資源簡介

構造輔助圓
前言：最值必有動點，探尋最值可以分析點應在的位置，比如將軍飲馬、胡不歸等，也可以追尋動點軌跡，直線與圓便是最常見的兩種，但題目很少會直接告訴我們軌跡是什么，所以結合條件，分析動點軌跡是最值問題中一大難點. 本講探究常見的軌跡是圓的情形，即構造輔助圓求最值.
知識導航
圓中最值
(1) 點-圓
若點 P是圓O外一點.
在圓O上確定一點Q使得PQ最大
分析: PQ=PO+OQ=PO+OM>PM在圓O上確定一點Q 使得PQ最小
分析: PQ+QO=PO引例 1：如圖，已知圓 C 的半徑為 3，圓外一定點 O 滿足OC=5，點P 為圓C上一動點，經過點O的直線l上有兩點A、B, 且OA=OB, ∠APB=90°, l不經過點 C, 則 AB 的最小值為 .
解析: 連接 OP, 根據△APB 為直角三角形且 O 是斜邊 AB中點, 可得 OP 是 AB 的一半, 若AB 最小, 則 OP 最小即可. 連接 OC, 與圓 C交點即為所求點 P, 此時 OP 最小,∵OC=5, 圓半徑r=3, ∴OP=2, ∴AB 的最小值為4.
(2) 線-圓
如圖，分別在圓O和直線l上取點 M、N使得MN最大
分析：過點O作直線l的垂線，與圓O(點O上方)、直線l的交點即為M、N，此時MN最大.
如圖，分別在圓O和直線l上取點M、N使得MN最小
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分析：過點O作直線l的垂線，與圓O(點O下方)、直線l的交點即為M、N，此時MN最小.
引例2：如圖，已知直線 與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C(0，1) 為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接PA、PB, 則△PAB 面積最大值是 .
解析：過點C作AB的垂線，垂足記為H點，與圓C左上方交點即為點 P, ∵OA=4, OB=3, ∴AB=5, 又圓C半徑為1, ∴△PAB 面積最大值為
(3) 圓-圓
分別在圓A和圓B上取點M、N，使得 MN最大
分析: MN=MA+AB+BN=PA+AB+BQ>PQ,∴MN>PQ.
分別在圓A和圓B上取點M、N，使得 MN最小
分析: AM+MN+NB=AB引例3: 如圖, 在坐標系中分別以A(-2,3)、B(3,4)為圓心，以1和2為半徑作圓A和圓B，MN分別是圓A和圓B 上的動點, P 是 x 軸上的動點, 則 PM+PN 的最小值是
解析：作圓A關于x軸的對稱得圓A'，連接A'B，與圓A'、圓 B 交點分別為M'(與點 M 關于x軸對稱)、N，此時有
∴PM+PN的最小值為
2 定義構造輔助圓
(1) 圓的定義：平面內到定點距離等于定值的所有點的集合.
(2) 構造輔助圓：若動點滿足到定點距離等于定值，則動點軌跡是圓(或圓弧).
引例4: 如圖, 在 Rt△ABC中, ∠C=90°,AC=6, BC=8, 點F在邊AC上, 并且CF=2, 點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點 P 處，則點P到邊AB距離的最小值是 .
解析: PF=CF=2, 可得P 點軌跡是以 F點為圓心, FC為半徑的圓弧. 過F 點作 FH⊥AB，與圓的交點即為所求 P 點， 又FP=2, ∴PH= . ∴最小值是
3 定邊對直角
(1) 圓周角定理推論； 直徑所對的圓周角是直角.
(2) 定邊對直角：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.
點P是動點, 且∠APB=90°, 其中 AB是一條定線段,則 P 點軌跡是以AB為直徑的圓或圓弧.
引例5: 已知正方形ABCD邊長為2, E、F分別是BC、CD上的動點, 且滿足BE=CF, 連接AE、BF, 交點為P點, 則PC的最小值為 .
