資源簡介

（1）集合與常用邏輯用語
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.集合間的基本關系：
表示 關系 文字語言 符號表示
集合間的基本關系 子集 集合A中任意一個元素都是集合B的元素 或
真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A 或
相等 集合A的每一個元素都是集合B的元素，集合B的每一個元素也都是集合A的元素 且
空集 空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集 且
2.充分條件與必要條件
若，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 且
p是q的必要不充分條件 且
p是q的充要條件
p是q的既不充分也不必要條件 且
3.量詞與含有一個量詞的命題的否定
（1）全稱量詞和存在量詞
量詞名稱 常見量詞 表示符號
全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個、任給等
存在量詞 存在一個、至少一個、有些、某些等
（2）全稱量詞命題和存在量詞命題
命題名稱 命題結構 命題簡記
全稱量詞命題 對M中任意一個x，有成立
存在量詞命題 存在M中的一個，使成立
（3）全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
命題 命題的否定
【易錯題練習】
1.已知集合，，若，則實數a的取值范圍是( ).
A. B. C. D.
2.命題“對任意的，”的否定是( ).
A.不存在，
B.存在，
C.存在，
D.對任意的，
3.定義集合運算：.若集合，，則( )
A. B. C. D.
4.已知集合，.若，則m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
5.設，則“”是“”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.若命題“，”為假命題，則實數a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7.（多選）對任意，記，并稱為集合A，B的對稱差.例如，若，，則，下列命題是真命題的是( ).
A.若且，則
B.若且，則
C.若且，則
D.存在，使得
8.（多選）下列命題中是假命題的有( ).
A.，
B.，
C.“”的充要條件是“”
D.“，”是“”的充分條件
9.若“”是“”的必要不充分條件，則a的最大值為__________.
10.已知集合，集合，若命題“，”為假命題，則實數a的取值范圍為__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，解得，.又，且，.
2.答案：C
解析：替換量詞，否定結論，命題“對任意的，”的否定是“存在，”.
3.答案：D
解析：因為，所以.令或3，或3，則或6，或，則.因為集合，故.
4.答案：D
解析：由題意，得，且.因為，所以，所以.故選D.
5.答案：A
解析：若，當時，不能推出，故必要性不成立.又，且，，，充分性得證.
6.答案：A
解析：因為命題，為假命題，所以，是真命題，所以方程有實數根，則，解得.
7.答案：ABD
解析：對于A選項，因為，所以，且B中的元素不能出現在中，因此，即選項A正確；
對于B選項，因為，所以與是相同的，所以，即選項B正確；
對于C選項，因為，所以，即選項C錯誤；
對于D選項，設，，則或，，，所以或，因為，即選項D正確.
8.答案：ABC
解析：，，A是假命題；函數與的圖象有交點，如點，此時，B是假命題；
當時，，而0作為分母無意義，
C是假命題；
由，，可得，D是真命題.
9.答案：
解析：由得或.“”是“”的必要不充分條件，，的最大值為.
10.答案：
解析：命題“，”為假命題，則其否定“，”為真命題.當時，集合，符合.當時，因為，所以由，，得對于任意恒成立，又，所以.綜上，實數a的取值范圍為.（2）函數與導數
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.如果函數在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數在這一區間具有單調性，區間D叫做函數的單調區間.
2.
前提 一般地，設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足.
條件 （1）對于任意的，都有； （2）存在，使得. （3）對于任意的，都有； （2）存在，使得.
結論 M為最大值 M為最小值
若函數在閉區間上是增函數，則，；若函數在閉區間上是減函數，則，.
3.奇函數、偶函數的概念及圖象特征：
奇函數 偶函數
定義 定義域 函數的定義域關于原點對稱
對于定義域內任意的一個x
與的關系 都有 都有
結論 函數為奇函數 函數為偶函數
圖象特征 關于原點對稱 關于y軸對稱
4.函數周期性的常用結論：
若對于函數定義域內的任意一個x都有：
（1），則函數必為周期函數，是它的一個周期；
（2），則函數必為周期函數，是它的一個周期；
（3），則函數必為周期函數，是它的一個周期.
5. 若二次函數恒滿足，則其圖象關于直線對稱.
6.對冪函數，當時，其圖象經過點和點，且在第一象限內單調遞增；當時，其圖象不過點，經過點，且在第一象限內單調遞減.
7.指數函數圖象可解決的兩類熱點問題及思路：
（1）求解指數型函數的圖象與性質問題
對指數型函數的圖象與性質問題（單調性、最值、大小比較、零點等）的求解往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數形結合使問題得解.
（2）求解指數型方程、不等式問題
一些指數型方程、不等式問題的求解，往往利用相應指數型函數圖象數形結合求解.
8.比較對數的大小：
（1）若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一字母，則需對底數進行分類討論；
（2）若底數不同，真數相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較；
（3）若底數與真數都不同，則常借助1，0等中間量進行比較.
9.函數圖象的識別：
（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；
（2）從函數的單調性（有時可借助導數判斷），判斷圖象的變化趨勢；
（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
（4）從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；
（5）從函數的特殊點（與坐標軸的交點、經過的定點、極值點等），排除不合要求的圖象.
10.判斷函數零點個數的常用方法：
（1）直接法.令，則方程實根的個數就是函數零點的個數.
（2）零點存在的判定方法.判斷函數在區間上是連續不斷的曲線，且，再結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）可確定函數的零點個數.
（3）數形結合法.轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題（畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數）.
11.根據函數零點求參數范圍的一般步驟為：
（1）轉化：把已知函數零點的存在情況轉化為方程的解或兩函數圖象的交點的情況.
（2）列式：根據零點存在性定理或結合函數圖象列式.
（3）結論：求出參數的取值范圍或根據圖象得出參數的取值范圍.
12.用導數求函數的單調區間的方法：
（1）當不等式或可解時，確定函數的定義域，解不等式或求出單調區間.
（2）當方程可解時，確定函數的定義域，解方程，求出實數根，把函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和實根按從小到大的順序排列起來，把定義域分成若干個小區間，確定在各個區間內的符號，從而確定單調區間.
（3）不等式或及方程均不可解時求導數并化簡，根據的結構特征，選擇相應基本初等函數，利用其圖象與性質確定的符號，得單調區間.
13.已知函數單調性，求參數范圍的方法：
（1）利用集合間的包含關系處理：在上單調，則區間是相應單調區間的子集.
（2）轉化為不等式的恒成立問題來求解：即“若函數單調遞增，則；若函數單調遞減，則”.
（3）可導函數在區間上存在單調區間，實際上就是（或）在該區間上存在解集，從而轉化為不等式問題，求出參數的取值范圍.
14.已知函數求極值：求求方程的根，列表檢驗在的根的附近兩側的符號，下結論.
15.求函數在上的最大值和最小值的步驟：
（1）若所給的閉區間不含參數，
①求函數在內的極值；
②求函數在區間端點的函數值，；
③將函數的極值與，比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
（2）若所給的閉區間含有參數，則需對函數求導，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數的最值.
【易錯題練習】
1.設，，，則a，b，c的大小關系為( ).
