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第2節 胡不歸問題
前言：求“PA+k·PB”型最值問題是一類常見問題，通常分為“胡不歸”和“阿氏圓”，也可以說動點在直線上(胡不歸)或圓上(阿氏圓)，此類問題的關鍵點在于轉化k·PB=PC，從而將問題化為PA+PC的最值，選取恰當的點P，解決問題.
模型介紹
故事背景：從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家. 根據“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A 到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭. 鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸 胡不歸 …” (“胡”同“何”, 意同“咋還不回來呢”)
而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家
模型建立：如圖，動點 P在直線MN外的運動速度為V ，在直線 MN 上運動的速度為V ，且V 問題分析：
記
即求BC+k·AC的最小值.
模型總結
作圖：構造射線AD使得 即CH=k·AC.
分析: 將問題轉化為求 BC+CH 最小值, 過 B 點作 BH⊥AD 交 MN于點 C, 交AD于H點, 此時 BC+CH取到最小值, BH的值即BC+k·AC的最小值.
思考：像上面這個例子求“BC+k·AC”最小值，涉及一個動點兩條線段，通過轉化k·AC=CH 解決問題.
轉化k·AC的原因不是k·AC帶系數，而是AC是一條方向不變的線段，當方向不變時，方能構造恰當的角度α滿足sinα=k.
將k·AC轉化為一條垂線段長，且此類問題中的 k 滿足0若本題求“AC+m·BC最小值”, 需提出m, 將問題化為求 最小值，因為方向變化的 BC無法構造合適的k·BC.
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引例:如圖,△ABC中,AB=AC=10, tanA=2,BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則 的最小值是 .
解析：本題關鍵在于處理 考慮tanA=2,△ABE三邊之比為 ∴作DH⊥AB交AB于H點, 則
問題轉化為 CD+DH 最小值, 故 C、D、H 共線時值最小，此時(
變式1：本題巧妙在于 不再需要構造夾角，若稍作改變，將圖形改造如下：
則需自行構造α，如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問題關鍵所在.
變式2：若將問題變成“求 的最小值”.
首先明確，肯定不是轉化 CD,
其一在于 無從下手；
其二在于 CD是一條方向變化的線段，無法構造固定夾角構造k·CD.
正解：提出 即可，
真題演練
1. 如圖,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6, BC=2, P為邊 CD上的一動點, 則 的最小值等于 .
2. 如圖,在△ABC中, ∠A=90°, ∠B=60°,AB=2, 若 D 是 BC 邊上的動點, 則 2AD+DC 的最小值為
3. 如圖，已知拋物線 (k為常數，且k>0)與x軸從左至右依次交于A、B兩點，與y軸交于點 C，經過點B的直線 與拋物線的另一交點為D.
(1) 若點 D的橫坐標為-5，求拋物線的函數表達式；
(2)在(1)的條件下，設F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF，一動點 M從點A 出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到 F，再沿線段 FD 以每秒2個單位的速度運動到 D 后停止，當點 F 的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少
4. 如圖，在直角坐標系xOy中，已知直線 與x軸交于點A，與y軸交于點B，過A、B兩點的拋物線 與 x軸交于另一點 C (-1, 0).
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 點M為直線AB下方拋物線上一點，點N為y軸上一點，當△MAB的面積最大時，求 的最小值.
5.如圖, 已知拋物線 與x軸交于A(-1, 0), B(5,0) 兩點, C為拋物線的頂點,拋物線的對稱軸交x軸于點D，連結BC，且
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 設P是拋物線的對稱軸上的一個動點. 連結PB，求 的最小值.
6.拋物線 與x軸交于點A、B(點A在點B的左邊)，與y軸交于點 C. 點P是直線AC上方拋物線上一點， 軸于點F，PF與線段AC交于點E. 將線段OB沿x軸左右平移，線段OB 的對應線段是 當 的值最大時，求四邊形PO B C周長的最小值，并求出對應的點 的坐標.
7. 在平面直角坐標系中，將二次函數 的圖像向右平移 1 個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B(點 A 在點 B 的左側), OA=1, 經過點 A 的一次函數y= kx+b (k≠0) 的圖像與y軸正半軸交于點 C, 且與拋物線的另一個交點為D，△ABD的面積為5.
(1) 求拋物線和一次函數的解析式；
(2) 若點 P為x軸上任意一點，點E坐標為 求 的最小值.
