不在線段上運動時（點與點，，三點都不重合），請你直接寫出，，間的數量關系．
【變式訓練8-2】已知直線，直線與直線、分別相交于C、D兩點．
(1)如圖，有一動點P在線段之間運動（不與C、D兩點重合），問在點P的運動過程中，又怎樣的數量關系？試說明理由．
(2)如圖b，當動點P線段之外運動（不與C、D兩點重合），問上述結論是否成立？若不成立，試寫出新的結論并說明理由．
【變式訓練8-3】【提出問題】睿睿在學行線的基本模型——豬蹄模型后，想繼續研究相關模型的特點，于是他組織數學興趣小組進行了以下探究：

【分析問題】如圖，已知直線，直線c分別與直線a，b相交于點E，F，點A，B分別在直線a，b上，且在直線c的左側，點P是直線c上一動點（不與點E，F重合），設，，．
【解決問題】（1）問題一：如圖1，當點P在線段EF上運動時，試探索，，之間數量的關系，并給出證明．睿睿回憶豬蹄模型的證明方法：“過點P作……”請你用直尺和鉛筆在圖1中作出這一輔助線，并幫助睿睿完成證明；
【類比探究】（2）問題二：當點P在線段外運動時，（1）中的結論是否還成立呢？興趣小組的同學們認為要分兩種情況進行討論，請你結合圖形幫助他們探究這三個角的數量關系．
①如圖2，當動點P在線段之外且在直線a的上方運動（不與E點重合）時，，，滿足什么數量關系？請給出證明；
②請用直尺、鉛筆，在圖3中畫出動點P在線段之外且在直線b的下方運動（不與F點重合）時的圖形，并仿照圖1，圖2，標出圖3中的，，，此時，，之間有何數量關系，請直接寫出結論，不必說明理由．
【應用拓展】
（3）問題三：如圖4所示，請直接寫出圖4中，，，之間的數量關系，不必說明理由．
【變式訓練8-4】【模型發現】某校七年級數學興趣小組的同學在活動中發現：如圖1的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是大家就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數量關系．
(1)如圖1，，是、之間的一點，連接，，則有．請你證明這個結論．
(2)【運用】如圖2，，、是、之間的兩點，且，請你利用（1）中“豬蹄模型”的結論，找出、、三者之間的數量關系，并說明理由．
(3)【延伸】如圖3，，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代數式表示，請直接寫出結論，無需證明）
【變式訓練8-5】如圖，已知直線，且和，分別相交于，兩點，和，分別交于，兩點，，，，點在線段上．
(1)若，，則 ．
(2)試找出，，之間的等量關系，并說明理由；
(3)應用（）中的結論解答以下問題：如圖，點在處北偏東的方向上，在處的北偏西的方向上，求的度數；
(4)如果點在直線上且在，兩點外側運動時，其他條件不變，試探究，，之間的關系（點和，兩點不重合），直接寫出結論即可．
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專題7.2.2平行線（二）八大題型（一課一講）
（內容:平行線的性質）
【人教版】
題型一：根據平行線的判定和性質求角度
【經典例題1】如圖，已知，，則的度數（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵，先由得到，從而得到，進而得到的度數．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【變式訓練1-1】如圖，，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的判定和性質．熟練掌握平行線的判定和性質是解答的關鍵．
利用平行線的判定和性質即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【變式訓練1-2】如圖所示，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定．掌握平行線的性質與判定，平角定義，對頂角性質，是解題的關鍵．
先證明，再根據兩直線平行同位角相等可得，再根據對頂角相等可得．
【詳解】解：如圖，∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
故選：D．
【變式訓練1-3】如圖，已知， 則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，先根據內錯角相等，兩直線平行得到，再根據兩直線平行，同位角相等即可得到．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【變式訓練1-4】如圖，與互余，與的余角互補， 則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的判定和性質，根據題意，得到，得到，平角的定義求出，
【詳解】解：與互余，與的余角互補，
，
，
，
，
∵，
，
故選：C
【變式訓練1-5】如圖，已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的判定和性質．作，得到，利用鄰補角求得的度數，根據平行線的判定和性質即可求解．
【詳解】解：作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
題型二：平行線的性質在三角板中的應用
【經典例題2】將一把直尺和一塊含有的直角三角板按如圖所示的位置擺放，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，三角板中的角度問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示，，
∵直尺與三角板的兩邊平行，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓練2-1】已知直線，將一塊直角三角板按如圖所示方式放置，其中三角板的兩個頂點分別落在直線、上，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，三角板的屬性，根據題意，得到，再根據三角板的特點得到，代入計算即可．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【變式訓練2-2】將含角的直角三角板按如圖所示擺放，直角頂點在直線m上，銳角頂點在直線n上，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線的性質，平角的定義，根據平行線的性質得到，再由平角的定義求出的度數即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：D．
【變式訓練2-3】如圖，三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；熟練掌握平行線的性質是解題關鍵，先根據平角的定義求出的度數，再根據平行線的性質求出的度數即可得答案．
【詳解】解：如圖：∵三角板的直角頂點落在長方形紙片的一邊上，，
∴，
∵，
∴，

