資源簡介

第9節 費馬點問題
前言：在上一節共點旋轉問題中，我們發現，可以通過構造旋轉，改變幾何圖形中線段的位置，由新的位置關系得到線段之間的數量關系，而費馬點問題，完全一樣的思路.
知識導航
費馬點認識
(1)費馬點: 在△ABC 內找點 P, 使得PA+PB+PC最小.
結論: 點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則 PA+PB+PC值最小，P 點稱為該三角形的費馬點.
(2) 如何畫出費馬點
(1)如圖,分別以△ABC中的AB、AC為邊,作等邊△ABD、等邊△ACE.
(2) 連接CD、BE, 交于點P, 點P 即為費馬點.
(3) 以BC為邊作等邊△BCF, 連接AF, 必過點 P,有∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.
△ABC需滿足最大角∠BAC<120°,若∠BAC≥120° ,則如下圖，此時點A 即為△ABC的費馬點.
費馬點證明
求最小值可以考慮：兩點之間線段最短. 需要考慮如何能改變 PA、PB、PC的位置，使其能形成共線的情況，方法是構造旋轉！
以下給出證明：
∵∠APB=120°, ∴∠APE=60°,如下左圖, 在PE邊取點Q使得PQ=AP,則△APQ是等邊三角形.
∴△APC≌△AQE, PC=QE.
∴PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE,BE的長即為PA+PB+PC的最小值.
中小學教育資源及組卷應用平臺
作為對比，如上右圖，在三角形ABC內任取一點P，作同樣構造, 顯然, PA+PB+PC=BP+PQ+QE>BE.
費馬點求值
在上面的證明中可得 PA+PB+PC的最小值即為BE ，且BE=AF=CD.
引例1:問題背景: 如圖1, 將△ABC繞點A逆時針旋轉 60°得到△ADE, DE 與 BC 交于點 P, 可推出結論: PA+PC=PE.
問題解決: 如圖2, 在△MNG中, MN=6, ∠M=75°, MG=4 , 點O 是△MNG 內一點, 則點O 到△MNG三個頂點的距離和的最小值是 .
解析: 以 MG為邊作等邊△MHG, 連接NH, 則NH的長即為點O到三個頂點距離之和的最小值.
過點H作HQ⊥NM交NM延長線于Q點,
根據∠NMG=75°, ∠GMH=60°, 可得∠HMQ=45°,
∴△MHQ 是等腰直角三角形, ∴MQ=HQ=4,
真題演練
1. 如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,P是△ABC內一點, 則PA+PB+PC的最小值為 .
2. 如圖, 已知矩形ABCD, AB=4, BC=6, 點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為
3. 如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D 是 BC邊上一動點, 連接AD, 把AD 繞點 A 逆時針旋轉90°, 得到AE, 連接CE、DE. 點F是DE的中點, 連接CF.
(1) 求證:
(2)如圖2所示, 在點 D 運動的過程中, 當 BD=2CD時,分別延長CF、BA, 相交于點G, 猜想AG與BC存在的數量關系，并證明你猜想的結論；
(3) 在點 D 運動的過程中，在線段 AD 上存在一點 P，使PA+PB+PC的值最小. 當PA+PB+PC 的值取得最小值時，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長.
4. (1)【操作發現】
如圖1, 將△ABC繞點A 順時針旋轉60°, 得到△ADE, 連接BD, 則∠ABD= 度.
(2)【類比探究】
如圖2, 在等邊三角形ABC 內任取一點 P, 連接 PA、PB、PC，求證：以PA、PB、PC的長為三邊必能組成三角形.
(3)【解決問題】
如圖3，在邊長為 的等邊三角形ABC 內有一點 P，∠APC=90°, ∠BPC=120°, 求△APC的面積.
(4)【拓展應用】
如圖4 是 A、B、C三個村子位置的平面圖，經測量AC=4，BC=5, ∠ACB=30°, P 為△ABC內的一個動點, 連接PA、PB、PC. 求PA+PB+PC的最小值.
5. 小穎在學習“兩點之間線段最短”查閱資料時發現：△ABC內總存在一點 P 與三個頂點的連線的夾角相等，此時該點到三個頂點的距離之和最小.
【特例】如圖1, 點P為等邊△ABC的中心, 將△ACP繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE, 從而有DE=PC, 連接PD得到PD=PA, 同時. ∠ADP+∠ADE=180°, 即 B、P、D、E四點共線, 故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE. 在△ABC中, 另取一點 P'，易知點P'與三個頂點連線的夾角不相等，可證明B、P'、D'、E四點不共線, 所以P'A+P'B+P'C>PA+PB+PC, 即點P到三個頂點距離之和最小.
【探究】(1)如圖2, P為△ABC內一點,∠APB=∠BPC=120°, 證明PA+PB+PC的值最小;
【拓展】(2)如圖3,△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=30°,且點 P 為△ABC 內一點，求點 P 到三個頂點的距離之和的最小值.
第9節費馬點問題
1.
解析: 過點 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延長線于 H 點, 根據勾股定理， ∴最小值即為
2.
解析: 分別以AD、AM為邊構造等邊△ADF、等邊△AMG,連接FG, 可得△AMD≌△AGF, ∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
過F作FH⊥BC交BC于H點,
∴最小值為
解析: (1) 由題意可證得△ADB≌△AEC,
∴∠ACE=∠ABD=45°, ∴∠DCE=90°, ∵點F是DE中點, 即
過點G作GH⊥BC交BC于點 H, ∵CE=BD=2DC,∴GH=2HC, ∵∠B=45°, ∴GH=BH, ∴BH=2HC,∴H、D重合,設CD=a,則.
(3) 當點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時,PA+PB+PC最小, 若AP=m,
則
4. 解析: (1) ∠ABD=60°.
(2) 如圖, 以AP為邊作等邊△APQ, 連接CQ,∵∠BAC=60°=∠PAQ, ∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ, 在△APB和△AQC中,
∴△APB≌△AQC(SAS)
∴PB=QC, 又PA=PQ,
∴△PCQ即為以 PA、PB、PC的長為邊的三角形.
(3) 如圖, 由題意可得: ∠AQC=∠APB=150°,又∠AQP=∠APQ=60°,∴∠PQC=90°,∠CPQ=30°,設CQ=x,則 解得： ∴△APC的面積為
(4) 如圖, 以AC為邊作等邊△ACM, 連接BM, 則BM的長即為PA+PB+PC的最小值, ∵CM=AC=4, BC=5, 故PA+PB+PC的最小值為
解析: (1) 如圖, 作AD使得∠PAD=60°交 BP 延長線于點D, 延長PD至點E使得DE=PC, 則△ADE≌△APC, 又
△APD是等邊三角形, ∴PD=PA,
∴PA+PB+PC=BP+PD+DE=BE, 在△ABC內任取其他一點P'，同樣構造可得
∴PA+PB+PC的值最小.
(2) 如圖, 以AC為邊構造等邊△ACM, 連接BM, 則BM的值即為點P到三個頂點距離之和的最小值，∵∠ACB=30°，∠ACM=60°, ∴∠BCM=90°, 又CM=AC=6, BC=8,
故點 P 到三個頂點距離之和的最小值為10.

展開更多......

收起↑