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第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性專題
考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f'（x）＞0.（　×　）
（2）如果f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）＝0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.（　√　）
（3）若函數(shù)f（x）在定義域上都有f'（x）＞0，則f（x）在定義域上一定是增函數(shù).（　×　）
2.已知f（x）是定義在（a，b）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，則“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）內(nèi)為增函數(shù)”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A　
考點(diǎn)二：求已知函數(shù)（不含參數(shù)）的單調(diào)區(qū)間
1.函數(shù)f（x）＝cos x－x在（0，π）上的單調(diào)性為（　　）
A.先增后減　 B.先減后增 C.單調(diào)遞增　 D.單調(diào)遞減
解析：D　因?yàn)樵趨^(qū)間（0，π）內(nèi)，f'（x）＝－sin x－1＜0恒成立，所以f（x）在（0，π）上單調(diào)遞減，故選D.
2.函數(shù)y＝4x2＋的單調(diào)遞增區(qū)間為　（，＋∞）　.
解析：由y＝4x2＋（x≠0），得y'＝8x－，令y'＞0，即8x－＞0，解得x＞，∴函數(shù)y＝4x2＋的單調(diào)遞增區(qū)間為（，＋∞）.
3.函數(shù)f（x）＝＋＋x的單調(diào)遞減區(qū)間為　（0，）　；
4.已知定義在區(qū)間（0，π）上的函數(shù)f（x）＝x＋2cos x，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為　（0，），（，π）　.
解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f'（x）＝－＋1＝，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）.
（2）f'（x）＝1－2sin x，x∈（0，π）.令f'（x）＝0，得x＝或x＝，當(dāng)0＜x＜或＜x＜π時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)＜x＜時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，）和（，π）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減.
5．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由可求出其遞減區(qū)間.
【詳解】的定義域?yàn)椋睿獾茫?br/>所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.
6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令，即可得解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C.
7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式可得其單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋傻茫睿獾?所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D
8．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】求導(dǎo)后，令，解出即可.
【詳解】,令，解得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.
9．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．(1)求在處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，所以在處的切線斜率為，而
故所求的切線方程為，即．
因?yàn)椋x域?yàn)?br/>所以，解得，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
10．已知函數(shù) (其中為常數(shù))．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的最小值．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間； （2）分類討論，根據(jù)單調(diào)的單調(diào)性確定的最小值.
【詳解】（1），令解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
令解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；
③當(dāng)時(shí)，令和分別解得和，
則在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以；
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
考點(diǎn)三：求已知函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)區(qū)間
解題技法 討論函數(shù)f（x）單調(diào)性的步驟
（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f'（x）的正負(fù)，由符號(hào)確定f（x）在該區(qū)間上的單調(diào)性.
提醒　研究含參函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.
1.（2024·惠州模擬）已知函數(shù)f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.
解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），且f'（x）＝＋4x＝.
當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＝0，解得x＝，由f'（x）≤0，得0＜x≤；由f'（x）≥0，得x≥.
則函數(shù)f（x）在（0，］上單調(diào)遞減，在［，＋∞）上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，］上單調(diào)遞減，在［，＋∞）上單調(diào)遞增.
2.（2023·新高考Ⅰ卷19題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）＝a（ex＋a）－x，討論f（x）的單調(diào)性.
解：由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿蓿琭'（x）＝aex－1.
當(dāng)a≤0時(shí)，易知f'（x）＜0，則f（x）在（－∞，＋∞）上是減函數(shù).
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，得x＝ln.當(dāng)x∈（－∞，ln）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（ln，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln）上單調(diào)遞減，在（ln，＋∞）上單調(diào)遞增.
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（－∞，＋∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（－∞，ln）上單調(diào)遞減，在（ln，＋∞）上單調(diào)遞增.
3.已知函數(shù)f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的單調(diào)區(qū)間.
