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第1章集合、常用邏輯用語與不等式第1節集合
考點一：元素與集合
（1）集合元素的三個特性：　確定性　、　無序性　、　互異性　；
（2）集合的三種表示方法：　列舉法　、　描述法　、　圖示法　；
（3）元素與集合的兩種關系：屬于，記為　∈　；不屬于，記為　 　；
（4）五個特定的集合及其關系圖：N*或N＋表示　正整數　集，N表示非負整數集（自然數集），Z表示　整數　集，Q表示　有理數　集，R表示實數集.
提醒　（1）解題時，應注意檢查集合的元素是否滿足互異性；（2）N為自然數集（即非負整數集），包含0，而N*（N＋）表示正整數集，不包含0.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一個集合.（　√　）
（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.（　×　）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.（　×　）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　×　）
2.已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的個數為（　　）（確定性）
A.2　 B.4 C.6　 D.8
解析：（1）因為A＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6個元素.故選C.
3.訓練T1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，則集合A中的元素個數為（　　）（確定性）
A.2　 B.3 C.4　 D.5
解析：C　因為x∈Z，且∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，所以x的值分別為5，3，1，－1，故集合A中的元素個數為4.故選C.
4.設集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若∈A，則a＝　1或　　.（確定性）
解析：由題得A＝{－1，5}，則＝－1或＝5，解得a＝1或.
5.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實數x＝　1或4　.（互異性）
解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.
6.設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，則a2 024＋b2 025＝（　　）（互異性）
A.0　 B.1 C.2　 D.4
解析：（2）由題意知a≠0，因為{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，則＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2.
7.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m＝　－　　.（互異性）
解析：令m＋2＝3，得m＝1，此時2m2＋m＝3，不合題意.令2m2＋m＝3，得m＝－或m＝1（舍去）.若m＝－，則m＋2＝，滿足條件，所以m＝－.
8.若，則 ．（互異性）
【答案】2【分析】分類討論結合互異性即可得出答案.
【詳解】因為，所以或，若，，不滿足互異性；
若或2，又，所以，故答案為：2.
9.若集合中的三個元素分別為,則元素應滿足的條件是 ．（互異性）
【答案】且且【分析】根據元素的互異性，列出不等式組，求解即可.
【詳解】解：由元素的互異性，可知，解得:且且.故答案為：且且
10.已知集合，若，則實數 .（互異性）
【答案】0【分析】討論、求參數，結合集合的性質確定參數值.
【詳解】若，則，而，不滿足集合元素的互異性；
若，則，故，滿足題設，所以.故答案為：0
11.集合中恰好有兩個元素，則實數滿足的條件是 .
【答案】或【分析】根據一元二次方程求解，結合集合元素的特征，可得答案.
【詳解】由方程，則或，當存在兩個相等的實數根時，，解得，此時方程的解為，符合題意；
當存在兩個不相等的實數根且其中一個根為時，，解得，
此時，則方程另一個解為，符合題意.
綜上所述，當或時，集合中恰有兩個元素.故答案為：或.
12.若，則 .
【答案】【分析】利用集合的列舉法、元素與集合的關系、集合中元素的特性、集合間的關系分析運算即可得解.
【詳解】解：由題意，∵集合中有元素，∴，又∵，∴，則，
∴，∴，解得：或，當時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；
當時，，，滿足，∴，則.
故答案為：.
考點二：集合間的基本關系
　　表示 關系　　 自然語言 符號語言 圖形語言
子集 集合A中　任意一個　元素都是集合B中的元素 A （或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A A B（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒（1）A B包含兩層含義：A B或A＝B；（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 兩種情況討論，不要忽略A＝ 的情況.（2）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何一個集合都至少有兩個子集.（　×　）
（二2）P5自測T3.（多選）已知集合P＝{x｜x2＝4}，則（　　）
A.2∈P　 B.P＝{－2，2} C.{ } P　 D.P N
解析：AB　P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正確. 不是P中的元素，故C錯誤.因為－2 N，故P N錯誤，故D錯誤.
