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第10節 從全等到相似
前言：旋轉問題的探究題是近來中考題中的熱點題型之一，此類問題一般從旋轉的性質出發，探究旋轉型全等與相似.
知 識 導 航
從全等到相似
在手拉手模型中，我們可以看成是兩個相似的等腰三角形作共點旋轉，由等腰條件可得一組全等三角形.
若△ABC與△ADE非等腰，則可得到旋轉型相似.
以直角三角形為例：
如圖, Rt△ABC∽Rt△ADE, 連接BD、CE.
可得：△ADB∽△AEC，且旋轉的性質，旋轉角都相等依然成立, 如下右圖, ∠BAD=∠EAC=∠EFB.
引例1:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=6,AC=8,點 D、E 分別是邊AB、BC的中點, 連接DE, 將△BDE繞點 B 按順時針方向旋轉一定角度(小于 90°) 后，點D 的對應點D'和點 E 的對應點E'以及點 A 三個點在一直線上，連接CE', 則CE'= .
解析: ∵BE'=BE=3, AB=10,
又
由題意得: △BE'C∽△BD'A,
引例2:(1) 問題發現
如圖1, 在△OAB和△OCD中, OA=OB, OC=OD,∠AOB=∠COD=40°, 連接AC, BD交于點 M. 填空: 的值為 ; ②∠AMB的度數為 .
(2) 類比探究
如圖2, 在△OAB和△OCD中, ∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°, 連接AC交BD的延長線于點 M.請判斷 的值及∠AMB的度數，并說明理由；
(3) 拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點O在平面內旋轉,AC、BD所在直線交于點 M，若OD=1, OB= 請直接寫出當點C與點 M重合時AC的長.
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解析: (1) 由題意可證△AOC≌△BOD,
∴①∠CBD=1, ②∠AMB=∠AOB=40°.(旋轉角都相等)
(2)∵∠AOB=∠COD=90°, ∠OAB=∠OCD=30°,
又∠AOC=90°+∠AOD=∠BOD, ∴△AOC∽△BOD,
∵∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,
∴∠AMB=∠AOB=90°.
的值為 , ∠AMB的度數為90°.
(3) 如下左圖, 可證△OCA∽△ODB, 設BD=x,則AC= x, ∵OD=1, ∴CD=2,
勾股定理： 解得: x=2,
如上右圖, 由題意得: △OAC∽△OBD, 設BC=x,則 又. 解得: x=1, ∴AC=3 綜上所述，AC的長為2 或3
真題演練
1.如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內，直角頂點重合于點 C，點D在AB上，
∠BAC=∠DEC=30°, AC與DE交于點 F, 連接AE, 若BD=1, AD=5, 則
2. 如圖，正方形ABCD的邊長為5 ,點E是正方形ABCD內一點，將△BCE繞著點 C順時針旋轉90°，點E的對應點 F 和點 B、E在一條直線上，BF 與對角線 AC 相較于點G, 若DF=6, 則GF的長為 .
3. 如圖, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠B=60°, D為AB邊的中點, 連接DC過D作DE⊥DC交AC于點E.
(1) 求∠EDA的度數;
(2) 如圖2, F為BC邊上一點, 連接DF, 過D 作 DG⊥DF交AC于點G，請判斷線段CF與EG的數量關系，并說明理由.
4.在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, 點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨著點 P的位置變化而變化.
(1)如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數量關系是 ，CE與AD的位置關系是 ;
(2) 當點 E在菱形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立 若成立，請予以證明； 若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理)；
(3) 如圖4, 當點 P 在線段 BD 的延長線上時, 連接BE,若 求四邊形ADPE的面積.
5.在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動. △ABC是邊長為2 的等邊三角形，E是AC上一點，小亮以 BE為邊向 BE 的右側作等邊三角形 BEF，連接CF.
(1)如圖1,當點E在線段AC上時, EF、BC相交于點 D,小亮發現有兩個三角形全等，請你找出來，并證明.
(2) 當點 E 在線段AC 上運動時，點F 也隨著運動，若四邊形ABFC的面積為 求AE的長.
(3)如圖2, 當點E在AC的延長線上運動時, CF、BE相交于點D，請你探求△ECD的面積S 與△DBF的面積S 之間的數量關系. 并說明理由.
6. 如圖, 在矩形ABCD中, AD=k·AB(k>0), 點 E 是線段 CB延長線上的一個動點, 連接AE,過點A作AF⊥AE交射線DC于點F.