解：函數(shù)f（x）＝ex－ax－a的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f'（x）＝ex－a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，即f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝ex－a＞0，解得x＞ln a，令f'（x）＝ex－a＜0，解得x＜ln a，
即f（x）在（－∞，ln a）上單調(diào)遞減，在（ln a，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，ln a），單調(diào)遞增區(qū)間為（ln a，＋∞）.
4．設(shè)函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求a的值，并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論的單調(diào)性；(3)若，求的取值范圍.
【答案】(1)6，單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間(2)答案見解析(3)【分析】（1）先求導(dǎo)，令，檢驗(yàn)即得解；代入，分別令，得到單增區(qū)間和單減區(qū)間；（2）根據(jù)二次函數(shù)及二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)定義域，分類討論即可求解；（3）轉(zhuǎn)化為，分，兩種情況討論即可.
【詳解】（1），，解得，此時(shí)，
令，有或，令，有，所以是的極值點(diǎn)，滿足題意，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）由（1）知，當(dāng)即時(shí)，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，由得或，
由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)即時(shí)，由得或，
由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)即時(shí)，由得，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間，
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）由題意當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以
，即當(dāng)時(shí)，不成立.綜上，.
5．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上的零點(diǎn)為．證明：．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）法一：由已知導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可得的范圍，再令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，利用不等式放縮即可求解.法二：，設(shè)新函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理得，再證明單調(diào)性即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br/>所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）法一：由（1）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，
令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕?br/>，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以，即，
令，則，所以在上單調(diào)遞減，
故，所以，
又，所以，
令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以.
法二：因?yàn)椋桑?）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，
即，
設(shè)，而在上單調(diào)遞增，
所以，，所以在上單調(diào)遞增，
又，令，所以在上單調(diào)遞增，
所以，而，
.
6.已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】解：，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令，，時(shí)，，單調(diào)遞減．
時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．
由知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增
故，令，
，令，因?yàn)椋剩趨^(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，，即恒成立，即，即當(dāng)時(shí)，．
【解析】本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的極值、最值證明不等式，屬于中等難度．
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，得到，根據(jù)得出分、、進(jìn)行討論，得出時(shí)在單調(diào)遞減．時(shí)求出函數(shù)零點(diǎn)，再依據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性．
要證時(shí)，結(jié)合討論結(jié)果知的單調(diào)性，得到在處取得最小值，只需證明即可．構(gòu)造，只需證明，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)得出在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，求出最小值，發(fā)現(xiàn)，即證恒大于，即證當(dāng)時(shí)，．
7.已知函數(shù)，．討論函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
【答案】解：，，，
當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間是
當(dāng)時(shí)，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
綜上當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
，
設(shè)，
當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，，即，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
故當(dāng)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，
，，這與矛盾，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究存在性問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，對(duì)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論．
8.已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；當(dāng)有極小值，且極小值小于時(shí)，求的取值范圍．
【答案】解：的定義域?yàn)椋?br/>若，則，所以在上單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由知，當(dāng)時(shí)，在無極小值．
當(dāng)時(shí)，在取得極小值為．因此等價(jià)于即，
令，其中，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，且．
于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，的取值范圍是．
【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．求導(dǎo)得到，對(duì)分和討論即可；首先排除，當(dāng)時(shí)得到，再設(shè)新函數(shù)，得到其單調(diào)性和即可得到答案．
9.已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
【答案】解：當(dāng)時(shí)，，所以，．
又，所以曲線在處的切線方程為
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，因，，所以單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間．
當(dāng)時(shí)，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為
【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．Ⅰ求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率進(jìn)而通過點(diǎn)斜式求出切線方程；Ⅱ求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)進(jìn)而求出函數(shù)單調(diào)性．