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，則滿足A C B的集合C的個數為（　　）
A.4　 B.6 C.7　 D.8
解析：C　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A C B，∴集合C的所有可能為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7個.
3.已知集合，，若，則 .
【答案】【分析】根據集合相等求得，從而求得正確答案.
【詳解】依題意可知，由于，所以，此時，
所以，解得或（舍去），所以.故答案為：.
4.已知集合，，若，則 ．
【答案】3【分析】根據給定條件，利用交集的結果直接列式計算即得.
【詳解】集合，，由，得，又，
因此，所以.故答案為：3
5.已知集合，則的取值集合為 .
【答案】【分析】本題根據集合之間的關系，對參數分類討論，即可確定參數的取值.
【詳解】由題意可知：，因為,所以當時，；
當時，則,則或，解得或，綜上得，a的取值集合是.故答案為：
6.已知集合，，則的概率為 ．
【答案】【分析】根據給定條件，利用列舉法寫出樣本空間的所有樣本點，再結合一元二次方程解集確定事件發生的樣本點即得.【詳解】等價于，記該事件為，
由于，，因而取值情況如表所示．
1 2 3
1
2
3
樣本空間共有9個樣本點，方程的判別式，
當取，，，，，時，，則，；
當取時，，，；
當取時，，但方程有兩個無理根，不符合題意；
當取時，，，，
因此事件有8個樣本點，那么所求概率．故答案為：
7．已知集合，，則的子集個數 ．
【答案】【分析】解不等式可得集合與，進而可得及其子集個數.
【詳解】由已知，，
所以，所以的子集個數為，故答案為：.
考點三：集合的基本運算
　　類別 表示　　 并集 交集 補集
圖形語言
符號語言 A∪B＝　{x｜x∈A，或x∈B}　 A∩B＝{x｜x∈A，　且x∈B} UA＝　{x｜x∈U，且x A}　
常用結論：
1.子集的傳遞性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
3.等價關系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
1.（2023·全國乙卷2題）設全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪ UN＝（　　）
A.{0，2，4，6，8}　 B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8}　 D.U
解析：A　因為U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以 UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}.故選A.
2.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，則A∪B＝　R　，A∩B＝　{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}　.
解析：因為A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，借助數軸如圖①，
所以A∪B＝R，如圖②，所以A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}.
3.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，則A∩B的子集個數為（　　）
A.4　 B.6 C.8　 D.9
解析：C　因為A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由結論2得A∩B的子集個數為23＝8，故選C.
4.（2023·全國甲卷1題）設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則 U（M∪N）＝（　　）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
解析：（1）法一（列舉法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.
法二（描述法）集合M∪N表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好被3整除的整數集，故選A.
5.（2023·全國乙卷2題）設集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝
A. U（M∪N）　 B.N∪ UM C. U（M∩N）　 D.M∪ UN
解析：A因為M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以 U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故選A.
6.設集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，則A∩B＝（　　）
A.{x｜x＞－1}　 B.{x｜x≥1} C.{x｜－1＜x＜1}　 D.{x｜1≤x＜2}
解析：D　因為集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x｜1≤x＜2}.故選D.
7.（2022·全國乙卷1題）設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足 UM＝{1，3}，則（　　）
A.2∈M　 B.3∈M C.4 M　 D.5 M
解析：A　由題意知M＝{2，4，5}，故選A.
8.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，則（　　）
A.P Q　 B.Q P C.P∩Q＝P　 D.P∪Q＝Q
解析：B　由題意，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}＝{－1，0，1}，P＝{x｜x＜3}，故Q P，故A錯誤，B正確，又P∩Q＝{－1，0，1}＝Q，P∪Q＝{x｜x＜3}＝P，故C、D錯誤.故選B.
