資源簡介

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課時1.3 二次根式的運算（學案）
1.理解二次根式的運算法則是由二次根式的性質得到的，掌握二次根式有意義的條件，能準確判斷二次根式在何種情況下有意義，會進行簡單的二次根式乘除運算.
2.掌握二次根式的混合運算，包括加、減、乘、除、乘方等運算的混合，并能準確計算結果.
3.通過對二次根式運算的學習，培養學生的邏輯推理能力，例如在推導二次根式運算法則的過程中鍛煉邏輯思維在進行二次根式的化簡和計算過程中，提高學生的運算能力和數學運算的準確性.
學習重點：二次根式的運算規則和二次根式的混合運算
學習難點：二次根式的混合運算
一般地，把幾個二次根式化為 后，如果它們的被開方數 ，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
1．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（二次根式的乘除運算參考課時1.2 二次根式的性質，本卷主要講二次根式的加減運算）
（1）之前我們在整式的加減中學習了同類項以及合并同類項，請計算下面各式。
. . .
學生之間相互討論一下，如何合并同類項？
（2）類比同類項，在二次根式中哪些又是可以合并的呢？
= . = .
【合作探究一】對下列的二次根式進行化簡，并說一說它們的共同點。
、、、、、
知識點歸納：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
例1根式，，，中，與是同類二次根式的有（ ）個
A． B． C． D．
把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。二次根式的加減就是合并同類二次根式的過程。
注意：二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合并。
合并同類項 二次根式的加減
舉例
方法 字母及其指數不變，系數相加減 根式不變，系數相加減
例2 計算（基礎的二次根式混合運算）
(1)； （2）；
例3 計算（利用乘法公式二次根式混合運算）
(1)． (2)
例4 計算（利用分母有理化二次根式混合運算）
（1）． （2）
例5 如圖，從帳篷支撐竿的頂部向地面拉一根繩子固定帳篷，若繩子的長度是，地面固定點C到帳篷支撐竿底部B的距離是，則帳篷支撐竿的高是多少？
例6如圖，架在消防車上的云梯長為，云梯底部離地面的距離為，，求出云梯頂端離地面的距離．

1．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，則 ．
3．已知，等腰三角形的兩邊長分別為和7，則它的周長等于 ．
4．若最簡二次根式與是同類二次根式，則這兩個二次根式的和為 ．
5．已知，，求下列代數式的值：
(1)； (2)．
6．計算：
(1)； (2)．
7．如圖，張大伯家有一塊大長方形空地，長方形空地的長為寬為現要在空地中劃出一塊長方形地養雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長方形養雞場的長為寬為
(1)求大長方形空地的周長．（結果化為最簡二次根式）
(2)張大伯種植的蔬菜每平方米產量為15千克，求張大伯種植蔬菜的總產量．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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課時1.3 二次根式的運算（學案）
1.理解二次根式的運算法則是由二次根式的性質得到的，掌握二次根式有意義的條件，能準確判斷二次根式在何種情況下有意義，會進行簡單的二次根式乘除運算.
2.掌握二次根式的混合運算，包括加、減、乘、除、乘方等運算的混合，并能準確計算結果.
3.通過對二次根式運算的學習，培養學生的邏輯推理能力，例如在推導二次根式運算法則的過程中鍛煉邏輯思維在進行二次根式的化簡和計算過程中，提高學生的運算能力和數學運算的準確性.
學習重點：二次根式的運算規則和二次根式的混合運算
學習難點：二次根式的混合運算
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
1．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：A．與被開方數不同，故不是同類二次根式，不符合題意；
B．與被開方數相同，故是同類二次根式，符合題意；
C．與被開方數不同，故不是同類二次根式，不符合題意；
D．與被開方數不同，故不是同類二次根式，不符合題意．
（二次根式的乘除運算參考課時1.2 二次根式的性質，本卷主要講二次根式的加減運算）
（1）之前我們在整式的加減中學習了同類項以及合并同類項，請計算下面各式。
. . .
學生之間相互討論一下，如何合并同類項？
（2）類比同類項，在二次根式中哪些又是可以合并的呢？
= . = .
【合作探究一】對下列的二次根式進行化簡，并說一說它們的共同點。
、、、、、
【詳解】解：∵，，，，
知識點歸納：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
例1根式，，，中，與是同類二次根式的有（ ）個
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，，，
∴與是同類二次根式為，共個，
把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。二次根式的加減就是合并同類二次根式的過程。
注意：二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合并。
合并同類項 二次根式的加減
舉例
方法 字母及其指數不變，系數相加減 根式不變，系數相加減
例2 計算（基礎的二次根式混合運算）
(1)； （2）；
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
例3 計算（利用乘法公式二次根式混合運算）
(1)． (2)
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
例4 計算（利用分母有理化二次根式混合運算）
（1）． （2）
【詳解】解：
．
（2）
．
例5 如圖，從帳篷支撐竿的頂部向地面拉一根繩子固定帳篷，若繩子的長度是，地面固定點C到帳篷支撐竿底部B的距離是，則帳篷支撐竿的高是多少？
【詳解】解：由題意可得，，，
∴由勾股定理得：，
答：帳篷支撐竿的高是．
例6如圖，架在消防車上的云梯長為，云梯底部離地面的距離為，，求出云梯頂端離地面的距離．

【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴云梯頂端離地面的距離為．
1．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
B、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
C、，與是同類二次根式，故本選項符合題意；
D、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
2．已知，，則 ．
【答案】10
【詳解】解：
3．已知，等腰三角形的兩邊長分別為和7，則它的周長等于 ．
【答案】/
【詳解】解：當等腰三角形的腰長為，底邊長為7時，，不滿足三角形三邊關系，不符合題意；
當等腰三角形的腰長為7，底邊長為時，，滿足三角形三邊關系，此時周長為；
綜上所述，它的周長等于，
4．若最簡二次根式與是同類二次根式，則這兩個二次根式的和為 ．
【答案】
【詳解】解：∵最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，
，
解得：．
故這兩個二次根式的和為，
5．已知，，求下列代數式的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
，，
∴；
（2）解：
．
6．計算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
7．如圖，張大伯家有一塊大長方形空地，長方形空地的長為寬為現要在空地中劃出一塊長方形地養雞（即圖中陰影部分），其余部分種植蔬菜，長方形養雞場的長為寬為
(1)求大長方形空地的周長．（結果化為最簡二次根式）
(2)張大伯種植的蔬菜每平方米產量為15千克，求張大伯種植蔬菜的總產量．
【答案】(1) (2)585千克
【詳解】（1）解：由題意，大長方形空地的周長為
，
答：大長方形空地的周長為；
（2）解：由題意，種植蔬菜的面積為
，
∴（千克），
∴張大伯種植蔬菜的總產量為585千克．
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