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第1章集合、常用邏輯用語與不等式第2節常用邏輯用語
考點一：1充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題 “若p，則q”和“若q，則p”都是真命題
推出關系 p　　q p　　q p　　q
條件關系 p是q的 條件，q是p的 條件 p不是q的 條件，q不是p的 條件 p是q的 條件，簡稱 條件
提醒　（1）A是B的充分不必要條件 A B且BA；（2）A的充分不必要條件是B B A且AB.
常用結論：1.1充分（必要、充要）條件與集合間的包含關系
設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
（2）若A B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
（3）若A＝B，則p是q的充要條件.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（3）當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.（　　）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.（　　）
2.（2023·天津高考2題）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（　　）
A.充分不必要條件　 B.必要不充分條件 C.充分必要條件　 D.既不充分又不必要條件
3.設x∈R，則“x＞0”是“2x＞2”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.設x∈R，則“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.（2023·全國甲卷7題）設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，則（　　）
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
6.已知a，b都是實數，那么“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”的（　　）
A.充分不必要條件　 B.必要不充分條件 C.充要條件　 D.既不充分也不必要條件
7.記數列{an}的前n項和為Sn，則“S3＝3a2”是“{an}為等差數列”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
8.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），則“m＝－3”是“a∥b”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
9.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有實根；q：函數f（x）＝（2－a）x為增函數，則p是q的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
10.（2023·北京高考8題）若xy≠0，則“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
11.設計如圖所示的四個電路圖，則能表示“開關A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件的一個電路圖是（　　）
12.（多選）下列四個條件中，能成為x＞y的充分不必要條件的是（　　）
A.xc2＞yc2　 B.＜＜0 C.｜x｜＞｜y｜　 D.ln x＞ln y
13．已知向量，，則“”是“或”的（ ）條件．
A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件
14．在中，角所對的邊分別為.則“成等比數列”是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
15．設，為兩個不同的平面，，為兩條相交的直線，已知，，則“，”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
16．命題，命題函數且在上單調，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點二：1.2充分條件與必要條件求參數
1.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要條件，則m的取值范圍是　　.
2.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為　　.
3.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.x∈P是x∈S的充分不必要條件，求實數m的取值范圍.
4.設p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是　　.
5.（多選）使≥1成立的一個充分不必要條件是（　　）
A.0＜x＜1　 B.0＜x＜2 C.x＜2　 D.0＜x≤2
6.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是實數.若A是B的充要條件，則b＝　　；若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是　　.
7．“”是直線和圓相交的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．關于的一元二次方程有實數解的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知關于的不等式成立的一個必要不充分條件是，則的取值范圍是
A． B． C． D．
11．已知集合的一個必要條件是，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．集合，若的充分條件是，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考點三：2全稱量詞和存在量詞
類別 全稱量詞 存在量詞
量詞 所有的、任意一個 存在一個、至少有一個
符號
命題 含有　　的命題叫做全稱量詞命題 含有　　的命題叫做存在量詞命題
類別 全稱量詞 存在量詞
命題 形式 “對M中任意一個x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　　”
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）“至少有一個三角形的內角和為π”是全稱量詞命題.（　　）
2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（　　）
A. x∈R，x2＋2x＋1＞0 B.對任意實數a，b，若a－b＜0，則a＜b C.若2x為偶數，則x∈N D.π是無理數
考點四：3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
簡記 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定
提醒　對沒有量詞的命題否定時，要結合命題的含義加上量詞，再改變量詞.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞.（　　）
T2.已知命題p： x∈R，x＞sin x，則p的否定為（　　）
A. x∈R，x＜sin x　 B. x∈R，x≤sin x C. x∈R，x≤sin x　 D. x∈R，x＜sin x
3.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是　 .
4.已知命題p： x∈R，x＝－1或x＝2，則（　　）
A. p： x R，x≠－1或x≠2 B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x∈R，x＝－1且x＝2 D. p： x R，x＝－1或x＝2
5.下列命題為真命題的是（　　）
A. x∈R，ln（x2＋1）＜0 B. x＞2，2x＞x2
C. α，β∈R，sin（α－β）＝sin α－sin β D. x∈（0，π），sin x＞cos x
6.（2024·石家莊模擬）已知命題p： x∈（0，＋∞），ln x＝1－x，則命題p的真假及 p依次為
A.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x B.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
C.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x D.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
7.命題“ x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（　　）
A. x∈R，1＜f（x）≤2 B. x∈R，1＜f（x）≤2
C. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2 D. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2
8.能說明命題“ x∈R且x≠0，x＋≥2”是假命題的x的值可以是　　（寫出一個即可）.
