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第3節 阿氏圓問題
前言：阿波羅尼奧斯是古希臘著名數學家，圓錐曲線集大成者，創造性地提出了圓的另一種定義方式：平面中到兩定點距離之比是定值的所有點的集合叫做圓. 由此取名“阿氏圓”，其中 可轉化為PA=k·PB,即可將k·PB轉化為PA.通常涉及求到求“PA+k·PB”最值且動點P的軌跡是圓，即為“阿氏圓”問題.
1阿氏圓剖析
(1) 定義: 如圖, 已知 A、B 兩點, 點 P 滿足PA:PB=k(k≠1)，則滿足條件的所有的點 P構成的圖形是圓.
(2) 證明：角平分線定理與輔助圓
①內角平分線定理: 如圖, 在△ABC中, AD 是∠BAC的角平分線，則
證： 即
②外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點 D，則
證：
即
③證明: 如圖, PA:PB=k, 作∠APB的角平分線交 AB于M點，根據角平分線定理， 故M點為定點，即∠APB的角平分線交AB于定點.
作∠APB外角平分線交直線AB于N點，根據外角平分線定理， 故N點為定點，即∠APB外角平分線交直線AB于定點.
(定邊對直角)，
∴P 點軌跡是以MN中點O為圓心，MN為直徑的圓. 性質與應用
(1) A、B、M、N、O五點共線且A、B分別在圓內外.
(2) 定義得相同比例：
應用：根據點A、B的位置及k的值可確定M、N及圓心O，反之，若已知A、B其中一點、k及圓O，可求得另一點.
(3)△OBP∽△OPA,(可證∠OPB=∠OAP得相似)
即
應用：已知圓心、半徑和A、B其中一點，可求A、B另外一點位置.
2 問題設計
(1) 已知A、B求圓軌跡.
引例1: 如圖, 在坐標系中, 點A(-1, 0), 點B (3, 0),P是平面中一點且PA：PB=3：1，求P 點軌跡圓圓心坐標.
解析：由阿氏圓性質1和性質2，可得：
取 M (2, 0) 滿足 MA: MB=3: 1,
取N(5, 0)滿足NA: NB=3: 1,
∴點P軌跡圓圓心坐標為MN中點( , ).
取點P所在的特殊位置來確定M、N位置，即可得軌跡圓圓心.
(2) 已知圓軌跡求點A或B.
引例2: 如圖, 已知在坐標系中, 點A(-1, 0),P是以點(2,0)為圓心， 為半徑的圓，平面中求一點 B 使得PA:PB=3:1, 求B點坐標.
思路1：巧用阿氏圓性質1和性質2.
當P 點運動到 M 點位置時, 有 MA: MB=3: 1,考慮到A(-1, 0)、M(2, 0), 可得MB=1,考慮到A、M、B共線且B 點在圓內，可得B 點坐標為(3, 0).
且可由 NA: NM=3: 1檢驗點B的正確性.
思路2：由性質3構造“母子型”相似.
考慮 將 代入可得： 故B 點坐標為(3, 0).
以上兩個引例是對阿氏圓性質的運用，我們可以由阿氏圓定義畫圓，也能在已知圓的前提下，確定那兩個定點其中之一. 但這兩種問題都不會出現在試卷上，那阿氏圓如何考 如何與最值相聯系
(3) 最值問題的設計
引例3: 在坐標系中, 點A (-1, 0), P是以點o / 。為圓心， 為半徑的圓, Q (2, 2), 求 的最小值.
解析：關鍵在于處理 PA，考慮到P點軌跡是個圓，且要構造 PA，必然是：平面中存在一點 B 使得 P 在圓上任意位置，均滿足： 即有
逆用“阿氏圓”，給出圓和A點位置以及比值k，求另一點B的位置，即可將問題化為求PQ+PB的最小值.
由引例2得滿足這樣條件的點B坐標是(3，0)，
∴最小值是
模型總結 在阿氏圓模型中， 有如下量： (1) 兩定點A、B; (2)“PA+k·PB ”問題中的“k”; (3) 一個定圓. 解題思路： 根據阿氏圓性質在平面中確定一點 C， 使得PC=k·PB, 將問題轉化為PA+PC的最值. 關鍵在于如何確定C點的位置 思路1： 利用P點在 B、P、O共線的特殊位置； 思路2： 利用阿氏圓模型中存在的相似三角形. 即可確定點 C坐標.
(4) 比例系數的分析
引例4: 如圖, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=4, BC=3,以點C為圓心，2為半徑作圓，分別交AC、BC于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則 的最小值為
解析：點M與A、C共線，且M點必滿足：( 代入CP、CA, 即可得: 2 =4·CM, 得: CM=1,即可確定M點位置， ∴最小值為
思考1：這里為什么是
答：因為 Rc=2, CA=4, Rc/α= , ∴△CMP 與△CPA的相似比為 即有 也只能構造 PA.
思考2：如果問題是求 PA+kPB 最小值，k應為多少
答：根據
1. 如圖, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=12, AC=9, 以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D. 連接AD、BD、CD, 則2AD+3BD的最小值是 .
2. 如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P 是圓B上的一個動點，則 的最大值為 .
3. 如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-5x+5與x軸、y軸分別交于A、C兩點, 拋物線 經過A、C兩點，與x軸的另一交點為B.
(1) 求拋物線解析式及B 點坐標；
(2)如圖2，若P點是半徑為2的圓B上一動點，連接PC、PA，當點 P 運動到某一位置時， 的值最小，請求出這個最小值，并說明理由.
第3講 阿氏圓問題
1.
解析： ∴求 最小值即可. 考慮到D點軌跡是圓，A是定點，且要求構造 AD.當D 點運動到AC邊時, DA=3, 此時在線段CD上取點M使得DM=2，則在點D 運動過程中，始終存在 ，∴最小值為
5.
解析：當P 點運動到 BC邊上時，此時 PC=2，根據題意要求構造 PC, 在 BC上取M使得此時PM=1, 則在點P運動的任意時刻，均有 從而將問題轉化為求PD-PM 的最大值.連接PD,對于△PDM, PD-PM解析：(1) 拋物線解析式： 點B坐標為(5, 0);
(2) 取點D (4, 0) 滿足
即最小值為

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