故選：C．
【變式訓練2-4】將一副三角板和（其中）按如圖所示的方式擺放，一直角頂點D落在上．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，角的和與差，熟練掌握平行線的性質，角的和與差是解題的關鍵．由，可得，從而，根據求出結果即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【變式訓練2-5】如圖，將直尺與含角的直角三角板疊放在一起，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查平行線的性質．根據題意可得，再根據平行線的性質，可得，然后根據平角可算出的度數，即可求解．
【詳解】解：如圖，
根據題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C
【變式訓練2-6】如圖，把一副三角板中的每個三角板的直角頂點都放置在另一個三角板的斜邊上，并使兩三角板的斜邊互相平行，圖中的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了平行線的性質和判定，對頂角相等，
過點G作，根據平行線的性質得到，，進而利用對頂角相等求解即可．
【詳解】如圖所示，過點G作
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故選：C．
題型三：平行線的性質在生活中的應用
【經典例題3】一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么這兩次轉彎的角度可以是（ ）
A．先右轉，再左轉 B．先左轉，再右轉
C．先左轉，再右轉 D．先右轉，再右轉
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，根據題意畫出圖形是解答此題的關鍵．
根據題意畫出圖形，根據平行線的性質判定即可．
【詳解】解：如圖所示：
A、
故本選項錯誤；
B、
故本選項正確；
C、
故本選項錯誤；
D、
故本選項錯誤．
故選B．
【變式訓練3-1】光從空氣斜射入水中，傳播方向會發生變化．如圖，表示水面的直線與表示水底的直線平行，光線從空氣射入水中，改變方向后射到水底處，是的延長線，若，，則的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查平行線的性質，由平行線的性質推出，由平角定義得到，于是得到．
【詳解】解：，
，
，
．
故選：A．
【變式訓練3-2】光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從空氣射向水時，要發生折射．由于折射率相同，所以在空氣中平行的光線， 在水中也是平行的．如圖，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線性質的實際應用，根據平行線的性質可得，，再結合計算即可．
【詳解】如圖，
∵在空氣中平行的光線， 在水中也是平行的
∴，，
∵
∴，，
∴，
故選：B．
【變式訓練3-3】在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發明了木桿秤，學名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態，已知，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，依題意，，