9.命題“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（　　）
A. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 B. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 D. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
考點五：常用結論：2.命題p和 p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.
1.命題p：若直線l與平面α內的所有直線都不平行，則直線l與平面α不平行.則命題 p是　　命題（填“真”或“假”）.
2.已知命題“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（－，0）　 B.（0，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
3.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命題，則實數a的取值范圍是　　.
4.若命題“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實數a可取的最小整數值是（　　）
A.－1　 B.0 C.1　 D.3
5.（多選）已知命題p： x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q： x∈R，x2＋mx＋1＞0，則下列說法正確的是（　　）
A.p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0” B.q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1＞0”
C.若p為假命題，則a的取值范圍是（－∞，－5） D.若q為真命題，則m的取值范圍是（－2，2）
6．若“，使”是假命題，則實數的取值范圍為 .
7．已知命題“對于，”為真命題，寫出符合條件的的一個值： ．
8．若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是 ．
9．若命題：“，使”是假命題，則實數m的取值范圍為 ．
10．已知命題.若為假命題，則的取值范圍為 .
考點六：其它
1.已知命題p： x∈R，x2－a≥0；命題q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p，q都是真命題，則實數a的取值范圍為　　.
2.已知函數f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，對任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，則實數m的取值范圍是　　.第1章集合、常用邏輯用語與不等式第2節常用邏輯用語
考點一：1充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題 “若p，則q”和“若q，則p”都是真命題
推出關系 p　 　q p　　q p　 　q
條件關系 p是q的充分條件，q是p的必要條件 p不是q的充分條件，q不是p的必要條件 p是q的充分必要條件，簡稱充要條件
提醒　（1）A是B的充分不必要條件 A B且BA；（2）A的充分不必要條件是B B A且AB.
常用結論：1.1充分（必要、充要）條件與集合間的包含關系
設A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：
（1）若A B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；
（2）若A B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；
（3）若A＝B，則p是q的充要條件.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（3）當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.（　√　）
（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.（　√　）
2.（2023·天津高考2題）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（　　）
A.充分不必要條件　 B.必要不充分條件 C.充分必要條件　 D.既不充分又不必要條件
解析：B　由a2＝b2，得a＝±b，當a＝－b時，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.故選B.
3.設x∈R，則“x＞0”是“2x＞2”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：B　若2x＞2，則x＞1，因為（1，＋∞） （0，＋∞），所以由結論1得“x＞0”是“2x＞2”的必要不充分條件.故選B.
4.設x∈R，則“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，則集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分條件，故選B.
5.（2023·全國甲卷7題）設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，則（　　）
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
解析：（2）甲等價于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價于sin α＝±cos β，所以由甲不能推導出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.
6.已知a，b都是實數，那么“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”的（　　）
A.充分不必要條件　 B.必要不充分條件 C.充要條件　 D.既不充分也不必要條件
解析：A　方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓 方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圓 a＋1＞0 a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圓”的充分不必要條件.
7.記數列{an}的前n項和為Sn，則“S3＝3a2”是“{an}為等差數列”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：B　若數列{an}是等差數列，則S3＝a1＋a2＋a3＝3a2；當數列{an}的前n項和滿足S3＝3a2時，數列不一定是等差數列，如：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5；所以“S3＝3a2”是“{an}為等差數列”的必要不充分條件，故選B.
8.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），則“m＝－3”是“a∥b”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：A　若m＝－3，則a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，則m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件.故選A.
9.已知p：方程x2－4x＋4a＝0有實根；q：函數f（x）＝（2－a）x為增函數，則p是q的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：B　方程x2－4x＋4a＝0有實根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函數f（x）＝（2－a）x為增函數，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1） （－∞，1]，∴p是q的必要不充分條件，故選B.
10.（2023·北京高考8題）若xy≠0，則“x＋y＝0”是“＋＝－2”的（　　）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：C　法一　因為xy≠0，且＋＝－2 x2＋y2＝－2xy x2＋y2＋2xy＝0 （x＋y）2＝0 x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要條件.
法二　充分性：因為xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2.
必要性：因為xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要條件.
11.設計如圖所示的四個電路圖，則能表示“開關A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件的一個電路圖是（　　）
解析：C　選項A：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選項B：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充要條件；選項C：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件；選項D：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的既不充分也不必要條件.故選C.
