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第2章 對稱與旋轉
第1節 對稱的性質
前言：對稱與旋轉是幾何中常見問題，本節討論關于對稱的基本性質. 主要有有以下三點：(1) 對應角相等；(2) 對應邊相等；(3) 對稱點連線被對稱軸垂直且平分. 如何選取恰當的性質幫助解題，不僅要了解知識點，也要了解與其相關配套的條件與問題.
知識導航
1 對應角相等
(1) 由對稱得對應角相等，常常用在求角度的問題中.
引例1:如圖, 在△ABC中, 點D是BC上的點,∠BAD=∠ABC=40°,將△ABD沿著AD 翻折得到△AED,則∠CDE= °.
解析: ∵∠BAD=∠ABC=40°, ∴∠ADC=80°,∠ADB=100°, ∴∠ADE=100°, ∴∠CDE=20°.
(2) 作特殊的對稱會存在特殊角，有特殊角便是有特殊圖形，利用特殊圖形解決問題.
引例2:如圖, 在矩形 ABCD 中, AD=3,M是CD上的一點,將△ADM沿直線AM對折得到△ANM,若AN平分∠MAB, 則折痕AM的長為( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 6
解析: 由題意可得: ∠DAM=∠MAN=NAB=30°,
∴選 B.
引例3: 如圖, 在矩形ABCD中, AD=2. 將∠A 向內翻折,點A 落在 BC上, 記為A', 折痕為 DE. 若將∠B沿EA'向內翻折,點B恰好落在DE上,記為B',則AB= .
解析: 由題意可得: ∠AED=∠DEA'=∠A'EB=60°,∴A'C=A'B=1, ∴AB=DC= , ∴AB=
2 對應邊相等
涉及到求線段長度的問題，記得考慮：對應邊相等.
引例4: 如圖, 把三角形紙片折疊, 使點 A、點C都與點B重合,折痕分別為EF、DG,得到∠BDE=60°,∠BED=90°, 若DE=2, 則 FG的長為 .
解析: F、G分別是AB、BC中點,∴FG是AC邊的中位線,∴FG= AC.∵DE=2,∴AE=BE=2 ,CD=BD=4,
引例5:如圖, 把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊(點E、H在AD邊上,點F、G在BC邊上), 使點B和點 C落在 AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A'點，D點的對稱點為D'點,若∠FPG=90°,△A'EP的面積為4,△D'PH 的面積為1, 則矩形ABCD 的面積等于 .
解析: 兩端往中間折疊, 則可得: A'P=D'P,∵∠FPG=90°, ∴∠A'PD'=90°, ∴△A'EP∽△D'PH ,
考慮兩三角形面積分別是4和1，所以相似比為2：1，設AB=a, 則.
表示△D'PH 面積: 解得a=2, 又AB=2,∴矩形ABCD面積為
對稱點連線相關
對稱點連線被對稱軸垂直且平分，連接對稱點連線可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函數，可求線段長.
引例6: 如圖, 將面積為32 的矩形 ABCD沿對角線BD折疊，點A 的對應點為點 P，連接AP交BC于點E. 若 則AP的長為 .
解析: 由對稱可得 AP⊥BD, 則△ABE∽△DAB, 設 AB=x,由題意得： 代入得： 又矩形ABCD面積為 解得x=4, ∴AB=4, AD=8 記 AP與BD交點為H,則AB·AD=AH·BD, 代入解得:
引例7:如圖, 在△ABC中, D是AC邊上的中點, 連結BD, 把△BDC沿BD翻折, 得到△BDC', DC'與AB交于點E, 連結AC', 若AD=AC'=2, BD=3, 則點D到BC'的距離為( )
C.
解析: 連接CC', 則CC'⊥BD, 垂足記為F,
由DA=DC=DC', 可得∠AC'C=90°,
點D到BC'的距離等于點 D到BC的距離，
考慮用等積法. 過點D作DH⊥BC交BC于H點，則BD·CF=BC·DH, 代入解得: 故選B.
真題演練
1. 如圖, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°,∠B=36°,AD 是斜邊BC上的中線,將△ACD沿AD對折,使點C落在點F處, 線段DF與AB 相交于點 E, 則∠BED等于( )
A. 120° B. 108° C. 72° D. 36°
2. 如圖,將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊, 使點A落在點E處, 交BC于點F, 若∠ABD=48°,∠CFD=40°, 則∠E為( )
A. 102° B. 112° C. 122° D. 92°
3. 如圖, 直線 EF是矩形 ABCD的對稱軸,點P在 CD邊上, 將△BCP 沿BP折疊, 點C恰好落在線段AP與EF的交點Q處, 則線段AB的長是( )
A. 8 B. 8 C. 8 D. 10
4. 如圖, 對折矩形紙片ABCD使AD與BC重合，得到折痕MN，再把紙片展平. E是AD上一點，將△ABE沿BE折疊, 使點A 的對應點A'落在 MN上.若CD=5, 則BE的長是 .