解析: 考慮BE=CF, 可得AE⊥BF, 即在運動過程中,∠APB=90°, ∴P 點軌跡是以AB 為直徑的圓.
連接OC，與圓的交點即為P點，
∴PC的最小值為
引例6：如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=5, AC=4. D是BC上的一個動點, 連接AD, 過點C作 CE⊥AD于E, 連接BE. 在點D移動的過程中, BE的最小值為 .
解析: 點 E是動點, ∠AEC=90°, 且AC是一條定線段,∴E 點軌跡是以AC為直徑的圓弧.
當B、E、M共線時, BE取到最小值.
連接BC，勾股定理可得 ∴BE的最小值是
4 定邊對定角
(1) 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等，都等于這條弧所對圓心角的一半.
(2) 定邊對定角：一條定邊所對角是定角，則這個角的頂點軌跡是圓弧.
點 P 是動點, 且∠APB=α是定值, 其中 AB 是一條定線段，以AB 為底邊構造頂角為2α的等腰三角形，頂點記為O，則P點軌跡是以點O為圓心，OA為半徑的圓弧.
(3) 特別地, 若∠P是特殊角:
①若∠P=30°, 以AB為邊, 同側構造等邊△AOB, O即為圓心.
②若∠P=45°, 以AB為斜邊, 同側構造等腰直角△AOB,O即為圓心.
③若∠P=60°, 以AB為底, 同側構造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心.
④若∠P=120°, 以AB為底, 異側為邊構造頂角為120°的等腰三角形AOB，O即為圓心.
引例7: 如圖, 等邊△ABC邊長為2, E、F分別是BC、CA上兩個動點, 且BE=CF, 連接AE、BF,交點為P點, 則CP的最小值為 .
解析: 由 BE=CF 可推得△ABE≌△BCF, 可得∠APF=60°,但∠APF所對的邊AF 是變化的. 考慮∠APB=120°, 其對邊AB 是定值.
∴P 點軌跡是以點O為圓心的圓弧(構造OA=OB且∠AOB=120°). 當O、P、C共線時, ∴CP最小值是
5 問題設計
(1) 定邊對直角：隱藏的定邊
引例8：如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點E、F分別從點A、C同時出發，以相同的速度分別沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點 G，連接AG，則AG長的最小值為 .
解析：首先考慮整個問題中的不變量，僅有 AE=CF，BG⊥EF,但∠BGE所對的BE邊是不確定的.重點放在AE=CF,可得EF必過正方形中心O點，連接BD，與EF交點即為O點. ∠BGO為直角且 BO邊為定直線, ∴G 點軌跡是以BO為直徑的圓.
記BO中點為M點, 當A、G、M共線時, AG取到最小值，勾股定理可求 ∴AG長的最小值是.
(2) 定邊對定角：動點軌跡長度探究
引例9:如圖,等邊△ABC中,AB=3,點D、E分別是邊 BC, CA 上的動點, 且 BD=CE, 連接AD、BE交于點 F，當點 D 從點 B 運動到點 C時，則點 F 的運動路徑的長度為 .
解析: 由題意得: △ABD≌△BCE,∴∠AFE=60°, ∠AFB=120°,如圖，以AB為底邊作頂角為120°的等腰△AOB，可得點 F軌跡是以點O為圓心，OA為半徑的圓弧.
即點 F運動路徑長為
(3) 視角轉換：動靜互逆
引例 10: (2019·益陽改編) 如圖, 在平面直角坐標系 xOy中, 矩形 ABCD的邊AB=4, BC=6. 若不改變矩形 ABCD的形狀和大小，當矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點 D 始終在 y 軸的正半軸上隨之上下移動. 連接OC，線段OC的最大值為 .