∴，
∵，，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓練3-4】如圖，在一條公路的兩側鋪設了兩條平行管道和，如果管道與縱向聯通管道的夾角，那么管道與縱向聯通管道的夾角的度數等于 ．
【答案】/80度
【分析】本題考查平行線的性質的應用，根據平行線的性質，進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式訓練3-5】如圖①是一盞可以伸縮的臺燈，它的優點是可以變化伸縮，找到合適的照明角度．圖②是這盞臺燈的示意圖．已知臺燈水平放置，當燈頭與支架平行時可達到最佳照明角度，此時支架與水平線的夾角，兩支架和的夾角．
(1)求此時支架與底座的夾角的度數；
(2)求此時燈頭與水平線的夾角的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了平行線的性質，熟記平行線的性質定理是解題的關鍵．
（1）過點作，根據平行線的性質求解即可；
（2）根據平行線的性質及角的和差求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，過點作，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
題型四：根據平行線的判定和性質證明
【經典例題4】如圖，在 ABC中，是高，點，，分別在，，上，且，．
(1)試判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若，平分，求的度數．
【答案】(1)；理由見解析
(2)
【分析】本題考查了垂直的定義、平行線的判定和性質以及三角形的內角和定理等知識，熟練掌握平行線的判定和性質是關鍵．
（1）根據平行線的性質和判定解答即可；
（2）先求出的度數，即為，根據角平分線的定義可得，再根據平行線的性質即得答案．
【詳解】（1）解：；理由是：
∵是高，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練4-1】如圖，已知，．
(1)求證：；
(2)若，射線平分，求的度數．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義：
（1）先由兩直線平行，同旁內角互補得到，再證明，即可證明；
（2）由角平分線的定義得到，則由兩直線平行，內錯角相等即可得到．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，射線平分，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練4-2】如圖，已知點在直線上，射線平分，過點作，是射線上一點，連接，滿足.
(1)求證：；
(2)若，求證：.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了垂線的定義、角平分線的定義、平行線的判定，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由垂線的定義得出，結合平角的定義得出，結合即可得證；
（2）由角平分線的定義得出，由垂線的定義得出即，結合得出，從而得出，即可得證．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：∵射線平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練4-3】如圖，在四邊形中，為上一點，為上一點，連接，，若，．
(1)求證：；
(2)若平分，，，求的度數．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】本題考查了平行線的性質和判定、角平分線的性質等知識點，理解題意學會分析是解決此類問題的關鍵．
（1）要證明，可通過與互補求得，利用平行線的性質說明可得結論；
（2）要求的度數，可通過平角和求得，利用（）的結論及角平分線的性質求出及的度數即可．
【詳解】（1）證明：∵，
，
．
∵，
．
∴；
（2）解：，
，
平分，，
．
∵，，
，
．
．
【變式訓練4-4】如圖，點D，E分別是三角形的邊，上的點，連接，，點F是線段上一點，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了平行線的性質和判定，垂直的定義，解題的關鍵是掌握以上知識點．
（1）首先由得到，然后等量代換得到，然后根據平行線的判定定理求解即可；
（2）首先根據垂直的定義得到，然后根據平行線的性質得到，然后求出，然后就平行線的性質求解即可．
【詳解】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
【變式訓練4-5】如圖，已知，，點E在線段延長線上，平分．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題為平行線與角平分線的綜合題，考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義等知識，綜合性較強，熟知相關定理并根據題意靈活應用是解題關鍵，第（2）步要注意根據題意設出未知數，用含x的式子表示出相關角，列出方程解答．
（1）根據得到，根據角平分線的定義得到，即可證明；
（2）設，則，根據得到，進而得到，根據，得到，從而求出．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴；
∴ ，
∵平分，
∴，
∴ ；
（2）解：∵，，
可設，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴
∵，
∴，即
∴，
解得：，
∴．
題型五：根據平行線的判定和性質填空
【經典例題5】如圖，已知，，，求．
解：∵
∴（ ）
又∵
∴（ ）
∴______（ ）
∴（ ）
∵
∴
【答案】兩直線平行，同位角相等；等量代換；，內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補
【分析】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．由與平行，利用兩直線平行，同位角相等得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到與平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到兩個角互補，即可求出所求角的度數．
【詳解】解：（已知），
（兩直線平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代換），
（內錯角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，同旁內角互補）．
（已知），
．
故答案為：兩直線平行，同位角相等；等量代換；，內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．
【變式訓練5-1】如圖，在四邊形中，，于點D，于點F，試說明．請補全證明過程，即在橫線處填上結論或理由．
解：∵（已知），
∴______，（_____________________），
∴______，（_____________________），
∵，（已知），
∴______，
∴______，（_____________________），
∴______
【答案】；同旁內角互補，兩直線平行；；兩直線平行，內錯角相等；；垂直于同一直線的兩條直線互相平行；；兩直線平行，同位角相等；；等量代換
【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同位角相等．根據平行線的判定和性質進行解答即可．
【詳解】解：∵（已知），
∴，（同旁內角互補，兩直線平行），
∴，（兩直線平行，內錯角相等），
∵，（已知），
∴，（垂直于同一直線的兩條直線互相平行），
∴，（兩直線平行，同位角相等），
∴，（等量代換）．
故答案為：；同旁內角互補，兩直線平行；；兩直線平行，內錯角相等；；垂直于同一直線的兩條直線互相平行；；兩直線平行，同位角相等；；等量代換．
【變式訓練5-2】已知：如圖 ， ．求證： ．（請把以下證明過程補充完整）
證明： ∵ （已知）
又∵（ ）
∴ （等量代換）
∴（同位角相等， 兩直線平行）
∴（ ）
∵ （已知）
∴ （等量代換）
∴ （ ）
∴．（ ）
【答案】對頂角相等；3；兩直線平行，同位角相等；；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等
【分析】考查了平線的性質與判定的綜合運用，平行線的判定是由角的數量關判斷兩直線的位置關系，平行性質是由平行關系來尋找角的數量關系．
先根據條件，判定，而得出，再判定，再根據平行線的性質，即可出．
【詳解】證明：∵（已知），
又∵（對頂角相等），
∴（等量代換）
∴（同位角相等，兩直線平行）
∴（兩直線平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代換）
∴（內錯角相等，兩直線平行）
∴．（兩直線平行，內錯角相等）
故答案為：對頂角相等；3；兩直線平行，同位角相等；；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等．
【變式訓練5-3】補全下列解題過程．
如圖，在中，點E、F分別在上，點M、N均在上，連接交于點O，已知，試說明．
解：，
（①___________），
（②___________），
（③___________），
（④___________）．
，
，
（⑤___________）．
【答案】①對頂角相等；②等量代換；③同旁內角互補，兩直線平行；④兩直線平行，同位角相等；⑤內錯角相等，兩直線平行
【分析】此題考查了平行線的判定與性質及三角形的外角性質，熟記平行線的判定定理與性質定理是解題的關鍵．根據對頂角相等結合題意推出，即可判定；根據平行線的性質等量代換得出，據此即可判定．
【詳解】解：，
（①對頂角相等），
（②等量代換），
（③同旁內角互補，兩直線平行），
（④兩直線平行，同位角相等；）．
，
，
（⑤內錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：①對頂角相等；②等量代換；③同旁內角互補，兩直線平行；④兩直線平行，同位角相等；⑤內錯角相等，兩直線平行．
【變式訓練5-4】幾何說理填空：如圖，是上一點，于點，是上一點，于點，，求證：．
證明：連接
∵，
∴，（________）
∴
∴________//________（________）
∴________（________）
又∵
∴
即
∴（________）
【答案】垂線定義；；同位角相等，兩直線平行；4；兩直線平行，內錯角相等；內錯角相等，兩直線平行
【分析】本題考查利用平行線的判定與性質證明．掌握相關定理內容是解題關鍵．根據垂線的定義，平行線的判定與性質即可求證．
【詳解】證明：連接
∵，
∴，（垂線定義）
∴
∴（同位角相等，兩直線平行）
∴（兩直線平行，內錯角相等）
又∵
∴
即
∴（內錯角相等，兩直線平行）
故答案為：垂線定義；；同位角相等，兩直線平行；4；兩直線平行，內錯角相等；內錯角相等，兩直線平行．
【變式訓練5-5】如圖，于點B，于點F，，試說明．請補充完整下面的說理過程：
解：，理由如下：因為，
所以（ ① ）
所以，
所以（ ② ）
所以（ ③ ）
又因為（已知）所以 ④ （等量代換）
所以（ ⑤ ）
【答案】垂直定義；同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；；內錯角相等，兩直線平行
【分析】本題考查了垂直的意義，平行線的判定和性質，解決本題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握平行線的判定方法．根據垂直的定義，平行線的判定方法判斷出，再利用平行線的性質找到相等的角，最后等量代換利用平行線的判定方法證明即可．
【詳解】解：，理由如下：因為，
所以（垂直定義）
所以，
所以（同旁內角互補，兩直線平行）
所以（兩直線平行，同位角相等）
又因為（已知）
所以（等量代換）
所以（內錯角相等，兩直線平行）
故答案為：垂直定義；同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；；內錯角相等，兩直線平行．
題型六：求平行線之間的距離
【經典例題6】如圖所示，四邊形中，，連接，點在邊上，點在邊上，且．

