資源簡介

第11節(jié) 托勒密定理的應用
前言：對于鄰邊相等、對角互補的四邊形，可構造旋轉型全等，當再弱化條件時，比如只有對角互補，便不再有旋轉全等，但可以有旋轉相似，探討四邊形邊與對角線關系，即托勒密定理.
知識導航
托勒密定理
(1) 定理：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.
即在四邊形ABCD中, 若A、B、C、D四點共圓,則AC·BD=AB·CD+AD·BC.
證明: 在線段BD上取點E, 使得∠BAE=∠CAD,∵∠ABE=∠ACD, ∴△AEB∽△ADC, ∴AB=EB,即AC·BE=AB·CD,
當∠BAE=∠CAD時, 可得: ∠BAC=∠EAD,
∵∠ACB=∠ADB, △ABC∽△AED,
即AC·DE=AD·BC,
∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC,
∴AC·BD=AB·CD+AD·BC.
(2) 推廣(托勒密不等式)：對于任意凸四邊形ABCD，有AC·BD≤AB·CD+AD·BC
證明: 如圖1, 在平面中取點 E 使得∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠ACD, ∴△ABE∽△ACD, 即AC·BE=AB·CD①,
連接DE, 如圖2,
又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE,
∴△ABC∽△AED,
即AC·DE=AD·BC②,
將①+②得: AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC,
∴AC·BD≤AC·(BE+DE)=AB·CD+AD·BC
即AC·BD≤AB·CD+AD·BC,
當且僅當A、B、C、D共圓時取到等號.
定理的應用
(1) 當△ABC是等邊三角形時,
如圖1，當點D在AC 上時，根據托勒密定理有：DB·AC=AD·BC+AB·CD, ∵AB=AC=BC,結論: DB=DA+DC.
證明: 在 BD上取點E使得DE=DA, 由題意得:△AEB∽△ADC, △AED∽△ABC,利用對應邊成比例, 可得: DB=DA+DC.
如圖2, 當點D在BC上時, 結論: DA=DB+DC.
(2) 當△ABC是等腰直角三角形，
如圖3，當點D在弧BC上時，根據托勒密定理：
AD·BC=AB·CD+AC·BD, 又AB:AC:BC=1:1: 代入可得結論：
如圖4，當點 D在弧AC上時，根據托勒密定理：
AD·BC=AB·CD+AC·BD
又AB:AC:BC=1:1:
代入可得結論：
思考發(fā)現
以上兩種實則是“鄰邊相等”、“對角互補”的四邊形旋轉構造，雖然定理不可直接運用，但可將證明方法應用在此類問題中.
模型總結
(3) 四邊形ABDC是圓O的內接四邊形, 當△ABC是一般三角形時, 若記 BC: AC: AB=a: b: c.根據托勒密定理可得: a·AD=b·BD+c·CD
引例:(1) 方法選擇
如圖1，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，連接AC、BD，AB=BC=AC. 求證: BD+AD+CD.
小穎認為可用截長法證明：在DB上截取DM=AD，連接AM…小軍認為可用補短法證明：延CD至點N，使得DN=AD…請你選擇一種方法證明.
(2) 類比探究
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【探究1】
如圖2,四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,連接AC、BD,BC 是圓O的直徑, AB=AC. 試用等式表示線段AD、BD、CD之間的數量關系，并證明你的結論.
【探究2】
如圖3，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，連接AC、BD. 若BC是圓O的直徑, ∠ABC=30°, 則線段AD、BD、CD之間的等量關系式是 .
(3) 拓展猜想
如圖4，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，連接AC、BD.若 BD 是圓O的直徑, BC:AC:AB=a:b:c, 則線段AD、BD、CD之間的等量關系式是 .
解析:(1)按小穎的思路: 在 DB上截取DM=DA,則△ADM是等邊三角形, ∴∠BAM=60°-∠CAM=∠CAD,在△AMB 和△ADC中,
∴△AMB≌△ADC(SAS),
∴MB=DC, ∴BD=DM+BM=AD+CD.
∴BD=AD+CD.
按小軍的思路：延長CD至點N使得DN=DA，同理可證△ABD≌△CAN, ∴BD=CN,又CN=CD+DN=CD+DA,∴BD=AD+CD.
