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第1節(jié) 將軍飲馬
前言： “白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩. 而由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，稱為“將軍飲馬”問題.
1 模型認識.
問題描述：如圖，將軍在圖中點A 處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營，問：將軍怎么走能使得路程最短
問題簡化：如圖，在直線上找一點 P使得 PA+PB 最小
問題解決：作點A關(guān)于直線的對稱點A'，連接PA'，則PA'=PA, 所以PA+PB=PA'+PB .
當A'、P、B三點共線的時候, PA'+PB=A'B , 此時為最小值.(兩點之間線段最短)
思路概括
作端點(點A 或點B)關(guān)于折點(上圖P點)所在直線的對稱，化折線段為直線段. 根據(jù)“兩點間線段最短”可得最小值.
引例1：在平面直角坐標系中，點A坐標是(0，1)，點B坐標是(3, 2), 在x軸上取一點 P, 使得 PA+PB 最小, 則點P坐標是 .
解析：作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B，與x軸的交點即為所求點 P.
由題意得點A'坐標為(0, -1),
∴直線A'B的解析式為y=x-1, 與x軸交點為 (1, 0),
∴PA+PB 最小時, 點 P的坐標是(1, 0).
模型拓展除了基本的模型之外，我們也可以利用類似的理論構(gòu)造類似的圖形. 可用于求最值的定理有：
①兩點之間線段最短；
②點與直線的連線中，垂線段最短；
(1) 點-點: 一定兩動
在OA、OB 上分別取點M、N, 使得△PMN周長最小.
分析：此處M、N均為折點，分別作點 P關(guān)于 OA (折點 M所在直線)、OB (折點N所在直線) 的對稱點，化折線段 PM+MN+NP為P'M+MN+NP", 當P'、M、N、 P"共線時, △PMN周長最小.
引例2: 如圖, 點P 是∠AOB 內(nèi)任意一點, ∠AOB=30°,OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值是 .
解析: △PMN周長即PM+PN+MN的最小值, 此處M、N均為折點, 分別作點 P關(guān)于OB、OA 對稱點P'、P",化PM+PN+MN為P'N+MN+P"M.
當P'、N、M、P"共線時, 得△PMN周長的最小值,即線段P'P"長, 連接OP'、 OP",可得△OP'P"為等邊三角形，∴P'P"=OP'=OP=8.
【思考】∠AOB還可以是多少度
點-點：兩定兩動
在 OA、OB 上分別取點M、N使得四邊形 PMNQ的周長最小.
分析: 考慮 PQ是條定線段, 故只需考慮 PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點 P、Q關(guān)于OA、OB對稱, 化折線段 PM+MN+NQ為P'M+MN+NQ', 當P'、M、N、Q'共線時, 四邊形 PMNQ的周長最小.
引例3：在平面直角坐標系中，點P坐標是(1，3)，點Q坐標是(4,2),分別在y軸、x軸上取點M、N,則四邊形PMNQ周長的最小值是 .
解析: 考慮到PQ 是定值, ∴只需 PM+MN+NQ 的值最小即可. 作點P關(guān)于y軸的對稱點P',坐標是 (-1, 3),作點Q關(guān)于x軸的對稱點Q',坐標是 (4, -2).
連接P'Q', 與y軸、x軸交點即為M、N,此時四邊形 PMNQ的周長最小，
最小值為
(2) 點-線：點與直線的連線中，垂線段最短在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小.
分析：此處M點為折點，作點P關(guān)于OA 對稱的點P'，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P'M+MN, 即過點P'作OB垂線分別交OA、OB于點 M、N, 即可得 PM+MN最小值.
引例4: 如圖, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3, BC=4,AD 平分∠BAC, 分別在 AD、AC上取點 M、N, 連接 CM、MN, 則CM+MN的最小值是 .
解析：∵AD是角平分線，∴點N關(guān)于AD的對稱點N'在線段AB上, 連接MN', 有CM+MN=CM+MN',考慮到M、N皆為動點，∴過點C作AB的垂線，與AD、AB交點即是M、N', 此時CM+MN'最小.
最小值CN'即 Rt△ABC斜邊高線長, 即 ∴CM+MN 的最小值為
(3) PA-PB型：三角形兩邊之差小于第三邊在直線l上取點 P使得PA-PB 最大.
分析：PA-PB 型一般求最大值，且A、B初始位置在折點所在直線(上圖中l(wèi)) 兩側(cè)，與PA+PB型不同.
作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，
則PA-PB=PA-PB'≤AB',
當A、B'、P共線時, 此時PA-PB=AB'最大.