(1)求證：．
(2)若，且．求與之間的距離．
(3)若．試求點到直線的距離的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)大于0小于等于5
【分析】（1）由平行線的性質可得，從而得到，再由平行線的判定即可得到；
（2）由知：與之間的距離等于點到直線的距離，由三角形的面積公式進行計算即可得到答案；
（3）過點作于，連接，當與重合時，，當無限接近時，無限接近0，即可得到答案．
【詳解】（1）證明：，
，
又，
，
；
（2）解：由知：與之間的距離等于點到直線的距離，
即設三角形的邊上的高為，
由三角形的面積計算公式可得：
，即，
解得：，
與之間的距離為2.4；
（3）解：過點作于，連接，
，
當與重合時，，
當無限接近時，無限接近0，
，
點到直線的距離的取值范圍為大于0小于等于5．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，平行線之間的距離，點到直線的距離，三角形的面積公式，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．
【變式訓練6-1】如圖，，平分，平分，．
(1)問：與平行嗎？試說明理由．
(2)過點作于點，如圖若，，，求，所在的直線之間的距離．
【答案】(1)平行，見解析
(2)8
【分析】本題考查平行線的判定和性質，等積法求平行線間的距離：
（1），得到，角平分線推出，進而得到，即可得證；
（2）先證明四邊形是平行四邊形，設，所在的直線之間的距離為，等積法求出的值即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
設，所在的直線之間的距離為，
，
即，
，
即，所在的直線之間的距離為．
【變式訓練6-2】如圖所示，四邊形中，，連接，點在邊上，點在邊上，且．

