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微專題15　三角中的最值、范圍問題
高考定位　以三角函數(shù)、三角形為背景的最值及范圍問題是高考的熱點，常用的方法主要有：函數(shù)的性質(zhì)(如有界性、單調(diào)性)、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等.
【真題體驗】
(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
【熱點突破】
熱點一　三角函數(shù)式的最值或范圍
求三角函數(shù)式的最值或范圍問題，首先把函數(shù)式化為一個角的同名三角函數(shù)形式，接著利用三角函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解.
例1 已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋.
(1)求f的值；
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
易錯提醒　求三角函數(shù)式的最值、范圍問題要注意：
(1)把三角函數(shù)式正確地化簡成單一函數(shù)形式；
(2)根據(jù)所給自變量的范圍正確地確定ωx＋φ的范圍，從而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)式的范圍.
訓(xùn)練1 (2024·吉林名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過A，B兩點，且f(x)在[－，－]上單調(diào).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若對任意的x∈，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
熱點二　三角形中有關(guān)量的最值或范圍
三角形中的最值、范圍問題的解題策略
(1)定基本量：根據(jù)題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關(guān)的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.
(2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數(shù)形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.
考向1　三角形面積的最值或范圍
例2 (2024·郴州模擬)已知向量a＝(sin x，1)，b＝(cos x，－2)，函數(shù)f(x)＝(a＋b)·a.
(1)若a∥b，求cos 2x的值；
(2)已知△ABC為銳角三角形，a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，b＝2，且f(A)＝，求△ABC面積的取值范圍.
考向2　與三角形周長或邊長相關(guān)的最值或范圍
例3 (2024·湛江模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acos(B－C)＋acos A－2csin Bcos A＝0.
(1)求A；
(2)若△ABC外接圓的直徑為2，求2c－b的取值范圍.
例4 (2024·北京石景山區(qū)模擬)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos C的取值范圍.
易錯提醒　求解三角形中的最值、范圍問題的注意點
(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清楚變量的范圍，若已知邊的范圍，求角的范圍可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
(2)注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0訓(xùn)練2 (2024·滄州模擬)在四邊形ABCD中，△ABD為銳角三角形，對角線AC與BD相交于點O，AD＝2，AC＝4，BD＝，∠ABD＝.
(1)求AB；
(2)求四邊形ABCD面積的最大值.
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
1.(2024·合肥調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin x·.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值，并求此時x的值.
2.(2024·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin B－bcos A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.
3.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B為鈍角.
(1)證明：B－A＝；
(2)求sin A＋sin C的取值范圍.
4.(2024·自貢模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝，∠ADB＝，BC＝2，CD＝3.設(shè)∠BCD＝θ.
(1)用θ表示四邊形ABCD對角線AC的長；
(2)是否存在θ使四邊形ABCD對角線AC最長，若存在求出cos θ及四邊形對角線AC最長的值，若不存在請說明理由.
【解析版】
(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
解　(1)因為＝，
所以＝，
所以＝，
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
所以cos(A＋B)＝sin B，
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因為B∈，所以B＝.
(2)由(1)得cos(A＋B)＝sin B，
所以sin＝sin B，
且0所以0所以－(A＋B)＝B，
解得A＝－2B，
由正弦定理得＝
＝＝
＝＝
＝
＝4cos2B＋－5
≥2－5＝4－5，
當(dāng)且僅當(dāng)cos2B＝時取等號，
所以的最小值為4－5.
【熱點突破】
熱點一　三角函數(shù)式的最值或范圍
求三角函數(shù)式的最值或范圍問題，首先把函數(shù)式化為一個角的同名三角函數(shù)形式，接著利用三角函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解.
例1 已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋.
(1)求f的值；
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解　(1)因為f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
所以f＝2sin＝2sin ＝1.
(2)因為x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，
所以當(dāng)2x－＝，
即x＝時，f(x)取到最大值2；
當(dāng)2x－＝－，
即x＝0時，f(x)取到最小值－.
易錯提醒　求三角函數(shù)式的最值、范圍問題要注意：
(1)把三角函數(shù)式正確地化簡成單一函數(shù)形式；
(2)根據(jù)所給自變量的范圍正確地確定ωx＋φ的范圍，從而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)式的范圍.
訓(xùn)練1 (2024·吉林名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過A，B兩點，且f(x)在[－，－]上單調(diào).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若對任意的x∈，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
解　(1)由題意可得T＝－＝π(k∈N)，
則T＝(k∈N)，
則ω＝2k＋1(k∈N).