9.集合A，B滿足A∪B＝{2，4，6，8，10}，A∩B＝{2，8}，A＝{2，6，8}，則集合B中的元素個數為（　　）
A.3　 B.4 C.5　 D.6
解析：B　因為A∩B＝{2，8}，故{2，8} B，又A＝{2，6，8}，故6 B，又A∪B＝{2，4，6，8，10}，故B＝{2，4，8，10}，即集合B中的元素個數為4.故選B.
10.（多選）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，則（　　）
A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x｜x≥0} C.（ UA）∩B＝{－1} D.A∩B的非空真子集個數是6
解析：ACD　A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正確；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B錯誤； UA＝{x｜x＜－，x∈Z}，所以（ UA）∩B＝{－1}，故C正確；由A∩B＝{0，1，2}，則A∩B的非空真子集個數是23－2＝6，故D正確.故選A、C、D.
11.（多選）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，則集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（　　）
A.M∩N　 B. RM C. R（M∩N）　 D. R（M∪N）
解析：BC　因為集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}， RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以 R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}， R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故選B、C.
12.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，則A∩B＝　（2，3）　，A∪B＝　（1，4）　，（ RA）∪B＝　（－∞，1]∪（2，＋∞）　.
解析：由已知得A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜2＜x＜4}，所以A∩B＝{x｜2＜x＜3}，A∪B＝{x｜1＜x＜4}，（ RA）∪B＝{x｜x≤1或x＞2}.
13.（2024·重慶質量調研）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－2x2≥－15}，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，則A∩ UB＝（　　）
A.［－，2）　 B.（－3，－］ C.（－3，3]　 D.（2，3]
解析：A　因為U＝R，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，所以 UB＝{x｜－3＜x＜2}，又A＝{x｜x－2x2≥－15}＝{x｜2x2－x－15≤0}＝{x｜－≤x≤3，所以A∩ UB＝{x｜－≤x＜2}，故選A.
14.已知全集，集合，，則 ．（結果用區間表示）
【答案】【分析】根據題意結合一元二次不等式可得集合，再根據集合的交集和補集運算求解.
【詳解】因為，則或，
又因為，所以.故答案為：.
15.已知集合，，則 .
【答案】【分析】求得，，進而可求.
【詳解】由，可得， 所以，，
由，解得， .故答案為：.
16.已知，，，則 ．
【答案】【分析】根據根號下大于等于0得到集合，再根據指數函數值域得到集合，再結合集合交并補運算即可.
【詳解】由題意可得或，
，所以，所以．故答案為：.
17.已知集合，，則 .
【答案】【分析】根據條件，求出集合，再利用集合的運算，即可求出結果.
【詳解】由，得到，所以，或，
又易知的定義域為，所以，所以，故答案為：.
18.已知集合，，則 ．
【答案】或【分析】由定義域可得，由一元二次不等式的解法可得，利用交集、補集運算求解即可．【詳解】由題，
所以或．故答案為：或
考點四：參數問題
1.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，則實數a的取值范圍是　（－∞，1]　.
解析：如圖，在數軸上表示出A，B.由結論3可得A B，所以a≤1.
2.（必修第一冊第9頁5（2）題改編）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，則實數a的取值范圍為（　　）
A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1）
解析：B　因為A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B A.用數軸表示其關系如圖.所以實數a的取值范圍為a≤1.故選B.
3.已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，則實數a的取值范圍為　（3，＋∞）　.
解析：因為A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A B.①當A＝ 時，2a－3＞a，則a＞3，滿足題意；②當A≠ 時，用數軸表示其關系如圖，所以即所以a不存在，綜上所述，實數a的取值范圍為（3，＋∞）.
4.（2024·九省聯考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，則m的最小值為　5　.
解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，則A B，所以所以m≥5，故m的最小值為5.
5.訓練T2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，則實數m的取值范圍是（　　）
A.m≥2　 B.m＜2 C.m≤2　 D.m＞2
解析：C　∵A＝{x｜2＜x＜3}，∴ RA＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∵（ RA）∪B＝R，∴m≤2.
