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第1章集合、常用邏輯用語與不等式第3節等式性質與不等式性質
知識梳理：
1.比較實數的大小
（1）文字敘述：如果a－b是正數，那么a　　b；如果a－b等于0，那么a　　b；如果a－b是負數，那么a　　b.反過來也成立；
（2）符號表示：a－b＞0 a　　b；a－b＝0 a　　b；a－b＜0 a　　b.
2.等式的基本性質
（1）對稱性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性質
（1）對稱性：a＞b b＜a；
（2）傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c　　b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac　　bc；a＞b，c＜0 ac　　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可開方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
考點一：比較兩個數（式）的大小
解題技法 比較大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.
（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.
1.設M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），則有（　　）
A.M＞N　　　　　　B.M≥N C.M＜N　 D.M≤N
2.比較兩數的大小：＋　　＋.
3.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，則M，N的大小關系是（　　）
A.M＞N　 B.M＜N C.M＝N　 D.不能確定
4.若a＝，b＝，則a　　b（填“＞”或“＜”）.
5. 若a＜0，b＜0，則p＝＋與q＝a＋b的大小關系為（　　）
A.p＜q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p≥q
6.（2024·韶關模擬）已知a＞0，b＞0，設m＝a－2＋2，n＝2－b，則（　　）
A.m≥n　 B.m＞n C.m≤n　 D.m＜n
　　（填“＞”“＜”或“＝”）.
8.已知a，b為實數，且a≠b，a＜0，則a　　2b－（填“＞”“＜”或“＝”）.
9.已知a，b∈R，給出下面三個論斷：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：　　.
10.（2024·渭南模擬）若a＞0，b＞0，則p＝（ab與q＝abba的大小關系是（　　）
A.p≥q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p＜q
11.已知實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A.a＜b≤c　 B.b≤c＜a C.b＜c＜a　 D.b＜a＜c
12.（1）已知a＋b＞0，試比較＋與＋的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求證：≤.
考點二：不等式的基本性質
1.倒數性質：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分數性質：若a＞b＞0，m＞0，則（1）真分數性質：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分數性質：＞；＜（b－m＞0）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）兩個實數a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關系中的一種.（　　）
（2）若a＞b，則ac2＞bc2.（　　）
（3）若＞1，則a＞b.（　　）
（4）a＝b ac＝bc.（　　）
2.設a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式成立的是（　　）
A.ac＞bc　 B.＜ C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c
3.（多選）下列命題中正確的是（　　）
A.若a＜b，則ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，則＞ C.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，則＞
4.（多選）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結論正確的是（　　）
A.ad＞bc　 B.＋＜0 C.a－c＞b－d　 D.a（d－c）＞b（d－c）
5.（多選）已知a，b∈R，則下列選項中能使＜成立的是（　　）
A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0
6.若a，b∈R，且a＞｜b｜，則（　　）
A.a＜－b　 B.a＞b C.a2＜b2　 D.＞
7.已知a＋b＜0，且a＞0，則（　　）
A.a2＜－ab＜b2　 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab　 D.－ab＜b2＜a2
8.（多選）下列命題為真命題的是（　　）
A.若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d，則ac＞bd C.若a＞b，則＞ D.若a＜b＜0，c＜0，則＜
9.（多選）設a＞b＞1，c＜0，則下列結論正確的是（　　）
A.＞ B.ac＜bc C.a（b－c）＞b（a－c） D.＞
10．若，則使“”成立的一個充分條件可以是（ ）
A． B． C． D．
11．下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．的最小值為2
C． D．的最小值為2
12．設a，b，c，d為實數，且，則下列不等式正確的有（ ）
A． B． C． D．
13．下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，則
C．若，，，則的最小值為4 D．若，，，則的最小值為4
14．已知且，．則下列關系一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
15．已知，下列選項中是“”的充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
考點三：不等式性質的應用
1.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，則a－b的取值范圍為　　.
