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第5節(jié) 瓜豆原理
前言：“瓜豆原理”是近來中考最值中的熱點(diǎn)話題之一，“瓜豆”是寓意，由一個(gè)動點(diǎn)軌跡探究另一動點(diǎn)軌跡，正所謂：種瓜得瓜，種豆得豆. 用數(shù)學(xué)語言解釋即旋轉(zhuǎn)、放縮，本節(jié)介紹模型及解題思路.
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知識導(dǎo)航
1 軌跡圓
探究1：如圖，P是圓O上一個(gè)動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn). 當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.
分析：線段AQ可以理解為由AP放縮得來，
則 P 點(diǎn)軌跡放縮即可得Q 點(diǎn)軌跡，
連接AO, 取AO中點(diǎn) M,
則M點(diǎn)即為Q 點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑
任意時(shí)刻, 均有△AMQ∽△AOP,
探究2：如圖，P是圓O上一個(gè)動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP. 當(dāng)點(diǎn) P在圓O上運(yùn)動時(shí), 探究Q點(diǎn)軌跡.
分析：AQ可以理解為由AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得來，則P點(diǎn)軌跡繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得Q 點(diǎn)軌跡，∴點(diǎn)Q軌跡也是圓.
點(diǎn)Q軌跡圓圓心M滿足AM=AO且AM⊥AO,在任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM.
探究3:如圖,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,當(dāng)P在圓O運(yùn)動時(shí)，探究Q 點(diǎn)軌跡.
分析: 由AP⊥AQ, 可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO;由 Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足
即可確定圓M位置，
任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM, 且相似比為2: 1.
模型總結(jié)
由 P 點(diǎn)軌跡推Q點(diǎn)軌跡.
通常稱點(diǎn)P為“主動點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動點(diǎn)”.
瓜豆問題的必要條件：兩個(gè)定量
(1)主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量(∠PAQ是定值)；
(2)主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量(AP：AQ是定值).
模型結(jié)論：
(1) 主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角: ∠PAQ=∠OAM;
(2) 主、從動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：
探究動點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與放縮，即動點(diǎn)軌跡的旋轉(zhuǎn)與放縮.
引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ. 當(dāng)點(diǎn) P在圓O上運(yùn)動時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.
解析: 如圖, ∵AP=AQ, 且∠PAQ=60°, 可得點(diǎn) Q 軌跡圓圓心M滿足AM=AO, 且∠OAM=60°.
引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ. 當(dāng)點(diǎn) P在圓O上運(yùn)動時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.
解析：△APQ是等腰直角三角形，即有 且∠PAQ=45°. 由此得點(diǎn)Q軌跡圓心M滿足 且∠MAO=45°.
2 軌跡直線
探究4: 如圖, P 是線段 BC上一動點(diǎn), 連接AP, 取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn) P在BC上運(yùn)動時(shí)，探究Q點(diǎn)軌跡.
分析：當(dāng)P 點(diǎn)軌跡是線段時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條線段.
分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，
在運(yùn)動過程中，
∴Q點(diǎn)到BC的距離是定值，∴Q點(diǎn)軌跡是一條線段，即下圖中的線段EF.
探究 5: 如圖, △APQ 是等腰直角三角形, ∠PAQ=90°且AP=AQ, 當(dāng)點(diǎn) P在線段BC上運(yùn)動時(shí), 探究Q 點(diǎn)軌跡.
分析：當(dāng) AP 與AQ 夾角固定且AP：AQ為定值的話，所以Q 點(diǎn)軌跡也是線段. 分別確定 P 在起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q 的位置，即可得Q點(diǎn)軌跡.
模型總結(jié)
必要條件：兩個(gè)定量
(1)主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量(∠PAQ是定值)；
(2)主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量(AP：AQ是定值).
模型結(jié)論：
(1) P、Q 兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ.
(當(dāng)∠PAQ≤90°時(shí), ∠PAQ等于 MN與BC夾角)
(2) P、Q兩點(diǎn)軌跡長度之比等于 AP: AQ
(由△ABC∽△AMN, 可得
所謂“種圓得圓”、“種線得線”，謂之“瓜豆原理”.