6.（2023·新高考Ⅱ卷2題）設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝
A.2　 B.1 C.　 D.－1
解析：B　由題意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.當a－2＝0時，a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A B，舍去.當2a－2＝0時，a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，滿足A B.綜上所述，a＝1.故選B.
7.已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜a≤x＜a＋2}，若A∪B＝R，則實數a的取值范圍是　[－2，－1]　.
解析：由題意知，若A∪B＝R，畫出數軸如圖，則必有解得－2≤a≤－1，即實數a的取值范圍為[－2，－1].
8.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ，則所有滿足條件的實數m的取值范圍是（　　）
A.－≤m＜　 B.m≥0 C.m≥　 D.0≤m＜
解析：B　由A∩B＝ ，得：①若2m≥1－m，即m≥時，B＝ ，符合題意；②若2m＜1－m，即m＜時，因為A∩B＝ ，則或解得0≤m＜，綜上所述m≥0.故選B.
考點五：集合的新定義問題
1（2024·長沙模擬）給定數集M，若對于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，則稱集合M為閉集合，則下列說法中正確的是（　　）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合 B.正整數集是閉集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}為閉集合 D.若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合
解析：C　選項A：當集合M＝{－4，－2，0，2，4}時，2，4∈M，而2＋4＝6 M，所以集合M不為閉集合，A選項錯誤；選項B：設a，b是任意的兩個正整數，則a＋b∈M，當a＜b時，a－b是負數，不屬于正整數集，所以正整數集不為閉集合，B選項錯誤；選項C：當M＝{n｜n＝3k，k∈Z}時，設a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，則a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是閉集合，C選項正確；選項D：設A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2為閉集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3） （A1∪A2），故A1∪A2不為閉集合，D選項錯誤.
2.對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B＝　{x｜－3≤x＜0或x＞3}　.
解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
3.若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱（A1，A2）為集合A的一種分拆，并規定：當且僅當A1＝A2時，（A1，A2）與（A2，A1）是集合A的同一種分拆.若集合A有三個元素，則集合A的不同分拆種數是　27　.
解析：不妨令A＝{1，2，3}，因為A1∪A2＝A，當A1＝ 時，A2＝{1，2，3}，當A1＝{1}時，A2可為{2，3}，{1，2，3}共2種，同理A1＝{2}，{3}時，A2各有2種，當A1＝{1，2}時，A2可為{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4種，同理A1＝{1，3}，{2，3}時，A2各有4種，當A1＝{1，2，3}時，A2可為A1的子集，共8種，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27（種）不同的分拆.
考點六：你中有我，我中有你（Venn圖）一般地，若給定的集合元素離散或者是抽象集合，則用Venn圖求解
1.設全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的關系可表示為（　　）
解析：A　因為N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故選A.
2.（2024·廣東聯考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（　　）
A.[－1，3]　 B.（3，＋∞）C.（－∞，3]　 D.[－1，3）
解析：（2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以題圖中陰影部分表示的集合為（ UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故選D.
3.設全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，則圖中陰影部分表示的集合為
A.{x｜x≥1}　 B.{x｜x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1}　 D.{x｜－1≤x＜2}
解析：C　∵全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，∴ UB＝{x｜x≤1}，∴圖中陰影部分表示的集合為A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x≤1}＝{x｜－1＜x≤1}.故選C.
4．高一班共有28名同學非常喜歡數學，有15人學習必修一，有8人學習必修二，有14人學習選修一，同時學習必修一和必修二的有3人，同時學習必修一和選修一的有3人，沒有人同時學習三本書.同時學習必修二和選修一的有（ ）人，只學習必修一的有（ ）人.
A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9
【答案】D【分析】利用韋恩圖法即可快速求解.
【詳解】設同時學習必修二和選修一的有x人，則，解得，
即同時學習必修二和選修一的有3人，則只學習必修一的有（人），故選：D.