(1)求證：
(2)若 ，且，，．求與之間的距離．
(3)若，，．試求點到直線的距離的取值范圍．
【答案】(1)詳見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據平行線的性質得出根據已知得出，即可得證；
（2）根據等面積法求平行線間的距離即可求解；
（3）根據直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，即可求解．
【詳解】（1）證明：
兩直線平行，內錯角相等
又
（等量代換）
（同位角相等，兩直線平行）
（2）由知與之間的距離等于點到直線的距離即三角形的邊上的高設為．由三角形的面積計算公式可得：
即：
解得：
故：與之間的距離為．
（3）設點到直線的距離為，∵，，
如圖所示，作，當點與點重合時，到直線的距離為，

當點接近直線時，則點到直線的距離接近，
∴點到直線的距離的取值范圍：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，點到直線的距離，平行線之間的距離，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【變式訓練6-3】如圖，直線，與，分別交于點，，且，交直線于點．
(1)若，求的度數；
(2)若，，求直線與的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直線，根據平行線的性質得出，再由，根據垂直的定義即可得到結果；
（2）過作于，根據，即可求解．
【詳解】（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如圖，過作于，則的長即為直線與的距離
∵，，
是直角三角形
∵
∴
∴直線與的距離
【點睛】本題考查了平行線的性質及三角形的面積，解題的關鍵是掌握：從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離．
【變式訓練6-4】如圖，直線與分別相交于點，且交直線于點．

（1）若，求的度數；
（2）若，求直線與的距離．
【答案】（1）20°；（2）
【分析】（1）依據直線a∥b，AC⊥AB，即可得到∠2＝90° ∠3＝20°；
（2）設三角形中邊上的高為，依據，即可得到．
【詳解】（1）解：因為，

