資源簡介

一、導數的概念
（1）平均變化率：對于函數y＝f（x），我們把比值，即＝　　叫做函數y＝f（x）從x0到x0＋Δx的平均變化率；
提醒　Δx可以是正值，也可以是負值，但不為0.
（2）函數y＝f（x）在x＝x0處的導數：函數y＝f（x）在x＝x0處的瞬時變化率＝叫做函數y＝f（x）在x＝x0處的導數，記作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝；
（3）導函數：當x變化時，y＝f'（x）就是x的函數，我們稱它為y＝f（x）的導函數（簡稱導數），y＝f（x）的導函數有時也記作y'，即f'（x）＝y'＝；
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）f'（x0）是函數y＝f（x）在x＝x0附近的平均變化率.（　×　）
（2）求f'（x0）時，可先求f（x0），再求f'（x0）.（　×　）
2.設f（x）在x0處可導，下列式子與f'（x0）相等的是（　　）
A. B. C. D.
解析：B　對于A，＝－＝－f'（x0），A錯誤；對于B，＝f'（x0），B正確；對于C，＝2＝2f'（x0），C錯誤；對于D，＝－＝－f'（x0），D錯誤.故選B.
解題技法 求函數f（x）在x＝x0處的導數的步驟
（1）求平均變化率＝；（2）求瞬時變化率，即取極限，得到f'（x0）.
提醒　函數y＝f（x）的導數f'（x）反映了函數f（x）的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了變化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲線在這點處的切線越“陡峭”.
二、導數的幾何意義
1.導數的現實意義：在y＝s（t）時，瞬時速度就是位移函數對時間t的導數；在y＝V（t）時，加速度就是瞬時速度函數對時間t的導數等等。
1.一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）關于時間t（單位：s）的函數為y＝h（t）＝，當t＝3時，水面下降的速度為（　　）
A.－ cm/s　 B. cm/s C.－ cm/s　 D. cm/s
解析：B　由結論2知，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故當t＝3時，水面下降的速度為 cm/s，故選B.
2.某旅游者爬山的高度h（單位：m）是時間t（單位：h）的函數，關系式是h（t）＝－100t2＋800t，則他在2 h這一時刻的高度變化的速度是（　　）
A.500 m/h　 B.1 000 m/h C.400 m/h　 D.1 200 m/h
解析：C　h'（t）＝－200t＋800，∴h'（2）＝－200×2＋800＝400（m/h）.
2.導數的幾何意義(此時初步理解幾何意義，下一節專點分析導數函數與原函數的關系)
函數y＝f（x）在x＝x0處的導數就是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處切線的　斜率　，相應的切線方程為y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.（　√　）
2.函數y＝f（x）的圖象如圖，則導函數f'（x）的大致圖象為（　　）
解析：B　由導數的幾何意義可知，f'（x）為常數，且f'（x）＜0.
3.已知函數f（x）在R上可導，其部分圖象如圖所示，設＝a，則下列不等式正確的是
A.a＜f'（2）＜f'（4）　 B.f'（2）＜a＜f'（4）
C.f'（4）＜f'（2）＜a　 D.f'（2）＜f'（4）＜a
解析：B　從函數的圖象可知，函數值在[2，4]上的增長越來越快，故函數在[2，4]上各點處
的斜率也越來越大.因為＝a，所以f'（2）＜a＜f'（4），故選B.
三、1導數的運算
1.求下列函數的導數：（1）y＝x（ln x＋cos x）；（2）y＝；（3）y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）.
解：（1）y'＝ln x＋cos x＋x（－sin x）＝ln x＋cos x－xsin x＋1.
（2）y'＝＝.
（3）∵y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）＝xsin（4x＋π）＝－xsin 4x.∴y'＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x.
2.（多選）下列求導運算正確的是（　　）
A.若f（x）＝sin（2x＋3），則f'（x）＝2cos（2x＋3） B.若f（x）＝e－2x＋1，則f'（x）＝e－2x＋1
C.若f（x）＝，則f'（x）＝ D.若f（x）＝xln x，則f'（x）＝ln x＋1
解析：ACD　f（x）＝sin（2x＋3），f'（x）＝cos（2x＋3）·（2x＋3）'＝2cos（2x＋3），故A正確；f（x）＝e－2x＋1，則f'（x）＝－2e－2x＋1，故B錯誤；f（x）＝，f'（x）＝＝，故C正確；f（x）＝xln x，f'（x）＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋1，故D正確.