5．已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再求出，則圖中陰影部分所表示的集合為.
【詳解】由，即，解得，
所以，又，所以，
所以圖中陰影部分所表示的集合為.故選：A
6．如圖所示，U是全集，A，B是U的子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根據題中韋恩圖結合集合間運算分析判斷.
【詳解】圖中陰影部分表示的集合為.故選：D．
7．設集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【分析】解不等式得到，利用補集和交集概念求出答案.
【詳解】因為等價于，解得，所以，所以或，
則由韋恩圖可知陰影部分表示．故選：B．
8．學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班總共參賽的同學有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人
【答案】B【分析】利用容斥原理可得.
【詳解】設參加田徑運動的同學構成集合，參加球類運動會的同學構成集合，
則參加田徑運動的同學人數，參加球類運動會的同學人數，
兩次運動會都參賽的同學人數，則兩次運動會中，這個班總共參賽的同學人數為
.故選：B.第1章集合、常用邏輯用語與不等式第1節集合
考點一：元素與集合
（1）集合元素的三個特性：　　、　　、　　；
（2）集合的三種表示方法：　　、　　、　　；
（3）元素與集合的兩種關系：屬于，記為　　；不屬于，記為　　；
（4）五個特定的集合及其關系圖：N*或N＋表示　　集，N表示非負整數集（自然數集），Z表示　　集，Q表示　　集，R表示實數集.
提醒　（1）解題時，應注意檢查集合的元素是否滿足互異性；（2）N為自然數集（即非負整數集），包含0，而N*（N＋）表示正整數集，不包含0.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一個集合.（　　）
（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.（　　）
（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.（　　）
（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　　）
2.已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的個數為（　　）
A.2　 B.4 C.6　 D.8
3.訓練T1.已知集合A＝x｜x∈Z，且∈Z，則集合A中的元素個數為（　　）
A.2　 B.3 C.4　 D.5
4.設集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若∈A，則a＝　.
5.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實數x＝　　.
6.設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，則a2 024＋b2 025＝（　　）
A.0　 B.1 C.2　 D.4
7.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m＝　　　.
8.若，則 ．
9.若集合中的三個元素分別為,則元素應滿足的條件是 ．
10.已知集合，若，則實數 .
11.集合中恰好有兩個元素，則實數滿足的條件是 .
12.若，則 .
考點二：集合間的基本關系
　　表示 關系　　 自然語言 符號語言 圖形語言
子集 集合A中　任意一個　元素都是集合B中的元素 A （或B A） 或
真子集 集合A B，但存在元素x∈B，且x A A B（或B A）
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
提醒（1）A B包含兩層含義：A B或A＝B；（2）若A B，要分A＝ 或A≠ 兩種情況討論，不要忽略A＝ 的情況.（2）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何一個集合都至少有兩個子集.（　　）
（二2）P5自測T3.（多選）已知集合P＝{x｜x2＝4}，則（　　）
A.2∈P　 B.P＝{－2，2} C.{ } P　 D.P N
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，則滿足A C B的集合C的個數為（　　）
A.4　 B.6 C.7　 D.8
3.已知集合，，若，則 .
4.已知集合，，若，則 ．
5.已知集合，則的取值集合為 .
6.已知集合，，則的概率為 ．
7．已知集合，，則的子集個數 ．
考點三：集合的基本運算
　　類別 表示　　 并集 交集 補集
圖形語言
符號語言 A∪B＝　{x｜x∈A，或x∈B}　 A∩B＝{x｜x∈A，　且x∈B} UA＝　{x｜x∈U，且x A}　
常用結論：
1.子集的傳遞性：A B，B C A C.
2.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
3.等價關系：A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
1.（2023·全國乙卷2題）設全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪ UN＝（　　）
A.{0，2，4，6，8}　 B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8}　 D.U
2.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，則A∪B＝　　，A∩B＝　　.
