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第2節(jié) 矩形的折疊
前言：涉及對稱的問題，以矩形對稱最多，變化形式多樣. 比如，可以按對角線折疊，對稱點可以落在矩形邊上，可以落在矩形內(nèi)部，也可以落在矩形外部，無論如何變化，解題工具有三：(1)勾股； (2)全等相似；(3)三角函數(shù). 從條件出發(fā)，找到每種對稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵.
知 識 導(dǎo) 航
沿對角線折疊
當矩形沿對角線折疊時，圖中必有全等，注意運用對應(yīng)邊相等.
引例1: 如圖, 四邊形ABCD 是矩形紙片, 將△BCD 沿BD折疊,得到△BED,BE交AD于點F,AB=3. AF:FD=1:2,則AF= .
解析: 由題意可得△AFB≌△EFD, ∴BF=DF,
設(shè)AF=x, 則BF=DF=2x, 又AB=3,故 解得：
落點在矩形邊上
尋找兩類圖形：
(1) 三邊可求的直角三角形；
(2) 三垂直相似.
引例2:如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點 F處, 那么sin∠EFC 的值為 .
解析：根據(jù)對稱可知AF=AD=5,
又AB=3, ∴BF=4,
∴FC=1, 設(shè)CE=x,
則DE=3-x, EF=3-x,
解得：
落點在矩形內(nèi)
根據(jù)落點位置的條件，確定可解的直角三角形或可能存在的相似.勾股定理和相似三角形，解決問題的兩大法寶.引例3:如圖, 在矩形 ABCD 中, AB=4, E為CD 邊上一點, 將△BCE 沿BE 折疊, 使得C落到矩形內(nèi)點 F 的位置，連接AF，若 則CE= .
解析: 過F點作MN∥BC分別交AB、CD于 M、N兩點, 設(shè)FM=x, 則AM=2x, BM=4-2x,對Rt△BMF用勾股定理: 解得： (舍)
由題意得∠△BMF∽△FNE, 代入得： 解得： ∴CE的長為
引例4: 如圖, 在矩形ABCD中, AB=6,BC=10, 將矩形ABCD沿BE折疊, 點A落在A'處, 若EA'的延長線恰好過點 C, 則sin∠ABE的值為 .
解析:根據(jù)折疊可知BA'=BA=6,又∠BA'C=90°,BC=10,
落點在矩形外
圖形交錯，繞矩形一圈，存在多個三角形相似，由已知線段逐個推出未知線段的長.
引例5:如圖, 矩形紙ABCD, AB=4, BC=3,點P在BC邊上, 將△CDP沿DP折疊, 點C落在點E處,PE、DE分別交AB于點O、F, 且OP=OF, 則cos∠ADF的值為( )
A. B. C. D.
解析: 根據(jù)OP=OF, 則△OEF≌△OBP,∴OE=OB, OE+OP=OB+OF, 即 EP=BF,設(shè)EP=BF=x, 則AF=4-x,
∵CP=EP=x,
∴EF=BP=3-x,
∴DF=x+1.
在Rt△ADF中,
代入得：
解得：
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∴選C.
5 多次折疊必有中點
當矩形兩端均向中間折疊時，注意圖中的相等線段，可得中點.
引例 6:將矩形 ABCD 按如圖所示的方式折疊, BE、EG、FG為折痕,若頂點A、C、D都落在點O處,且點B、O、G在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上，則 的值為( )
A. B. C. D.
解析: 由題意得: △BAE≌△BOE,△EDG≌△EOG, △GCF≌△GOF,∴E、G分別是AD、DC中點,由題意得: △BAE∽△EDG, 設(shè)AB=a, AD=b,
則 化簡得：
即
∴選B.
動態(tài)中的折疊
引例8:如圖, 折疊矩形紙片ABCD, 使點D落在AB邊的點M處, EF為折痕, AB=1, AD=2. 設(shè)AM的長為t，用含有t的式子表示四邊形 CDEF的面積是
解析: 連接DM, 過點E作EH,
由題意得: △DAM∽△EHF,
設(shè)AE=x, 則EM=ED=2-x,
勾股定理得：
解得：
即四邊形 CDEF 的面積是
真 題 演 練
1. 如圖, 將矩形ABCD 折疊, 使點 C和點A重合, 折痕為EF, EF與AC交于點O. 若AE=5,BF=3, 則AO的長為( )
A. C. 2 D. 4
2. 如圖,在矩形ABCD中,點E在DC上,將矩形沿AE折疊，使點 D落在 BC邊上的點 F處.若AB=3, BC=5, 則tan∠DAE的值為 ( )
A. B. C. D.
3. 如圖, 有一張長方形紙片ABCD,AB=8cm, BC=10cm, 點E為CD上一點, 將紙片沿AE折疊, BC 的對應(yīng)邊 B'C'恰好經(jīng)過點 D, 則線段 DE 的長為 cm.
4. 如圖, 矩形ABCD中, BD為對角線,將矩形ABCD沿BE、BF所在直線折疊，使點A落在BD上的點 M 處, 點 C落在 BD 上的點N處, 連結(jié)EF. 已知AB=3, BC=4, 則EF的長為( )
A. 3 B. 5
5. 如圖, 在矩形 ABCD中, AB=5, BC=6,點M、N分別在AD、BC上, 且 E為直線BC上一動點，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC'E , 當點C'恰好落在直線 MN 上時, CE的長為 .