3.已知函數f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，則x0＝　1　.
解析：f'（x）＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋ln x0＝20，則ln x0＝0，解得x0＝1.
2.導數的運算的常用結論1
1.奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數，周期函數的導函數還是周期函數.
（三2.1）P612.觀察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos x）'＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f（x）滿足f（－x）＝f（x），記g（x）為f（x）的導函數，則g（－x）＝　－g（x）　.
解析：由結論1知，偶函數的導函數為奇函數，因此當f（x）是偶函數時，其導函數應為奇函數，故g（－x）＝－g（x）.
3.導數的運算的提醒：提醒　f'（x0）代表函數f（x）在x＝x0處的導數值；（f（x0））'是函數值f（x0）的導數，而函數值f（x0）是一個常量，其導數一定為0，即（f（x0））'＝0.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數y＝sin 的導數為y'＝cos .（　×　）
2.下列函數的求導正確的是（　　）
A.（x－2）'＝－2x　 B.（xcos x）'＝cos x－xsin x C.（ln 10）'＝　 D.（e2x）'＝2ex
解析：B　∵（x－2）'＝－2x－3，∴A錯誤；（xcos x）'＝cos x－xsin x，∴B正確；（ln 10）'＝0，∴C錯誤；（e2x）'＝2e2x，∴D錯誤.故選B.
3.已知f（x）的導函數為f'（x），f（x）＝＋2f'（1）·x，則f'（1）＝　－　　.
解析：∵f（x）＝＋2f'（1）·x，∴f'（x）＝＋2f'（1），∴f'（1）＝＋2f'（1），解得f'（1）＝－.
四、求切線 求曲線切線方程的步驟
（1）求出函數y＝f（x）在點x＝x0處的導數，即曲線y＝f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率；
（2）由點斜式方程求得切線方程為y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒　注意“在”與“過”的區別，前者P（x0，f（x0））為切點，而后者P（x0，f（x0））不一定為切點.
1.求切線類型一：已知切點
1.曲線y＝x3＋1在點（－1，a）處的切線方程為　y＝3x＋3　.
解析：因為（－1，a）在曲線y＝x3＋1上，所以a＝0.令f（x）＝x3＋1，則f'（x）＝3x2，f'（－1）＝3，即切線的斜率k＝3，所以所求切線的方程為y＝3（x＋1），即y＝3x＋3.
2.（2023·全國甲卷8題）曲線y＝在點（1，）處的切線方程為（　C　）
A.y＝x　 B.y＝x C.y＝x＋　 D.y＝x＋
解析：由題意可知y'＝＝，則曲線y＝在點（1，）處的切線斜率k＝y'｜x＝1＝，所以曲線y＝在點（1，）處的切線方程為y－＝（x－1），即y＝x＋，故選C.
3.函數f（x）＝exsin x的圖象在點（0，f（0））處的切線的傾斜角為（　　）
A.0　　 B.1　　C.　　 D.
解析：C　由題意知f'（x）＝exsin x＋excos x＝ex（sin x＋cos x），則曲線在點（0，f（0））處的切線斜率k＝f'（0）＝e0（sin 0＋cos 0）＝1.設切線的傾斜角為α，則tan α＝1，又α∈[0，π），所以α＝.
4.曲線y＝在點（2，1）處的切線與直線y＝ax＋1垂直，則實數a＝　2　.
解析：由題意得，y'＝－，則曲線y＝在點（2，1）處的切線的斜率k＝y'｜x＝2＝－＝－，又曲線y＝在點（2，1）處的切線與直線y＝ax＋1垂直，所以－a＝－1，所以a＝2.
針對作業：
5．已知函數，其導函數為．(1)求在處的切線方程；
【詳解】因為的導數為，所以在處的切線斜率為，而
故所求的切線方程為，即．
6．已知函數．(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；
【詳解】由題意，在中，，中，
當時，，，中，，
∴曲線在點處切線的斜率為
2.求切線類型二：不知切點
1.（2022·新高考Ⅱ卷14題）曲線y＝ln ｜x｜過坐標原點的兩條切線的方程為　y＝x，y＝－x　.