(1)如圖1,若k=1,則AF與AE之間的數量關系是 ;
(2)如圖2, 若k≠1, 試判斷AF 與AE 之間的數量關系,寫出結論并證明；(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4,連接BD交AF于點 G, 連接EG,當CF=1時, 求EG的長.
7. 如圖1,在 Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2, 點 D、E 分別是邊 BC、AC的中點, 連接DE. 將△CDE繞點 C逆時針方向旋轉，記旋轉角為α.
(1) 問題發現
①當α=0°時,
②當α=180°時,
(2) 拓展探究
試判斷：當(0°≤α<360°時, 的大小有無變化 請僅就圖2的情形給出證明.
(3) 問題解決
△CDE繞點 C逆時針旋轉至A、B、E三點在同一條直線上時，求線段BD的長.
8. 如圖1,在鈍角△ABC中,∠ABC=30°,AC=4, 點D為邊AB中點, 點E為邊BC中點, 將△BDE繞點B逆時針方向旋轉α度 (0<α<180).
(1) 如圖2, 當0<α<180時, 連接AD、CE.
求證: △BDA∽△BEC;
(2) 如圖3, 直線CE、AD交于點 G. 在旋轉過程中,∠AGC 的大小是否發生變化 如變化，請說明理由；如不變，請求出這個角的度數；
(3) 將△BDE從圖1位置繞點 B 逆時針方向旋轉180°,求點G的運動路程.
9.在△ABC中, CA=CB, ∠ACB=α. 點P是平面內不與點A、C重合的任意一點.連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP, 連接AD、BD、CP.
(1) 觀察猜想
如圖1, 當α=60°時, 的值是 ，直線 BD 與直線CP相交所成的較小角的度數是 .
(2) 類比探究
如圖2, α=90°時, 請寫出: 的值及直線 BD 與直線 CP相交所成的較小角的度數，并就圖2的情形說明理由.
(3) 解決問題
α=90°時, 若點E、F分別是CA、CB的中點, 點 P在直線EF 上，請直接寫出點 C、P、D在同一直線上時 的值.
10.【問題背景】如圖(1),已知△ABC∽△ADE, 求證: △ABD∽△ACE;
【嘗試應用】如圖(2), 在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°, ∠ABC=∠ADE=30°, AC與DE相交于點 F, 點D在BC邊上, 求 的值；
【拓展創新】如圖(3),D是△ABC內一點,∠BAD=∠CBD=30°, ∠BDC=90°, AB=4, AC=2 , 直接寫出 AD 的長.
11.在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=α, 點P為線段CA 延長線上一動點，連接 PB，將線段 PB繞點 P逆時針旋轉, 旋轉角為α, 得到線段 PD, 連接DB、DC.
(1) 如圖, 當α=60°時,
①求證: PA=DC;
②求∠DCP的度數;
(2)如圖2, 當α=120°時, 直接寫出 PA 和 DC 的數量關系.
(3)當α=120°時,若 請直接寫出點D到 CP的距離為 .
12. 在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中線,AC=BC, 一個以點 D 為頂點的45°角繞點 D 旋轉, 使角的兩邊分別與 AC、BC 的延長線相交，交點分別為點 E、F，DF與AC交于點 M, DE與BC交于點N.
(1) 如圖1, 若CE=CF, 求證: DE=DF;
(2) 如圖 2, 在∠EDF 繞點 D 旋轉的過程中, 試證明 CF 恒成立;
(3)若( 求DN的長.
13.在△ABC 中, AB=AC, ∠BAC=120°,以 CA 為邊在∠ACB的另一側作∠ACM=∠ACB, 點 D 為射線 BC上任意一點, 在射線 CM 上截取 CE=BD, 連接 AD、DE、AE.
(1)如圖1，當點D落在線段BC的延長線上時，直接寫出∠ADE的度數;
(2)如圖2，當點D落在線段BC(不含邊界)上時，AC與DE交于點F，請問(1)中的結論是否仍成立 如果成立，請給出證明； 如果不成立，請說明理由；
(3) 在 (2) 的條件下, 若AB=6, 求CF的最大值.
14.在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D是△ABC內一點, 連接AD、BD. 在BD左側作Rt△BDE, 使∠BDE=90°, 以AD和DE為鄰邊作平行四邊形ADEF, 連接CD、DF.
(1) 若AC=BC, BD=DE.
①如圖1, 當B、D、F三點共線時, CD與DF之間的數量關系為 .