因為f(x)在上單調(diào)，
所以－－≤，
又ω>1，所以1<ω≤4，所以ω＝3.
因為f(x)的圖象經(jīng)過點A，
所以2cos＝－2，
所以＋φ＝2tπ＋π(t∈Z)，
所以φ＝2tπ＋(t∈Z).
因為|φ|<，所以φ＝.
故f(x)＝2cos.
(2)因為x∈，所以3x＋∈，
當(dāng)3x＋＝π，即x＝時，f(x)取得最小值，
最小值為f＝2cos＝－2.
因為對任意的x∈，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，
所以2m2－5m＋1≤－2，
所以2m2－5m＋3≤0，
即(2m－3)(m－1)≤0，解得1≤m≤.
所以實數(shù)m的取值范圍為.
熱點二　三角形中有關(guān)量的最值或范圍
三角形中的最值、范圍問題的解題策略
(1)定基本量：根據(jù)題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關(guān)的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.
(2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數(shù)形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.
考向1　三角形面積的最值或范圍
例2 (2024·郴州模擬)已知向量a＝(sin x，1)，b＝(cos x，－2)，函數(shù)f(x)＝(a＋b)·a.
(1)若a∥b，求cos 2x的值；
(2)已知△ABC為銳角三角形，a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，b＝2，且f(A)＝，求△ABC面積的取值范圍.
解　(1)因為a∥b，所以cos x＝－2sin x，
則tan x＝－.
cos 2x＝cos2x－sin2x＝＝＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·a＝(sin x＋cos x)sin x＋(1－2)×1＝sin2x＋sin xcos x－1＝sin 2x－cos 2x－＝sin－.
因為f(A)＝，
所以sin＝1，A∈，
得2A－＝，即A＝，
因為＝，所以c＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝
＝＝＋，
由△ABC是銳角三角形，得
解得，
故<＋<2，
即△ABC面積的取值范圍為.
考向2　與三角形周長或邊長相關(guān)的最值或范圍
例3 (2024·湛江模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acos(B－C)＋acos A－2csin Bcos A＝0.
(1)求A；
(2)若△ABC外接圓的直徑為2，求2c－b的取值范圍.
解　(1)由A＋B＋C＝π可得A＝π－(B＋C)，
所以cos A＝－cos(B＋C)，
所以acos(B－C)－acos(B＋C)
＝2csin Bcos A，
acos Bcos C＋asin Bsin C－acos Bcos C＋asin Bsin C＝2csin Bcos A，
整理可得asin Bsin C＝csin Bcos A，
由正弦定理可得
sin Asin Bsin C＝sin Csin Bcos A，
因為sin C≠0，sin B≠0，所以tan A＝，
而A∈(0，π)，所以A＝.
(2)設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，而圓的直徑為2，所以2R＝2.
由正弦定理可得＝＝2R＝2，A＝，
所以b＝2sin B，
c＝2sin C＝2sin，
故2c－b＝4sin －2sin B＝6cos B，
因為B∈，所以cos B∈，
所以2c－b∈(－3，6)，
所以2c－b的取值范圍為(－3，6).
考向3　與三角形的角或三角函數(shù)值相關(guān)的最值或范圍
例4 (2024·北京石景山區(qū)模擬)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsin A－a＝0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos C的取值范圍.
解　(1)因為2bsin A－a＝0，
由正弦定理得2sin Bsin A－sin A＝0，
所以(2sin B－)sin A＝0，
由于在△ABC中，sin A≠0，
所以2sin B－＝0，
即sin B＝，又0(2)由(1)可知B＝，所以A＋C＝，
所以cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A＋cos cos A＋sin sin A
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝sin，
由于在銳角△ABC中，
所以所以所以所以cos A＋cos C的取值范圍是.
易錯提醒　求解三角形中的最值、范圍問題的注意點
(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清楚變量的范圍，若已知邊的范圍，求角的范圍可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
(2)注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0訓(xùn)練2 (2024·滄州模擬)在四邊形ABCD中，△ABD為銳角三角形，對角線AC與BD相交于點O，AD＝2，AC＝4，BD＝，∠ABD＝.
(1)求AB；
(2)求四邊形ABCD面積的最大值.
解　(1)在△ABD中，由余弦定理的推論可得
cos ＝＝，
化簡為AB2－2AB＋2＝0，
解得AB＝＋1或－1，
當(dāng)AB＝－1時，
因為cos∠BAD＝＝<0，
與△ABD為銳角三角形不符合，故AB＝＋1.