解析：先求當x＞0時，曲線y＝ln x過原點的切線方程，設切點為（x0，y0），則由y'＝，得切線斜率為，又切線的斜率為，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切線斜率為，切線方程為y＝x.同理可求得當x＜0時的切線方程為y＝－x.綜上可知，兩條切線方程為y＝x，y＝－x.
2.在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經過點（－e，－1）（e為自然對數的底數），則點A的坐標是　（e，1）　.
解析：設A（m，n），則曲線y＝ln x在點A處的切線方程為y－n＝（x－m）.又切線過點（－e，－1），所以有n＋1＝（m＋e）.再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故點A的坐標為（e，1）.
3.曲線y＝x3＋m在點A處的切線方程為y＝3x＋2m－2，則切點A的坐標為　（－1，3）或（1，1）　.
解析：由曲線在點A處的斜率y'＝3x2＝3得x＝±1，由切點A的橫坐標為±1，所以（－1）3＋m＝－3＋2m－2或13＋m＝3＋2m－2，解得m＝4或m＝0，所以A的坐標為（－1，3）或（1，1）.
4.（2022·新高考Ⅰ卷15題）若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是　（－∞，－4）∪（0，＋∞）　.
解析：因為y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.設切點為A（x0，（x0＋a）），O為坐標原點，依題意得，切線斜率kOA＝y'＝（x0＋a＋1）＝，化簡，得＋ax0－a＝0.因為曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，所以關于x0的方程＋ax0－a＝0有兩個不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范圍是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.
5.曲線y＝xln x過點P（1，a）的切線有且只有兩條，則實數a的取值范圍是　（－∞，0）　.
解析：因為y＝xln x，則y'＝ln x＋1，設切點為（x0，y0 ），y'＝ln x0＋1，所以切線方程為y－x0ln x0＝（ln x0＋1）（x－x0），代入P（1，a），得a－x0ln x0＝（ln x0＋1）（1－x0），即a＝ln x0－x0＋1有兩個解，令g（x）＝ln x－x＋1（x＞0），g'（x）＝－1＝，故g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，所以當x＝1 時，函數g（x）有最大值，g（1）＝0，且x→＋∞，g（x）→－∞，x→0，g（x）→－∞，所以a＜0.
解題技法 利用導數的幾何意義求參數的基本方法
　　利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程（組）或者參數滿足的不等式（組），進而求出參數的值或取值范圍.
提醒　（1）注意曲線上橫坐標的取值范圍；（2）謹記切點既在切線上又在曲線上.一、導數的概念
（1）平均變化率：對于函數y＝f（x），我們把比值，即＝　叫做函數y＝f（x）從x0到x0＋Δx的平均變化率；
提醒　Δx可以是正值，也可以是負值，但不為0.
（2）函數y＝f（x）在x＝x0處的導數：函數y＝f（x）在x＝x0處的瞬時變化率＝叫做函數y＝f（x）在x＝x0處的導數，記作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝；
（3）導函數：當x變化時，y＝f'（x）就是x的函數，我們稱它為y＝f（x）的導函數（簡稱導數），y＝f（x）的導函數有時也記作y'，即f'（x）＝y'＝；
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）f'（x0）是函數y＝f（x）在x＝x0附近的平均變化率.（　　）