所以，
又因為，
所以，
所以
（2）設三角形中邊上的高為，
因為邊上的高線垂直于
又因為，點在直線，
所以邊上的高即為直線與的距離，
因為，
所以，
所以直線與的距離為．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形的面積，解題的關鍵是掌握：從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離．
【變式訓練6-5】如圖，直線a∥b，AB與a，b分別相交于點A，B，且AC⊥AB，AC交直線b于點C．

（1）若∠1＝60°，求∠2的度數；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直線a與b的距離．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）如圖（見解析），先根據平行線的性質可求出的度數，再根據垂直的性質即可得；
（2）先畫出a與b之間的距離，再利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】（1）如圖，∵直線，
又
；
（2）如圖，過A作于D，則AD的長即為a與b之間的距離
解得
故直線a與b的距離為．

【點睛】本題考查了平行線的性質、垂直的性質等知識點，屬于基礎題，熟記各性質是解題關鍵．
題型七：利用平行線之間的距離解決問題
【經典例題7】如圖，在梯形中，，點為腰上的一點，交于點，與是否平行？請說明理由，分別測量出點到的距離，兩者有何關系．
【答案】，理由見解析，點到的距離相等
【分析】本題主要考查了平行公理，平行線的性質，根據平行公理可得，由平行線間間距相等可知，點到的距離相等．
【詳解】解：，理由如下：
∵，，
∴；
由平行線間間距相等可知，點到的距離相等．
【變式訓練7-1】如圖，在四邊形中，，對角線，交于點O，若的面積為8，求的面積．

【答案】8
【分析】本題考查平行線間距離相等，三角形面積公式．根據題意過點B，C分別作的垂線，交直線于點E，F，可得，繼而得到，再減去公共部分三角形即，即可得到答案．
【詳解】解：過點B，C分別作的垂線，交直線于點E，F，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【變式訓練7-2】如圖，直線，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點．
(1)如果A、B、C為三個定點，點P在直線m上移動，那么無論點P移動到何位置，總有________與的面積相等．理由是____________________；
(2)如果點P在如圖所示的位置，請寫出另外兩對面積相等的三角形：____________________．
【答案】(1)，同底等高的兩個三角形的面積相等
(2)與，與
【分析】本題主要考查了三角形的面積、平行線之間的距離等知識點，掌握“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”是解題的關鍵．
（1）利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”即可解答；
（2）利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”即可解答．
【詳解】（1）解：∵直線，,
∴點P和點C到直線n的距離相等．
又∵在和中，，
∴（同底等高的兩個三角形的面積相等）．
故答案為：，同底等高的兩個三角形的面積相等．
（2）解：設直線m和n之間的距離為h
∵,
∴．
∴,即．
故答案為：與，與．
【變式訓練7-3】如圖，正方形和正方形并排放置，和相交于點，已知厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

【答案】陰影部分的面積為平方厘米
【分析】連接，，根據正方形的性質及三角形面積公式推出陰影部分的面積，據此求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，，