10.已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，證明：．
【答案】解：因?yàn)椋?br/>所以，定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
證明：方程，即，即，
即，令，則，
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，所以，
因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根，所以是方程的兩個(gè)實(shí)根，
即，所以是方程的兩個(gè)實(shí)根，
令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，當(dāng)時(shí)，，
令，不妨設(shè)，則，要證，即證，即證，
令，則在 上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，即，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即，所以．
【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題．
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分和兩種情況討論，即可求出結(jié)果；
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷出在上單調(diào)遞增，即 ，令，分析可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要證，即證，，令，利用導(dǎo)數(shù)分析可知的單調(diào)性，從而證明不等式．
11.已知．討論函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】解：因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
由得，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，且，
令，則，
令，則恒成立，即在上單調(diào)遞減，
，，，
使得，即，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故只需，即，
則，即，
解得，則，
又當(dāng)趨近于無窮大時(shí)，趨近于正無窮大；當(dāng)趨近于負(fù)無窮時(shí)，趨近于正無窮大，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)零點(diǎn)存在定理，屬于較難題．求出導(dǎo)數(shù)，分，討論，即可求出結(jié)果；
由得，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，且，令，利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得出只需，由此即可求出結(jié)果．
12.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性
當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
【答案】解：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>若，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
若，，在上單調(diào)遞增；
若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
由知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，，解得，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，
，即，，解得，
綜上，
【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究不等式恒成立問題，屬于較難題．
求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的得增區(qū)間，同時(shí)可由得減區(qū)間；
對(duì)分類，由中函數(shù)的單調(diào)性得最值，由不等式恒成立求得的范圍．
13.已知函數(shù)，其中．討論的單調(diào)性；設(shè)，若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．
【答案】解：由題意可知：的定義域?yàn)椋遥?br/>當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得；
令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
當(dāng)時(shí)，由可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小值為．
因?yàn)?不等式對(duì)恒成立，所以．
設(shè)，則的定義域?yàn)椋液愠闪ⅲ?br/>可知在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋裕?br/>即，可得，即．綜上所述的取值范圍是．
【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、研究恒成立與存在性問題，屬于較難題．
求導(dǎo)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性；
結(jié)合可得，令，利用導(dǎo)數(shù)解不等式即可．
14.函數(shù)．討論的單調(diào)性
若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，曲線上兩點(diǎn)，連線斜率記為，求證：
盒子中有編號(hào)為的個(gè)小球除編號(hào)外無區(qū)別，有放回的隨機(jī)抽取個(gè)小球，記抽取的個(gè)小球編號(hào)各不相同的概率為，求證：．
【答案】解：的定義域?yàn)椋?br/>對(duì)于方程，，
當(dāng)，即時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)不等根，
，，而，，
所以當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，或時(shí)，，時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
由題，，
所以要證，即證，即證，也即證成立，設(shè)，函數(shù)，由知在上單調(diào)遞增，且，
所以時(shí)，，所以成立，原不等式得證．
證明：由題，，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)橛芍?br/>取，有，即，也即，所以．
【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)解不等式，古典概型及其計(jì)算，排列與排列數(shù)公式，屬于較難題．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)的范圍分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性即可；
轉(zhuǎn)化問題為要證，即證，即證求解即可；
，所以，又由知，求解即可．
考點(diǎn)四：已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（遞減）求參數(shù)
1.若函數(shù)f（x）＝kx－ln x在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（　　）
A.（－∞，－2]　 B.（－∞，－1] C.[2，＋∞）　 D.[1，＋∞）
解析：D　因?yàn)閒（x）＝kx－ln x，所以f'（x）＝k－.因?yàn)閒（x）在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＝k－≥0恒成立，即k≥在區(qū)間（1，＋∞）上恒成立.因?yàn)閤＞1，所以0＜＜1，所以k≥1.
2.若函數(shù)f（x）＝ex＋ax－x2存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　（－∞，－1）　.
解析：函數(shù)f（x）的定義域是R，則f'（x）＝ex＋a－x.由結(jié)論2，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，則g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.
3.函數(shù)g（x）＝2x＋ln x－在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　（－10，－3）　.
解析：g'（x）＝，∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，∴g'（x）＝0在區(qū)間（1，2）內(nèi)有解，則a＝－2x2－x＝－2（x＋）2＋在（1，2）內(nèi)有解，易知函數(shù)y＝－2x2－x在（1，2）上單調(diào)遞減，∴y＝－2x2－x在（1，2）上的值域?yàn)椋ǎ?0，－3），因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為（－10，－3）.