②如圖2，當 B、D、F 三點不共線時，①中的結論是否仍然成立 請說明理由.
(2) 若BC=2AC, BD=2DE, CD= 且E、C、F三點共線，求 的值.
15. 將正方形ABCD的邊AB繞點A 逆時針旋轉至AB', 記旋轉角為α, 連接BB', 過點D作DE 垂直于直線BB', 垂足為點E, 連接DB'、CE .
(1)如圖1, 當α=60°時, △DEB'的形狀為 , 連接BD, 可求出 '的值為 ；
(2) 當 且α≠90°時,
①(1) 中的兩個結論是否仍然成立 如果成立，請僅就圖2的情形進行證明； 如果不成立，請說明理由；②當以點B'、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出 的值.
1.
由題意可得: △CBD∽△CAE, 且
∴AE= , ∠CAE=∠CBD,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠CBD=90°,
又∠CAF=∠CBD=∠CDE=60°,
∴△CFD∽△EFA,
的值為
2.
解析: 由題意得: △CEB≌△CFD, ∴BE=DF=6,連接BD, 則BD=10, ∴BF=8, ∴∠BFD=90°,∴△BOG∽△BFD,可得
3. 解析: (1) ∵點D是AB中點,
∴∠ACD=∠A=30°, ∴∠BDC=60°, ∴∠EDA=30°;
(2)∵∠CDE=∠FDG=90°,
∴∠FDG-∠CDG=∠CDE-∠CDG, 即∠CDF=∠EDG,
又∠CED=60°=∠DCF, ∴△CDF∽△EDG,
即
解析: (1) 相等, 垂直;
(2)成立, 如圖2,連接AC, ∵BA=BC, 且∠ABC=60°, ∴
△ABC是等邊三角形, ∴AB=AC, ∠BAC=60°,
∴∠BAC+∠CAP=∠PAE+∠CAP, 即∠BAP=∠CAE,在△APB和△AEC中,
∴△APB≌△AEC(SAS), ∴BP=CE, ∠ABP=∠ACE,又∠ABP=30°, ∴∠ACE=30°, ∴∠BCE=90°, ∴CE⊥BC,∴CE⊥AD.
(3) 連接CE交AD于點H, 則H是AD中點, CE⊥BC, 過點A作AO⊥BD交BD于點O,
則AO= , ∴OP=5, DP=2, ∴S△ADP= ×2× = ∴四邊形ADPE的面積為8
解析: (1) △BEA≌△BFC.
∵∠ABC=60°=∠EBF, ∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC ,即∠ABE=∠CBF,在△BEA和△BFC中,
∴△BEA≌△BFC (SAS).
(2) ∵△BEA≌△BFC, ∴∠BAE=∠BCF, ∴∠BCF=60°,
∴CF∥AB,過點C作CH⊥AB交AB于點 H,∵AB=AC=2,
即 將 代入得： ∵△BEA≌△BFC, ∴AE=CF=
(3) 當點 E在AC延長線上時, △BEA≌△BFC 依然成立,
解析: (1) 相等.
(2)可證△ .
(3) 如圖, 當點F在線段 CD上時, ∵AD=4, DF=1,
由題意可證得△AGB∽△FGD,
勾股定理得：
當點F在DC延長線上時，同理可求 綜上，EG的長為 或
解析: (1) ,
不變, 可證得
(3) 當點E在線段AB上時，如下圖所示：
由題意可證得△CDB∽△CEA, ∵CE= , BC=2, ∴BE=1,, ∴AE=3,
當點E在AB 延長線上時，
可得四邊形 BCDE是矩形，
綜上所述，BD的長為 或
8.解析:(1)∵D、E分別是BA、BC中點, 將△BDE旋轉α可得∠DBA=∠EBC=α,∴△BDA∽△BEC.
(2) 不變. 由(1) 得△BDA∽△BEC, ∴∠BAD=∠BCE,由“8字”模型可得: ∠G=∠ABC=30°.
(3)∠G所對的邊AC為定邊，定邊對定角，∴G點軌跡是個圓弧.以AC為邊構造等邊△AOC，點O即為圓心，AC=4，∴圓O半徑為4. 通過起點和終點來確定軌跡，如圖：
G點從B點出發, 當BD⊥BC時, 弧BG最長, 當旋轉180°時，G點返回B點，∴點G的軌跡是弧BG長的2倍.