3.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，則A∩B的子集個數為（　　）
A.4　 B.6 C.8　 D.9
4.（2023·全國甲卷1題）設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則 U（M∪N）＝（　　）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
5.（2023·全國乙卷2題）設集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝
A. U（M∪N）　 B.N∪ UM C. U（M∩N）　 D.M∪ UN
6.設集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，則A∩B＝（　　）
A.{x｜x＞－1}　 B.{x｜x≥1} C.{x｜－1＜x＜1}　 D.{x｜1≤x＜2}
7.（2022·全國乙卷1題）設全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足 UM＝{1，3}，則（　　）
A.2∈M　 B.3∈M C.4 M　 D.5 M
8.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，則（　　）
A.P Q　 B.Q P C.P∩Q＝P　 D.P∪Q＝Q
9.集合A，B滿足A∪B＝{2，4，6，8，10}，A∩B＝{2，8}，A＝{2，6，8}，則集合B中的元素個數為（　　）
A.3　 B.4 C.5　 D.6
10.（多選）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，則（　　）
A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x｜x≥0} C.（ UA）∩B＝{－1} D.A∩B的非空真子集個數是6
11.（多選）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，則集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（　　）
A.M∩N　 B. RM C. R（M∩N）　 D. R（M∪N）
12.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，則A∩B＝　　，A∪B＝　　，（ RA）∪B＝　　.
13.（2024·重慶質量調研）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－2x2≥－15}，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，則A∩ UB＝（　　）
A.［－，2）　 B.（－3，－］ C.（－3，3]　 D.（2，3]
14.已知全集，集合，，則 ．（結果用區間表示）
15.已知集合，，則 .
16.已知，，，則 ．
17.已知集合，，則 .
18.已知集合，，則 ．
考點四：參數問題
1.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，則實數a的取值范圍是　　.
2.（必修第一冊第9頁5（2）題改編）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，則實數a的取值范圍為（　　）
A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1）
3.已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A B，則實數a的取值范圍為　　.
4.（2024·九省聯考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，則m的最小值為　　.
5.訓練T2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（ RA）∪B＝R，則實數m的取值范圍是（　　）
A.m≥2　 B.m＜2 C.m≤2　 D.m＞2
6.（2023·新高考Ⅱ卷2題）設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝
A.2　 B.1 C.　 D.－1
7.已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜a≤x＜a＋2}，若A∪B＝R，則實數a的取值范圍是　　.
8.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ，則所有滿足條件的實數m的取值范圍是（　　）
A.－≤m＜　 B.m≥0 C.m≥　 D.0≤m＜
考點五：集合的新定義問題
1（2024·長沙模擬）給定數集M，若對于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，則稱集合M為閉集合，則下列說法中正確的是（　　）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合 B.正整數集是閉集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}為閉集合 D.若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合
2.對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B＝　　.
3.若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱（A1，A2）為集合A的一種分拆，并規定：當且僅當A1＝A2時，（A1，A2）與（A2，A1）是集合A的同一種分拆.若集合A有三個元素，則集合A的不同分拆種數是　　.
考點六：你中有我，我中有你（Venn圖）一般地，若給定的集合元素離散或者是抽象集合，則用Venn圖求解
1.設全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的關系可表示為（　　）
2.（2024·廣東聯考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（　　）
A.[－1，3]　 B.（3，＋∞）C.（－∞，3]　 D.[－1，3）
3.設全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，則圖中陰影部分表示的集合為
A.{x｜x≥1}　 B.{x｜x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1}　 D.{x｜－1≤x＜2}
4．高一班共有28名同學非常喜歡數學，有15人學習必修一，有8人學習必修二，有14人學習選修一，同時學習必修一和必修二的有3人，同時學習必修一和選修一的有3人，沒有人同時學習三本書.同時學習必修二和選修一的有（ ）人，只學習必修一的有（ ）人.
A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9
5．已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖所示，U是全集，A，B是U的子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
7．設集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）．
A． B． C． D．
8．學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班總共參賽的同學有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人

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