4.（2023·新高考Ⅱ卷6題）已知函數(shù)f（x）＝aex－ln x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　　）
A.e2　 B.e　　C.e－1　　 D.e－2
解析：C　法一　由題意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在區(qū)間（1，2）上恒成立，即a≥在區(qū)間（1，2）上恒成立.設(shè)函數(shù)g（x）＝，x∈（1，2），則g'（x）＝－＜0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞減.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值為e－1.故選C.
法二　∵函數(shù)f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函數(shù)f（x）＝aex－ln x在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，則0＜≤xex在（1，2）恒成立.設(shè)g（x）＝xex，則g'（x）＝（x＋1）ex.當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故選C.
已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（遞減）求參數(shù)
已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)
①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.
②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.
注：1.在區(qū)間內(nèi)是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；
2.可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間是增（減）函數(shù)的充要條件是：都有，且在的任意一個(gè)子區(qū)間內(nèi)都不恒為；
3.由函數(shù)在區(qū)間是增（減）函數(shù)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解.
1．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D【分析】求導(dǎo)可得，由，可得，可求.
【詳解】，若，則可得在上單調(diào)遞減，
若，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間是，所以.故選：D.
2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】將在上單調(diào)遞增，化為對(duì)任意成立，再轉(zhuǎn)化為對(duì)任意成立，求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，
令，則，
因?yàn)椋裕睿矗獾没?br/>因?yàn)椋裕栽谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在時(shí)取得最大值為，所以.故選：.
3．已知函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，從而將函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，繼而通過參變分離法求出函數(shù)的最值,即可得到參數(shù)的范圍.
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,可得在[1，2]上恒成立，即，
設(shè)，則，，，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
故得，即a的最大值為.故選：B.
4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C【分析】由題意可得恒成立，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以恒成立，
則，解得，所以的最大值為.故選：C.
5．已知函數(shù)為定義域上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值，即可得到結(jié)果.【詳解】，由函數(shù)為定義域上的減函數(shù)，
可得在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，
令，即，則，令可得，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時(shí)，有極大值，即最大值為，所以，即，所以的取值范圍是.故選：A
6．若對(duì)任意的，且，，則的最大值是 ．
【答案】/【分析】由題意可得，令，則，則可得在上遞增，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的遞增區(qū)間，從而可求出的最大值.
【詳解】因?yàn)椋裕杂桑茫?br/>所以，所以，
令，則，因?yàn)閷?duì)任意的，且，所以在上遞增，
由，得，由，得，得，
解得，所以的遞增區(qū)間為，所以的最大值為.故答案為：
7．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合已知可得，再由函數(shù)不等式恒成立問題求函數(shù)最值即可得結(jié)論.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，，
而函數(shù)在上的最小值為，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：
考點(diǎn)五：已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間或在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
使得（且是變號(hào)零點(diǎn)）
1．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是 .
【答案】【分析】根據(jù)題意可知在區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn)，結(jié)合變號(hào)零點(diǎn)與給定區(qū)間的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意知，
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，即在區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn)，又，所以，，，所以在區(qū)間內(nèi)，
所以，解得，即m的取值范圍是.故答案為：.
2．函數(shù)在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】依題意，，因在上不單調(diào)，故導(dǎo)函數(shù)在上必有變號(hào)零點(diǎn).
令，得，再令，則，
由，得即在上單調(diào)遞增，所以，
故只需，即，對(duì)于A，是的真子集,
故 A選項(xiàng)是一個(gè)充分不必要條件，而其他選項(xiàng)中，的范圍都不是的真子集，故都不正確. 故選:A．
3．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由，函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.
4．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由.
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，
若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 故選：B.
5．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.