解析：動靜互逆，保持矩形ABCD 不動，旋轉坐標系，即定邊AD對直角∠AOD, 可得點O軌跡, 如圖, 當C、AD中點 M、O 共線時, OC 取到最大值5+3=8, 即 OC 的最大值為8.
真題演練
1. 如圖, 在 Rt△AOB中, ∠A=30°, ⊙O的半徑為1, 點P是AB邊上的動點, 過點P作⊙O的一條切線PQ(其中點Q為切點)，則線段PQ長度的最小值為 .
2. 如圖,在矩形ABCD中,E為AB的中點,P為BC邊上的任意一點,把△PBE沿PE折疊,得到△PFE,連接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為 .
3. 如圖, 在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°, M 是 AD 邊的中點, N 是 AB 邊上的一動點, 將△AMN 沿 MN 所在直線翻折得到△A'MN, 連接A'C, 則A'C長度的最小值是 .
4. 有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉. 把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點,模型如圖,∠ABC=90°,點 M、N分別在射線BA、BC 上, MN長度始終保持不變, MN=4, E為 MN的中點,點D到BA、BC的距離分別為4和2. 在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為 .
5. 如圖, 已知等邊△ABC 的邊長為8,點P是AB邊上的一個動點 (與點 A、B不重合).直線l是經過點 P 的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B 的對應點是點B'. 當PB=6時, 在直線l變化過程中, △ACB'面積的最大值是 .
6. 如圖, 矩形 ABCD中, AB=4, BC=8, P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,連接PF、PD, 則PF+PD 的最小值是 .
7. 如圖, 在矩形ABCD中, AB=1, P為AD上一個動點，連接BP，線段BA與線段BQ關于 BP所在的直線對稱，連接PQ，當點 P從點A 運動到點D時，線段PQ在平面內掃過的面積為 .
8. 如圖, E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點, 滿足AE=DF, 連接CF交BD于點 G, 連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是 .
9. 如圖, Rt△ABC中, AB⊥BC, AB=6,BC=4, P是△ABC內部的一個動點, 且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP 長的最小值是 .
10. 如圖, 正方形ABCD的邊長是4, 點E是AD邊上一動點, 連接BE,過點A作AF⊥BE于點 F,點P是AD邊上另一動點, 則 PC+PF的最小值為 .
11. 如圖,△ABC為等邊三角形, AB=2,若P 為△ABC 內一動點, 且滿足∠PAB=∠ACP, 則線段 PB長度的最小值為 .
12. 在△ABC中, AB=4, ∠C=60°,∠A>∠B , 則BC的長的取值范圍是 .
13. 在△ABC中, 若AB=6,∠ACB=45°.則△ABC的面積的最大值為 .
14. 如圖,AB是圓O的直徑,M、N是弧AB(異于A、B)上兩點, C是弧MN上一動點, ∠ACB的角平分線交圓O于點 D, ∠BAC 的平分線交 CD于點 E, 當點 C從點 M 運動到點 N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是
15. 如圖,在矩形ABCD中, AB=4, BC=3,E、F分別為AB、CD邊的中點. 動點P從點E出發沿 EA 向點A運動，同時，動點Q從點F出發沿FC向點C運動，連接PQ, 過點B作BH⊥PQ于點 H, 連接DH. 若點 P 的速度是點 Q 的速度的2倍，在點 P 從點 E 運動至點A 的過程中，線段PQ 長度的最大值為 ，線段 DH長度的最小值為 .
第4講 構造輔助圓
2
解析: 連接OP、OQ, 則 當OP最小時，即PQ最小,當OP⊥AB時,可得OP 最小值為3,又OQ=1, ∴PQ的最小值為2
8.
解析：由題意可得點F軌跡是以E點為圓心，5為半徑的圓弧, ∴CF的最小值為CE-BE=8, 即CF的最小值為8.