12.（多選）下列四個條件中，能成為x＞y的充分不必要條件的是（　　）
A.xc2＞yc2　 B.＜＜0 C.｜x｜＞｜y｜　 D.ln x＞ln y
解析：ABD　對于A選項，若xc2＞yc2 ，則c2≠0，則x＞y，反之x＞y，當c＝0時得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要條件，故A正確；對于B選項，由＜＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出＜＜0（因為x，y的正負不確定），所以“＜＜0”是“x＞y”的充分不必要條件，故B正確；對于C選項，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，則（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x＞y”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于D選項，若ln x＞ln y，則x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要條件，故D正確.
13．已知向量，，則“”是“或”的（ ）條件．
A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A【分析】根據向量數量積分析可知等價于，結合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因為，可得，即，可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：A.
14．在中，角所對的邊分別為.則“成等比數列”是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A【分析】先將代入余弦定理，利用基本不等式得到，從而得到，接著根據得到可能為鈍角，不滿足成等比數列，從而得答案.
【詳解】當成等比數列時，，所以，當且僅當時等號成立，
又，所以，所以，充分性滿足；當時，，
而當時，為最長的邊，不滿足成等比數列，必要性不滿足.
則“成等比數列”是的充分不必要條件.故選：A.
15．設，為兩個不同的平面，，為兩條相交的直線，已知，，則“，”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A【分析】先根據空間公理確定平面；再根據面面平行的判定定理和性質可得出充分性成立；最后根據面面平行的性質及線面位置關系可得出必要性不成立.
【詳解】設兩條相交的直線，確定一個平面，因為，，直線，相交，，，
所以根據面面平行的判定定理可得：，又因為，，直線，相交，，，
所以根據面面平行的判定定理可得： ，所以，充分性成立；
由，，可的：，或，，必要性不成立，
所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.
16．命題，命題函數且在上單調，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B【分析】根據對數復合型函數的單調性，由命題求出的取值范圍，再判斷充分性和必要性即可.
【詳解】設，則可化為．
充分性：當時，函數在上單調遞減，在上單調遞減，
且當時，，在上單調遞增，
當時，，此時沒有意義，故充分性不成立．
必要性：若在上單調遞減，則，所以在上單調遞減，
且在上恒成立，所以，得，所以當時，在上單調遞增；
若在上單調遞增，則，所以在上單調遞減，
且在上恒成立，所以，得，不符合題意，舍去.
綜上可知，當函數在上單調時，，因此必要性成立．所以是的必要不充分條件．故選：B．
考點二：1.2充分條件與必要條件求參數
1.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要條件，則m的取值范圍是　（3，＋∞）　.
解析：因為“x＞m”是“x＞3”的充分不必要條件，所以（m，＋∞）是（3，＋∞）的真子集，由圖可知m＞3.
2.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為　[0，3]　.
解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S P，∴解得0≤m≤3，故0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件.
3.已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.x∈P是x∈S的充分不必要條件，求實數m的取值范圍.
解：由例題知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要條件，∴P S.∴[－2，10] [1－m，1＋m].∴或∴m≥9，則m的取值范圍是[9，＋∞）.
4.設p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是　[2，＋∞）　.
解析：由題意知{x｜1＜x＜2} {x｜（x－a）（x－1）≤0}，則a＞1，即{x｜1＜x＜2} {x｜1≤x≤a}，從而a≥2.
5.（多選）使≥1成立的一個充分不必要條件是（　　）
A.0＜x＜1　 B.0＜x＜2 C.x＜2　 D.0＜x≤2
解析：AB　由≥1得0＜x≤2，依題意由選項組成的集合是（0，2]的真子集，故選A、B.
6.集合A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜bx＞1}，其中b是實數.若A是B的充要條件，則b＝　　；若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是　　（，＋∞）　.
解析：若A是B的充要條件，則A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝；若A是B的充分不必要條件，則A B，易知b＞0，則B＝{x｜x＞}，故＜2，即b＞，故b的取值范圍是（，＋∞）.
7．“”是直線和圓相交的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B【分析】先求出直線與圓相交時的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】圓的圓心，半徑為，若直線和圓相交，
則，解得，所以“”是直線和圓相交的必要不充分條件.故選：B.
8．關于的一元二次方程有實數解的一個必要不充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由可得，根據充分、必要條件的定義，結合選項即可求解.