5. 如圖,對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點 A 落在EF上的點 A'處, 得到折痕BM, BM 與 EF 相交于點 N. 若直線 BA'交直線CD于點 O, BC=5, EN=1, 則 OD 的長為( )
6. 如圖,在△ABC中,AB=4,BC=7,∠B=60°,點 D 在邊 BC 上, CD=3, 連接AD. 如果將△ACD 沿直線AD 翻折后，點C 的對應點為點 E，那么點 E到直線 BD 的距離為 .
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7. 如圖, 在矩形紙片ABCD中, AB=3, 點E在邊 BC上, 將△ABE 沿直線AE 折疊, 點 B 恰好落在對角線AC上的點F處,若∠EAC=∠ECA,則AC的長是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 如圖, 對折矩形紙片ABCD, 使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平，再一次折疊，使點D落到EF上點G處，并使折痕經過點A，已知BC=2，則線段EG的長度為 .
9. 如圖, 在矩形ABCD中, AD=4,將∠A 向內翻折, 點A 落在 BC上, 記為A , 折痕為 DE. 若將∠B沿EA 向內翻折, 點B 恰好落在 DE上, 記為B , 則AB= .
10. 矩形紙片ABCD,長AD=8cm, 寬AB=4cm，折疊紙片，使折痕經過點B，交AD邊于點E，點A落在點A'處，展平后得到折痕BE，同時得到線段BA'、EA'，不再添加其它線段. 當圖中存在 30°角時，AE 的長為 厘米.
11. 如圖, 將矩形ABCD(紙片) 折疊, 使點B 與AD邊上的點K 重合，EG為折痕； 點C與AD邊上的點 K 重合, FH 為折痕. 已知∠1=67.5°, ∠2=75°, 則BC的長是 .
12. 把一張寬為1cm的長方形紙片ABCD折疊成如圖所示的陰影圖案，頂點A、D互相重合，中間空白部分是以E為直角頂點，腰長為2cm的等腰直角三角形，則紙片的長AD (單位: cm)為( )
13.如圖, 把直角△ABO放置在平面直角坐標系中, 已知∠OAB=30°, B點的坐標為(0,2), 將△ABO沿著斜邊 AB翻折后得到△ABC，則點C的坐標是( )
A. (2 ,4) B. (2,2 ）
C. ( ,3) D. ( ）
14. 如圖,在矩形ABCD中,AB=3, BC=2,H是AB的中點，將△CBH沿CH折疊，點B落在矩形內點P處, 連接AP, 則 tan∠HAP= .
15. 如圖,在矩形ABCD中, 點E是CD的中點, 連接AE, 將△ADE沿直線AE折疊, 使點D落在點F處，則線段CF的長度是( )
A. 1 C.
16.如圖,三角形紙片ABC, 點D是BC邊上一點, 連接AD, 把△ABD沿著AD翻折, 得到△AED, DE與AC交于點G, 連接BE交AD于點 F. 若DG=GE, AF=3, BF=2, △ADG的面積為2, 則點F到BC的距離為( )
17. 如圖,矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=12.將紙片折疊，使點B落在邊AD的延長線上的點G處，折痕為EF, 點E、F分別在邊AD和邊BC上. 連接BG, 交CD于點K, FG交CD于點H.
給出以下結論：
①EF⊥BG;
②GE=GF;
③△GDK和△GKH的面積相等;
④當點F與點C重合時, ∠DEF=75°.
其中正確的結論共有 ( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
18. 在數學探究活動中，敏敏進行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使得點B落在CD上的點Q處.折痕為AP.再將△PCQ、△ADQ分別沿 PQ、AQ 折疊, 此時點 C、D 落在AP上的同一點 R處. 請完成下列探究：
(1) ∠PAQ的大小為 °;
(2)當四邊形APCD是平行四邊形時，ABOR的值為 .
19.如圖,在△ABC中,AB=4 ,∠B=45°,∠C=60°.
(1) 求BC邊上的高線長.
(2) 點E為線段AB的中點, 點F在邊AC上, 連結EF,沿EF將△AEF折疊得到△PEF.
①如圖2, 當點P落在BC上時, 求∠AEP的度數.
②如圖3, 連結AP, 當PF⊥AC時, 求AP的長.
20. 已知在△ABC中, AC=BC=m, D是AB邊上的一點，將∠B 沿著過點 D 的直線折疊，使點 B 落在AC邊的點P處(不與點A，C重合)，折痕交BC邊于點 E.
(1) 特例感知 如圖1, 若∠C=60°, D是AB的中點.
求證：
(2) 變式求異 如圖2, 若 過點D作DH⊥AC于點H, 求DH和AP 的長;
(3) 化歸探究 如圖3, 若m=10, AB=12, 且當 AD=a時,存在兩次不同的折疊，使點 B 落在 AC 邊上兩個不同的位置，請直接寫出a的取值范圍.
B.