引例3: 如圖, 在等邊△ABC中, AB=10, BD=4, BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn) E 出發(fā)沿EA方向運(yùn)動，連結(jié)PD，以PD為邊，在PD 的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊△DPF，當(dāng)點(diǎn) P 從點(diǎn) E運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動的路徑長是 .
解析：根據(jù)△DPF是等邊三角形，∴可知F點(diǎn)運(yùn)動路徑長與P點(diǎn)相同，P從E點(diǎn)運(yùn)動到A 點(diǎn)路徑長為8，
∴F點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是8.
3 其它圖形
所謂“瓜豆原理”，就是主動與從動點(diǎn)的軌跡的旋轉(zhuǎn)放縮，只需主、從動點(diǎn)滿足①夾角定角； ②比例定值，當(dāng)主動點(diǎn)軌跡是任意圖形時(shí)，從動點(diǎn)軌跡必然也是與其相似的圖形.
引例4：如圖，在反比例函數(shù) 的圖像上有一個(gè)動點(diǎn) A，連接AO 并延長交圖像的另一支于點(diǎn) B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù) 的圖像上運(yùn)動,若tan∠CAB=2,k=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析: ∠AOC=90°且AO: OC=1: 2, 顯然點(diǎn) C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC, 則△AMO∽△ONC, ∴CN=2OM, ON=2AM,∴ON·CN=4AM·OM , ∴k=4×2=8, 故選 D.
引例5: 如圖, A(-1, 1), B(-1, 4), C(-5, 4), 點(diǎn)P是△ABC邊上一動點(diǎn), 連接OP, 以O(shè)P 為斜邊在 OP 的右上方作等腰直角△OPQ，當(dāng)點(diǎn) P 在△ABC 邊上運(yùn)動一周時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為 .
解析：根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形可得：Q點(diǎn)運(yùn)動軌跡與P 點(diǎn)軌跡形狀相同，根據(jù) 可得 P 點(diǎn)軌跡圖形與Q 點(diǎn)軌跡圖形相似比為 :1, ∴面積比為2: 1,△ABC面積為
∴Q 點(diǎn)軌跡形成的封閉圖形面積為3.
真題演練
1.如圖,在等腰Rt△ABC中, 點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A 運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為 .
2. 如圖, 正方形ABCD中, O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF, 連接AE、CF. 線段OF長的最小值是 .
3. 如圖, 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(2,0)、B(0,2), 點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn), BC=1, 點(diǎn) M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為( )
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E, 則△CDE面積的最小值為 .
5. △ABC中, AB=4, AC=2, 以BC為邊, 在△ABC外作正方形 BCDE, BD、CE 交于點(diǎn) O, 則線段 AO 的最大值為
6. 如圖所示, AB=4, AC=2, 以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角△BCD, 連接AD并延長至點(diǎn)P, 使AD=PD, 則PB 的取值范圍為 .
7. 如圖, 在平面內(nèi), 線段AB=6, P為線段AB 上的動點(diǎn)，三角形紙片 CDE 的邊 CD 所在的直線與線段AB 垂直相較于點(diǎn) P,且滿足PC=PA,若點(diǎn) P 沿AB 方向從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn) B，則點(diǎn) E運(yùn)動的路徑長為 .
8. 如圖，已知點(diǎn) A 是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為 2的一個(gè)定點(diǎn), AC⊥x軸于點(diǎn) M, 交直線y=-x于點(diǎn)N,若點(diǎn) P 是線段 ON上的一個(gè)動點(diǎn), ∠APB=30°, BA⊥PA, 則點(diǎn) P 在線段 ON上運(yùn)動時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動. 求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長是 .
9. 如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中, A (-3, 0), 點(diǎn)B是y軸正半軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動時(shí)，OP的最小值是
10. 如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中, Q是直線 上的一個(gè)動點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°, 得到點(diǎn)Q', 連接OQ', 則OQ'的最小值為( )
B.
11. 如圖, 正方形ABCD 的邊長為4, E為BC上一點(diǎn), 且BE=1, F為AB邊上的一個(gè)動點(diǎn), 連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為 .