A. B. C. D.
2.已知函數.若存在2個零點，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.設函數的定義域為R，且為偶函數，為奇函數，則( )
A. B. C. D.
4.函數在區間的圖象大致為( )
A. B. C. D.
5.已知定義在R上的函數的導函數為，且滿足，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
6.（多選）已知函數有兩個不同的極值點，，且不等式恒成立，則實數t的范圍是( )
A. B. C. D.
7.（多選）中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統一的和諧美.定義：圓O的圓心在原點，若函數的圖象將圓O的周長和面積同時等分成兩部分，則這個函數稱為圓O的一個“太極函數”.下列說法正確的有( )
A.對于圓O，其“太極函數”只有1個
B.函數是圓O的一個“太極函數”
C.函數是圓O的“太極函數”
D.函數是圓O的一個“太極函數”
8.函數的圖像在點處的切線恒過定點，則該定點坐標為__________.
9.已知，且，函數若函數在上的最大值比最小值大，則a的值為___________.
10.已知函數.
（1）若，討論的單調性；
（2）若，求在上的最小值，并判斷方程的實數根個數.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因為，所以，因為，所以.
因為，所以，所以.
2.答案：C
解析：函數存在2個零點，函數的圖象與的圖象有2個交點.如圖，平移直線，可以看出當且僅當即時，直線與的圖象有2個交點.故選C.
3.答案：B
解析：因為函數是偶函數，所以，所以的圖象關于直線對稱.因為函數是奇函數，所以，所以，且函數的圖象關于點對稱.，，則，所以，又函數的圖象關于直線對稱，所以，故選B.
4.答案：B
解析：由題知函數的定義域為R，關于原點對稱，，所以函數為偶函數，函數圖象關于y軸對稱，排除A，C；，排除D.故選B.
5.答案：A
解析：令，則，所以在R上單調遞增.
由，得，即，
又在R上單調遞增，所以，解得，
即不等式的解集為.故選A.
6.答案： B
解析：，
因為函數有兩個不同的極值點，，
所以方程有兩個不相等的正實數根，
于是有，解得.
因為不等式恒成立，所以恒成立.
，
設，，故在上單調遞增，
故，所以.因此實數t的取值范圍是. 故選：B
7.答案：BD
解析：對于A選項，圓O的“太極函數”不止1個，故A錯誤；
對于B選項，函數當時，，當時，，
故為奇函數，畫出函數的簡圖如圖所示，可知函數為圓O的一個“太極函數”，故B正確；
對于C選項，函數的定義域為R，，也是奇函數，畫出函數的簡圖如圖所示，當且僅當函數圖象與圓O只有兩個交點時，為圓O的一個“太極函數”，故C錯誤；
對于D選項，函數的定義域為R，，故為奇函數，，，在上均單調遞增，所以在R上單調遞增，畫出函數的簡圖如圖所示，可知函數是圓O的一個“太極函數”，故D正確.
故選BD.
8.答案：
解析：由題意，知，所以切點坐標為.又，所以函數的圖像在點處的切線的斜率為，所以函數的圖像在點處的切線方程為，即.令解得所以切線恒過定點.
9.答案：或
解析：易知當時，函數在上單調遞減，
，，
，解得.
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
.又，，
當，即時，，
，解得.
當時，，
無解.綜上，或.
10.答案：（1）在和上單調遞減，在和上單調遞增
（2）方程只有1個實數根
解析：（1）若，則.
當時，，
則，
所以當時，，單調遞減，
當和時，，單調遞增.
當時，，
則，所以在上單調遞減.
綜上，在和上單調遞減，在和上單調遞增.
（2）由得，
若，則當時，.
若，則當時，，
，
所以在上單調遞增，
所以當時，.
若，則當時，，，
當時，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
，，，
當時，，，
當時，，，
當時，，，在上單調遞增，所以.
綜上，.
令函數，，則方程的實根個數就是函數的零點個數，
當時，單調遞增，
又，，所以在上有1個零點.
當時，沒有零點.
當時，，，在上單調遞增，
又，所以在上沒有零點.
當時，，，在上單調遞增，
又，所以在上沒有零點.
綜上，方程只有1個實數根.（3）三角函數與解三角形
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.同角三角函數的基本關系式
（1）平方關系：；（2）商數關系：.
2.誘導公式
函數 角 正弦 余弦 正切
角“”的三角函數的記憶口訣為“奇變偶不變，符號看象限.”
3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
5.降冪公式
（1）；（2）.
6.輔助角公式
，其中.
7.三角函數的單調性
（1）求函數的單調區間應遵循簡單化原則，將解析式進行化簡，并注意復合函數單調性規律“同增異減”.
（2）求形如或（其中）的單調區間時，要視“”為一個整體，通過解不等式求解.但如果，那么一定先借助誘導公式將化為正數.
（3）已知三角函數的單調區間求參數，先求出函數的單調區間，然后利用集合間的關系求解.
8.三角函數的奇偶性
對于，若為奇函數，則；若為偶函數，則.對于，若為奇函數，則；若為偶函數，則.對于，若為奇函數，則.
9.三角函數的周期性
求三角函數的最小正周期，一般先通過恒等變換化為或或（為常數，）的形式，再應用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
10.三角函數的對稱性
函數（為常數，）圖象的對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此在判斷直線或點是不是函數圖象的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗的值進行.
11.三角函數的圖象及其變換
由函數的圖象通過變換得到的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.
12.正弦定理：在中，角的對邊分別為，則.
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
13.正弦定理的常見變形：
（1）（邊角互化）.
（2）.其中，為外接圓的半徑.
（3）（邊化角）.
（4）（角化邊）.
14.余弦定理：在中，角的對邊分別為，則
，，.
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
15.余弦定理的推論：，，.
16.三角形的面積公式
（1）（為外接圓的半徑）.
（2），其中為的一邊長，而為該邊上的高的長.
（3），其中分別為的內切圓半徑及的周長.
（4）海倫公式：，其中.
（5），其中.
（6），其中，.
【易錯題練習】
1.已知，，則( )
A. B. C. D.3m
2.已知的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若，，則( )
A. B.3 C.6 D.
3.將函數的圖像向左平移個單位長度后，再把橫坐標縮短為原來的一半，得到函數的圖像.若點是圖像的一個對稱中心，則的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知函數，在區間上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區間( )
A. B. C. D.
5.已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度得函數的圖象，若在上有兩個不同的根，（），則的值為( )
A. B. C. D.
6.（多選）在中，，，，則( )
A. B.
C.的面積為 D.外接圓的直徑是
7.（多選）已知函數的部分圖像如圖所示,令,則下列說法正確的有( )

A.的最小正周期為
B.的對稱軸方程為
C.在上的值域為
D.的單調遞增區間為
8.已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸.若是角終邊上一點，且，則__________
9.已知函數.若在上有解，則實數m的取值范圍是___________；若方程在上有兩個不同的解，則實數m的取值范圍是___________.
10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的外接圓半徑為R，且，.
（1）求的值；
（2）若的面積為，求的周長.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故選A.
2.答案：B
解析：因為，而，所以，則，得.根據余弦定理可得，故.故選B.
3.答案：C
解析：因為，所以將的圖像向左平移個單位長度后，得到函數的圖像，再把所得圖像上點的橫坐標縮短為原來的一半，得到函數的圖像.因為點是圖像的一個對稱中心，所以，，解得，，又，所以的最小值為.故選C.