2.（必修第一冊第43頁5題改編）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，則a＋2b的取值范圍是　　，ab的取值范圍是　　.
3.已知1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，則a＋2b的取值范圍是　　.
4.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則的取值范圍是　　.
5.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范圍.
6.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，則3x＋2y的取值范圍為　　.第1章集合、常用邏輯用語與不等式第3節等式性質與不等式性質
知識梳理：
1.比較實數的大小
（1）文字敘述：如果a－b是正數，那么a　＞　b；如果a－b等于0，那么a　＝　b；如果a－b是負數，那么a　＜　b.反過來也成立；
（2）符號表示：a－b＞0 a　＞　b；a－b＝0 a　＝　b；a－b＜0 a　＜　b.
2.等式的基本性質
（1）對稱性：如果a＝b，那么b＝a；
（2）傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
（3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
（4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
（5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3.不等式的基本性質
（1）對稱性：a＞b b＜a；
（2）傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c　＞　b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac　＞　bc；a＞b，c＜0 ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
（5）可乘方性：a＞b＞0 an＞bn（n∈N，n≥2）；
（6）可開方性：a＞b＞0 ＞ （n∈N，n≥2）.
考點一：比較兩個數（式）的大小
解題技法 比較大小的常用方法
（1）作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.
（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.
1.設M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），則有（　　）
A.M＞N　　　　　　B.M≥N C.M＜N　 D.M≤N
解析：A　因為M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故選A.
2.比較兩數的大小：＋　＞　＋.
解析：因為（＋）2＝17＋2，（＋）2＝17＋2，所以（＋）2＞（＋）2，所以＋＞＋.
3.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，則M，N的大小關系是（　A　）
A.M＞N　 B.M＜N C.M＝N　 D.不能確定
4.若a＝，b＝，則a　＜　b（填“＞”或“＜”）.
解析：（1）∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故選A.
（2）易知a，b都是正數，＝＝log89＞1，所以b＞a.
5. 若a＜0，b＜0，則p＝＋與q＝a＋b的大小關系為（　　）
A.p＜q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p≥q
解析：B　p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·（－）＝＝，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，則p－q＝0，故p＝q；若a≠b，則p－q＜0，故p＜q.綜上，p≤q.故選B.
6.（2024·韶關模擬）已知a＞0，b＞0，設m＝a－2＋2，n＝2－b，則（　　）
A.m≥n　 B.m＞n C.m≤n　 D.m＜n
解析：A　由題意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝（－1）2＋（－1）2≥0，當且僅當a＝b＝1時，等號成立，即m≥n，故選A.
　＜　（填“＞”“＜”或“＝”）.
解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，顯然＋2＜＋，所以＜.
8.已知a，b為實數，且a≠b，a＜0，則a　＜　2b－（填“＞”“＜”或“＝”）.
解析：因為a≠b，a＜0，所以a－（2b－）＝＜0，所以a＜2b－.
9.已知a，b∈R，給出下面三個論斷：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：　若a＞b，a＜0且b＜0，則＜（答案不唯一）　.
解析：若a＞b，a＜0且b＜0，則＜，證明：－＝，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，則－＝＜0，故＜.
10.（2024·渭南模擬）若a＞0，b＞0，則p＝（ab與q＝abba的大小關系是（　　）
A.p≥q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p＜q
解析：A　＝＝＝（，若a＞b＞0，則＞1，a－b＞0，∴＞1；若0＜a＜b，則0＜＜1，a－b＜0，∴＞1，若a＝b，則＝1，∴p≥q.故選A.
11.已知實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系為（ ）
A.a＜b≤c　 B.b≤c＜a C.b＜c＜a　 D.b＜a＜c
解析：A　∵c－b＝4－4a＋a2＝（a－2）2≥0，∴c≥b，又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，兩式相減得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∴b－a＝a2＋1－a＝（a－）2＋＞0，∴b＞a，∴a＜b≤c.