（2）求f'（x0）時，可先求f（x0），再求f'（x0）.（　　）
2.設f（x）在x0處可導，下列式子與f'（x0）相等的是（　　）
A. B. C. D.
二、導數的幾何意義
1.導數的現實意義：在y＝s（t）時，瞬時速度就是位移函數對時間t的導數；在y＝V（t）時，加速度就是瞬時速度函數對時間t的導數等等。
1.一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）關于時間t（單位：s）的函數為y＝h（t）＝，當t＝3時，水面下降的速度為（　　）
A.－ cm/s　 B. cm/s C.－ cm/s　 D. cm/s
2.某旅游者爬山的高度h（單位：m）是時間t（單位：h）的函數，關系式是h（t）＝－100t2＋800t，則他在2 h這一時刻的高度變化的速度是（　　）
A.500 m/h　 B.1 000 m/h C.400 m/h　 D.1 200 m/h
2.導數的幾何意義(此時初步理解幾何意義，下一節專點分析導數函數與原函數的關系)
函數y＝f（x）在x＝x0處的導數就是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處切線的　　，相應的切線方程為y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.（　　）
2.函數y＝f（x）的圖象如圖，則導函數f'（x）的大致圖象為（　　）
3.已知函數f（x）在R上可導，其部分圖象如圖所示，設＝a，則下列不等式正確的是
A.a＜f'（2）＜f'（4）　 B.f'（2）＜a＜f'（4）
C.f'（4）＜f'（2）＜a　 D.f'（2）＜f'（4）＜a
三、1導數的運算
1.求下列函數的導數：（1）y＝x（ln x＋cos x）；（2）y＝；（3）y＝xsin（2x＋）cos（2x＋）.
2.（多選）下列求導運算正確的是（　　）
A.若f（x）＝sin（2x＋3），則f'（x）＝2cos（2x＋3） B.若f（x）＝e－2x＋1，則f'（x）＝e－2x＋1
C.若f（x）＝，則f'（x）＝ D.若f（x）＝xln x，則f'（x）＝ln x＋1
3.已知函數f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，則x0＝　　.
2.導數的運算的常用結論1
1.奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數，周期函數的導函數還是周期函數.
（三2.1）P612.觀察（x2）'＝2x，（x4）'＝4x3，（cos x）'＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f（x）滿足f（－x）＝f（x），記g（x）為f（x）的導函數，則g（－x）＝　　.
3.導數的運算的提醒：提醒　f'（x0）代表函數f（x）在x＝x0處的導數值；（f（x0））'是函數值f（x0）的導數，而函數值f（x0）是一個常量，其導數一定為0，即（f（x0））'＝0.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數y＝sin 的導數為y'＝cos .（　　）
2.下列函數的求導正確的是（　　）
A.（x－2）'＝－2x　 B.（xcos x）'＝cos x－xsin x C.（ln 10）'＝　 D.（e2x）'＝2ex
3.已知f（x）的導函數為f'（x），f（x）＝＋2f'（1）·x，則f'（1）＝　　　.
四、求切線 求曲線切線方程的步驟
（1）求出函數y＝f（x）在點x＝x0處的導數，即曲線y＝f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率；
（2）由點斜式方程求得切線方程為y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒　注意“在”與“過”的區別，前者P（x0，f（x0））為切點，而后者P（x0，f（x0））不一定為切點.
1.求切線類型一：已知切點
1.曲線y＝x3＋1在點（－1，a）處的切線方程為　　.
2.（2023·全國甲卷8題）曲線y＝在點（1，）處的切線方程為（　　）
A.y＝x　 B.y＝x C.y＝x＋　 D.y＝x＋
3.函數f（x）＝exsin x的圖象在點（0，f（0））處的切線的傾斜角為（　　）
A.0　　 B.1　　C.　　 D.
4.曲線y＝在點（2，1）處的切線與直線y＝ax＋1垂直，則實數a＝　　.
針對作業：
5．已知函數，其導函數為．(1)求在處的切線方程；
6．已知函數．(1)當時，求曲線在點處切線的斜率；
2.求切線類型二：不知切點
1.（2022·新高考Ⅱ卷14題）曲線y＝ln ｜x｜過坐標原點的兩條切線的方程為　 ，　 .
2.在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y＝ln x上，且該曲線在點A處的切線經過點（－e，－1）（e為自然對數的底數），則點A的坐標是　　.
3.曲線y＝x3＋m在點A處的切線方程為y＝3x＋2m－2，則切點A的坐標為　　.
4.（2022·新高考Ⅰ卷15題）若曲線y＝（x＋a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是　 　.
5.曲線y＝xln x過點P（1，a）的切線有且只有兩條，則實數a的取值范圍是　　.
解題技法 利用導數的幾何意義求參數的基本方法
　　利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程（組）或者參數滿足的不等式（組），進而求出參數的值或取值范圍.
提醒　（1）注意曲線上橫坐標的取值范圍；（2）謹記切點既在切線上又在曲線上.

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