解析: ∵∠B=36°, ∠BAC=90°, ∴∠C=54°,
∵點D是BC中點, ∴AD=CD, ∴∠DAC=∠C=54°,
∵△ADF≌△ADC, ∴∠DAF=∠DAC=54°,
∴∠EAF=108°-90°=18°, 又∠F=∠C=54°,
∴∠AEF=108°, ∴∠BED=108°, 故選 B.
B.
解析：在對稱前后圖形中找相等角. 在平行四邊形ABCD中, AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBF,
根據折疊可得∠ADB=∠FDB, ∴∠DBF=∠FDB,
又∠DBF+∠FDB=∠CFD=40°, ∴∠DBF=∠FDB=20°,
∴∠ABC=∠ABD+∠FBD=68°, ∴∠E=∠A=112°,
故選 B.
A.
解析：根據圖形位置的特殊性，尋找隱含條件.
根據點 Q在EF上且∠BQP=90°, ∴BA=BP,
∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30°,
∵BC=4 , ∴PC=4, PB=8,
∴AB=8, 故選 A.
解析: ∵A'B=AB=2BM , ∴∠BA'M=60°, 即BE的長為
解析: ∵A'B=2EB, ∴∠BA'E=30°, ∴∠A'BE=60°,
∴∠ABM=∠A'BM=30°, ∵EN=1,
又
故選 B.
解析: 過點E作EH⊥BC交BC于H點, ∵∠ADB=60°,∴∠ADC=120°, ∠BDE=60°, ∴DH= DE= 故點 E到直線BD的距離為
D.
解析: 由題意得: ∠BAE=∠CAE=∠ECA=30°,∴AC=2AB=6, 故選 D.
解析: ∵AG=2, AE=1, ∴EG=
2
解析: △A B D≌△A CD, ∴∠ADE=30°, 且點A 是BC中點，
故AB的值為2
或 或4
解析: 若∠ABE=30°, 則
若∠ABA'=30°, 則∠ABE=15°, 由 得
若∠AEB=30°, 則.
綜上，AE的長為 或 或4 cm.
2
解析: ∵∠1=67.5°, ∴∠KEG=67.5°, ∠KEF=45°,∵∠2=75°, ∴∠KFH=75°, ∠KFE=30°,過點K作KP⊥BC交BC于P點,
設KP=x, 則. 解得x=1, 故BE=KE= , CF=KF=2,
故BC的長為
2. D.
解析: 如圖, 易證AM=DN=4, MG=HN= 故選D.
32C.
解析：顯然連接OC，通過特殊角求得C點坐標.
連接OC交AB于點D, 則OC⊥AB,
∴∠BOC=∠OAB=30°,
過點C作 CH⊥y軸交y軸于 H點, 則(CH= , OH=3,∴C點坐標為( , ), 故選C.
解析: 求tan∠HAP的值, 構造包含∠HAP 的直角三角形.連接BP, ∵HA=HP=HB, 可證∠APB=90°,
由對稱性質可知: BP⊥HC,∴AP∥HC,∴∠HAP=∠BHC,
C.
解析：可以考慮構造包含CF的直角三角形.
連接DF, 則DF⊥AE, 垂足記為M, 則M是DF中點,
又點E是DC中點, 故ME是FC邊中位線, ∴DF⊥FC,
由AD·DE=AE·DM , 得:
勾股定理得：
故選C.
B.
解析: ∵點G是DE中點, 且△ADG的面積是2, 由折疊可知BE⊥AD, 又BF=2,∴AD=4, ∴DF=1, ∴面積法可得點F到BC的距離為 ∴選B.
C.
解析：由對稱的性質可得 EF⊥BG，故結論①正確；∵BG⊥平分EF, ∴GE=GF, 故結論②正確;
∵BG平分∠EGF, ∴GK不是△DHG的中線, 故△GDK和△GKH面積不等，結論③錯誤；
當F和點C重合時, ∠BFG=150°, ∴∠DEF=∠BFE= 故結論④正確； 綜上，選C.
.解析: (1) ∠PAQ=30°;
(2) 若四邊形APCD是平行四邊形，
則
19. 解析: (1) 過點 A 作 AH⊥BC 交 BC 于點 H, 可得 ∴BC邊上的高線長是4.
(2)①連接AP交EF于點O, 則點O是AP 中點, 若點 P在BC邊上,則EF∥BC,∴∠AEF=∠B=45°,∴∠AEP=90°.②若 PF⊥AC, 則∠AFE=45°, ∴△AEF∽△ACB,
20. 解析: (1) 若∠C=60°, 則△ABC是等邊三角形,
∵D 是 AB 中點, ∴DP=DB=DA, ∴△ADP 是等邊三角形, 即
可證△ADH∽△ABC,
∴HP= ,∴AP=3 或
(3) 折疊后當點 B 與點 A 重合時, a最小(∵不與點A 重合, 取不到); 當DB⊥AC時, a最大(取不到). 可得a的取值范圍是

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