第5講 瓜豆原理
π.
解析：考慮C、M、P共線及M是CP中點(diǎn)，可確定 M點(diǎn)軌跡: 取AB中點(diǎn)O, 連接CO取CO中點(diǎn)D, 以D為圓心,DM為半徑作圓D分別交AC、BC于 E、F兩點(diǎn), 則弧EF即為M點(diǎn)軌跡. ∴M點(diǎn)路徑長為
解析：E是主動點(diǎn)，F(xiàn)是從動點(diǎn)，D是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿足EO=2，故E點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓.考慮 DE⊥DF且DE=DF, 故作 DM⊥DO且DM=DO, F點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓.直接連接OM，與圓M交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí) OF 最小. ∴OF的最小值為
,
解析：連接AB，取AB中點(diǎn)N，M點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)N為圓心， 為半徑的圓，如圖當(dāng)點(diǎn)O、N、M共線時(shí)，OM最大，最大值為 故選 B.
解析: 由題意可知點(diǎn)E坐標(biāo)為(0, -3),點(diǎn)D坐標(biāo)為 (4,0), 取OA中點(diǎn)M(1, 0), 則點(diǎn)C軌跡是以點(diǎn)M為圓心, 1為半徑的圓, 連接 MC 并延長交 DE于點(diǎn) H, 當(dāng)CH⊥DE時(shí)，CH最小，此時(shí)三角形面積最小，CH的最小值為 三角形 CDE 面積的最小值為 即△CDE面積的最小值為2.
解析：固定 AB，將AC 看成動線段，求得線段 AO 的最大值. 根據(jù)AC=2，可得C點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓. 觀察△BOC 是等腰直角三角形，銳角頂點(diǎn) C 的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓，所以O(shè)點(diǎn)軌跡也是圓，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點(diǎn) M即為點(diǎn)O軌跡圓圓心. 連接AM并延長與圓 M交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O，此時(shí)AO最大，最大值為
固定AB不變，AC=2，則C點(diǎn)軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD，則D點(diǎn)軌跡是以點(diǎn) M為圓心、 為半徑的圓考慮到AP=2AD，故P 點(diǎn)軌跡是以N為圓心，2 為半徑的圓，可得PB的取值范圍是
解析: 連接CA, 則 可得點(diǎn)C軌跡長為 ∴點(diǎn)E運(yùn)動的路徑長為(
根據(jù)∠PAB=90°, ∠APB=30°可得:AP:AB= :1,故B 點(diǎn)軌跡也是線段，且P 點(diǎn)軌跡路徑長與 B 點(diǎn)軌跡路徑長之比也為 :1,P點(diǎn)軌跡長ON為2 ，故B 點(diǎn)軌跡長為2
解析：求OP 最小值需先作出P 點(diǎn)軌跡，根據(jù)△ABP是等邊三角形且B 點(diǎn)在直線上運(yùn)動，故可知 P 點(diǎn)軌跡也是直線. 取兩特殊時(shí)刻：(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，作出P 點(diǎn)位置P ；(2) 當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時(shí), 作出 P點(diǎn)位置P .連接P P ,即為P點(diǎn)軌跡.根據(jù)∠ABP=60°可知:P P 與y軸夾角為60°, 作OP⊥P P , 所得OP長度即為最小值， 所以
. B.
解析：將Q 點(diǎn)軌跡繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得點(diǎn)Q'軌跡: 直線y=2x-5, 與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為( ). 點(diǎn)O到直線y=2x-5的距離為 ，故OQ'的最小值為 , 選B.
解析：將F 點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A 運(yùn)動，由此作出 G 點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻 G 點(diǎn)在G 位置，最終G點(diǎn)在G 位置(G 不一定在CD邊), G G 即為G點(diǎn)運(yùn)動軌跡. CG最小值即當(dāng)CG⊥G G 的時(shí)候取到,作CH⊥G G 于點(diǎn)H，CH 即為所求的最小值. 根據(jù)模型可知：G G 與AB夾角為60°, 故( 過點(diǎn)E作EF⊥CH于點(diǎn)F,則 所以 因此CG的最小值為

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