4.答案：C
解析：當時，因為此時的最小值為，
所以，即.
若，此時能取到最小值，即，
代入可得，滿足要求；
若取不到最小值，則需滿足，即，
在上單調遞減，所以存在唯一符合題意；
所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區間，
故選：C.
5.答案：D
解析：設的最小正周期為T，由圖象可知，，所以，
則，于是，又的圖象過點，
所以，，所以，
又，則，，則，由，
得，則，
又當時，，所以，得，
則，，
結合知，所以，所以.
故選：D.
6.答案：AB
解析：由題意可知，，故A正確；
在中，，由余弦定理得，解得，故B正確；
，故C錯誤；
設外接圓半徑為R，由正弦定理得，故D錯誤.
故選AB.
7.答案：ACD
解析：對于函數,
由圖可知,,
則,
所以,
又,
所以,
解得,,又,
所以;
則,
所以
,
對于A：的最小正周期為,A正確;
對于B：對于,令,,得的對稱軸方程為,B錯誤;
對于C：當時,,所以,
即在上的值域為,C正確;
對于D：令,,解得,,
即的單調遞增區間為,D正確;
故選：ACD.
8.答案：-6
解析：由題設知，即，且，即，且，解得.
9.答案：；
解析：，即，當時，，所以，所以在上的最小值為-1，所以實數m的取值范圍是.方程在上有兩個不同的解，等價于函數，的圖象與直線有兩個交點，函數，的圖象如圖所示，由圖可知，m的取值范圍是.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，
結合正弦定理，
得，
化簡得，
故.
又，所以，
因此.
（2）由（1）知，，
則，
由正弦定理得，
令，則，，
則，解得，
因此的周長為.（4）平面向量
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.向量加法的法則：三角形法則和平行四邊形法則.
三角形法則 如圖，已知非零向量a，b，在平面內取任意一點A，作，，則向量叫做a與b的和，記作，即.
平行四邊形法則 已知兩個不共線向量a，b，作，，以，為鄰邊作，則對角線上的向量.
2.對于零向量與任意向量a，有.
3.向量加法的運算律：
交換律：；
結合律：.
4.向量形式的三角不等式：，當且僅當方向相同時等號成立.
5.相反向量：
①定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性質：零向量的相反向量仍是零向量；
和互為相反向量，于是；
若互為相反向量，則，，.
6.向量數乘的定義：規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：，它的長度與方向規定如下：①；②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反.當或時，.
7.向量數乘的運算律：設為任意實數，則有：
①；
②；
③.
特別地，有；.
8.向量的線性運算：向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量.對于任意向量，以及任意實數，恒有.
9.向量共線（平行）定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使.
10.平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使.
11.基底：若不共線，則把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.
12.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
13.平面向量的坐標運算：
設向量，則有下表：
運算 文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
數乘 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標
向量坐標公式 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 已知， 則
14.平面向量共線的坐標表示
（1）設，其中共線的充要條件是存在實數，使.
（2）如果用坐標表示，向量共線的充要條件是.
15.向量的夾角：已知兩個非零向量，如圖，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角.記作.
當時，向量同向；當時，向量垂直，記作；當時，向量反向.
16.平面向量數量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，把數量叫做向量與的數量積（或內積），記作，即.
17.投影向量：如圖，設是兩個非零向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
18.向量數量積的性質：設是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則
（1）；
（2）；
（3）當與同向時，；當與反向時，，特別地，或；
（4）由可得，；
（5）
19.向量數量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數乘結合律：；
（3）分配律：.
20.平面向量數量積的坐標表示：設向量，則.
這就是說，兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.
21.向量模的坐標表示：
（1）若向量，則；
（2）若點，向量，則.
由此可知，向量的模的坐標運算的實質是平面直角坐標系中兩點間的距離的運算.
22.向量夾角的坐標表示：設都是非零向量，，是與的夾角，則.
23.向量垂直的坐標表示：設向量，則.
【易錯題練習】
1.已知，，若，則( )
A.-1 B. C. D.
2.在中，AD為BC邊上的中線，，則( )
A. B.
C. D.
3.向量，，，若，且，則的值為( )
A.2 B. C.3 D.
4.已知中，，，，點D在BC邊上，且，則線段AD的長度為( )
A. B. C. D.
5.已知向量a，b滿足，，且，則( )
A. B. C. D.1
6.已知，，.若P是所在平面內一點，且，則的最大值為( )
A.13 B. C. D.
7.（多選）已知向量，，，則( )
A. B.向量a，b的夾角為
C. D.a在b上的投影向量是
8.（多選）若正方形ABCD中，O為正方形ABCD所在平面內一點，且，，則下列說法正確的是( )
A.可以是平面內任意一個向量
B.若，則O在直線BD上
C.若，，則
D.若，則
9.設D為所在平面內一點，.若，則__________.
10.在中，已知，，，，邊上兩條中線AM，BN相交于點P，則的余弦值為__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因為，，且，所以，即，解得.故選B.
2.答案：A
解析：如圖，因為，所以.由已知可得，所以，
所以.故選A.
3.答案：C
解析：由題意，得，.
因為，所以，解得，
則，即解得故.故選C.
4.答案：D
解析：由題意得，因為，，，所以
，即線段AD的長度為.故選D.
5.答案：B
解析：由，得，所以.將的兩邊同時平方，得，即，解得，所以，故選B.
6.答案：B
解析：以A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，，，
所以，即，
故，，
所以，當且僅當，即時，等號成立.故選B.
7.答案：BD
解析：，，，
，，
，，故A錯誤；
，
又，向量a，b的夾角為，故B正確；
，，故C錯誤；
a在b上的投影向量為，故D正確.故選BD.
8.答案：ABD
解析：對于A，由題意，又，，以為基底的坐標系中，根據平面向量基本定理易知可以是平面內任意一個向量，故A正確；
對于B，由向量共線的推論知，若，則O在直線BD上，故B正確；
對于C，由題設，則，所以，故C錯誤；
對于D，由，則，作E為BC的中點，連接OE，則，即，且，如圖所示，所以，故D正確.故選ABD.
9.答案：-3
解析：因為，所以，即，又，所以，解得.
10.答案：
解析：方法一：如圖，以A為原點，AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.
由，，，得，，.由M，N分別為BC，AC的中點，得，，故，，
所以.
方法二：由已知得即為向量與的夾角.
因為M，N分別是BC，AC邊上的中點，所以，.
又因為，
所以
，
，
，
所以.（5）數列
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.等差數列通項公式：.
2.等差中項公式：.
3.等差數列前n項和公式：.
4.等差數列的性質：
已知數列是等差數列，是的前n項和.
（1）若，則有.
（2）等差數列的單調性：當時，是遞增函數；當時，是遞減函數；當時，是常數列.
（3）若是等差數列，公差為d，則是公差為的等差數列.
（4）若是等差數列，則也是等差數列，其首項與的首項相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差數列，分別為的前m項，前2m項，前3m項的和，則成等差數列，公差為（d為數列的公差）.
5.等比數列通項公式：.
6.等比中項公式：.
7.等比數列前n項和公式：.
8.等比數列的前n項和的性質：
（1）當（或且k為奇數）時，是等比數列.
（2）若，則成等比數列.