8.在平面直角坐標系中，拋物線 與x軸交于點A (-3, 0)、B (1, 0), 交y軸于點N，M為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點 C.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 如圖1，連接AM，點E是線段AM上方拋物線上一動點, EF⊥AM于點 F, 過點 E作EH⊥x軸于點 H, 交AM于點D.點P是y軸上一動點，當EF取最大值時：①求 PD+PC的最小值;
②如圖2，Q點為y軸上一動點，請直接寫出 的最小值.
第2節 胡不歸問題
1. 3
解析：作PH⊥AD延長線于 H點，即可得 直接過點 B 作 AD 的垂線，垂線段長即為 的最小值，最小值為 最小值為3
6.
解析: 過點 D 作DH⊥AC交AC于點 H, 則 即求AD+DH最小值即可. 作CA關于CB的對稱CA', 過點A作AQ⊥CA'交CA'于點Q,則AQ的長即為AD+DH的最小值,∵AB=2,
3.解析: (1) A (-2, 0), B (4, 0), 直線解析式為 D點坐標為(-5,3 )，故拋物線解析式為 化簡：
(2) 點M運動的時間為 即求 的最小值. 如何構造 考慮 BD與x 軸夾角為30°, 且DF 方向不變, 故過點D作DM∥x軸, 過點 F作 FH⊥DM交DM于H點，則任意位置均有
當A、F、H共線時取到最小值，此時點F坐標為(-2，2 ).
解析:(1)由題意得點A 坐標為(4,0),點B坐標為(0,-2), 可得拋物線解析式為y=a(x+1)(x-4),將點B(0,-2) 代入得: ∴拋物線解析式為
(2) 設M點坐標為 過點M作MD⊥x軸交AB于點D，則D點坐標為
當m=2時, MD取到最大值,即△MAB 的面積取到最大值, 此時點M坐標為(2, - 3),取點 G(- ,-3)連接 OG 則∠BOG=30°, 過點 N作 NH⊥OG, 則 當M、N、H共線時, 取到最小值， 又 的最小值為
5. 解析: (1) 由題意可得點 D (2, 0), 點C(2, 4), 設函數解析式為y=a(x+1)(x-5),將點C(2,4)代入得: ∴二次函數解析式為
(2)過點P作PH⊥AC,根據 可得 當B、P、H共線時，取到最小值，∵AB=6，由三角函數可得最小值為 的最小值為
解析：根據拋物線解析式得A(-3 ,0)、B( ,0)、C(0, )，直線AC的解析式為： 可知AC與x 軸夾角為30°. 過點 E 作 EH⊥y軸交y軸于 H點, 則∠CEH=30°, 故 轉化為PE+CH何時取到最小值.
考慮到 PE于 CH并無公共端點，故用代數法計算，設 則 當P點坐標為((-2 , 時， 取到最大值，平移型將軍飲馬問題，可得B 坐標是 點O 坐標是 四邊形周長最小值為
解析：(1)由題意得二次函數解析式為 將(-1,0)代入得 ∴拋物線解析式為 可得點 B坐標為(3, 0), ∴AB=4, 又△ABD的面積是5, 代入解析式得： 解得：x =4, (舍),∴D 點坐標是(4,ξ),
直線解析式為
(2)連接AE，可得AE解析式為 過點 P作 PH⊥AE 交AE 于點 H, 則 問題轉化為 PE+PH最小值，作點 E關于x軸對稱的直線E'，過點E'作AE 的垂線，垂線段長即為 的最小值， 又 的最小值是3.
解析：(1) 解析式為
(2)EF最大即 ED最大,由題意可得點M坐標為(-1,4),又點A (-3, 0), 故直線AM解析式為: y=2x+6,設點E坐標為 則點D坐標為(m,2m+6),
當m=-2時，可得ED的最大值為1，此時點D坐標為(-2, 2).
∵點C坐標為(-1, 0), 點B (1, 0), 即B、C關于y軸對稱, 連接PB, 則PB=PC, ∴PD+PC=PD+PB≥DB,當D、P、B共線時，可得最小值 即PD+PC最小值為
(3) 作直線 l: 過點 Q 作 QG⊥直線 l, 則
構造三垂直相似:△OKG∽△GLD,設OK=x,則 解得： 的最小值為

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