資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.2.1 平方差公式
學習目標與重難點
學習目標：
1．會推導平方差公式，理解平方差公式的結構特征。
2．能夠運用平方差公式進行整式乘法的運算。
學習重點：弄清平方差公式的來源及其結構特點，能用自己的語言說明公式及其特點．
學習難點：準確理解和掌握公式的結構特征．
預習自測
一、單選題
1．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1所示），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2所示），根據圖形的變化過程，寫出的一個正確的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．對于形如（a＋b）的多項式和形如（a－b）的多項式相乘，我們可以直接寫出運算結果，即乘法的完全平方差公式：（a＋b）（a－b） ＝
兩個數的 與這兩個數的 的積，等于這兩數的平方差．
教學過程
一、創設情境、導入新課
從前，有一個狡猾的地主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植.第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的－邊減少5米，相鄰的另－邊增加5米，繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何 ”張老漢－聽，覺得好像沒有吃虧，就答應道：“好吧.”回到家中，他把這事和鄰居們－講，大家都說：“張老漢，你吃虧了!”他非常吃驚．你知道張老漢是否吃虧了嗎
二、合作交流、新知探究
探究：平方差公式
思考：
計算下面多項式的積，你發現什么規律？
規律： 。
教材第15頁
說一說：
多項式x+y與x-y相乘，其積為多少？
(x+y)(x-y)= 。
由此可得到平方差公式
。
即多項式x+y與x-y的乘積，等于多項式 。
設a, b都是正數，且a>b.將平方差公式中的x用a代入，y用b代入，
可得
思考：
如何從幾何角度說明平方差公式呢？
如圖①，將邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，則剩余部分的面積為a -b .
將剩余部分沿虛線剪開后，拼成一個如圖②所示的長方形，則這個長方形的長為(a+b)，寬為(a-b)，于是，面積為 。
由此可得 。
平方差公式：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例1：
計算：（1）(2x+1)(2x-1)；（2）(x+2y)(x-2y).
解：
例2：
運用平方差公式計算：
解：
例3：
運用平方差公式計算：(4a+b)(-b+4a).
例4：
計算：1 002×998
三、自主檢測
1．運用乘法公式計算的結果是（ ）
A． B．
C． D．
2．如圖，從邊長為m的大正方形中剪掉一個邊長為n的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開拼成右邊的長方形，根據圖形的變化過程，寫出一個正確的等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．乘法公式的探究與運用：
(1)如圖①，邊長為a的大長方形中有一個邊長為b的小正方形，則陰影部分的面積是________；（寫成兩數平方差的形式）
(2)小穎將陰影部分裁下來，重新拼成一個長方形，如圖②，則長方形的長是________，寬是________，面積是________；（寫成多項式乘法的形式）
(3)比較圖①、圖②陰影部分的面積，可以得到恒等式：________；
(4)運用你得到的公式計算：；
(5)若，，則的值為________．
4．在下列（　　）里填上適當的項，使其符合的形式．
(1)；
(2)．
5．運用平方差公式計算：
(1)；
(2)
知識點總結
1.平方差公式：
(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
兩個數的和與這兩個數差的積，等于這兩個數的平方差.
2.結構特點：
左邊：a符號相同，b符號相反.
右邊：符號相同項a的平方減去符號相反項b的平方.
3.公式變形：
(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
答案
預習：
1．D
【分析】本題考查平方差公式的幾何背景．用代數式分別表示圖1中陰影部分以及圖2的面積即可．
【詳解】解：圖1中陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即，
圖2是長為，寬為的長方形，因此面積為，
所以有，
故選：D．
2．D
【分析】本題考查了平方差公式．運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．
根據平方差公式對各選項分別進行判斷．
【詳解】解：A、不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
B、不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
C、不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；
D、能用平方差公式計算，故本選項符合題意；
故選：D．
3．D
【分析】根據“式子是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數”進行判斷即可．
【詳解】解：A．＝（n+m）（n﹣m）＝n2﹣m2，不符合題意；
B．＝（﹣n﹣m）（﹣n+m）＝（﹣n）2﹣m2＝n2﹣m2，不符合題意；
C．＝m2﹣n2，不符合題意；
D．＝﹣（m+n）（m+n）＝﹣（m+n）2，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平方差公式，掌握運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．
4． a2－ b2 和 差
自主：
1．A
【分析】本題主要考查了運用平方差公式進行計算，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式，，根據平方差公式進行計算即可．
【詳解】解：，
故選：A．
2．B
【分析】本題主要查了平方差公式的應用．根據題意可得左邊圖形陰影部分的面積為，右邊圖形陰影部分的面積為，即可求解．
【詳解】解：左邊圖形陰影部分的面積為，右邊圖形陰影部分的面積為，
∴根據圖形的變化過程，得到的等式是．
故選：B
3．(1)
(2)，，
(3)
(4)99.91
(5)5
【分析】本題考查背景了平方差公式的幾何背景及其在簡算中和代數式求值中的應用．
（1）由圖形可知長和寬的值，再根據正方形面積公式可得答案；
（2）由圖形可知長方形的長和寬，根據長方形面積公式可得答案；
（3）由（1）（2）結論直接得答案；
（4）應用（3）的公式可簡算，從而得答案；
（5）根據（3）中公式可得，再將代入可得答案．
【詳解】（1）解：陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積，
故答案為：；
（2）解：長方形的長是，寬是，面積長寬，
故答案為：，，；
（3）解：∵圖①、圖②陰影部分的面積相等
，
故答案為：；
（4）解：
；
（5）解：，
故答案為：5．
4．(1)，
(2)，，，
【分析】本題考查了平方差公式、添括號法則，解題的關鍵是：
（1）根據平方差公式的特點，添括號法則求解即可；
（2）先變形，然后根據平方差公式的特點，添括號法則求解即可
【詳解】（1）解：，
故答案為：，；
（2）解：，
故答案為：，，，．
5．(1)
(2)
【分析】本題考查的是平方差公式的靈活應用，熟記平方差公式是解本題的關鍵；
（1）逐步利用平方差公式計算即可；
（2）逐步利用平方差公式計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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