【詳解】因為一元二次方程有實根，所以，解得.又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A
9．已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理列式求出的取值范圍，結合必要不充分條件的意義判斷即得.【詳解】函數在上單調遞增，由函數在內有零點，
得，解得，即命題成立的充要條件是，
顯然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，當時，不一定成立，
所以命題成立的一個必要不充分條件是.故選：D
10．已知關于的不等式成立的一個必要不充分條件是，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由，得，由必要不充分條件可得的取值范圍.
【詳解】由，得，因為不等式成立的一個必要不充分條件是，
所以.故選：A
11．已知集合的一個必要條件是，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】解分式不等式求集合，根據必要條件有是的子集，即可求參數范圍.
【詳解】解不等式，即，得，故，所以的一個必要條件是，
對于A，不是的子集，故A錯誤；
對于B，不是的子集，故B錯誤；
對于C，是的子集，故C正確；
對于D，不是的子集，故D錯誤；故選：C
12．集合，若的充分條件是，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根據題意是的子集，從而求解.
【詳解】，因為的充分條件是，所以，則，故選：B.
考點三：2全稱量詞和存在量詞
類別 全稱量詞 存在量詞
量詞 所有的、任意一個 存在一個、至少有一個
符號
命題 含有　全稱量詞　的命題叫做全稱量詞命題 含有　存在量詞　的命題叫做存在量詞命題
類別 全稱量詞 存在量詞
命題 形式 “對M中任意一個x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　 x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符號簡記為“　 x∈M，p（x）　”
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）“至少有一個三角形的內角和為π”是全稱量詞命題.（　×　）
2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（　　）
A. x∈R，x2＋2x＋1＞0 B.對任意實數a，b，若a－b＜0，則a＜b C.若2x為偶數，則x∈N D.π是無理數
解析：B　對于A， x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A錯誤；對于B，含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題且是真命題，故B正確；對于C，當x＝－1時，2x＝－2，為偶數，但x N，故C錯誤；對于D，π是無理數不是全稱量詞命題，故D錯誤.故選B.
考點四：3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結構 對M中任意一個x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立
簡記 x∈M，p（x） x∈M，p（x）
否定 x∈M， p（x） x∈M， p（x）
提醒　對沒有量詞的命題否定時，要結合命題的含義加上量詞，再改變量詞.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞.（　√　）
T2.已知命題p： x∈R，x＞sin x，則p的否定為（　　）
A. x∈R，x＜sin x　 B. x∈R，x≤sin x C. x∈R，x≤sin x　 D. x∈R，x＜sin x
解析：C　對全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結論，p： x∈R，x＞sin x，則p的否定為： x∈R，x≤sin x.故選C.
3.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是　存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形　.
解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.故命題的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.
4.已知命題p： x∈R，x＝－1或x＝2，則（　　）
A. p： x R，x≠－1或x≠2 B. p： x∈R，x≠－1且x≠2
C. p： x∈R，x＝－1且x＝2 D. p： x R，x＝－1或x＝2
解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命題p的否定是“ x∈R，x≠－1且x≠2”.
5.下列命題為真命題的是（　　）
A. x∈R，ln（x2＋1）＜0 B. x＞2，2x＞x2
C. α，β∈R，sin（α－β）＝sin α－sin β D. x∈（0，π），sin x＞cos x
（2）∵x2＋1≥1，∴ln（x2＋1）≥0，故A是假命題；當x＝3時，23＜32，故B是假命題；當α＝β＝0時，sin（α－β）＝sin α－sin β，故C是真命題；當x＝∈（0，π）時，sin x＝，cos x＝，sin x＜cos x，故D是假命題.故選C.
6.（2024·石家莊模擬）已知命題p： x∈（0，＋∞），ln x＝1－x，則命題p的真假及 p依次為
A.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x B.真； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
C.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x D.假； x∈（0，＋∞），ln x≠1－x
解析：B　當x＝1時，ln x＝1－x＝0，故命題p為真命題；因為p： x∈（0，＋∞），ln x＝1－x，所以 p： x∈（0，＋∞），ln x≠1－x.
7.命題“ x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（　　）
A. x∈R，1＜f（x）≤2 B. x∈R，1＜f（x）≤2
C. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2 D. x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2
解析：D　存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，原命題的否定形式為“ x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故選D.
8.能說明命題“ x∈R且x≠0，x＋≥2”是假命題的x的值可以是　－1（答案不唯一）　（寫出一個即可）.