12.（1）已知a＋b＞0，試比較＋與＋的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求證：≤.
解：（1）＋－（＋）＝＋＝（a－b）·（－）＝.
∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴≥0.∴＋≥＋.
（2）證明：∵bc≥ad，＞0，∴≥，∴＋1≥＋1，∴≤.
考點二：不等式的基本性質
1.倒數性質：（1）a＞b，ab＞0 ＜；（2）a＜0＜b ＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2.分數性質：若a＞b＞0，m＞0，則（1）真分數性質：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分數性質：＞；＜（b－m＞0）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）兩個實數a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關系中的一種.（　√　）
（2）若a＞b，則ac2＞bc2.（　×　）
（3）若＞1，則a＞b.（　×　）
（4）a＝b ac＝bc.（　×　）
2.設a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式成立的是（　　）
A.ac＞bc　 B.＜ C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c
解析：D　對于選項A，當c≤0時，不等式ac＞bc不成立，故A不正確.對于選項B，當a＞0，b＜0時，不等式＜不成立，故B不正確.對于選項C，當a＝－1，b＝－2時，不等式a2＞b2不成立，故C不正確.選項D正確，故選D.
3.（多選）下列命題中正確的是（　　）
A.若a＜b，則ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，則＞ C.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，則＞
解析：BD　A中，當c＝0時不成立，故A不正確；B中，由真分數性質知B正確；C中，因為a＞b，（－c）＜（－d），不滿足不等式的同向可加性，故C不正確；D中，因為ab＜0，所以a，b異號，所以當a＞b時a＞0且b＜0，＞，故D正確.綜上可知B、D正確.
4.（多選）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結論正確的是（　　）
A.ad＞bc　 B.＋＜0 C.a－c＞b－d　 D.a（d－c）＞b（d－c）
解析：BCD　因為a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A錯誤；因為0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正確；因為c＜d，所以－c＞－d，因為a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正確；因為a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正確.
5.（多選）已知a，b∈R，則下列選項中能使＜成立的是（　　）
A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0
解析：BD　對于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A錯誤；對于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正確；對于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C錯誤；對于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正確.故選B、D.
6.若a，b∈R，且a＞｜b｜，則（　　）
A.a＜－b　 B.a＞b C.a2＜b2　 D.＞
解析：B由a＞｜b｜得，當b≥0時，a＞b，當b＜0時，a＞－b，綜上可知，當a＞｜b｜時，則a＞b成立，故選B.
7.已知a＋b＜0，且a＞0，則（　　）
A.a2＜－ab＜b2　 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab　 D.－ab＜b2＜a2
解析：A　法一　由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因為a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因為0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故選A.
法二　令a＝1，b＝－2，則a2＝1，－ab＝2，b2＝4，從而a2＜－ab＜b2，故選A.
8.（多選）下列命題為真命題的是（　　）
A.若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d，則ac＞bd C.若a＞b，則＞ D.若a＜b＜0，c＜0，則＜
解析：AD　對于A，由不等式的性質可知同向不等式相加，不等號方向不變，故正確.對于B，當a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1時，ac＝bd，故錯誤.對于C，當c＜0時，＜，故錯誤.對于D，－＝，因為b－a＞0，c＜0，ab＞0，所以－＜0，即＜，故正確.故選A、D.
9.（多選）設a＞b＞1，c＜0，則下列結論正確的是（　　）
A.＞ B.ac＜bc C.a（b－c）＞b（a－c） D.＞
解析：ABC　對于A，∵a＞b＞1，c＜0，∴－＝＞0，∴＞，故A正確；對于B，∵a＞b＞1，c＜0，∴ac＜bc，故B正確；對于C，∵a＞b＞1，∴a（b－c）－b（a－c）＝ab－ac－ab＋bc＝－c（a－b）＞0，∴a（b－c）＞b（a－c），故C正確；對于D，∵＜0，a＞b＞1，∴＜，故D錯誤.
