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第1章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
知識(shí)梳理：
1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
條件 f'（x0）＝0
x0附近的左側(cè)f'（x）　＞　0，右側(cè)f'（x）　＜　0 x0附近的左側(cè)f'（x）　＜　0，右側(cè)f'（x）　＞　0
圖象 形如山峰 形如山谷
極值 f（x0）為極　大　值 f（x0）為極　小　值
極值點(diǎn) x0為極　大　值點(diǎn) x0為極　小　值點(diǎn)
提醒　f'（x0）＝0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的必要不充分條件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是極值點(diǎn).
2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
（1）如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條　連續(xù)不斷　的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，則f（a）為函數(shù)的　最小值　，f（b）為函數(shù)的　最大值　；若函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，則f（a）為函數(shù)的　最大值　，f（b）為函數(shù)的　最小值　.
考點(diǎn)一：
1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）
（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值大.（　√　）
（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值.（　√　）
（3）函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.（　×　）
（4）開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值.（　√　）
（5）設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)不單調(diào).（　√　）
考點(diǎn)二：由圖像判斷函數(shù)的極值
1.如圖是f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象，則f（x）的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）
A.1　 　 B.2　 C.3　 　 D.4
解析：A　由題意知，只有在x＝－1處，f'（－1）＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正，故f（x）的極小值點(diǎn)只有1個(gè).
2.（多選）如圖是y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判斷是（　　）
A.當(dāng)x＝－1時(shí)，f（x）取得極小值 B.f（x）在[－2，1]上單調(diào)遞增
C.當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得極大值 D.f（x）在[－1，2]上不具備單調(diào)性
解析：AC　由導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象知，當(dāng)x＝－1時(shí)，f（x）取得極小值，故選項(xiàng)A正確；
f（x）在[－2，1]上有減有增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得極大值，故選項(xiàng)C正確；
f（x）在[－1，2]上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
3.設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且函數(shù)y＝（1－x）f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）
B.函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（1）
C.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（－2）
D.函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（2）
解析：D　由題圖可知，當(dāng)x＜－2時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)－2＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＞0.由此可以得到函數(shù)f（x）在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.故選D.
考點(diǎn)三：求函數(shù)的極值（極值點(diǎn)）
1.函數(shù) g（x）＝－x2的極值點(diǎn)是　x＝0　，函數(shù)f（x）＝（x－1）3的極值點(diǎn)　不存在　（填“存在”或“不存在”）.
解析：結(jié)合函數(shù)圖象可知g（x）＝－x2的極值點(diǎn)是x＝0.因?yàn)閒'（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，故函數(shù)f（x）＝（x－1）3不存在極值點(diǎn).
2.已知函數(shù)f（x）＝，則f（x）的極大值為　　.
解析：函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)椋?，＋∞），且f'（x）＝，令f'（x）＝0，可得x＝e，列表如下，
x （0，e） e （e，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ 極大值 ↘
所以函數(shù)f（x）的極大值為f（e）＝.
3.函數(shù)f（x）＝x2＋ln x－2x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）
A.0　 B.1 C.2　 D.無(wú)數(shù)
解析：A　函數(shù)定義域?yàn)椋?，＋∞），且f'（x）＝x＋－2＝＝≥0，即f（x）在定義域上是增函數(shù)，由結(jié)論1可知f（x）無(wú)極值點(diǎn).
4.已知函數(shù)f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）當(dāng)a＝時(shí)，求f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
解：（1）當(dāng)a＝時(shí)，f（x）＝ln x－x，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，＋∞），且f'（x）＝－＝，
令f'（x）＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ln 2－1 ↘
故f（x）在定義域上的極大值為f（2）＝ln 2－1，無(wú)極小值.
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f'（x）＝－a＝（x＞0）.
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，則函數(shù)在（0，＋∞）上是增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈，則f'（x）＞0，若x∈，則f'（x）＜0，故函數(shù)在x＝處有極大值.
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)，且為x＝.
5.若函數(shù)f（x）＝的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)分別為a，b，則a＋b＝（　　）
A.－4　 B. C.0　 D.2
解析：C　f'（x）＝，當(dāng)－＜x＜時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＜－或x＞時(shí)，f'（x）＜0.故f（x）＝的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)分別為，－，則a＝，b＝－，所以a＋b＝0.
6．函數(shù)的極大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋郑?br/>令，則或，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為．故選：D．
7．函數(shù)的極大值為（ ）
A． B．0 C．e D．1
【答案】D【分析】求導(dǎo)，令，，可求得極大值.