6. 如圖, 矩形ABCD中, AB=2, BC=3, 點E為AD上一點, 且∠ABE=30°, 將△ABE沿BE翻折, 得到△A'BE , 連接CA'并延長, 與AD 相交于點 F, 則DF的長為 .
7. 如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,M為AD上一點,將△ABM沿BM翻折至△EBM, ME和BE分別與 CD 相交于 O、F兩點, 且OE=OD, 則 AM 的長為
8.如圖, 矩形ABCD中, 點G、E分別在邊BC、DC上, 連接AG、EG、AE,將△ABG和△ECG分別沿AG、EG折疊，使點B、C恰好落在AE上的同一點，記為點F. 若CE=3, CG=4, 則sin∠DAE= .
9. 如圖,矩形ABCD中, E為AD中點, F為AB上一點, 將△AEF沿EF折疊后, 點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF 的長是 .
10. 如圖是一張矩形紙片,點E在AB邊上,把△BCE 沿直線 CE對折，使點B 落在對角線AC上的點 F處, 連接 DF. 若點 E、F、D 在同一條直線上, AE=2, 則DF= , BE= .
11. 如圖,有一張矩形紙條ABCD,AB=5cm,BC=2cm, 點M、N分別在邊AB、CD上, CN=1cm. 現(xiàn)將四邊形 BCNM沿MN折疊,使點B、C分別落在點B'、C'上.當點B'恰好落在邊 CD上時，線段BM的長為 cm；在點 M 從點 A 運動到點 B 的過程中, 若邊 MB'與邊 CD 交于點E，則點 E相應(yīng)運動的路徑長為 cm.
12. 矩形ABCD中, AB=8, AD=12. 將矩形折疊，使點A落在點 P處，折痕為DE.
(1)如圖1,若點P恰好在 BC上, 連接AP,求 的值；
(2)如圖2, 若E是 AB的中點, EP 的延長線交 BC于點F, 求BF的長.
13. 在矩形ABCD中, E為DC邊上一點,把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F.
(1) 求證: △ABF∽△FCE;
(2) 若AB=2 , AD=4, 求EC的長;
(3) 若AE-DE=2EC , 記∠BAF=α, ∠FAE=β, 求tanα+tanβ的值.
第2節(jié) 矩形的折疊問題
1.C.
解析: 易證AF=AE=5, 又BF=3, ∴AB=4, BC=8, 故選C.
2.D.
解析：由題意可得 故選D.
5cm.
解析:由題意得AB'=AB=8cm,AD=BC=10cm,∴B'D=6 cm, CD=4cm, 設(shè)DE=x(cm), 則CE=(8-x) cm, 勾股定理得 解得: x=5, ∴DE的長為5cm.
4. C.
解析：由題意可得： 由勾股定理可得： 故選 C.
5. 或10
解析：可能情況如下：
情況一：如上左圖，
由題意可得: DC'=DC=5, DM=4, ∴MC'=3, C'N=2,對于△ENC', 設(shè)CE=x, 則C'E=x, EN=4-x,
根據(jù)勾股定理可得： 解得： 故CE的長為
情況二：如上右圖，
由題意得: C'F=CD=5, ∴NF=3, MF=2,
可得
綜上所述，CE 的長為 或10.
6.
解析: 由題意得: ∠ABE=∠A'BE=∠A'BC=30°,過點A'作A'H⊥BC交BC于H點,
則A'H=1, BH=
又
7.4.8.
8.
解析: ∠AGE=90°, BG=CG=4, ∴△ABG∽△GCE, 又
9.
解析：有特殊位置關(guān)系必然有隱藏結(jié)論.
連接CE, 由題意得: △CED≌△CEG(HL),
∴∠CEF=90°, 可證△CDE∽△EAF, 可得: 由CD=3 , ED=EA=6, 可得: 代入比例式，得： 故折痕EF的長為
10.DF=2, BE= -1.
解析:由題意得∠BEC=∠FEC,又∠BEC=∠DCE,∴∠FEC=∠DCE,∴DE=DC,設(shè)BE=x,則AB=2+x,DE=DC=AB=2+x,∴DF=DE-EF=2. 由射影定理得EA =EF·ED, 代入得: 解得： (舍),故 綜上，
解析: 連接BN, 若點B'在 DC上, 則四邊形BMB'N是菱形，
點 E 的起點即點B'落在 DC上的位置，第一階段點 E 向右運動，當MB'⊥AB 時，達到最右，此時路徑長為 第二階段點 E 向左運動，當M與A 重合時達到最左端，由全等可求此時 第二階段路徑長為 ，綜上，點E路徑長為
12.解析:(1)可證△ABP∽△DAE,∴△FE=△BA= = 的值為
(2)延長FE與DA延長線交于點 G,可得△EBF≌△EAG,△GAE∽△GPD, 設(shè)AG=x, GE=y, 則 即 解得: x=3, y=5, ∴BF=AG=3,故BF的長為3.
解析:(1)∵∠BAF+∠AFB=90°, ∠AFB+∠EFC=90°,∴∠BAF=∠EFC, 又∠B=∠C=90°, ∴△ABF∽△FCE.
∠BAF=30°, ∴∠CFE=30°, ∴FC-2, ∴CE=2 ∴EC的長為
(3) ∵△ABF∽△FCE, ∴tanβ=EFF=CFAB,
設(shè)CE=x, DE=y, 則AE=2x+y,
∵△ABF∽△FCE, ∴CEF=EFF,
代入解得：
整理得： 令 得： 因式分解得： 解得 或-1 (舍),
的值為

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