（3）若數列的項數為2n，與分別為偶數項與奇數項的和，則；若項數為，則.
【易錯題練習】
1.記正項等差數列的前n項和為，，，則( )
A.23 B.24 C.25 D.26
2.已知數列滿足，，則數列的前4項和等于( )
A.16 B.24 C.30 D.62
3.記為等比數列的前n項和.若，，則( )
A. B.
C. D.
4.已知正項等比數列的前n項和為.若，，則( )
A. B. C. D.
5.已知等差數列的前n項和為，，，則滿足的n的值為( )
A.14 B.15 C.16 D.17
6.（多選）設是公比為正數的等比數列的前n項和.若，，則( )
A. B.
C.為常數 D.為等比數列
7.（多選）若為等差數列，，則下列說法正確的是( )
A.
B.-20是數列中的項
C.數列單調遞減
D.數列前7項和最大
8.記為等差數列的前n項和.若，，則__________.
9.已知正項等比數列的前n項和為，若，，則__________.
10.已知數列的前n項和為，且滿足，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）已知，求數列的前n項和.
答案以及解析
1.答案：A
解析：設等差數列的公差為d.令，得，即，，解得或（不符合題意，舍去），則，則，故選A.
2.答案：C
解析：由已知可得，當時，；
當時，；當時，；
所以數列的前4項和等于，故選：C.
3.答案：B
解析：設等比數列的公比為q，則由解得所以，，所以，故選B.
4.答案：A
解析：設正項等比數列的公比為，，.，，，，解得（負值舍去），，，.故選A.
5.答案：B
解析：由，得.設的公差為d，則由，可得，得，所以，則，當時，，當時，，則當時，，當時，，當時，，（另解
，易知當時，，又，所以當時，）故選B.
6.答案：ACD
解析：設的公比為，則，解得，故，則，.對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，為常數，故C正確；對于D，由，，，可得為等比數列，故D正確.故選ACD.
7.答案：ACD
解析：因為數列為等差數列，且，則，解得，，故A選項正確，由，得，故B錯誤，因為，所以數列單調遞減，故C正確，由數列通項公式可知，前7項均為正數，，所以前7項和最大,故D正確.故選：ACD
8.答案：95
解析：解法一：設的公差為d，由，，解得，，則.
解法二：設的公差為d，由，，得，，故，，則.
9.答案：
解析：方法一：設等比數列的公比為q，由題意知且，則，解得.則，，.
方法二：設等比數列的公比為q，根據等比數列的性質，得，，成公比為的等比數列，.又等比數列的各項均為正數，，又，，.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由得.
因為，，
所以，兩式相減并化簡得，
所以，兩式相減得，
所以數列為等差數列.
當時，，所以.
設等差數列的公差為d，因為，所以，
所以.
（2）因為，所以，所以，
則，，
所以，
所以.（6）不等式
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.不等式的性質
性質1 如果，那么；如果，那么.即.
性質2 如果，，那么.即.
性質3 如果，那么.
性質4 如果，，那么；如果，，那么.
性質5 如果，，那么.
性質6 如果，，那么.
性質7 如果，那么.
2.基本不等式
如果，，可得，當且僅當時，等號成立.
3.一元二次不等式的概念
一般地，把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均為常數，.
【易錯題練習】
1.已知表示不超過x的最大整數，則滿足不等式的x的取值范圍為( )
A. B. C. D.
2.已知實數a，b，c，d滿足：，則下列選項中正確的是( )
A. B. C. D.
3.已知不等式對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為( )
A. B.或
C.或 D.
4.若兩個正實數x，y滿足，且不等式有解，則實數m的取值范圍是( )
A. B.或
C. D.或
5.已知，則下列命題中一定成立的是( )
A.若，，則 B.若，則
C.若，，則 D.若，則
6.已知正實數a，b滿足，則的最小值是( )
A.2 B. C. D.
7.（多選）若a，b，，則下列命題正確的是( ).
A.若且，則 B.若，則
C.若，則 D.若且，則
8.（多選）甲、乙、丙三名短跑運動員同時參加了一次100米賽跑，所用時間分別為，，.甲有一半的時間以的速度奔跑，另一半的時間以的速度奔跑，乙全程以的速度奔跑，丙有一半的路程以的速度奔跑，另一半的路程以的速度奔跑.其中，.則下列結論中一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.已知，，且，不等式恒成立，則正實數m的取值范圍是__________.
10.已知不等式的解集是，則不等式的解集是__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因為，所以，所以.
2.答案：B
解析：如取，，，，此時，故A錯誤；，故B正確；如取，，，，此時，，故C，D錯誤.故選B.
3.答案：A
解析：方法一：的最小值為4，所以要使對任意實數x恒成立，只需，解得，故選A.
方法二：不等式對任意實數x恒成立等價于不等式對任意實數x恒成立，所以，解得.
4.答案：D
解析：由兩個正實數x，y滿足，得，則，當且僅當，即時取等號.由不等式有解，得，解得或.
5.答案：B
解析：對于A，取，，，滿足，，但，故A錯誤；
對于B，若，則，所以，故B正確；
對于C，取，，，，滿足，，但，故C錯誤；
對于D，若，則，故D錯誤.故選B.
6.答案：B
解析：因為正實數a，b滿足，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故選B.
7.答案：BC
解析：對于A，取，，則不成立.
對于B，若，則，.
對于C，若，則，，.
對于D，若且，則，，而b可能為0，因此不正確.
8.答案：AC
解析：由題意知，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以，故，當且僅且時等號全部成立.故A正確，B錯誤.又，所以，即C正確；取，，此時，所以D不一定成立，故選AC.
9.答案：
解析：因為，，且，所以，又，所以，設，則，所以.
10.答案：或
解析：因為不等式的解集是，所以，且2和3是方程的兩個根，
由根與系數的關系，得
解得
因為不等式，所以，即，解得或.（7）空間向量與立體幾何
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.一般地，表面積=側面積+底面積.
多面體 側面展開圖 面積公式
棱柱 （如三棱柱）
棱錐 （如三棱錐）
棱臺 （如三棱臺）
2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積
旋轉體 側面展開圖 面積公式
圓柱 底面積： 側面積： 表面積：
圓錐 底面積： 側面積： 表面積：
圓臺 上底面面積： 下底面面積： 側面積： 表面積：
3.柱體、錐體、臺體的體積
幾何體 體積公式
柱體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
錐體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
臺體 （分別為上、下底面面積，為高）， （分別為上、下底面半徑，為高）
4.球的表面積和體積
（1）球的表面積：設球的半徑為，則球的表面積為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.
（2）球的體積：設球的半徑為，則球的體積為.
5.直線與直線平行：
基本事實4 平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質叫做空間平行線的傳遞性.
6.等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
7.直線與平面平行的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行. ，，且.
該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.
8.直線與平面平行的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行. ，，.
該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.
9.平面與平面平行的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行. ，，，，
該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.
10.平面與平面平行的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行. ，，.
該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.
11.異面直線所成的角：
（1）定義：已知兩條異面直線，經過空間任一點分別作直線，我們把與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）.
（2）異面直線所成的角的取值范圍：.
（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即時，與互相垂直，記作.
12.直線與平面垂直的概念
定義 如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作， 直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.它們唯一的公共點叫做垂足.