【詳解】因?yàn)椋睿脮r(shí)；令，得，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．故選：D.
考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值
1.（2022·全國(guó)甲卷6題）當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f（x）＝aln x＋取得最大值－2，則f'（2）＝（　　）
A.－1　　 B.－　　C.　　 D.1
解析：B　由題意知，f（1）＝aln 1＋b＝b＝－2.求導(dǎo)得f'（x）＝－（x＞0），因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），所以易得f'（1）＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝－＝－.故選B.
2.函數(shù)f（x）＝xln x在［，e］上的最大值是　e　.
解析：由f（x）＝xln x，得f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＝0，得x＝，當(dāng)≤x≤e時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）在［，e］上單調(diào)遞增，由結(jié)論2可知f（x）的最大值為f（e）＝eln e＝e.
3.函數(shù)f（x）＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是　π　，最小值是　0　；
解析：（1）f'（x）＝＋cos x，令f'（x）＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，計(jì)算得f（0）＝0，f（2π）＝π，f＝＋，f＝－.所以當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）有最小值f（0）＝0；當(dāng)x＝2π時(shí)，f（x）有最大值f（2π）＝π.
4.函數(shù)f（x）＝在[2，＋∞）上的最小值為（　　）
A.－　 B.－1 C.　 D.1
解析：C　f'（x）＝，令f'（x）＞0，解得x＞3，令f'（x）＜0，解得2≤x＜3，故f（x）在[2，3）上單調(diào)遞減，在（3，＋∞）上單調(diào)遞增，故f（x）min＝f（3）＝.
5.（多選）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A.f（x）＝x＋（x∈R）的最小值為1 B.f（x）＝（x＞0）的最小值為1
C.f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值為1 D.f（x）＝x（x＞0）的最小值1
解析：AC　f（x）＝x＋（x∈R），f'（x）＝1－＝，函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝1，A正確；f（x）＝（x＞0），f'（x）＝，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）的最小值為f（1）＝e，B錯(cuò)誤；f（x）＝x－ln x（x＞0），f'（x）＝1－＝，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）的最小值為f（1）＝1，C正確；f（x）＝x（x＞0），f'（x）＝＋x·（－）＝，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）的最小值為f（1）＝e，D錯(cuò)誤；故選A、C.
6．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程，將點(diǎn)代入求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值.
【詳解】（1）由已知得，則，又，
所以圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，將點(diǎn)代入得，解得.
（2）所以，定義域?yàn)? 所以，
令，則，易得在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，極小值為.
7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值(3)若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2)極小值為，無(wú)極大值(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，又，由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程；（2）利用的正負(fù)討論的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（3）由在上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，則在上恒成立，又在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，又，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.
（2），令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在處取得極小值，無(wú)極大值.
（3）因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)增函數(shù)，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，
所以.
8．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)增區(qū)間為和，減區(qū)間為，極大值為-1，極小值為(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間以及極大值、極小值；（2）結(jié)合參變量分離法可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1），該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>則，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 極大值 減 極小值 增
所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，
函數(shù)的極大值為，極小值為.
（2）當(dāng)時(shí)，由可得，
令，其中，則，
由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以，，所以，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
9.已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）在x＝－1處取得極值，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及其最大值與最小值.
解：因?yàn)閒（x）＝，所以f'（x）＝＝，
由題意可得f'（－1）＝＝0，解得a＝3，故f（x）＝，f'（x）＝，則列表如下：
x （－∞，－1） －1 （－1，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（－1，3）.
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＞0，且當(dāng)x→－∞時(shí)，f（x）→0；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，且當(dāng)x→＋∞時(shí)，f（x）→0，所以f（x）max＝f（－1）＝，f（x）min＝f（3）＝－.
10．函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．在區(qū)間上不單調(diào) B．有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．在上有最大值
【答案】C【分析】對(duì)求導(dǎo)，討論單調(diào)性，得出極值和最值，畫(huà)出草圖即可．
【詳解】定義域?yàn)椋髮?dǎo)即，令，解得．
顯然在和上，故在和上單調(diào)遞增；
在上，故在上單調(diào)遞減．
所以為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，
且，，草圖如下.