當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，令，解得，
要使在區(qū)間上不單調(diào)，則，即，解得，
此時(shí)在區(qū)間上遞減；在區(qū)間上遞增.故選：B
6．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由題意可知，，若函數(shù)在上單調(diào)，則或，
當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)，轉(zhuǎn)化為，或，
設(shè)，則或恒成立，即或，
，所以，
所以函數(shù)在上不單調(diào)，則.故選：B
7．已知在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由于，可得，
可得函數(shù)的極值點(diǎn)為：，，
由在上不單調(diào)，可得或，解得． 故選：D．
8．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.
當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，令，解得，
要使在區(qū)間上不單調(diào)，則，即，解得,
此時(shí)在區(qū)間上遞減；在區(qū)間上遞增.故選：B
9．已知函數(shù)在處取得極大值，且極大值為3.
(1)求的值：(2)求在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，且極大值為，所以，解得.
（2）解：由題意，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，可得，解得，
又由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
考點(diǎn)六：導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的關(guān)系
1.如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象，則下列判斷正確的是（　　）
A.在區(qū)間（－2，1）上f（x）單調(diào)遞增 B.在區(qū)間（1，3）上f（x）單調(diào)遞減
C.在區(qū)間（4，5）上f（x）單調(diào)遞增 D.在區(qū)間（3，5）上f（x）單調(diào)遞增
解析：C　在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在區(qū)間（4，5）上單調(diào)遞增.
2.已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的大致圖象如圖所示，
則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.f（b）＞f（c）＞f（a） B.f（b）＞f（c）＝f（e）
C.f（c）＞f（b）＞f（a） D.f（e）＞f（d）＞f（c）
解析：D　由f'（x）圖象可知f（x）圖象大致如圖，由圖可知f（a）＞f（b），
f（b）＜f（c）＜f（d）＜f（e），故僅有D選項(xiàng)是正確的.故選D.
3.函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是（　　）
解析：D　利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證.f'（x）＞0的解集對(duì)應(yīng)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，
f'（x）＜0的解集對(duì)應(yīng)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，驗(yàn)證只有D符合.
原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)互相判斷應(yīng)遵循以下步驟：
①若已知導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)
第一步：觀察導(dǎo)函數(shù)軸的上下，上則為遞增，下則為遞減.
第二步：導(dǎo)函數(shù)軸的值越大，則原函數(shù)增的越快（斜率越大）
②若已知原函數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)
第一步：觀察原函數(shù)是上坡路還是下坡路，若為上坡路則導(dǎo)函數(shù)，若為下坡路則導(dǎo)函數(shù)
第二步：原函數(shù)斜率越大，則導(dǎo)函數(shù)軸的值越大，原函數(shù)斜率越小，則導(dǎo)函數(shù)軸的值越小.
1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義域?yàn)椋液瘮?shù)的圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．有極小值，極大值
B．僅有極小值，極大值
C．有極小值和，極大值和
D．僅有極小值，極大值
【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，得出導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的分布情況，再根據(jù)極值的定義即可得解.
【詳解】由函數(shù)的圖象，得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)有極小值，極大值和.故選：C.
2．已知函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的圖象如下圖所示，則（ ）
A．在上為增函數(shù) B．在處取得極小值
C．在處取得極大值 D．在上為增函數(shù)
【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出其符號(hào)分布情況，進(jìn)而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，即可得解.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.
3．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，且的圖象如圖所示，則的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合判斷即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則.
因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?故選：D.
4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是極大值點(diǎn)
C．的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率等于0 D．在區(qū)間內(nèi)一定有2個(gè)極值點(diǎn)
【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的極值點(diǎn)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，由A知，函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)椋圆皇呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由函數(shù)的圖象，可得，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率大于，所以C不正確；
對(duì)于D中，由函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單遞減，在單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以D正確.故選：D.
5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此判斷即可得解.
【詳解】觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D
6．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】由的圖象得到的單調(diào)區(qū)間，即得的取值情況，從而得解.
【詳解】由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，，
由，得或，解得或，
所以不等式的解集為.故選：A
7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，即可求得答案.