畫法圖示 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示
點到面的距離 線到面的距離 兩面間的距離 過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條. 過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離. 一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離. 如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.
13.直線與平面垂直的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直. ，，，， .
該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.
14.直線和平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，圖中直線.
斜足 斜線和平面的交點，圖中點.
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影.
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角； 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角； 一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是的角.
取值范圍
15.直線與平面垂直的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
垂直于同一個平面的兩條直線平行. ，
16.二面角的概念
概念 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.
圖示
記法 棱為，面分別為的二面角記為. 也可在內（棱以外的半平面部分）分別取點，記作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.
圖示
符號 ，，，，，，是二面角的平面角.
范圍
規定 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面與平面垂直
（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與平面垂直，記作.如圖
（2）判定定理：
自然語言 圖形語言 符號語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直. ，.
該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.
18.平面與平面垂直的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直. ，，，.
該定理可簡記為“若面面垂直，則線面垂直”.
19.一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說，若異面直線所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.
20.直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如下圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則.
21.平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α，β的法向量分別是和，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補角.設平面α與平面β的夾角為，則.
【易錯題練習】
1.一個五面體.已知，且兩兩之間距離為1，，，，則該五面體的體積為( )
A. B. C. D.
2.已知空間中有兩個不重合的平面，和兩條不重合的直線m，n，則下列說法中正確的是( )
A.若，，，則
B.若，，，則
C.若，，，則
D.若，，，則
3.如圖，四棱錐是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，G為BE的中點，則下列結論錯誤的是( )
A.點A，B，C，F共面 B.平面平面CDF
C. D.平面ACD
4.如圖，在正方體中，O是AC中點，點P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知中，，D為的中點.將沿翻折，使點C移動至點E，在翻折過程中，下列說法不正確的是( )
A.平面平面
B.三棱錐的體積為定值
C.當二面角的平面角為時，三棱錐的體積為
D.當二面角為直二面角時，三棱錐的內切球表面積為
6.（多選）已知正方體的棱長為4，EF是棱AB上的一條線段，且，點Q是棱的中點，點P是棱上的動點，則下面結論中正確的是( )
A.PQ與EF一定不垂直 B.二面角的正弦值是
C.的面積是 D.點P到平面QEF的距離是定值
7.（多選）如圖，在正方體中，點P在線段上運動，有下列判斷，其中正確的是( )
A.平面平面
B.平面
C.異面直線與所成角的取值范圍是
D.三棱錐的體積不變
8.如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱的中點，與相交于點N，P是底面ABCD內（含邊界）的動點，總有，則動點P的軌跡的長度為___________.
9.已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，側面底面ABCD，且，則四棱錐的外接球的表面積為__________.
10.如圖所示，圓臺的軸截面為等腰梯形，，B為底面圓周上異于A，C的點，且，P是線段BC的中點.
（1）求證：平面.
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因為AD，BE，CF兩兩平行，且兩兩之間距離為1，則該五面體可以分成一個側棱長為1的三棱柱和一個底面為梯形的四棱錐，其中三棱柱的體積等于棱長均為1的直三棱錐的體積，四棱錐的高為，底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形，故該五面體的體積，故選C.
2.答案：A
解析：若，，則或，又，所以，故A正確；
若，，則或，又，則或n與斜交或均有可能，故B錯誤；
若，，則或，又，因此m和n的位置關系可能為平行、相交或異面，故C錯誤；
若，，，則或，故D錯誤.
綜上，選A.
3.答案：D
解析：A選項：如圖，取CD的中點H，連接GH，FH，AG，AH，易得，，，則平面，平面AFH，所以A，G，H，F四點共面，由題意知，，所以四邊形AGHF是平行四邊形，所以，因為，所以，所以A，B，C，F四點共面，故A正確；
B選項：由選項A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因為，且平面，平面CDF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正確；
C選項：由選項A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正確；
D選項：假設平面ACD，則，由選項A知四邊形AGHF是平行四邊形，所以四邊形AGHF是菱形，與，矛盾，故D錯誤.
4.答案：A
解析：如圖，設正方體的棱長為1，，則.以D為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.
則，，，故，，又，則，所以.
在正方體中，連接，可知體對角線平面，所以是平面的一個法向量，所以.所以當時，取得最大值，當或1時，取得最小值.所以，故選A.
5.答案：B
解析：如圖：
A選項，，，，所以平面，因為平面，故平面平面，A正確，不符合題意.
B選項，由A知平面，但的面積不是定值，故三棱錐的體積不是定值，B錯誤，符合題意.
C選項，二面角的平面角為，當時，，
三棱錐的體積為，C正確，不符合題意.
D選項，當二面角為直二面角時，，三棱錐的表面積為，
設內切球半徑為r，則由等體積法知，解得，所以內切球表面積，D正確.
6.答案：BCD
解析：對于A，當點P與點重合時，，故選項A錯誤.
對于B，由于點P是棱上的動點，EF是棱AB上的一條線段，所以平面PEF即為平面，平面QEF即為平面QAB.
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，
所以，，.
設平面QAB的一個法向量為，則即
令，則.
設平面的法向量為，
則即
令，則.
設二面角的大小為，所以，故，故選項B正確.
對于C，由于平面，平面，所以，所以，所以是的高，所以，故選項C正確.
對于D，由于，且平面，平面QEF，所以平面QEF，又點P在上，所以點P到平面QEF的距離是定值，故選項D正確.故選BCD.
7.答案：ABD
解析：對于A，連接DB，如圖，因為在正方體中，平面ABCD，又平面ABCD，所以，因為在正方形ABCD中，，又DB與為平面內的兩條相交直線，所以平面，又因為平面，所以，同理可得，因為與AC為平面內兩條相交直線，所以平面，又平面，從而平面平面，故A正確；
對于B，連接，，如圖，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面內兩條相交直線，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；
對于C，因為，所以與所成角即為與所成的角，因為，所以為等邊三角形，當P與線段的兩端點重合時，與所成角取得最小值，當P與線段的中點重合時，與所成角取得最大值，所以與所成角的范圍是，故C錯誤；對于D，由選項B得平面，故上任意一點到平面的距離均相等，即點P到平面的距離不變，不妨設為h，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確.故選ABD.
8.答案：
解析：如圖，連接，，，，，因為N，M分別是，的中點，所以.由正方體的性質易知，，，所以平面，所以.同理可證.又，所以平面，即平面，因此當時，總有，所以動點P的軌跡是線段BD.又正方體的棱長為2，所以.
9.答案：
解析：設正方形ABCD的中心為，的外心為G，取AB的中點E，連接，，，則，，以，為鄰邊作平行四邊形，如圖.
因為側面底面，，平面平面，平面PAB，所以平面ABCD，所以.則平面ABCD，同理可知平面PAB.連接OA，OB，OC，OD，OP，則，所以O就是該四棱錐外接球的球心.連接BG，PE，由，，得，，解得.設該四棱錐的外接球半徑為R，在中，，則四棱錐的外接球的表面積為.
10.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）取AB的中點H，連接，，如圖所示，
因為P為BC的中點，所以，.
在等腰梯形中，，，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）以直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高為.
因為，，
則，，，，，，
所以，，，.
設平面的法向量為，
則令，得.