所以ABD正確，C錯(cuò)誤．故選：C．
11．已知函數(shù)，若方程有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合求出的范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，
函數(shù)在上恒有，而，
當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上遞減，值域?yàn)椋?br/>因此函數(shù)在上無(wú)最大值，當(dāng)時(shí)，，顯然在上無(wú)最大值，
函數(shù)的大致圖象如圖，
觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，
因此方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或故答案為：或
12．已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間，并求其極值；
(2)畫(huà)出函數(shù)的大致圖象；(3)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為，；極小值為，無(wú)極大值(2)作圖見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出，由的正負(fù)判斷出的單調(diào)性可得極值；（2）根據(jù)的單調(diào)性極值可得答案；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】（1）定義域?yàn)椋畹茫斜砣缦拢?br/>0
↘ ↘ ↗
由上表知，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，取極小值為，無(wú)極大值；
（2）令得，；令得，，當(dāng)時(shí)，，，故；
當(dāng)時(shí)，，，故；據(jù)此信息及（1）可得的圖象，如圖所示；
（3）令得，
則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
結(jié)合圖象及（2）可知，當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有0個(gè)零點(diǎn).
考點(diǎn)五：求參數(shù)問(wèn)題
1.已知函數(shù)f（x）＝在x＝1處取得極值，則f（x）的極小值為（　　）
A.－1　 B.0 C.1　 D.2
解析：C　求導(dǎo)得f'（x）＝，由已知得f'（1）＝0，所以a＝－1，則f（x）＝，f'（x）＝.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.所以f（x）的極小值為f（0）＝1.
2.已知函數(shù)f（x）＝cos x＋aln x在x＝處取得極值，則a＝　　.
解析：∵f'（x）＝－sin x，且f'＝0，∴－＝0，即a＝，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.
3.已知函數(shù)f（x）＝ax3－x，若f（x）有極大值，則a＝　3　.
解析：f'（x）＝3ax2－1，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，無(wú)極大值.當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，得x＝±，令f'（x）＞0，得x＜－或x＞，令f'（x）＜0，得－＜x＜，所以f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f（x）在x＝－處取得極大值，所以f＝，解得a＝3.
4.若函數(shù)f（x）＝6aln x＋x2－（a＋6）x（x＞0）有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　（0，6）∪（6，＋∞）　.
解析：f'（x）＝＋x－（a＋6）＝（x＞0），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有2個(gè)極值點(diǎn)，所以f'（x）＝0有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，所以a＞0且a≠6，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，6）∪（6，＋∞）.
5.若函數(shù)f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A.（－∞，－）　 B.（－，0） C.（0，）　 D.（，＋∞）
解析：B　函數(shù)f（x）＝ln（2x）＋ax的定義域?yàn)椋?，＋∞），求導(dǎo)得f'（x）＝＋a，當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，無(wú)極值，不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)0＜x＜－時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＞－時(shí)，f'（x）＜0，則當(dāng)x＝－時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（－），因此f（－）＝ln（－）－1＞0，即ln（－）＞1，解得－＜a＜0.
6．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值(3)若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2)極小值為，無(wú)極大值(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，又，由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程；（2）利用的正負(fù)討論的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（3）由在上是單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，則在上恒成立，又在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，又，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.
（2），令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在處取得極小值，無(wú)極大值.
（3）因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)增函數(shù)，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，
所以.
7.若函數(shù)f（x）＝x3－4x＋m在[0，3]上的最小值為4，則m＝　　.
解析：f'（x）＝x2－4，x∈[0，3]，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）在[0，2）上單調(diào)遞減，在（2，3]上單調(diào)遞增.所以f（2）為f（x）在[0，3]上的極小值，由結(jié)論3可知也是最小值，所以f（2）＝4，解得m＝.
8已知函數(shù)f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）當(dāng)a＝時(shí)，求f（x）的極值；（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
解：（1）當(dāng)a＝時(shí)，f（x）＝ln x－x，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，＋∞），且f'（x）＝－＝，
令f'（x）＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ln 2－1 ↘
故f（x）在定義域上的極大值為f（2）＝ln 2－1，無(wú)極小值.
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f'（x）＝－a＝（x＞0）.
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，則函數(shù)在（0，＋∞）上是增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，若x∈，則f'（x）＞0，若x∈，則f'（x）＜0，故函數(shù)在x＝處有極大值.
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)，且為x＝.
9．已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.
【答案】(1)極大值是，無(wú)極小值；(2).【分析】（1）利用求導(dǎo)，通過(guò)參數(shù)，可分析出為正負(fù)的區(qū)間，從而可以判斷的極值；（2）利用不等式有唯一解，則正好是最大值取到等號(hào)，再去分析取等號(hào)的含參方程有解的條件，所以重新構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)研究函數(shù)的零點(diǎn)和方程的解.