解析：由于當x＞0時，x＋≥2，當且僅當x＝1時等號成立，當x＜0時，x＋≤－2，當且僅當x＝－1時等號成立，所以x取負數，即可滿足題意.例如x＝－1時，x＋＝－2.
9.命題“ x∈R， n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（　　）
A. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 B. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＞x2 D. x∈R， n∈N*，都有n＞x2
解析：D　 改寫為 ， 改寫為 ，n≤x2的否定是n＞x2，則該命題的否定形式為“ x∈R， n∈N*，都有n＞x2”.
考點五：常用結論：2.命題p和 p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.
1.命題p：若直線l與平面α內的所有直線都不平行，則直線l與平面α不平行.則命題 p是　假　命題（填“真”或“假”）.
解析：若直線l與平面α內的所有直線都不平行，則直線l與平面α相交，所以直線l與平面α不平行，所以命題p為真命題，所以 p為假命題.
2.已知命題“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（－，0）　 B.（0，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
解析：C　因為命題“ x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“ x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命題，當a＝0時，得x＜2，不符合題意；當a≠0時，得解得a＞.
3.若“ x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命題，則實數a的取值范圍是　（－∞，－8]∪[0，＋∞）　.
解析：由結論2得 x∈R，x2－ax－2a≤0為真命題，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）.
4.若命題“ x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實數a可取的最小整數值是（　　）
A.－1　 B.0 C.1　 D.3
解析：A由題意， x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因為函數h（x）＝x2－2x在（－1，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以實數a可取的最小整數值是－1.
5.（多選）已知命題p： x∈R，x2－2x＋a＋6＝0，q： x∈R，x2＋mx＋1＞0，則下列說法正確的是（　　）
A.p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0” B.q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1＞0”
C.若p為假命題，則a的取值范圍是（－∞，－5） D.若q為真命題，則m的取值范圍是（－2，2）
解析：AD　A、B選項，p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正確，B不正確；C選項，若p為假命題，則p的否定“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命題，即方程x2－2x＋a＋6＝0在實數范圍內無解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正確；D選項，q為真命題，則Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正確.故選A、D.
6．若“，使”是假命題，則實數的取值范圍為 .
【答案】【分析】將問題轉化為“在上恒成立”，再利用對勾函數的單調性求得最值，從而得解.【詳解】因為“，使”是假命題，所以“，”為真命題，
其等價于在上恒成立，又因為對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，即實數的取值范圍為.故答案為：.
7．已知命題“對于，”為真命題，寫出符合條件的的一個值： ．
【答案】（答案不唯一）【分析】當時，，當時，可得可取任意負數，即可求解.
【詳解】對于，，當時，對于，，則可取任意負數，如；故答案為：.
8．若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是 ．
【答案】【分析】由題意知原命題的否定為真，將問題轉換成立二次不等式在定區間上的恒成立問題了，對對稱軸的位置進行討論即可求解.【詳解】由題意原命題的否定“，使得”是真命題，
不妨設，其開口向上，對稱軸方程為，
則只需在上的最大值即可，我們分以下三種情形來討論：
情形一：當即時，在上單調遞增，此時有，解得，
故此時滿足題意的實數不存在；
情形二：當即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
此時有，只需，解不等式組得，
故此時滿足題意的實數的范圍為；
情形三：當即時，在上單調遞減，此時有，解得，
故此時滿足題意的實數不存在；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.
9．若命題：“，使”是假命題，則實數m的取值范圍為 ．
【答案】【分析】根據特稱命題的否定，結合二次函數的性質，可得答案.
【詳解】由題意可知：命題：，.是真命題，①當時，結論顯然成立；
②當時，則，解得；故答案為：.
10．已知命題.若為假命題，則的取值范圍為 .
【答案】【分析】首先寫出命題的否命題，根據為假命題即可得出為真命題，從而轉化為恒成立，利用導數研究最值，即可求出的取值范圍.
【詳解】為假命題 為真命題，故，
令，則，令解得，令解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.故答案為：.
考點六：其它
1.已知命題p： x∈R，x2－a≥0；命題q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p，q都是真命題，則實數a的取值范圍為　（－∞，－2]　.
解析：由命題p為真，得a≤0；由命題q為真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
2.已知函數f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，對任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，則實數m的取值范圍是　（－∞，0）　.
解析：由題意知，當x∈[1，4]時，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，則f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故實數m的取值范圍是（－∞，0）.

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