設平面的法向量為，
則令，得.
設平面與平面的夾角為，
則.（8）平面解析幾何
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為.
2.經過兩點的直線的斜率公式.
3.兩條直線平行與垂直的判定：設兩條直線的斜率分別為.
（1）；（2）.
4.直線的方程：
（1）點斜式：.
（2）斜截式：.
（3）兩點式：.
（4）截距式：.
（5）一般式：(A，B不同時為0) .
5.直線的交點坐標與距離公式
①一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.
②兩點間的距離公式.
特別地，原點與任一點的距離.
③點到直線的距離：點到直線的距離.
④兩條平行直線間的距離：若直線的方程分別為，，則兩平行線的距離.
6.圓心為，半徑為r的圓的標準方程：.
7.圓的一般方程：.
8.判斷直線與圓的位置關系的方法：
（1）代數方法（判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況）：相交，相離，相切.
（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑r的大小）：設圓心到直線的距離為d，則相交，相離，相切.
9.圓與圓的位置關系
設圓半徑為，圓半徑為.
圓心距與兩圓半徑的關系 兩圓的位置關系
內含
內切
相交
外切
外離
10.橢圓：
1.定義：平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
2.標準方程：
（1）中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為；
（2）中心在坐標原點，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.
3.焦點三角形
（1）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則，其中為.
（2）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則的周長為.
（3）過焦點的弦AB與橢圓另一個焦點構成的的周長為.
4.橢圓的方程與簡單幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
一般方程
焦點坐標
頂點坐標
范圍
長軸長
短軸長
焦距
離心率 ， 越接近于1，橢圓越扁；越接近于0，橢圓越圓
11.雙曲線：
1.定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數（小于）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
2.標準方程：
（1）中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為；
（2）中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為.
3.焦點三角形
（1）P為雙曲線上的點，為雙曲線的兩個焦點，且，則.
（2）過焦點的直線與雙曲線的一支交于A，B兩點，則A，B與另一個焦點構成的的周長為.
（3）若P是雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則，.
（4）P是雙曲線右支上不同于實軸端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，為內切圓的圓心，則圓心的橫坐標恒為定值a.
4.雙曲線的幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
焦點坐標
頂點坐標
范圍
對稱性 關于x軸、y軸對稱，關于原點對稱
實、虛軸長 實軸長為，虛軸長為
離心率 雙曲線的焦距與實軸長的比
漸近線方程
12.拋物線：
1.定義：平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
2.標準方程：
（1）焦點在x軸上的拋物線的方程為；
（2）焦點在y軸上的拋物線的方程為.
3.拋物線的幾何性質
標準方程
范圍
準線
焦點
對稱性 關于x軸對稱 關于y軸對稱
頂點
離心率
焦半徑長
焦點弦長
【易錯題練習】
1.已知，是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
2.已知圓，過直線上一點P向圓C作切線，切點為Q，則的最小值為( )
A.5 B. C. D.
3.為了增強某會議主席臺的亮度，且為了避免主席臺就座人員面對強光的不適，燈光設計人員巧妙地通過雙曲線鏡面反射出發散光線達到了預期的效果.如圖，從雙曲線右焦點發出的光線的反射光線的反向延長線經過左焦點.已知雙曲線的離心率為，則當與恰好相等時，( )
A. B. C. D.
4.已知拋物線的焦點為F，準線為l，點A，B在拋物線C上，且滿足.設線段AB的中點到準線的距離為d，則的最小值為( )
A. B. C. D.
5.已知點P是雙曲線上的動點，，分別是雙曲線C的左、右焦點，O為坐標原點，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.（多選）拋物線的準線為l，P為C上的動點.對P作的一條切線，Q為切點.對P作l的垂線，垂足為B.則( )
A.l與相切 B.當P，A，B三點共線時，
C.當時， D.滿足的點P有且僅有2個
7.（多選）已知橢圓過點，直線與橢圓C交于M，N兩點，且線段的中點為P，O為坐標原點，直線的斜率為，則下列結論正確的是( )
A.C的離心率為
B.C的方程為
C.若，則
D.若，則橢圓C上存在E，F兩點，使得E，F關于直線l對稱
8.已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，P是圓上不同于A，B兩點的動點，直線PB與橢圓C交于點Q.若直線PA斜率的取值范圍是，則直線QA斜率的取值范圍是__________.
9.設，是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過作平分線的垂線，垂足為M，則點M到直線的距離的最大值是___________.
10.已知拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在坐標軸上，且過，兩點.
（1）求C的方程；
（2）設過點F的直線l與C交于M，N兩點，P，Q兩點分別是直線AM，BN與x軸的交點，證明：為定值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：在橢圓中，由橢圓的定義可得，因為，所以，.在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的離心率.故選A.
2.答案：C
解析：如圖所示：
記圓心到直線的距離為d，則.
因為，所以當直線l與CP垂直，即時，最小，故.故選C.
3.答案：A
解析：離心率，.
又，則根據雙曲線的定義可知，，
.故選A.
4.答案：D
解析：如圖，設線段AB的中點為M，分別過點A，B，M作準線l的垂線，垂足分別為C，D，N.
設，，則，.
由MN為梯形ACDB的中位線，得，由可得，故.
因為，當且僅當時取等號，
所以，故選D.
5.答案：B
解析：如圖所示，由雙曲線的對稱性，不妨設是雙曲線C右支上的一點，，所以，同理可得，所以.又因為，，所以.
又因為，所以，所以，，所以.故選B.
6.答案：ABD
解析：對于A，易知，故l與相切，A正確；
對于B，，的半徑，當P，A，B三點共線時，，所以，，故B正確；
對于C，當時，，或，，易知PA與AB不垂直，故C錯誤；
對于D，記拋物線C的焦點為F，連接AF，PF，易知，由拋物線定義可知，因為，所以，所以點P在線段AF的中垂線上，線段AF的中垂線方程為，即，代入可得，解得，易知滿足條件的點P有且僅有兩個，故D正確.故選ABD.
7.答案：AC
解析：設，，則，即.
因為M，N在橢圓C上，所以，，兩式相減，
得，即，
又，所以，
即，所以，離心率，故A正確；
因為橢圓C過點，所以，解得，，所以橢圓C的標準方程為，故B錯誤；若，則直線l的方程為，由得，所以，，，故C正確；
若，則直線l的方程為.假設橢圓C上存在E，F兩點，使得E，F關于直線l對稱，設，，的中點為，所以，，因為E，F關于直線l對稱，所以且點Q在直線l上，即.又E，F在橢圓C上，所以，，兩式相減，得，即，所以，即.聯立，解得，即.又，所以點Q在橢圓C外，這與Q是弦的中點矛盾，所以橢圓C上不存在E，F兩點，使得E，F關于直線l對稱.
故選AC.
8.答案：
解析：由題可知，，設，則，，所以.
因為，所以，即.①
因為點P在圓上，所以，所以.②
結合①②可知，.因為，所以.
9.答案：5
解析：由雙曲線的方程可得，則，
，.設，
不妨設點P在雙曲線右支上，延長交的延長線于點N，則，如圖.
由角平分線性質可知，，由雙曲線的定義可得，，即.
，
整理得，即點M在以為圓心，2為半徑的圓上.