∵四邊形、是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵陰影部分的面積，
∴陰影部分的面積，
∵厘米，
∴平方厘米，
∴陰影部分的面積為平方厘米．
【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形的面積公式，平行線的判定和性質，熟記正方形的性質是解題的關鍵．
【變式訓練7-3】梯形中，平行于，對角線交于點，平行于，交腰于點，如果三角形的面積是平方厘米，那么三角形的面積是多少平方厘米．
【答案】三角形的面積是平方厘米
【分析】四邊形是梯形，可知，在梯形中，，在梯形中，，根據題意可知，，由此即可求解．
【詳解】解：根據題意可知，，
∵，
∴平行線間的距離相等，即三角形的高相等，
∴在梯形中，；在梯形中，；在梯形中，，且，
∴，
∴，
∴三角形的面積是平方厘米．
【點睛】本題主要考查梯形，三角形的綜合，掌握平行線間的距離相等，三角形的面積則相等，代數式中等量代換的計算方法等知識是解題的關鍵．
【變式訓練7-4】已知：如圖，，且，E為的中點．
（1）求證：；
（2）在不添加輔助線的情況下，除外，請再寫出兩個與的面積相等的三角形．（直接寫出結果，不要求證明）
【答案】（1）見解析；（2），（答案不唯一）．
【分析】（1）由兩直線平行，同位角相等解得，再由SAS證得，根據全等三角形的性質得到，繼而證明，由兩直線平行，同位角相等解得，再由SAS證得；
（2）根據平行線間的距離處處相等，及等底等高的三角形面積相等解題即可．
【詳解】解：（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵E是的中點，
∴，
∴；
（2）根據平行線間的距離處處相等，及等底等高的三角形面積相等，可知的面積與的面積相等．（答案不唯一）
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
題型八：利用平行線的判定和性質進行探索
【經典例題8】已知，直線，點P為平面上一點，連接與．
(1)如圖1，點P在直線，之間，當，時，求的度數．
(2)如圖2，點P在直線，之間，與的角平分線相交于點K，寫出與之間的數量關系，并說明理由．
(3)如圖3，點P落在外．
①直接寫出、、的數量關系為______．
②與的角平分線相交于點K，請直接寫出與的數量關系為______．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)①；②
【分析】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用：
（1）先過P作，根據平行線的性質即可得到，，再根據進行計算即可；
（2）過作，根據，可得，，進而得到，同理可得，，再根據角平分線的定義，得出，進而得到；
（3）①過P作，根據，可得，，進而得到；
②過K作，根據，可得，，進而得到，由①，再根據角平分線的定義，得出，進而得到．
【詳解】（1）解：如圖1，過P作，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如圖2，過作，
，
，
，，
，
過P作，
同理可得，，
與的角平分線相交于點K，
，
；
（3）解：①如圖3，過P作，
，
，
，，
，
故答案為：；
②如圖3，過K作，
，
，
，，
，
由①知，，
與的角平分線相交于點K，
，
．
【變式訓練8-1】綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學們開展了探究三角之間數量關系的數學活動．
(1)如圖1，，點，分別為直線，上的一點，點為平行線間一點且，，求度數；
問題遷移
(2)如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交，于點，，直線分別交，于點，，點在射線上運動．
①當點在，（不與，重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數量關系？請說明理由；
②若點不在線段上運動時（點與點，，三點都不重合），請你直接寫出，，間的數量關系．
【答案】(1)
(2)①；②當在延長線時，；當在之間時，．
【分析】本題考查了平行線的性質與判定，
（1）過作，則，根據平行線的性質得出，，進而根據，即可求解；
（2）①同（1）即可求解；
②當在延長線時，過作交于，結合圖形可得．當在之間時，過作交于，同理可得．
【詳解】（1）解：過作，則，
∴，
∴，，
∴．
（2）①當點在（不與重合）兩點之間運動時，設
過點作，
∴，
∴，
∴．
②當在延長線時，．
過作交于，
∵，
∴
∴，
∴

當在之間時，
過作交于，
∵
∴
∴,
∴
∴
【變式訓練8-2】已知直線，直線與直線、分別相交于C、D兩點．
(1)如圖，有一動點P在線段之間運動（不與C、D兩點重合），問在點P的運動過程中，又怎樣的數量關系？試說明理由．
(2)如圖b，當動點P線段之外運動（不與C、D兩點重合），問上述結論是否成立？若不成立，試寫出新的結論并說明理由．
【答案】(1)，理由見解析
(2)不成立，，理由見解析
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，正確添加輔助線是解題的關鍵．
（1）過點作，則，則，，再根據角度和差計算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下，
過點作，
，
，
，，
，
．
（2）解：上述結論不成立．新結論：，理由如下：
過點作．
，
∴
，
，
，即．
【變式訓練8-3】【提出問題】睿睿在學行線的基本模型——豬蹄模型后，想繼續研究相關模型的特點，于是他組織數學興趣小組進行了以下探究：