10．若，則使“”成立的一個充分條件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【分析】根據不等式的性質及對數函數的單調性結合充分條件的定義即可得解.
【詳解】對于A，因為，所以，選項A正確；
對于B，滿足，選項錯B錯誤；
對于C，，當時，，選項錯C錯誤；
對于D，，因為，所以，選項D正確.故選：AD.
11．下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．的最小值為2
C． D．的最小值為2
【答案】AD【分析】利用不等式的性質及基本不等式，以此判斷選項即可.
【詳解】對于A，若，則，A正確;
對于B，或，因為不知道和的大小關系，B錯誤；
對于C，若，則，而
，但是與的大小不能確定，故C錯誤；
對于D，，當且僅當，即取等號，D正確.故選：AD
12．設a，b，c，d為實數，且，則下列不等式正確的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【分析】根據不等式的相關性質可得A ,D 項正確；通過舉反例可說明B ,C 項錯誤.
【詳解】對于A，由和不等式性質可得，故A正確；
對于B，因，若取，，，，則，，所以，故B錯誤；
對于C，因，若取，，，，則，，所以，故C錯誤；
對于D，因為，則，又因則，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正確．故選：AD．
13．下列說法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，則
C．若，，，則的最小值為4 D．若，，，則的最小值為4
【答案】ACD【分析】根據不等式的性質即可判斷A選項，舉反例即可判斷B選項，根據基本不等式即可判斷CD選項.
【詳解】對于A，，，所以，故A正確；
對于B，當，時，，故B錯誤；
對于C，若，，，則，
當且僅當時取等號，所以的最小值為4，故C正確；
對于D，因為，，，則，即，
解得，當且僅當時取得等號，故的最小值為4，故D正確．故選：ACD.
14．已知且，．則下列關系一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD【分析】根據不等式的性質即可判斷A選項，利用特殊值法可排除BC，利用作差比較法可判斷D選項.
【詳解】由題意可知，，對于A，由，，根據同向可加性得，故A正確；
對于B，取，驗證B錯誤；對于C，若，等式不成立，故C錯誤；
對于D，兩式做差得，
因為，所以，所以，故D正確.故選：AD.
15．已知，下列選項中是“”的充分條件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【分析】由不等式的性質判斷AD，由作差法判斷BC即可.
【詳解】對于A，因為，所以，故A符合題意；
對于B，因為，所以，所以，即，故B符合題意；
對于C，因為，所以，即，故C符合題意；
對于D，取，但有，故D不符合題意.故選：ABC.
考點三：不等式性質的應用
1.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，則a－b的取值范圍為　（－6，5）　.
解析：∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.
2.（必修第一冊第43頁5題改編）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，則a＋2b的取值范圍是　（0，13）　，ab的取值范圍是　（－3，15）　.
解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，當－1＜b＜0時，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，則－3＜ab＜0，當0＜b＜5時，0＜ab＜15，當b＝0時，ab＝0，綜上，－3＜ab＜15.
3.已知1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，則a＋2b的取值范圍是　（，）　.
解析：設a＋2b＝x（a＋b）＋y（a－b），則a＋2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，即解得即a＋2b＝（a＋b）－（a－b），由1＜a＋b＜3，則＜（a＋b）＜，由0＜a－b＜2，則－2＜－（a－b）＜0，－1＜－（a－b）＜0，故＜（a＋b）－（a－b）＜.
4.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則的取值范圍是　（－3，－1）　.
解析：因為a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c，因為a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，將b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得＜－1，所以－3＜＜－1.
5.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范圍.
解：因為6＜a＜60，15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，所以－12＜a－b＜45.
又＜＜，則＜＜，即＜＜4.因為＝＋1，所以＜＜5.
6.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，則3x＋2y的取值范圍為　（，）　.
解析：設3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范圍是（，）.

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