引例5:如圖, 在正方形ABCD中, AB=8,AC與BD交于點O, N是AO的中點, 點M在BC邊上,且BM=6. P 為對角線 BD 上一點, 則PM-PN 的最大值為
解析：作點M關(guān)于BD的對稱點M'，根據(jù)對稱性可知M'在AB上且AM'=2, 連接PM', 則PM'=PM,
∴PM-PN=PM'-PN≤MN,
當M'、N、P共線時,此時PM'-PN=M'N, 取到最大值.
∵△NAC= =M B, ∴△AMN∽△ABC,
即△AMN是等腰直角三角形，
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3 平移型將軍飲馬
(1) 造橋選址
問題描述：已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短
分析：考慮MN長度恒定，只要求AM+NB 最小值即可. 問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得 M、N重合，此時A點落在A'位置.
問題化為求A'N+NB最小值, 顯然, 當A'、N、B三點共線時，值最小，并可得N點位置，即可確定橋的位置.
思路概括
當兩條線段分離時，可通過平移，將其化成共端點的折線段，求最值問題即是常規(guī)將軍飲馬問題.
(2) 將軍遛馬
問題描述：如圖，將軍在A點處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路(長度為定值)，再返回軍營，問怎么走路程最短
問題簡化：已知A、B兩點，MN長度為定值，確定 M、N位置使得AM+NB值最小
分析: 將AM平移使M、N重合, AM=A'N, 將AM+BN轉(zhuǎn)化為A'N+NB.
構(gòu)造點A關(guān)于 MN的對稱點A"，連接A"B，可依次確定 N、M位置，可得路線.
引例6：如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B .在原點, 點A、C在坐標軸上, 點D的坐標為(6, 4), E為CD的中點, 點 P、Q為BC邊上兩個動點, 且PQ=2,要使四邊形APQE的周長最小，則點 P 的坐標應(yīng)為 .
解析: 考慮PQ、AE為定值, ∴只需AP+QE最小即可,如圖, 將AP平移至A'Q, 考慮A'Q+QE最小值.∵PQ=2, ∴AA'=2, 即點A'的坐標為(2, 4),作點A'關(guān)于 x軸的對稱點A", 則點A"坐標為(2, - 4),連接A"E ，與x軸交點即為Q點.
又點E坐標為(6，2)，可得直線A"E解析式為 解方程 得 ∴點Q坐標為 左移2個單位即為點 P，∴點P坐標為( ,0).
問題設(shè)計
解題思路：作端點關(guān)于折點所在直線的對稱.
題型總結(jié)：為了便于構(gòu)造對稱，通常將軍飲馬問題存在于角平分線、等腰(邊) 三角形、正方形中，折點所在直線通常為對稱軸，直接作對稱即可.
變式分析：(1) 非軸對稱圖形確定對稱點的位置；
(2) 確定折點所在直線.
(1) 非軸對稱圖形確定對稱點的位置
引例7: 如下左圖, 在等邊△ABC中, AB=6, N為AB上一點且 BN=2AN, BC的高線AD 交 BC于點 D, M是AD上的動點, 連結(jié) BM、MN, 則 BM+MN的最小值是 .
變式: 如上右圖, 在 Rt△ABD中, AB=6, ∠BAD=30°,∠D=90°,N為AB上一點且BN=2AN, M是AD上的動點,連結(jié)BM、MN, 則BM+MN的最小值是 .
解析：M點為折點，作B點關(guān)于AD的對稱點，即C點，連接CN，即為所求的最小值. 過點 C作AB 垂線，利用勾股定理求得CN的長為2
變式：對稱點并不一定總是在已知圖形上，補出圖形，可得BM+MN最小值為2
(2) 確定折點所在直線
引例8:如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,動點 P 滿足 則點 P 到A、B兩點距離之和 PA+PB的最小值為( )
C. 3
解析：由 可作出 P 點軌跡為直線 MN(AM=BN=2), 作點B 關(guān)于 MN的對稱點B', 化折線PA+PB為PA+PB'. 當A、P、B'共線時, 取到最小值,選A.