(2)【探究1】在 BD 上取點 E使得BE=CD,
∵AB=AC, ∠ABE=∠ACD, ∴△ABE≌△ACD,
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴可得
【探究 2】根據∠ABC=30°可得AC:AB:BC=1: :2, 由托勒密定理可知：
(3) 由托勒密定理可知: b·BD=a·AD+c·CD.
真 題 演 練
1. 已知△ABC內接于圓O, ∠BAC的平分線交圓O于點D, 連接DB、DC.
(1) 如圖1, 當∠BAC=120°時, 請直接寫出線段AB、AC、AD之間滿足的等量關系式： ；
(2)如圖2, 當∠BAC=90°時, 試探究線段AB、AC、AD之間滿足的等量關系，并證明你的結論；
(3) 如圖3, 若BC=5, BD=4, 求 的值.
2. 數學課上，張老師出示了問題：如圖1, AC、BD是四邊形ABCD的對角線, 若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°, 則線段BC、CD、AC三者之間有何等量關系
經過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長CB到E, 使BE=CD, 連接AE, 證得△ABE≌△ADC, 從而容易證明△ACE 是等邊三角形, 故 AC=CE, 所以AC=BC+CD.小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將△ABC繞著點A逆時針旋轉60°, 使AB與AD 重合, 從而容易證明△ACF是等邊三角形, 故AC=CF, 所以AC=BC+CD.
在此基礎上，同學們作了進一步的研究：
(1) 小穎提出：如圖4，如果把
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=90°”, 其它條件不變，那么線段BC、CD、AC三者之間有何等量關系 針對小穎提出的問題，請你寫出結論，并給出證明.
(2) 小華提出：如圖5，如果把
“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改為“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”, 其它條件不變，那么線段BC、CD、AC三者之間有何等量關系 針對小華提出的問題，請你寫出結論，不用證明.
3.問題背景:
如圖1,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC、BC、CD之間的數量關系.
小吳同學探究此問題的思路是：將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處, 點B、C分別落在點A、E處(如圖2),易證點 C、A、E在同一條直線上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以 從而得出結論：
簡單應用：
(1)在圖1中,若 則 CD= .
(2)如圖3,AB是圓O的直徑,點 C、D在圓上, AD=BD,若AB=13, BC=12, 求CD的長.
拓展規(guī)律：
(3)如圖4, ∠ACB=∠ADB=90°, AD=BD,若AC=m,BC=n(m(4)如圖5, ∠ACB=90°, AC=BC, 點P為AB的中點, 若點E滿足 CE=CA, 點Q為AE的中點,則線段PQ與AC的數量關系是 .
第11節(jié) 托勒密定理的應用
1.解析: (1) 由∠BAC=120°可得∠BDC=60°, 又AD 平分∠BAC,∴BD=CD,即△BCD是等邊三角形.∴AD=AB+AC.
(2) 過點B作BE⊥AD交AD于點E,
易證△BED∽△BAC,∴DE∠=BDE,即DE·BC=AC·BD,
易證△BEA∽△BDC,∴△E=△ABC,即AE·BC=AB·CD,
∴DE·BC+AE·BC=AC·BD+AB·CD,
∴AD·BC=AB·CD+AC·BD.
若∠BAC=90°, 則∠BDC=90°, 又BD=CD,∴△BCD 是等腰直角三角形, ∴BD:CD:BC=1:1:
即
(3)CD=BD=4,根據托勒密定理,可得5AD=4AB+4AC,
解析：(1) 結論:
證明:過點B作BE⊥AC交AC于點E,易證△BEC∽△BAD,△BEA∽△BCD.
∴ AB:AD:BD=1:1:2cosα, ∴2cosα·AC=BC+CD.
3.解析：(1)根據 代入數據可得：CD=3.
(2)由(1)中結論可知 CD=AC+BC,∵AB=13,BC=12,∴連接AC, 可得AC=5, 代入可得:
(3)根據∠ACB=∠ADB=90°,可得A、B、C、D四點共圓,∴AD·BC=AC·BD+CD·AB, 代入可得:
故
(4)情況一:如下左圖,連接CP、CQ,則∠CQA=∠CPA=90°,∴A、C、P、Q四點共圓,
∴AP·CQ=PQ·AC+AQ·PC, 設CP=a, 則AP=a,
代入得：
解得： 又
情況二：如上右圖，同理可求
綜上，PQ 與 AC 的數量關系是 或

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