(2)作AE，CF垂直BD1于點E，F(xiàn)，
則S ABCD＝S△ABD＋S△CBD
＝BD·AE＋BD·CF
＝BD(AOsin ∠AOB＋COsin ∠DOC)
＝BD·ACsin ∠AOB，
所以當(dāng)sin ∠AOB＝1，即∠AOB＝90°，即AC⊥BD時，四邊形面積最大，最大面積為×4×＝2.
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
1.(2024·合肥調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sin x·.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值，并求此時x的值.
解　(1)f(x)＝2sin x·
＝2sin x
＝3sin xcos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
因此，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)當(dāng)x∈時，2x－∈，
所以2x－＝，即x＝時，
函數(shù)f(x)在上取得最大值，為＋＝.
2.(2024·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asin B－bcos A＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.
解　(1)由正弦定理及題意得
sin Asin B－sin Bcos A＝sin B，
又sin B≠0，所以sin A－cos A＝1，
所以sin A－cos A＝，
即sin＝.
因為A∈(0，π)，所以A－∈，
所以A－＝，即A＝.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立，
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，
所以△ABC面積的最大值為.
3.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B為鈍角.
(1)證明：B－A＝；
(2)求sin A＋sin C的取值范圍.
(1)證明　由a＝btan A及正弦定理，
得＝＝，所以sin B＝cos A，
即sin B＝sin.
又B為鈍角，
因此＋A∈，故B＝＋A，
即B－A＝.
(2)解　由(1)知，C＝π－(A＋B)
＝π－＝－2A>0，
所以A∈，
于是sin A＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1
＝－2＋.
因為0所以0因此<－2＋≤.
由此可知sin A＋sin C的取值范圍是.
4.(2024·自貢模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝，∠ADB＝，BC＝2，CD＝3.設(shè)∠BCD＝θ.
(1)用θ表示四邊形ABCD對角線AC的長；
(2)是否存在θ使四邊形ABCD對角線AC最長，若存在求出cos θ及四邊形對角線AC最長的值，若不存在請說明理由.
解　(1)設(shè)∠BDC＝α，在△BCD中，
由正弦定理得＝，sin α＝，
由余弦定理得BD2＝4＋9－2×2×3×cos θ＝13－12cos θ，
在Rt△ABD中，∠BAD＝，
所以AD＝BD，
在△ACD中，由余弦定理得AC＝
所以AC＝
＝
＝
＝
＝
＝.
(2)存在，理由如下：
由(1)得AC＝，
所以當(dāng)θ－＝，θ＝時，
AC取得最大值為＝，
此時cos θ＝－.(共39張PPT)
板塊二 三角函數(shù)與平面向量
微專題15　三角中的最值、范圍問題
高考定位
以三角函數(shù)、三角形為背景的最值及范圍問題是高考的熱點，常用的方法主要有：函數(shù)的性質(zhì)(如有界性、單調(diào)性)、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等.
【真題體驗 】
精準(zhǔn)強(qiáng)化練
熱點一　三角函數(shù)式的最值或范圍
熱點二　三角形中有關(guān)量的最值或范圍
熱點突破
熱點一　三角函數(shù)式的最值或范圍
求三角函數(shù)式的最值或范圍問題，首先把函數(shù)式化為一個角的同名三角函數(shù)形式，接著利用三角函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解.
例1
求三角函數(shù)式的最值、范圍問題要注意：
(1)把三角函數(shù)式正確地化簡成單一函數(shù)形式；
(2)根據(jù)所給自變量的范圍正確地確定ωx＋φ的范圍，從而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)式的范圍.
易錯提醒
訓(xùn)練1
熱點二　三角形中有關(guān)量的最值或范圍
三角形中的最值、范圍問題的解題策略
(1)定基本量：根據(jù)題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關(guān)的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.
(2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數(shù)形式.
(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.
例1
考向1　三角形面積的最值或范圍
例3
考向2　與三角形周長或邊長相關(guān)的最值或范圍
例4
考向3　與三角形的角或三角函數(shù)值相關(guān)的最值或范圍
(2)求cos A＋cos C的取值范圍.
求解三角形中的最值、范圍問題的注意點
(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清楚變量的范圍，若已知邊的范圍，求角的范圍可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
(2)注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0易錯提醒
訓(xùn)練2
(2)求四邊形ABCD面積的最大值.
【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】
(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.
(2)求sin A＋sin C的取值范圍.
(2)是否存在θ使四邊形ABCD對角線AC最長，若存在求出cos θ及四邊形對角線AC最長的值，若不存在請說明理由.

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