圓心到直線的距離，
直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離為.
10.答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由題意可知拋物線C過第一、四象限，
故可設拋物線C的方程為，代入得，則，
故拋物線C的方程為.
（2）證明：由（1）可得，易得直線l的斜率不為0，
則可設直線，，.
聯立方程得消去x得，
則，，.
當直線AM的斜率不存在時，，此時直線，
則，，，則；
當直線AM的斜率存在時，，
則直線AM的方程為，令，則，
解得，，
同理可得，故（定值）.
綜上，為定值1.（9）計數原理與概率統計
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.
名稱 定義 符號表示
包含關系 若事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或）
相等關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，則稱事件A與事件B相等 A=B
并事件 （和事件） 事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件） （或）
交事件 （積事件） 事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件） （或）
互斥事件 若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
對立事件 若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 且（U為全集）
2.古典概率模型：我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概率：
（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
（2）等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件總數為n的古典概型中，每個基本事件發生的概率都是相等的，即每個基本事件發生的概率都是.
（2）對于古典概型，任何事件的概率為.
4.離散型隨機變量的分布列
（1）如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
（2）一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為取每一個值的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
X … …
P … …
5.離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1）；
（2）；
（3）.
6.常見的離散型隨機變量的概率分布模型
（1）兩點分布
若隨機變量X的分布列為
X 0 1
P p
則稱X服從兩點分布.
（2）超幾何分布
一般地，在含有M件次品的N件產品中任取n件，其中恰有X件次品，則
，其中，且，稱分布列
X 0 1 … m
P …
為超幾何分布.
7.離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
X … …
P … …
（1）均值
稱為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
（2）方差
稱為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值的平均偏離程度，并稱為隨機變量X的標準差，記為.
8.均值與方差的性質
（1）.
（2）.
9.兩點分布的均值、方差
若X服從兩點分布，則.
10.條件概率及其性質
（1）一般地，設A，B為兩個事件，且，稱為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率.
（2）條件概率的性質：
（i）；
（ii）如果B和C是兩個互斥事件，則.
11.全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有，稱此公式為全概率公式.
12.相互獨立事件
（1）對于事件A、B，若A的發生與B的發生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件.
（2）若A與B相互獨立，則，.
（3）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立.
（4）若，則A與B相互獨立.
13.獨立重復試驗與二項分布
獨立重復試驗 二項分布
定義 一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗（也叫n重伯努利試驗） 一般地，在n次獨立重復試驗（n重伯努利試驗）中，設事件A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作
計算公式 用表示第i次試驗結果，則 在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為
14.二項分布的均值與方差：若，則，.
15.正態曲線的定義
函數（其中實數和為參數）的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線.
16.正態曲線的特點
（1）曲線位于x軸上方且與x軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（3）曲線在處達到峰值；
（4）曲線與x軸之間的面積為1；
（5）當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸移動；
（6）當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”；越大，曲線越“矮胖”.
17.正態分布的定義及表示
如果對于任何實數，隨機變量X滿足，則稱X的分布為正態分布，記作.
18.簡單隨機抽樣
（1）定義：一般地，設一個總體含有N（N為正整數）個個體，從中逐個不放回地抽取n（）個個體作為樣本，如果每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.
（2）最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種：隨機數法和抽簽法.
19.分層抽樣
（1）定義：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.
（2）應用范圍：總體是由差異明顯的幾個部分組成的.
（3）分層抽樣的關鍵是根據樣本特征的差異進行分層，實質是等比例抽樣，抽樣比 .
20.頻率分布表與頻率分布直方圖
頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：
（1）求極差，即求一組數據中最大值與最小值的差；
（2）決定組距與組數；
（3）將數據分組；
（4）列頻率分布表，落在各小組內的數據的個數叫做頻數，每小組的頻數與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計算各小組的頻率，列出頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖，依據頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標（小長方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積，即每個小長方形的面積.
各個小長方形面積的總和等于1.
21.頻率分布折線圖和總體密度曲線
（1）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.
（2）總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作頻率分布直方圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.
22.用樣本的數字特征估計總體的數字特征
數字特征 樣本數據 頻率分布直方圖
眾數 出現次數最多的數據 取最高的小長方形底邊中點的橫坐標
中位數 將數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數） 把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標
平均數 樣本數據的算術平均數 每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和
方差和標準差反映了數據波動程度的大小.
方差：；
標準差：.
23.百分位數
（1）把100個樣本數據按從小到大排序，得到第p個和第p+1個數據分別為.可以發現，區間內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.一般地，我們取這兩個數的平均數，并稱此數為這組數據的第p百分位數，或p%分位數.
（2）一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值.
（3）四分位數
常用的分位數有第25百分位數，第50百分位數（即中位數），第75百分位數.這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數等，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數等.
24.變量間的相關關系
（1）常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數關系，另一類是相關關系.與函數關系不同，相關關系是一種非確定性關系.
（2）在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點散布在從左上角到右下角的區域內，兩個變量的相關關系稱為負相關.
25.兩個變量的線性相關
（1）從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.
（2）回歸直線方程
①最小二乘法：通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回歸方程：方程是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據
的回歸方程，其中是待定參數.
，其中稱為樣本點的中心.
（3）相關系數r
①；
②當時，表明兩個變量正相關；當時，表明兩個變量負相關.
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.當r的絕對值大于或等于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系.
（4）回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法.在線性回歸模型中，因變量y的值由自變量x和隨機誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化，在統計中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預報變量.
26.分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.
27.列聯表：列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表.假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為和，其樣本頻數列聯表（稱為2×2列聯表）為：
總計
a b
c d
總計
可構造一個隨機變量，其中為樣本容量.
28.獨立性檢驗
利用獨立性假設、隨機變量來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.
兩個分類變量X和Y是否有關系的判斷標準：
統計學研究表明：當時，認為X與Y無關；
當時，有95%的把握說X與Y有關；
當時，有99%的把握說X與Y有關；
當時，有99.9%的把握說X與Y有關.
29.排列與排列數
（1）排列：從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
（2）排列數：從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作.
30.組合與組合數
（1）組合：從n個不同元素中取出個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
（2）組合數：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作.
31.二項式定理
公式叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數叫做二項式系數，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項.
32.二項式系數的性質
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即.
（2）增減性與最大值：對于二項式系數，當時，二項式系數是遞增的；當時，二項式系數是遞減的.當n是偶數時，二項展開式的中間一項（第項）的二項式系數最大，即最大的二項式系數為.當n是奇數時，二項展開式的中間兩項（第項和第項）的二項式系數相等且最大，即最大的二項式系數為和.
（3）二項式系數的和：的展開式的各個二項式系數的和等于，即.二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即.
【易錯題練習】
1.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為( )
A. B. C. D.
2.已知的展開式中常數項為240，則的展開式中的系數為( )
A.10 B.-8 C.-6 D.4
3.為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：
根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是( )
A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為
B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為
C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
4.某班50名同學參加體能測試，經統計成績c近似服從，若，則可估計該班體能測試成績低于85分的人數為( )
A.5 B.10 C.15 D.30
5.某中學教師節活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數為( )
A.20 B.40 C.66 D.80
6.（多選）我國新冠肺炎疫情防控進入常態化，各地有序推動復工復產.下面是某地連續11天的復工、復產指數折線圖.