考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1, 所以A'軌跡是以M點為圓心, MA為半徑的圓弧. 連接CM，與圓的交點即為所求的A'，此時A'C的值最小. 構造直角△MHC，勾股定理可得
∴最小值為
解析: 連接BE, 則 ∴點E軌跡是以點B為圓心，2為半徑的圓弧，當B、E、D共線時，DE 取到最小值，最小值為
解析：考慮l是經過點 P 的直線，且△ABC沿直線l折疊，所以B'軌跡是以點 P 為圓心，PB 為半徑的圓弧. 考慮△ACB'面積最大，因為AC是定值，只需B'到AC距離最大即可. 過P作作PH⊥AC交AC于H點，與圓的交點即為所求B'點，此時
∴△ACB'面積最大值是
解析：F點軌跡是以 E 點為圓心，EA 為半徑的圓，作點 D關于 BC對稱點D', 連接PD', PF+PD化為PF+PD'.連接ED'，與圓的交點為所求F點，與BC交點為所求P點，勾股定理可得ED'=10, D'F=10-2=8, ∴PF+PD 的最小值是8.
解析：考慮點 P軌跡從A到D，點Q軌跡是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧，
故線段PQ掃過的面積為
-1.
解析: 根據條件可知: ∠DAG=∠DCG=∠ABE, ∴AG⊥BE,即∠AHB=90°，所以H點軌跡是以AB為直徑的圓弧，當D、H、O共線時，DH取到最小值，
勾股定理得 即DH長度的最小值是
2.
∵∠PBC+∠PBA=90°,∠PBC=∠PAB,∴∠PAB+∠PBA=90°,
∴∠APB=90°,∴P點軌跡是以AB為直徑的圓弧.當O、P、C共線時，CP 取到最小值，勾股定理可得 CP=5-3=2, ∴CP長的最小值是2.
∠AFB=90°且AB 是定線段, 故F 點軌跡是以AB 中點O為圓心、AB為直徑的圓. 考慮 PC+PF是折線段，作點C關于AD 的對稱點C', 化 PC+PF為PC'+PF , 當C'、P、F、O共線時，取到最小值，勾股定理得 ∴PC+PF的最小值是
解析: 由∠PAB=∠ACP, 可得∠APC=120°, 可得 P 點軌跡, .7PB長度最小值為
解析：∠C=60°，即定邊對定角. 故點 C的軌跡是以點O為圓心的圓弧(作AO=BO 且∠AOB=120°), 題意要求∠A>∠B, 即BC>AC, 故點C的軌跡如下圖. 當BC為直徑時, BC取到最大值 考慮∠A為△ABC中最大角，故BC為最長邊,BC>AB=4.綜上,BC長的取值范圍是
解析: ∵AB=6, ∠ACB=45°, 以AB為邊, 在同側作等腰直角△AOB, 則點 C 軌跡是以 O為圓心, OA 為半徑的圓弧,連接CO,當CO⊥AB時,△ABC的高CH最大,面積最大,最大面積為
:1.
解析：分別考慮 C、E兩點的軌跡，C點軌跡上是弧 MCN，其對應圓心角為∠MON, 半徑為OM(或ON).
再考慮E點軌跡，考慮到CE、AE都是角平分線，所以連接BE, BE平分∠ABC, 可得: ∠AEB=135°.
考慮到∠AEB 是定角，其對邊 AB 是定線段，根據定邊對定角, 所以E點軌跡是個圓, 考慮到∠ADB=90°, 所以D 點即為圓心，DA 為半徑. E點軌跡所對的圓心角為∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E兩點軌跡圓半徑之比為1： 圓心角之比為2：1，所以弧長比為 :1.
解析：當點P到達A 點時，PQ長度最大，最大值是3 連接EF與PQ交于點M, ∵PE=2FQ, ∴EM=2FM, 即點 M是 EF 靠近點 F 的三等分點, 連接 BM, 中點記為N, 則 H點軌跡是以點N為圓心，BM為直徑的圓， 當D、H、N共線時取到DH最小值，最小值是

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