【詳解】（1）由，因?yàn)椋缘亩x域?yàn)椋瑒t，
因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以是的極大值點(diǎn)，的極大值是，無(wú)極小值.
（2）由（1）可得，
要使得集合有且只有一個(gè)元素，則只需要
設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.
所以，所以關(guān)于的方程有解時(shí)，
只能是，所以集合有且只有一個(gè)元素時(shí).
10.（多選）（2023·新高考Ⅱ卷11題）若函數(shù)f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有極大值也有極小值，則（　　）
A.bc＞0　 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0　 D.ac＜0
解析：BCD　因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f'（x）＝，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）既有極大值也有極小值，所以關(guān)于x的方程ax2－bx－2c＝0有兩個(gè)不等的正實(shí)根x1，x2，
則即所以故選B、C、D.
11.已知函數(shù)f（x）＝－ax在（1，＋∞）上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）
A.（－∞，］　 B.（－∞，） C.（0，］　 D.［0，）
解析：B　由題意可知，f'（x）＝－a，設(shè)g（x）＝＝－.∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，＋∞）上有極值，∴f'（x）＝g（x）－a在（1，＋∞）上有變號(hào)零點(diǎn).令＝t，由x＞1可得ln x＞0，即t＞0，得到y(tǒng)＝t－t2＝－（t－）2＋≤，解得a＜.故選B.
12.（2024·蘇州模擬）函數(shù)f（x）＝－x3＋x在（a，10－a2）上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－2，1）.
解析：（2）由于f'（x）＝－x2＋1，易知f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上單調(diào)遞減，在（－1，1）上單調(diào)遞增，故若函數(shù)f（x）在（a，10－a2）上有最大值，則即－2≤a＜1.
13.已知函數(shù)f（x）＝x2－ln x在區(qū)間（a，a＋）（其中a＞0）上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　（，1）　.
解析：f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f'（x）＝x－，令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增.因?yàn)閒（x）在區(qū)間（a，a＋）（其中 a＞0）上存在最小值，所以解得＜a＜1.
14．若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極大極小值，結(jié)合函數(shù)的簡(jiǎn)圖，由題意即可判斷參數(shù)的范圍.【詳解】由題意，，由可得或，由可得，
從而在上遞增，在上遞減，在上遞增，
故有極大值，極小值，如圖所示，
注意到，由圖可知，要使函數(shù)在上存在最小值，
應(yīng)有.故答案為：.
15.已知函數(shù)f（x）＝ax3－x，若f（x）有極大值，則a＝　3　.
解析：f'（x）＝3ax2－1，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，無(wú)極大值.當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＝0，得x＝±，令f'（x）＞0，得x＜－或x＞，令f'（x）＜0，得－＜x＜，所以f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f（x）在x＝－處取得極大值，所以f＝，解得a＝3.
16.若函數(shù)f（x）＝x3－3x在區(qū)間（－2，m）上有最大值，則m的取值范圍是（　　）
A.（－1，）　 B.（－1，3] C.（－1，]　 D.（－1，2]
解析：D　f'（x）＝3x2－3＝3（x2－1）＝3（x＋1）·（x－1），當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在（－1，1）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x＝－1處取得極大值，在x＝1處取得極小值，因?yàn)閒（x）在（－2，m）上有最大值，所以－1∈（－2，m），又f（－1）＝2，當(dāng)x3－3x＝2時(shí)，即（x＋1）2（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－1，所以－1＜m≤2.
17.已知函數(shù)f（x）＝（x＋1）2＋cos（x＋1）＋a的最小值是4，則a＝（　　）
A.3　 B.4 C.5　 D.6
解析：A　f'（x）＝2（x＋1）－sin（x＋1），令g（x）＝f'（x），則g'（x）＝2－cos（x＋1）＞0，所以f'（x）是增函數(shù)，又f'（－1）＝0，所以當(dāng)x＜－1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x＞－1時(shí)，f'（x）＞0，故x＝－1為f（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即f（－1）＝1＋a＝4，解得a＝3.第1章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
考點(diǎn)一：
1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）
（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值大.（　　）
（2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值.（　）
（3）函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.（　　）
（4）開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值.（　　）
（5）設(shè)函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極值，那么y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)不單調(diào).（　　）
考點(diǎn)二：由圖像判斷函數(shù)的極值
1.如圖是f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象，則f（x）的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）
A.1　 　 B.2　 C.3　 　 D.4
2.（多選）如圖是y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判斷是（　　）
A.當(dāng)x＝－1時(shí)，f（x）取得極小值 B.f（x）在[－2，1]上單調(diào)遞增
C.當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得極大值 D.f（x）在[－1，2]上不具備單調(diào)性
3.設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且函數(shù)y＝（1－x）f'（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）
A.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）
B.函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（1）
C.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（－2）
D.函數(shù)f（x）有極大值f（－2）和極小值f（2）
考點(diǎn)三：求函數(shù)的極值（極值點(diǎn)）
1.函數(shù) g（x）＝－x2的極值點(diǎn)是　　，函數(shù)f（x）＝（x－1）3的極值點(diǎn)　　（填“存在”或“不存在”）.