【詳解】由函數(shù)的圖象知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
不等式等價(jià)于或，解得或，
所以不等式的解集為.故選：A
8．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且在上的圖象如圖所示，則（ ）
A．1是的極小值點(diǎn) B．1是的極大值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn) D．是的極大值點(diǎn)
【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0和小于0 確定的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義，即可得到答案.【詳解】由圖象可知，定義域，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，故選：D.
考點(diǎn)七：比較大小或解不等式
1.已知a＝，b＝，c＝e，則下列大小關(guān)系正確的是（　　）
A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜b＜a　 D.c＜a＜b
解析：C　由題，c＝.令f（x）＝（x≥e），則f'（x）＝，因?yàn)閤≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝在[e，＋∞）上單調(diào)遞增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故選C.
2.函數(shù)f（x）＝ex－e－x＋sin x，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A.（0，＋∞）　 B.（－∞，0） C.（0，π）　 D.（－π，0）
解析：A　對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得f'（x）＝ex＋e－x＋cos x，因?yàn)閑x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立，－1≤cos x≤1，所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上是增函數(shù)，又因?yàn)閒（0）＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f（x）＞0的解集為（0，＋∞）.
3.設(shè)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－cos x，則不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集為（　　）
A.（－∞，1）　 B.（－∞，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
解析：D　根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－cos x，此時(shí)有f'（x）＝ex＋sin x＞0，則f（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，又f（x）為R上的奇函數(shù)，故f（x）在R上為增函數(shù).f（2x－1）＋f（x－2）＞0 f（2x－1）＞－f（x－2） f（2x－1）＞f（2－x） 2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集為（1，＋∞）.
4.（2024·邯鄲一模）已知函數(shù)f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）
A.a＜b＜c　 B.c＜b＜a C.b＜a＜c　 D.b＜c＜a
解析：D　由題意，得f'（x）＝3－2sin x.因?yàn)椋?≤sin x≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）是增函數(shù).因?yàn)椋?，所以3＞3.又log24＜log27＜log28，即2＜log27＜3，所以2＜log27＜3，所以f（2）＜f（log27）＜f（3），即b＜c＜a.
5.已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則不等式xf'（x）≥0的解集為　［0，］∪[2，＋∞）　.
解析：由題中f（x）的圖象特征可得，在（－∞，］和[2，＋∞）上f'（x）≥0，
在（，2）上f'（x）＜0，所以xf'（x）≥0 或 0≤x≤或x≥2，
所以xf'（x）≥0的解集為［0，］∪[2，＋∞）.第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性專題
考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f'（x）＞0.（　　）
（2）如果f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）＝0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.（　　）
（3）若函數(shù)f（x）在定義域上都有f'（x）＞0，則f（x）在定義域上一定是增函數(shù).（　　）
2.已知f（x）是定義在（a，b）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，則“f'（x）＞0”是“f（x）在（a，b）內(nèi)為增函數(shù)”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
考點(diǎn)二：求已知函數(shù)（不含參數(shù)）的單調(diào)區(qū)間
1.函數(shù)f（x）＝cos x－x在（0，π）上的單調(diào)性為（　　）
A.先增后減　 B.先減后增 C.單調(diào)遞增　 D.單調(diào)遞減
2.函數(shù)y＝4x2＋的單調(diào)遞增區(qū)間為　　.
3.函數(shù)f（x）＝＋＋x的單調(diào)遞減區(qū)間為　　；
4.已知定義在區(qū)間（0，π）上的函數(shù)f（x）＝x＋2cos x，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為　　.
5．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
8．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．(1)求在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間．
10．已知函數(shù) (其中為常數(shù))．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最小值．
考點(diǎn)三：求已知函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)區(qū)間
1.（2024·惠州模擬）已知函數(shù)f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.
2.（2023·新高考Ⅰ卷19題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）＝a（ex＋a）－x，討論f（x）的單調(diào)性.
3.已知函數(shù)f（x）＝ex－ax－a，a∈R，求f（x）的單調(diào)區(qū)間.