【分析問題】如圖，已知直線，直線c分別與直線a，b相交于點E，F，點A，B分別在直線a，b上，且在直線c的左側，點P是直線c上一動點（不與點E，F重合），設，，．
【解決問題】（1）問題一：如圖1，當點P在線段EF上運動時，試探索，，之間數量的關系，并給出證明．睿睿回憶豬蹄模型的證明方法：“過點P作……”請你用直尺和鉛筆在圖1中作出這一輔助線，并幫助睿睿完成證明；
【類比探究】（2）問題二：當點P在線段外運動時，（1）中的結論是否還成立呢？興趣小組的同學們認為要分兩種情況進行討論，請你結合圖形幫助他們探究這三個角的數量關系．
①如圖2，當動點P在線段之外且在直線a的上方運動（不與E點重合）時，，，滿足什么數量關系？請給出證明；
②請用直尺、鉛筆，在圖3中畫出動點P在線段之外且在直線b的下方運動（不與F點重合）時的圖形，并仿照圖1，圖2，標出圖3中的，，，此時，，之間有何數量關系，請直接寫出結論，不必說明理由．
【應用拓展】
（3）問題三：如圖4所示，請直接寫出圖4中，，，之間的數量關系，不必說明理由．
【答案】（1），見解析， （2）①不成立，新的結論為 ②不成立，結論為: （3）
【分析】此題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵.
過點作利用兩直線平行內錯角相等得到，根據 得到，再利用兩直線平行內錯角相等，根據，等量代換即可得證；
①過點作，同理得到，根據，等量代換即可得證；
②過點作，同理得到，根據，等量代換即可得證；
（）過點作，點作，得到，，，然后根據等量代換即可．
【詳解】（1），理由如下：
過點作，

，
，
，
，
，
；
（2）①不成立，新的結論為 理由為：
過作，
，
，
，
，
，
；
②不成立，如圖③所示， 結論為：；
過作，
，
，
，
，
，
；

（3），
過點作，點作，
又∵，
∴，
∴，，，
即，
∴．

【變式訓練8-4】【模型發現】某校七年級數學興趣小組的同學在活動中發現：如圖1的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是大家就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數量關系．
(1)如圖1，，是、之間的一點，連接，，則有．請你證明這個結論．
(2)【運用】如圖2，，、是、之間的兩點，且，請你利用（1）中“豬蹄模型”的結論，找出、、三者之間的數量關系，并說明理由．
(3)【延伸】如圖3，，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代數式表示，請直接寫出結論，無需證明）
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
(3)等于
【分析】本題考查了平行線的性質，利用“豬蹄模型”是解題關鍵．
（1）如圖，過作．得，故，，因此．
（2）過作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可．
（3）由角平分線得，，由“豬蹄模型”得，再利用平行線和三角形內角和計算即可．
【詳解】（1）證明：如圖，過作．
，
，
，，
．
（2）解：、、三者之間的數量關系：．
理由如下：
如圖：過作．
由（1）①．
，
，
②，
①②得，
即，
，
，
．
答：、、三者之間的數量關系：．
（3）證明：、分別平分和，
，，
由（1）結論得：，
，
．
，
，
，
由三角形內角和得：
．
答：等于．
【變式訓練8-5】如圖，已知直線，且和，分別相交于，兩點，和，分別交于，兩點，，，，點在線段上．
(1)若，，則 ．
(2)試找出，，之間的等量關系，并說明理由；
(3)應用（）中的結論解答以下問題：如圖，點在處北偏東的方向上，在處的北偏西的方向上，求的度數；
(4)如果點在直線上且在，兩點外側運動時，其他條件不變，試探究，，之間的關系（點和，兩點不重合），直接寫出結論即可．
【答案】(1)；
(2)，理由見解析；
(3)；
(4)或．
【分析】（）根據平行公理推論，平行線的性質即可求解；
（）根據平行公理推論，平行線的性質即可求解；
（）根據（）中的結論即可求解；
（）分當點在的外側與當點在的外側兩種情況進行分類討論，然后根據平行理推論，平行線的性質即可求解；
此題考查了平行線的判定及性質，掌握作平行線的方法、平行線的判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）過作，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：；
（2），理由，
過作，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（3）由題意可得：，，
由（）結論可得：；
（4）當點在的外側時，如圖， 過作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴；
當點在的外側時，如圖， 過作， 交 于，
∴，
∴，，
∵
∴．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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