2.已知函數(shù)f（x）＝，則f（x）的極大值為　　.
3.函數(shù)f（x）＝x2＋ln x－2x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　）
A.0　 B.1 C.2　 D.無(wú)數(shù)
4.已知函數(shù)f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）當(dāng)a＝時(shí)，求f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
5.若函數(shù)f（x）＝的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)分別為a，b，則a＋b＝（　　）
A.－4　 B. C.0　 D.2
6．函數(shù)的極大值為（ ）
A． B． C． D．
7．函數(shù)的極大值為（ ）
A． B．0 C．e D．1
考點(diǎn)四：求函數(shù)的最值
1.（2022·全國(guó)甲卷6題）當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f（x）＝aln x＋取得最大值－2，則f'（2）＝（　　）
A.－1　　 B.－　　C.　　 D.1
2.函數(shù)f（x）＝xln x在［，e］上的最大值是　　.
3.函數(shù)f（x）＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是　　，最小值是　　；
4.函數(shù)f（x）＝在[2，＋∞）上的最小值為（　　）
A.－　 B.－1 C.　 D.1
5.（多選）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A.f（x）＝x＋（x∈R）的最小值為1 B.f（x）＝（x＞0）的最小值為1
C.f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值為1 D.f（x）＝x（x＞0）的最小值1
6．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．
7．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值(3)若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
8．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
9.已知函數(shù)f（x）＝，若f（x）在x＝－1處取得極值，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及其最大值與最小值.
10．函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．在區(qū)間上不單調(diào) B．有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．在上有最大值
11．已知函數(shù)，若方程有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
12．已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間，并求其極值；(2)畫(huà)出函數(shù)的大致圖象；(3)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
考點(diǎn)五：求參數(shù)問(wèn)題
1.已知函數(shù)f（x）＝在x＝1處取得極值，則f（x）的極小值為（　　）
A.－1　 B.0 C.1　 D.2
2.已知函數(shù)f（x）＝cos x＋aln x在x＝處取得極值，則a＝　　.
3.已知函數(shù)f（x）＝ax3－x，若f（x）有極大值，則a＝　　.
4.若函數(shù)f（x）＝6aln x＋x2－（a＋6）x（x＞0）有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　.
5.若函數(shù)f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A.（－∞，－）　 B.（－，0） C.（0，）　 D.（，＋∞）
6．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值(3)若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
7.若函數(shù)f（x）＝x3－4x＋m在[0，3]上的最小值為4，則m＝　　.
8已知函數(shù)f（x）＝ln x－ax（a∈R）.（1）當(dāng)a＝時(shí)，求f（x）的極值；（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
9．已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若集合有且只有一個(gè)元素，求的值.
10.（多選）（2023·新高考Ⅱ卷11題）若函數(shù)f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有極大值也有極小值，則（　　）
A.bc＞0　 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0　 D.ac＜0
11.已知函數(shù)f（x）＝－ax在（1，＋∞）上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）
A.（－∞，］　 B.（－∞，） C.（0，］　 D.［0，）
12.（2024·蘇州模擬）函數(shù)f（x）＝－x3＋x在（a，10－a2）上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
13.已知函數(shù)f（x）＝x2－ln x在區(qū)間（a，a＋）（其中a＞0）上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　.
14．若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
15.已知函數(shù)f（x）＝ax3－x，若f（x）有極大值，則a＝　　.
16.若函數(shù)f（x）＝x3－3x在區(qū)間（－2，m）上有最大值，則m的取值范圍是（　　）
A.（－1，）　 B.（－1，3] C.（－1，]　 D.（－1，2]
17.已知函數(shù)f（x）＝（x＋1）2＋cos（x＋1）＋a的最小值是4，則a＝（　　）
A.3　 B.4 C.5　 D.6

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