根據該折線圖，( )
A.這11天復工指數和復產指數均逐日增加
B.在這11天期間，復產指數的增量大于復工指數的增量
C.第3天至第11天，復工指數和復產指數都超過
D.第9天至第11天，復產指數的增量大于復工指數的增量
7.（多選）甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則( )
A. B. C. D.
8.某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.則小王至少嘗試兩次才能成功的概率是__________.
9.從一批含有13件正品，2件次品的產品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設抽取的次品數為，則__________.
10.中國跳水隊有“跳水夢之隊”的稱號，在國際賽場上有絕對的優勢，同時跳水運動也得到了廣泛推廣，獲得了越來越多人的喜愛.現有A，B，C，…，J共10位跳水運動愛好者自發組建了跳水訓練營，并邀請教練甲幫助訓練.教練訓練前對10位跳水員進行測試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓后再進行測試打分，10位跳水員得分情況如圖中實線所示.規定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優秀”.
“優秀”人數 “非優秀”人數 合計
訓練前
訓練后
合計
（1）將上面的列聯表補充完整，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷跳水員的優秀情況與訓練是否有關，并說明原因.
（2）從這10人中任選3人，在這3人中恰有2人訓練后為“優秀”的條件下，求這3人中恰有1人訓練前也為“優秀”的概率.
（3）跳水員A將對“，和”這三種高度的跳水運動進行集訓，且在訓練中進行了多輪測試.規定：在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的跳水測試達到“優秀”，則該輪測試才記為“優秀”.每輪測試中，跳水員A在每個高度中達到“優秀”的概率均為，每個高度的跳水運動是否達到“優秀”互不影響且每輪測試互不影響.如果跳水員A在集訓測試中想獲得“優秀”的輪數平均值為3，那么理論上至少要進行多少輪測試？
附：，其中.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
答案以及解析
1.答案：D
解析：從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，其中這2個數互質的情況有，，，，，，，，，，，，，，共14種.所以這2個數互質的概率.故選D.
2.答案：C
解析：因為的展開式的通項為，令，得，所以的展開式中常數項為，又，解得，所以的展開式中含的項為，故所求系數為-6.
3.答案：C
解析：由頻率分布直方圖知年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為，故A正確；年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為，故B正確；該地農戶家庭年收入的平均值約為，故C錯誤；年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農戶比率約為，故D正確.故選C.
4.答案：B
解析：由c近似服從，可知正態分布曲線的對稱軸為，
則，
所以,
則可估計該班體能測試成績低于85分的人數為人，
故選：B.
5.答案：C
解析：因為丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A，所以上午甲、乙、丙參加B，C，D這3個項目，共有種不同的安排方法.
易知甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為A，B，C，D，
分2類：①丁參加項目A，共有2種不同的安排方法；
②丁參加B，C，D這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A，剩下兩人參加剩下的2個項目，共有種不同安排方法.
綜上，共有種不同的安排方法.故選C.
6.答案：CD
解析：由題圖可知第8，9天復工指數和復產指數均減小，故A錯誤；第1天時復工指數小于復產指數，第11天時兩指數相等，故復產指數的增量小于復工指數的增量，故B錯誤；由題圖可知第3天至第11天，復工復產指數都超過，故C正確；第9天至第11天，復產指數的增量大于復工指數的增量，故D正確.
7.答案：ACD
解析：依題意可得，，，，所以，故A正確、B錯誤、C正確；
，故D正確.
8.答案：
解析：由題意得，小王嘗試三次才成功的概率為，小王嘗試三次也沒成功的概率為，所以小王至少嘗試兩次才能成功的概率為.
9.答案：4
解析：解法一：依題意知服從參數為15，2，3的超幾何分布，所以，所以.
解法二：依題意得，的可能取值為0，1，2，則，，，
所以，
所以.
10.答案：（1）列聯表見解析，跳水員的優秀情況與訓練有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01
（2）
（3）至少要進行12輪測試
解析：（1）零假設：跳水員的優秀情況與訓練無關.
列聯表為
“優秀”人數 非“優秀”人數 合計
訓練前 2 8 10
訓練后 8 2 10
合計 10 10 20
.
故根據小概率值的獨立性檢驗，零假設不成立，即跳水員的優秀情況與訓練有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.
（2）由題圖可知訓練前后均不“優秀”的有C，F共2人，訓練前后均“優秀”的有D，G共2人，訓練前不“優秀”而訓練后“優秀”的有6人.
設“所選3人中恰有2人訓練后為‘優秀’”，“所選3人中恰有1人訓練前為‘優秀’”，
則，，
所以.
（3）設跳水員A每輪測試為“優秀”的概率為p，
則.
設測試輪數為n，則“優秀”的輪數.
所以，即，
故至少要進行12輪測試.（10）復數
——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習
【易混點梳理】
1.復數的有關概念
（1）復數相等：且.
（2）共軛復數：與共軛且.
（3）復數的模
①概念：復數對應的向量的模叫做z的模，記作或，即.
②性質：若為復數，則.
2.復數的幾何意義
（1）復數復平面內的點.
（2）復數平面向量.
3. 復數的加、減、乘、除運算法則
設，則
（1）加法：；
（2）減法：；
（3）乘法：；
（4）除法：.
4.復數加法的運算律
復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何，有，.
5.復數加、減法的幾何意義
（1）復數加法的幾何意義
若復數對應的向量不共線，則復數是以為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數.
（2）復數減法的幾何意義
復數是所對應的復數.
【易錯題練習】
1.若，則( )
A. B. C. D.
2.復數的共軛復數所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.設，則( )
A.10 B.9 C. D.
4.若，則( )
A.10i B.2i C.10 D.2
5.已知復數z滿足，則( )
A.1 B. C.2 D.
6.已知復數z滿足，則z在復平面內對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.（多選）下列關于復數的說法中正確的有( )
A.復數z的虛部為
B.復數z的共軛復數是
C.復數z的模是4
D.復數z對應的點在第四象限
8.（多選）下列關于復數的運算正確的是( )
A. B.
C. D.若虛數z滿足，則
9.已知復數z滿足，則__________.
10.在復平面內,若復數z對應的點的坐標為,則__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：解法一：因為，所以，即，即，所以，故選C.
解法二：因為，所以，即，即，所以，故選C.
2.答案：B
解析：由題意，所以復數的共軛復數為，所以其共軛復數在復平面內對應的點為，在第二象限.故選B.
3.答案：A
解析：方法一：，所以.故選A.
方法二：，所.故選A.
4.答案：A
解析：因為，所以，所以，故選A.
5.答案：B
解析：由題意得，，所以，所以.故選B.
6.答案：C
解析：由題意得，所以在復平面內對應的點為，位于第三象限.故選C.
7.答案：BD
解析：對于A,由虛部定義知z的虛部為,A錯誤;
對于B,由共軛復數定義知,B正確;
對于C,,C錯誤;
對于D,z對應的點為,位于第四象限,D正確.故選BD.
8.答案：ABD
解析：設，，，則，.同理，故A，B正確；，故C錯誤；，z為虛數，，故D正確，故選ABD.
9.答案：
解析：由已知，得，因此.
10.答案：
解析：由題意得,
所以
.
故答案為:

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