可得弧BG所對圓心角為 ∴G點軌跡長為
9解析: (1) △APC≌△ADB, ∴BD=CP, ∴BD=1.∠Q=∠CAB=60°.
(2) 由題意可得△ADB∽△APC, ∴DD=AD= BD 與CP所成的較小角是45°，如圖所示，可用“8字”模型證明.
(3) 如下圖, P、D、C共線, △APC是直角三角形,求 的值，但AD與 CP 并無位置關系，故可轉化比例，考慮到 ，∴可轉化為求 的值.
情況一: 過點P作MN⊥AB交BA 延長線于點N, 過點 C作CM⊥MN交MN于點 M.
不妨設AN=x,PN=y,△PNA∽△CMP,AMP=PN,代入得： 化簡得： 解得： 考慮到點 P是MN中點, 則△ANP∽△APC,
情況二：如下圖所示，同上可求，
綜上所述， 的值為 或
10. 解析: (1) ∵△ABC∽△ADE, ∴AB=ACAE,
∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.
(2) 由題意可得△BAC∽△DAE, 連接CE,則△ADB∽△AEC, ∴∠ACE=∠ABC=30°, 可證△ADF∽△ 即 的值為3.
(3)過點D作DE⊥AD且. 可證△ADE∽△CDB, △ADC∽△EDB
又AB=4, ∴AE=2 , ∴AD= . ∴AD的長為
11. 解析: (1)①當α=60°時, △PBD、△BAC均是等邊三角形, 可證△BAP≌△BCD, ∴PA=DC;
②∠BCD=∠BAP=120°, 又∠BCA=60°, ∴∠DCP=60°.
(2) 當α=120°時,
可證△BAC∽△BPD, 得△BPA∽△BDC,
(3)過點B作BH⊥CP交CP于點H,則 又BP= ,∴PH=2,∵△BPA∽△BDC,∴∠BPA=∠BDC,∴∠DCH=∠PBD=30°, 由 (2) 得
∵PA=5 或1, ∴ 或
∴點D到CP的距離為 或
解析:(1)由題意得△DCE≌△DCF(SAS),∴DE=DF.
(2)∵∠F+∠CDF=45°,∠CDE+∠CDF=45°,∴∠F=∠CDE,又∠DCF=∠DCE=135°,∴△FCD∽△DCE,∴CD=CD,∴ CD =CE·CF . ∴在∠EDF 繞點 D 旋轉的過程中, CF恒成立.
(3)若CF= ,CD=2,則(CE=2 ,∴CE=CB,連接BE,則△BCE是等腰直角三角形, ∴BE=4, DE=2 易證 ∴DN的長為
解析: (1) 易證△ABD≌△ACE, ∴∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD, 即∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE, ∴∠ADE=∠ABC=30°.
(2) 成立.
易證△ABD≌△ACE, 易證△ABC∽△ADE,∴∠ADE=∠ABC=30°.
(3) 求CF最大值，等價于求AF最小值.
∵∠ADF=∠ACD, ∴△AFD∽△ADC,
即AD =AF·AC, ∵AC=AB=6,
顯然當AD⊥BC時, AD 取到最小值3, 此時 ∴CF的最大值為
解析：
由“8字”模型易證: ∠CBD=∠CAF,
連接CF, 易證△CDB≌△CFA, ∴CD=CF,且∠DCF=∠BCA=90°, ∴DF= CD.
②成立，類似還是證明△CDB≌△CFA，而其中關鍵性條件∠CBD=∠CAF與B、D、F共線與否比并無關系. BD與DE是垂直關系, 又AF∥DE, ∴BD⊥AF.
如下圖, 延長BD與AF交于點 P, 則∠P=90°, 由“8字”模型可證: ∠CBD=∠CAF.
易證△CDB≌△CFA, ∴DF= CD.
(2) 延長BD與AF交于點P, 則BD⊥AF,
由“8 字”模型可得: ∠CBD=∠CAF, 又 BC=2AC,BD=2DE=2AF, ∴△CDB∽△CFA, ∴CD=2CF.
不妨設CD=4k, 則AC=5k,
,
解析：(1) 等腰直角三角形；
(2)①成立. 設∠ABB'=α, 則. ∠BAB'=180°-2α, ∴∠DAB'=90°-2α,
∴∠AB'D=45°+α, ∴∠EB'D=45°, 又∠B'ED=90 ,
∴△DEB'是等腰直角三角形.
連接BD，易證△EDC∽△B'DE, ∴BE=BD= ②如圖，比值為1或3.

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