4．設(shè)函數(shù).(1)若是的極值點(diǎn)，求a的值，并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論的單調(diào)性；(3)若，求的取值范圍.
5．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上的零點(diǎn)為．證明：．
6.已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；證明：當(dāng)時(shí)，．
7.已知函數(shù)，．討論函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
8.已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；當(dāng)有極小值，且極小值小于時(shí)，求的取值范圍．
9.已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
10.已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，證明：．
11.已知．討論函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
12.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
13.已知函數(shù)，其中．討論的單調(diào)性；設(shè)，若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．
14.函數(shù)．討論的單調(diào)性
若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，曲線上兩點(diǎn)，連線斜率記為，求證：
盒子中有編號(hào)為的個(gè)小球除編號(hào)外無區(qū)別，有放回的隨機(jī)抽取個(gè)小球，記抽取的個(gè)小球編號(hào)各不相同的概率為，求證：．
考點(diǎn)四：已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（遞減）求參數(shù)
1.若函數(shù)f（x）＝kx－ln x在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（　　）
A.（－∞，－2]　 B.（－∞，－1] C.[2，＋∞）　 D.[1，＋∞）
2.若函數(shù)f（x）＝ex＋ax－x2存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　.
3.函數(shù)g（x）＝2x＋ln x－在區(qū)間[1，2]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　.
4.（2023·新高考Ⅱ卷6題）已知函數(shù)f（x）＝aex－ln x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　　）
A.e2　 B.e　　C.e－1　　 D.e－2
1．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則（ ）
A． B． C． D．2
2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．3 B． C． D．
5．已知函數(shù)為定義域上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．若對(duì)任意的，且，，則的最大值是 ．
7．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
考點(diǎn)五：已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間或在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
使得（且是變號(hào)零點(diǎn)）
1．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是 .
2．函數(shù)在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．已知在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函數(shù)在處取得極大值，且極大值為3.(1)求的值：(2)求在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍.
考點(diǎn)六：導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的關(guān)系
1.如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象，則下列判斷正確的是（　　）
A.在區(qū)間（－2，1）上f（x）單調(diào)遞增 B.在區(qū)間（1，3）上f（x）單調(diào)遞減
C.在區(qū)間（4，5）上f（x）單調(diào)遞增 D.在區(qū)間（3，5）上f（x）單調(diào)遞增
2.已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的大致圖象如圖所示，
則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.f（b）＞f（c）＞f（a） B.f（b）＞f（c）＝f（e）
C.f（c）＞f（b）＞f（a） D.f（e）＞f（d）＞f（c）
.
3.函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f（x）的圖象可能是（　　）
1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義域?yàn)椋液瘮?shù)的圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．有極小值，極大值
B．僅有極小值，極大值
C．有極小值和，極大值和
D．僅有極小值，極大值
2．已知函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)的圖象如下圖所示，則（ ）
A．在上為增函數(shù) B．在處取得極小值
C．在處取得極大值 D．在上為增函數(shù)
3．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，且的圖象如圖所示，則的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是極大值點(diǎn)
C．的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率等于0
D．在區(qū)間內(nèi)一定有2個(gè)極值點(diǎn)
5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
8．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且在上的圖象如圖所示，則（ ）
A．1是的極小值點(diǎn) B．1是的極大值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn) D．是的極大值點(diǎn)
考點(diǎn)七：比較大小或解不等式
1.已知a＝，b＝，c＝e，則下列大小關(guān)系正確的是（　　）
A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜b＜a　 D.c＜a＜b
2.函數(shù)f（x）＝ex－e－x＋sin x，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A.（0，＋∞）　 B.（－∞，0） C.（0，π）　 D.（－π，0）
3.設(shè)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex－cos x，則不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集為（　　）
A.（－∞，1）　 B.（－∞，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞）
4.（2024·邯鄲一模）已知函數(shù)f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）
A.a＜b＜c　 B.c＜b＜a C.b＜a＜c　 D.b＜c＜a
5.已知函數(shù)y＝f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則不等式xf'（x）≥0的解集為　　.

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