真題演練
1. 如圖, 在 Rt△ABO中, ∠OBA=90°,A(4, 4), 點C在邊AB上, 且AC: CB=1: 3, 點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA 上移動時，使四邊形 PDBC周長最小的點 P 的坐標為( )
A. (2, 2)
D. (3,3)
2. 如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點 D 在 BC 上, BD=3, DC=1, 點 P 是 AB 上的動點, 則PC+PD的最小值為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 如圖, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=6. AB=12, AD平分∠CAB,點F是AC的中點, 點E是AD上的動點, 則CE+EF 的最小值為( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 2
4. 如圖, 在銳角三角形ABC中, BC=4,∠ABC=60°, BD平分∠ABC, 交AC于點 D, M、N分別是BD、BC上的動點, 則 CM+MN的最小值是( )
A. B. 2 C. 2 D. 4
5. 如圖, 正方形ABCD的邊長是4, M在DC上, 且DM=1，N是AC邊上的一動點，則△DMN周長的最小值是
6. 如圖,在菱形ABCD中, E是BC的中點, P、M分別是AC、AB上的動點,連接PE、PM, 則PE+PM的最小值是( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5
7. 如圖, 在Rt△AOB中, ∠AOB=90°,OA=3,OB=4, 以點O為圓心,2為半徑的圓與OB交于點C, 過點 C作 CD⊥OB交AB于點 D, 點 P 是邊 OA 上的動點. 當PC+PD最小時, OP 的長為( )
A. B. C. 1 D.
8. 如圖, 在矩形ABCD中, BC=10,∠ABD=30°,若點 M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點,則AM+MN的最小值為 .
9. 如圖, 在扇形BOC中, ∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于點D，點E為半徑OB上一動點.若OB=2，則陰影部分周長的最小值為 .
10. 如圖, 矩形 ABOC的頂點A 的坐標為(-4, 5), D是OB的中點, E是OC上的一點, 當△ADE的周長最小時，點E的坐標是 ( )
A.〔0,43〕 B. (0,5)
C. (0,2) D. (0, ）
11. 如圖, 矩形 ABCD 中, AB=10, BC=5,點E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上,且AE=CG,BF=DH,則四邊形 EFGH周長的最小值為( )
A. 5 B. 10 C. 10 D. 15
12. 如圖, 在正方形ABCD中, 點E, F將對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是 ( )
A. 0 B. 4 C. 6 D. 8
13. 如圖, ∠AOB=60°, 點P是∠AOB內(nèi)的定點且( 若點M、N分別是射線OA、OB 上異于點O的動點，則△PMN周長的最小值是 ( )
C. 6 D. 3
14. 如圖, 在直角坐標系中, 點A (1, 1),B(3，3) 是第一象限角平分線上的兩點，點C的縱坐標為1, 且 CA=CB, 在y軸上取一點 D, 連接AC、BC、AD、BD，使得四邊形 ACBD 的周長最小，這個最小周長的值為
15. 如圖,∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合, 點 P 是 OA 上的一動點, 點N(3, 0) 是OB 上的一定點, 點M是ON的中點, ∠AOB=30°, 要使 PM+PN最小,則點 P 的坐標為 .
16. 如圖, 已知正比例函數(shù)y= kx (k>0) 的圖像與x軸相交所成的銳角為70°, 定點A的坐標為(0, 4), P為y軸上的一個動點，M、N為函數(shù)y= kx(k>0) 的圖像上的兩個動點, 則AM+MP+PN的最小值為 .
17.如圖, 已知拋物線 與直線 交于A、B兩點, 交x軸于 C、D兩點, 連接AC、BC, 已知A(0, 3), C(-3, 0).
(1) 求此拋物線的解析式；
(2)在拋物線對稱軸l上找一點M，使|MB-MD|的值最大，并求出這個最大值.
18. 如圖，拋物線 與x軸交于點A(-2,0),B (4, 0), 與y軸交于點 C, 頂點 D.
(1) 求拋物線的解析式和頂點 D的坐標；
(2) 動點 P、Q以相同的速度從點 O 同時出發(fā)，分別在線段OB、OC上向點B、C方向運動, 連接CP、DQ, 請直接寫出CP+DQ的最小值.
19. 如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l 同側(cè)的 A、B兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃氣. 試確定燃氣站的位置，使鋪設(shè)管道的路線最短.
(1) 如圖②, 作出點A 關(guān)于l的對稱點A', 線段A'B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的.
為了證明點C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點C', 連接AC'、 BC', 證明AC+CB(2)如果在A、B兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)，燃氣管道不能穿過該區(qū)域. 請分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案(不需說明理由).
①生態(tài)保護區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；
②生態(tài)保護區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.
第1節(jié) 將軍飲馬
1.C.
解析：點D 關(guān)于折點P 所在直線OA 的對稱點D'，可得D'坐標是 (0, 2), 直線CD'解析式為 又直線OA 解析式為y=x, 聯(lián)立方程: 解得： 故點P坐標 故選 C.
2.解析：作點C關(guān)于P點所在直線AB的對稱點C'，當C'、P、D共線時, PC+PD 最小, 最小值為5, 故選B.
3C.
解析：作點C關(guān)于AD的對稱，對稱點C'在AB上且在AB中點, 化折線段CE+EF為C'E+EF, 當C'、E、F共線時得最小值， 故選C.
4C.
解析：作點N關(guān)于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN'. 因為M、N皆為動點, 所以過點C作AB的垂線，可得最小值，選C.
5解析：作點D關(guān)于AC的對稱點，即點B，連接BN交AC于點N，此時△DMN周長最小， ∴周長最小值為6.
6.C.
解析：作點M關(guān)于AC的對稱點M'，恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM'. 當E、P、M'共線時, EP+PM最小，最小值即為菱形的高，可用面積法：
代入解得： 故選C.
7.B.
解析：延長BO 交圓于點 M，連接MD，與AO交點即為所求P點, ∵點C是OB中點, ∵P、O分別是MD、MC中點, 即OP的長為 , 故選B.
8. 15.
解析: 如圖,作射線BP 使得∠DBP=30°, 則點N關(guān)于 BD的對稱點N'在射線 BP 上，過點 A 作 BP 的垂線，垂足記為AM+MN 最小值時的點N', ∵BC=10, ∴ AB=10 AN'=15, ∴最小值為15.
9.
解析: 作點D關(guān)于OB的對稱點D', 連接CD', 則CD'的長即為CE+DE的最小值,連接OD', ∵∠BOC=60°, 且OD平分∠BOC,∴∠COD'=90°,∴CD'=2 ，故陰影部分周長的最小值是
10. B.
解析：作點 D 關(guān)于y軸的對稱點D'，坐標為(2，0) 連接AD，與y軸交點即為所求 E 點. 由題意得直線AD'解析式為 故點 E坐標為(0. ),故選B.
11 . B.
解析：考慮到四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF最小值，此處E為折點，作F關(guān)于AB對稱點F'，則BF'=BF=DH=CM, ∴MF'=BC=5, MH=DC=10, 周長最小值為10 , 故選B.
12. D.
解析：考慮在AD上任取一點P，所得PE+PF的最小值和最大值. 先求PE+PF最小值：作點E關(guān)于直線AD 的對稱點E', 連接PE'、 AE', 則PE+PF=PE'+PF , 當E'、
P、F共線時，取到最小值，此時
顯然
PE'+PF>9, ∴在AD上存在兩個點P使得PE+PF=9,在正方形的邊上有8個這樣的點 P，故本題選D.
13.D.
解析：此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA的對稱點P'、P", 化△PMN周長為P'N+MN+MP". 當P'、N、M、P"共線時, 得最小值, 利用60°角翻倍得∠P'OP"=120°, OP'=OP"=OP , 可得△PMN周長最小值為 故選D.
14.
解析：由題意可得點C坐標為(3，1) 求四邊形ACBD周長最小值，即當AD+BD 最小時，周長最小，作點A關(guān)于y軸的對稱點A', 連接A'B, A'B 的長即AD+BD的最小值, 為2 ，∴四邊形周長最小值為
15.
解析：作點M關(guān)于OA的對稱對稱點M'，連接PM'，化PM+PN為PM'+PN . 當M'、P、N共線時, 得最小值,又∠M'ON=60°且ON=2OM', 得∠OM'N=90°,
直線NP解析式為
聯(lián)立方程 解得：
點P坐標為
16. 2
解析：先考慮 M為折點，作點P關(guān)于OM對稱點P'，化AM+MP+PN為AM+MP'+P'N , 此處P'為折點, 作點N關(guān)于OP'對稱點N', 化AM+MP'+P'N為
AM+MP'+P'N', 當A、M、P'、N'共線且AN'⊥ON'時，值最小，最小值為
17.解析: (1) 解析式:
(2) 連接MC, 則MC=MD, 故問題可轉(zhuǎn)化為|MB-MC|的最大值. 如圖當B、C、M三點共線時， 為最大值.
18.解析：(1) 拋物線解析式： 頂點D的坐標為
(2)作點D關(guān)于y軸的對稱點 D',!則DQ=D'Q,又CP=QB,∴CP+DQ=D'Q+QB, ∴當D'、Q、B共線時, 可得最小值為
解析: (1) 連接A'C',則 ∴AC+CB(2) 當生態(tài)保護區(qū)是正方形時，最短路線是 AM+MN+NB；當生態(tài)保護區(qū)是圓時,最短路線是AM+MN+弧NP+PB.(MN、BP 均與圓相切)

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